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10.3 實際問題與二元一次方程組
第2課時 幾何圖形與工程問題
1.能夠根據具體的數量關系，列出二元一次方程組并解決簡單的實際問題.（重難點）
2.學會利用二元一次方程組解決幾何問題、行程問題等.（重難點）
列二元一次方程組解應用題的一般步驟：
審：認真審題，明確等量關系
設：恰當地設未知數
列：依據等量關系列出方程組
驗：檢驗是否符合題意和實際意義
答：寫出答
解：解方程組，求出未知數的值
探究 據統計資料，甲、乙兩種作物的單位面積產量的比是1:2．現要把一塊長 200 m、寬 100 m的長方形土地劃分為兩塊小長方形土地，分別種植這兩種作物．怎樣劃分這塊土地，使甲、乙兩種作物的總產量的比是 3:4？
轉換成數學語言：
A
D
C
B
已知：長方形 ABCD， AB＝CD＝200m，AD＝BC＝100m，
長方形 ABCD 分割為兩個小長方形，長方形 1 和長方形 2 分別種甲、乙作物，甲、乙單位面積產量的比是 1:2.
目標：甲、乙兩種作物的總產量的比是 3:4
①大長方形的長＝200 m
分析 這里研究的實際上是什么問題？
把一個長方形分成兩個小長方形有哪些分割方式？
長方形的面積分割
我們可以畫出示意圖來幫助分析
（1）豎著畫，把長分成兩段，則寬不變
A
D
C
F
B
E
②甲、乙兩種作物總產量比＝3:4
等量關系式有幾個？
A
D
C
F
B
E
100x：200y＝3:4
x
y
200 m
100 m
x＋y＝200
①大長方形的長＝200 m.
如何設未知數呢？
甲種作物
乙種
作物
②甲、乙兩種作物總產量比＝3：4.
100x
100y
解：過點 E 作 EF⊥AB，交 CD 于點 F.
設 AE ＝x m，BE ＝y m.
根據題意，得
解得
答：將這塊土地分為長 120 m，寬 100 m 和長 100 m，寬 80 m 的兩個小長方形分別種植甲、乙兩種作物.
A
D
C
F
B
E
x
y
200 m
100 m
甲種作物
乙種
作物
100x
100y
（2）橫著畫，把寬分成兩段，則長不變
A
D
C
B
E
x
y
F
x＋y＝100
乙種作物
甲種作物
解：過點 E 作 EF⊥AD，交 BC 于點 F.
設 DE ＝x m，AE ＝y m.
200x:400y＝3:4
200y
200x
x＝60
y＝40
解得
根據題意列方程組為
200 m
100 m
答：將這塊土地分為長 200 m,寬 60 m和長 200 m,寬 40 m的兩個小長方形分別種植甲、乙兩種作物.
例1 8 塊相同的小長方形地磚拼成一個大長方形，每塊小長方形地磚的長和寬分別是多少 （單位：cm）
60
解:設小長方形地磚的長為 x, 寬為 y,
由題意,得
解此方程組得：
答:小長方形地磚的長為 45 cm, 寬為 15 cm.
例2 某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量為 120 萬立方，原計劃由公司的甲、乙兩個工程隊從公路的兩端同時相向施工 150 天完成.由于特殊情況，公司抽調甲隊外援施工，由乙隊先單獨施工 40 天后甲隊返回，兩隊又共同施工了 110 天，這時甲、乙兩隊共完成土方量 103.2 萬立方.甲、乙兩隊原計劃平均每天的施工土方量分別為多少萬立方
解：設甲隊原計劃平均每天的施工土方量為 x 萬立方，乙隊原計劃平均每天的施工土方量為 y 萬立方，
根據題意，得
解得：
所以，甲隊原計劃平均每天的施工土方量為 0.42 萬立方，乙隊原計劃平均每天的施工土方量為 0.38 萬立方.
工程問題的求解策略
工程問題中的基本關系式是“工作量＝工作效率×工作時間”.常用的等量關系有：各部分的工作量之和＝總工作量，各部分的工作效率之和＝合作的工作效率.當工作總量未給出具體數值時，常將工作總量看作單位“1”.
1.如圖，周長為 68 cm 的長方形 ABCD 被分成 7 個形狀大小完全相同的小長方形，則長方形 ABCD 的面積為( )
A．40 cm2
B．128 cm2
C．280 cm2
D．140 cm2
C
A
B
C
D
2.現有一段長為 180 米的河道整治任務由 A，B 兩個工程隊先后接力完成. A 工程隊每天整治 12 米，B 工程隊每天整治 8 米，共用時 20 天．
(1)根據題意，甲、乙兩個同學分別列出的方程組如下：
甲： 乙：
根據甲、乙兩名同學所列的方程組，請你分別指出未知數 x、y 表示的意義：
甲：x 表示_ ________________，y 表示_______ __________．
乙：x 表示___________________，y 表示__________ ________．
A 工程隊用的時間
B 工程隊用的時間
A 工程隊治理的米數
B 工程隊治理的米數
(2)求 A，B 兩工程隊分別整治河道多少米．
解：選甲同學所列方程組解答如下：
②－①×8得 4x＝20，解得 x＝5，
把 x＝5 代入①，得 y＝15，
所以方程組的解為
A 工程隊整治河道的米數為 12x＝60，
B 工程隊整治河道的米數為 8y＝120.
答：A 工程隊整治河道 60 米，B 工程隊整治河道 120 米．
解：選乙同學所列方程組解答如下：
②×24－①×2，得 y＝120，
把 y＝120 代入①得 x＝60，
所以方程組的解為
答：A 工程隊整治河道 60 米，B 工程隊整治河道 120 米．
(2)求 A，B 兩工程隊分別整治河道多少米．
應用
實際問題與二元一次方程組
幾何圖形問題
審、設、列、解、驗、答
步驟
工程問題

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