資源簡介

授課主題 導數的概念及其意義、導數的運算
教學目標 (1)通過實例分析,經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程,了解導數概念的實際背景,知道導數是關于瞬時變化率的數學表達,體會導數的內涵與思想.
(2)體會極限思想.
(3)通過函數圖象直觀理解導數的幾何意義. (4)能根據導數的定義求函數y=C,y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的導數.
(5)能利用給出的基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則,求簡單函數的導數;能求簡單的復合函數(限于形如y=f(ax+b))的導數.
(6)會使用導數公式表.
教學重難點 1.導數的概念及其意義
2.導數運算
授課日期及時段
教學內容
導數的概念及其意義、導數的運算 1.變化率與導數 (1)平均變化率: 概念對于函數y=f(x),把比值 =　　　　　　　叫作函數y=f(x)從x0到x0+Δx的　　　　變化率 幾何意義函數y=f(x)在區間[x0,x0+Δx]上對應的圖象的兩端點連線的　　　
(2)函數y=f(x)在x=x0處的導數: 概念在x0處== k,我們稱常數k為函數y=f(x)在　　　　處的導數,記作f'(x0)或y' 幾何 意義f'(x0)就是曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處(也稱在x=x0處)的切線的　　　　,其切線方程是　　　　　　　　　　　　　 物理 意義導數可以描述任何運動變化事物的瞬時變化率
(3)導函數 當x=x0時,f'(x0)是一個唯一確定的數.這樣,當x變化時,y=f'(x)就是x的函數,我們稱y=f'(x)為y=f(x)的導函數(簡稱導數).y=f(x)的導函數有時也記作y',即f'(x)=y'=. 2.導數的運算 基本初等函數的導數公式原函數導函數特例或推廣常函數c'=0(c為常數)冪函數(xα)'=　　　　(α∈R,且α≠0) '=-三角函數(sin x)'=　　　,(cos x)'=　　　　 偶(奇)函數的導數是奇(偶)函數,周期函數的導數是周期函數指數函數(ax)'=　　　　(a>0,且a≠1) (ex)'=ex對數函數(logax)'=　　　(a>0,且a≠1) (ln x)'=,(ln|x|)'=
(續表) 四則運算法則加減法[f(x)±g(x)]'=　　　　　　　 '=f'i(x)乘法[f(x)·g(x)]'= 　　　　[cf(x)]'=cf'(x)除法'=(g(x)≠0)'=-復合函數求導復合函數y=f[g(x)]的導數與函數y=f(u),u=g(x)的導數之間具有關系y'x=　　　　,這個關系用語言表達就是“y對x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積”
考點一：　導數的運算 例1 求下列函數的導數: (1)y=x2sin x;(2)y=ln x+;(3)y=;(4)y=xsincos. 總結反思 (1)對于復雜函數的求導,首先應利用代數、三角恒等變換等變形規則對函數解析式進行化簡,之后再求導,這樣可以減少運算量,提高運算速度;(2)利用公式求導時要特別注意除法公式中分子的符號,不要與求導的乘法公式混淆. 變式題 求下列函數的導數. (1)y=xcos x-;(2)y=(x2+2x-1)e2-x. 考點二：　導數的幾何意義 角度1　求切線方程 例2 (1)[2023·南京模擬] 函數f(x)=x4-2x3的圖象在點(1,f(1))處的切線方程為 (　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.y=-2x-1 B.y=-2x+1 C.y=2x-3 D.y=2x+1 (2)[2022·新高考全國Ⅱ卷] 曲線y=ln|x|經過坐標原點的兩條切線方程分別為　　　　,　　　　. 總結反思 (1)曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處的切線方程為y-f(x0)=f'(x0)(x-x0);(2)注意曲線過某點的切線和曲線在某點處的切線的區別. 變式題 (1)已知函數f(x)=-,則曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.3x+2y-3=0 B.3x-2y-3=0 C.2x-3y-2=0 D.2x-3y+2=0 (2)過點(e,-e)作曲線y=ex-x的切線,則切線方程為 (　 ) A.y=(-1-e)x+e2 B.y=(e-1)x-e2 C.y=(ee+1-1)x-ee+2 D.y=(ee-1)x-ee+1 考點三：　求切點坐標 例3 已知f(x)=x3-3x2+ax-1,若曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處的切線經過坐標原點,則x0=　　　　. 總結反思 (1)f'(x)=k(k為切線斜率)的解即為切點的橫坐標; (2)求解曲線的切線問題的關鍵是求切點的橫坐標,在求切點橫坐標時應注意其取值范圍. 變式題 已知曲線y=x+(x<0)在點P處的切線與直線x-3y+1=0垂直,則點P的橫坐標為 (　 ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 考點四：　求參數的值或范圍 例4 (1)[2023·濟南二模] 已知直線y=x-1與曲線y=ex+a相切,則實數a的值為　　　　. (2)[2022·新高考全國Ⅰ卷] 若曲線y=(x+a)ex有兩條過坐標原點的切線,則a的取值范圍是　　　　　　　　. 