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11.1 不等式
數(shù)量有大小之分，它們之間有相等關(guān)系，也有不等關(guān)系.現(xiàn)實世界和日常生活中存在大量涉及不等關(guān)系的問題.
例如，當(dāng)兩家超市
推出不同的優(yōu)惠方案時，
到哪家超市購物花費較
少 這個問題就蘊含了不
等關(guān)系.
本章我們將從什么是不等式說起，類比等式和方程，探究不等式的性質(zhì)，學(xué)習(xí)一元一次不等式(組)及其解法，并利用不等式的知識解決一些問題，感受不等式在研究不等關(guān)系問題中的重要作用.
11.1 不等式
11.1.1 不等式及其解集
1.了解不等式及其解的概念.
2.學(xué)會并準(zhǔn)確運用不等式表示數(shù)量關(guān)系，形成在表達(dá)中滲透數(shù)形結(jié)合的思想．
3.理解不等式的解集及解不等式的意義．
誰長誰短
誰快誰慢
誰重誰輕
誰贏誰輸
問題1 問題一輛汽車在高速公路上勻速行駛，6:00時汽車距前方的 A 地 210 km,汽車要在 8:00 之前駛過 A 地，車速應(yīng)滿足什么條件
分析：設(shè)車速是 x km/h.
從時間上看，汽車要在 8 : 00 之前駛過 A 地，
則以這個速度行駛 210 km 所用的時間不到 2 h，
即 .
問題1 問題一輛汽車在高速公路上勻速行駛，6:00 時汽車距前方的 A 地 210 km,汽車要在 8:00 之前駛過A地，車速應(yīng)滿足什么條件
分析：設(shè)車速是 x km/h.
從路程上看，以這個速度行駛 2 h的路程要超過210km，
即 .
像,這樣用符號“＜”或“＞”表示不等關(guān)系的式子，叫作不等式.像a＋2≠a－2這樣用“≠”表示不等關(guān)系的式子也是不等式.
有些不等式中不含字母，例如3＜4,－1＞－2;有些不等式中含有字母，例如這樣的不等式.對于含有未知數(shù)的不等式，當(dāng)未知數(shù)取某些值時，不等式的左、右兩邊符合不等號所表示的大小關(guān)系，我們就說不等式成立；否則，不等式不成立.
不等號具有方向性，不等號兩邊的數(shù)不能隨意交換.
判斷下列式子是不是不等式：
（1）－3＞0； （2）4x＋3y＜0；
（3）x＝3； （4） x2＋xy＋y2；
（5）x≠5； （6）x＋2＞y＋5.
解：（1）（2）（5）（6）是不等式；
（3）（4）不是不等式.
例1 用不等式表示下列不等關(guān)系：
（1）a 與 15 的和大于 27;
（2）b 的一半與 3 的差是負(fù)數(shù)；
（3）某縣在鄉(xiāng)村振興項目的援助下，共種植 1333 hm 獼猴桃，種植面積超過全縣原有獼猴桃種植面積的 18 倍.
解:（1）a＋15＞27;
（2）－3＜0;
（3）設(shè)這個縣原有獼猴桃種植面積為 x hm ,那么 1 333＞18x,也可以表示為 18x＜1 333.
例2 已知一支圓珠筆 x 元，簽字筆與圓珠筆相比每支貴 y 元. 小華想要買 3 支圓珠筆和 10 支簽字筆，若付 50 元仍找回若干元，則如何用含 x，y 的不等式來表示小華所需支付的金額與50 元之間的關(guān)系？
解：3x＋10(x＋y)＜50
下面給出的數(shù)，能使不等式 2x＞210成立嗎？
90， 110.
當(dāng) x＝90 時，180＜210，不成立.
當(dāng) x＝110 時，220＞50，成立.
我們曾經(jīng)學(xué)過“使方程兩邊相等的未知數(shù)的值就是方程的解”，與方程類似 , 能使不等式成立的未知數(shù)的值叫不等式的解.