總結反思 (1)利用導數的幾何意義求參數的基本方法:利用切點的坐標、切線的斜率、切線方程等得到關于參數的方程(組)或者參數滿足的不等式(組),進而求出參數的值或取值范圍.(2)注意曲線上點的橫坐標的取值范圍. 變式題 (1)若曲線y=xln x的一條切線的方程為y=-2x+b,則實數b的值為 (　 ) A.-e-3 B.e-3 C.-5e-3 D.5e-3 (2)曲線y=ex-ax(a為常數)在點(0,1)處的切線與曲線y=-x2只有一個交點,則a=　　　　. 考點五：　兩曲線的公切線 例5 (1)已知直線y=kx+b(k∈R,b≠0)是f(x)=ex-1的圖象與g(x)=1+ln x的圖象的公切線,則k+b=　　　　. (2)若曲線y=ln x與曲線y=x2+2x+a(a為常數,x<0)有公切線,則實數a的取值范圍是　　　　. 總結反思 既與曲線y=f(x)相切又與曲線y=g(x)相切的直線叫兩曲線的公切線,這類問題的解法步驟是: (1)設直線與曲線y=f(x)相切于點P(x1,f(x1)),與曲線y=g(x)相切于點Q(x2,g(x2)); (2)切線方程為y-f(x1)=f'(x1)(x-x1),即y=f'(x1)x-f'(x1)x1+f(x1),同理切線方程也為y-g(x2)=g'(x2)(x-x2),即y=g'(x2)x-g'(x2)x2+g(x2); (3)由解出x1,x2,從而得出切線方程. 變式題 (1)[2023·長沙周南中學二模] 若斜率為1的直線l與曲線y=ln(x+a)和圓x2+y2=都相切,則實數a的值為 (　 ) A.-1或2 B.0或2 C.0 D.2 (2)已知函數f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲線y=f(x)在點(x1,f(x1))處的切線也是曲線y=g(x)的切線,則a的取值范圍為　　　　. 課堂小測： 1.[教材改編] 已知函數f(x)=3x2,則y=f(x)在[2,6]上的平均變化率為　　　　. 2.[教材改編] 如果某物體的運動方程為s=2(1-t2)(s的單位為 m,t的單位為 s),那么該物體在1.2 s末的瞬時速度為　　　　. 3.[教材改編] 曲線y=在點M(π,0)處的切線方程為　　　　　　. ◆索引:求導時不能掌握復合函數的求導法則;混淆f'(x0)與[f(x0)]';忽視f'(ax+b)與[f(ax+b)]'的區別. 4.已知函數y=sin 2x,則y'=　　　　. 5.已知f(x)=x2+3xf'(2),則f(2)=　　　　. 6.已知f(x)=x3,則f'(2x+3)=　　　　,[f(2x+3)]'=　　　　. 課后強化 基礎題 1.一個質點的位移s(單位:m)與時間t(單位:s)滿足函數關系式s=3t3-(2t+1)2+1,則當t=1 s時,該質點的瞬時速度為 (　 ) A.2 m/s B.3 m/s C.-3 m/s D.-2 m/s 2.[2024·東北師大附中月考] 函數f(x)=cos 2x的圖象在點P處的切線斜率是 (　 ) A.-2 B.2 C.-1 D.1 3.[2023·湖北十七所重點中學聯考] 函數f(x)=log2的導函數為 (　 ) A.f'(x)= B.f'(x)= C.f'(x)=- D.f'(x)=- 4.如圖,已知函數f(x)的圖象在點P(2,f(2))處的切線為l,則f(2)+f'(2)= (　 ) A.-3 B.-2 C.2 D.1 5.已知函數f(x)=ex-2x+1,則曲線y=f(x)在x=0處的切線方程為　　　　. 6.已知函數f(x)在R上可導,且f(2x+3)=4x2-1,則f'(1)=　　　　. 中檔題 7.已知直線l是f(x)=2x-cos x+2的圖象在點(0,f(0))處的切線,則直線l在x軸上的截距為 (　 ) A.- B. C.2 D.3 8.[2023·北京東城區一模] 過坐標原點作曲線y=ex-2+1的切線,則切線方程為 (　 ) A.y=x B.y=2x C.y=x D.y=ex 9.[2023·安徽蕪湖三模] 若曲線y=在原點處的切線與直線3x-ay+1=0垂直,則實數a的值是 (　 ) A.3 B.-1 C.1 D.0 10.(多選題)已知直線l與函數f(x)=ln x+x2的圖象相切,則下列直線中可能與l垂直的是 (　 ) A.l1:x+4y=0 B.l2:x+5y=0 C.l3:x+3y=0 D.l4:x-y=0 11.(多選題)已知直線y=kx(k>0)交曲線y=ex于第一象限的A(x1,y1),B(x2,y2)兩點, 其中x12 D.存在k∈(0,+∞),使兩條切線互相垂直 12.[2023·河北保定模擬] 已知函數f(x)=(x2+2x-1)ex的圖象在x=0處的切線與g(x)=aln x-1的圖象交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,且x2=2x1,則a=　　　　. 13.[2023·濰坊一中月考] 寫出曲線y=x3-3x過點(2,2)的一條切線方程:　　　　　　. 14.[2023·湖北鄂東南聯盟模擬] 已知函數f(x)=|ln x|,直線l1,l2是f(x)的圖象的兩條切線,l1,l2相交于點Q,若l1⊥l2,求Q點橫坐標的取值范圍. 15.已知函數f(x)=2x3-3x. (1)求曲線y=f(x)在x=0處的切線方程; (2)若過點P(-1,t)存在3條直線與曲線y=f(x)相切,求t的取值范圍. 拔高題 16.若點P是曲線y=ln x-x2上任意一點,則點P到直線l:x+y-4=0的距離的最小值為 (　 ) A. B.2 C.2 D.4 17.若關于x的不等式組2+ln x≤ax+b≤ex恒成立,則實數a的取值范圍是 (　 ) A. B.[1,] C.[1,e] D.

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