代入法是檢驗?zāi)硞€值是否是不等式的解的簡單、實用的方法.
例如：110 是 2x＞210 的解.
探究 再取x的一些值試一試，看一看哪些是不等式 2x＞210 的解.
觀察不等式 2x＞210 的解，它們都滿足什么條件
x … 90 110 …
2x … 180 220 …
95
190
100
200
105
210
當(dāng) x＞105 時，不等式 2x＞210 總成立；
當(dāng) x＜105 或 x＝105 時，不等式 2x＞210 不成立.
由上可知，在前面的問題中，汽車要在 8:00 之前駛過 A 地，車速應(yīng)大于 105 km/h.
一般的，一個含有未知數(shù)的不等式的所有的解，組成這個不等式的解集.
想一想：
1.不等式的解和不等式的解集是一樣的嗎
2.不等式的解與解不等式一樣嗎？
求不等式的解集的過程叫解不等式.
不等式的解 不等式的解集
區(qū)別 定義
特點
形式
聯(lián)系
滿足一個不等式的未知數(shù)的某個值
滿足一個不等式的未知數(shù)的所有值
個體
全體
如:x＝3是2x－3＜7的一個解
如:x＜5是2x－3＜7的解集
某個解定是解集中
的一員
解集一定包括了
某個解
不等式的解與不等式的解集的區(qū)別與聯(lián)系
1.下列說法正確的是( )
A. x＝3 是 2x＋1＞5 的解
B. x＝3 是 2x＋1＞5 的唯一解
C. x＝3 不是 2x＋1＞5 的解
D. x＝3 是 2x＋1＞5 的解集
A
先在數(shù)軸上標(biāo)出表示2的點 A
則點 A 右邊所有的點表示的數(shù)都大于 2，而點 A 左邊所有的點表示的數(shù)都小于 2
因此可以像圖那樣表示不等式的解集x＞2.
問題2 如何在數(shù)軸上表示出不等式 x＞2 的解集呢？
0
1
2
3
4
5
6
－1
A
把表示 2 的點Ａ 畫成空心圓圈，表示解集不包括2.
解集的表示方法：
第一種:用式子(如x＞2),即用最簡形式的不等式
(如x＞a或x＜a)來表示.
第二種:用數(shù)軸,一般標(biāo)出數(shù)軸上某一區(qū)間,其中的
點對應(yīng)的數(shù)值都是不等式的解.
用數(shù)軸表示不等式的解集的步驟:
第一步:畫數(shù)軸;
第二步:定界點;
第三步:定方向.
2.利用數(shù)軸來表示下列不等式的解集.
(1)x＞－1 ； (2) x＜ .
0
－1
0
1
變式:
已知 x 的解集在數(shù)軸上表示如圖,你能寫出 x 的解集嗎
0
－2
x＜－2
空心圓圈表示不含此點
用數(shù)軸表示不等式的解集,應(yīng)記住下面的規(guī)律:
1.大于向右畫,小于向左畫;
2.＞,＜畫空心圓圈.
1.有下列數(shù)學(xué)表達(dá)式：
① －0.0001＜0；② m－3n＞1；③ 2x－3 ＝0；④ y＝x＋2；
⑤ d≠－1；⑥ x－xy＋(－y).
其中是不等式的有( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
C
2.在數(shù) －4，－1，0，3，10 中，是不等式 x－2＜3 的解的個數(shù)為( )
A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個
C
3.用不等式表示：
(1) x 的 2 倍與 5 的差小于 1；
(2) x 的 與 x 的 的和是負(fù)數(shù)；
(3) a 與 3 的和大于 5；
(4) a 的 20% 與 a 的和大于 a 的 3 倍.
2x－5＜1
a＋3＞5
20%a＋a＞3a
用不等號表示大小關(guān)系的式子
不等式
概念
使不等式成立的未知數(shù)的值
解
一般地，一個含有未知數(shù)的不等式的所有的解，組成這個不等式的解集
解集

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