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第十章 二元一次方程
新疆是我國棉花的主要產地之一.近年來，機械化采棉已經成為新疆棉采摘的主要方式.某種棉大戶租用6臺大、小兩種型號的采棉機，1h就完成了8 hm 棉田的采摘.如果大型采棉機1h完成2 hm 棉田的采摘，小型采棉機1h完成1 hm 棉田的采摘，那么這個種棉大戶租用了大、小型采棉機各多少臺
在這個問題中，要求的是兩個未知數.如果用一元一次方程來解決，列方程時，要用一個未知數表示另一個未知數.能不能根據題意直接設兩個未知數，使列方程變得容易呢 我們從這個想法出發開始本章的學習.
10.1 二元一次方程組
1.了解二元一次方程（組）及其解的定義．
2.會檢驗一對數值是不是某個二元一次方程組的解.（重點）
3.能根據簡單的實際問題列出二元一次方程組.（難點）
含有未知數的等式叫做方程.
如：2x＋3＝5,x＋y＝8.
在一個方程中，只含有一個未知數(元),并且未知數的指數是 1 (次),這樣的方程叫做一元一次方程.
如：2x＋3＝5,y＋6＝8.
1.什么叫方程
2.什么叫一元一次方程
章引言 新疆是我國棉花的主要產地之一.近年來，機械化采棉已經成為新疆棉采摘的主要方式.某種棉大戶租用 6 臺大、小兩種型號的采棉機，1 h 就完成了8 hm 棉田的采摘.如果大型采棉機 1 h 完成2 hm 棉田的采摘，小型采棉機 1 h 完成 1 hm 棉田的采摘，那么這個種棉大戶租用了大、小型采棉機各多少臺
思考 （1）問題包含了哪些必須同時滿足的相等關系？
大型采棉機臺數＋小型采棉機臺數＝總臺數；
大型采棉機 1 h 采摘面積＋小型采棉機1 h 采摘面積
＝ 1 h 采摘總面積.
章引言 新疆是我國棉花的主要產地之一.近年來，機械化采棉已經成為新疆棉采摘的主要方式.某種棉大戶租用 6 臺大、小兩種型號的采棉機，1 h 就完成了8 hm 棉田的采摘.如果大型采棉機 1 h 完成2 hm 棉田的采摘，小型采棉機 1 h 完成 1 hm 棉田的采摘，那么這個種棉大戶租用了大、小型采棉機各多少臺
思考 （2）若設這個種棉大戶租用了 x 臺大型采棉機，y 臺小型采棉機，你能用方程把這些相等關系表示出來嗎？
x＋y＝6， 2x＋y＝8.
觀察 x＋y＝6， 2x＋y＝8.
（1）上面兩個方程有什么特點？
（2）它們與一元一次方程有什么不同？
①含有兩個未知數( x 和 y )；
②含有未知數的項的次數都是1.
含未知數的個數不同
方程含有兩個未知數,且含有未知數的式子都是整式，含有未知數的項的次數都是 1 ,像這樣的方程叫作二元一次方程.
二元一次方程的概念：
注意
1.“一次”是指含未知數的項的次數是 1，而不是未知數的次數.
2.方程的左右兩邊都是整式.
（8）4xy＋5＝0
（1）x＋y＝11
（3）x2＋y＝5
（2）2m＋n＝2m－3
（4）3x－π＝11
（5）－5x＝4y＋2
（6）7＋a＝2b＋11c
（7）7x＋＝13
1.判斷下列方程是不是二元一次方程？
√
√
歸納 判斷一個方程是否為二元一次方程的方法：
一看原方程是否是整式方程且只含有兩個未知數；二看整理化簡后的方程是否具備兩個未知數的系數都不為0，且含未知數的項的次數都是1.
例1 已知|m－1|x|m|＋y2n－1＝3是二元一次方程，則m＋n＝_____．
解析：根據題意得 |m|＝1且 |m－1|≠0，2n－1＝1，
解得 m＝－1，n＝1，
所以 m＋n＝0.
0
歸納 由方程是二元一次方程可知：
(1)未知數的系數不為0；
(2)未知數的次數都是1.
前面的問題包含了兩個必須同時滿足的條件，也就是未知數 x，y 必須同時滿足方程 x＋y＝6和 2x＋y＝8．把兩個方程合在一起，寫成 就組成了一個方程組．
這個方程組含有幾個未知數？
含有未知數的項的次數是多少？
兩個
1
二元一次方程組的特點：
①方程組中共有 2 個不同的未知數；
②方程組有 2 個整式方程；
③一般用大括號把 2 個方程連起來.
方程組中含有兩個未知數，含有每個未知數的項的次數都是 1，并且一共有兩個方程，像這樣的方程組叫做二元一次方程組.
二元一次方程組的概念：
2.下列方程組是二元一次方程組的是（ ）
A. B.
C. D.
B
小提示 也是二元一次方程組.
x
y
探究 滿足方程 x＋y＝6，且符合問題的實際意義的 x、y的值有哪些？把它們填入表中.
如果不考慮方程表示的實際意義，還可以取哪些值？這些值是有限的嗎？
x，y 還可以取小數，如x＝0.5，y＝5.5；有無數組這樣的值.
0
1
2
3
4
5
6
6
5
4
3
2
1
0
一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值，叫做二元一次方程的解.
二元一次方程的解的概念：
x
y
探究 滿足方程 x＋y＝6，且符合問題的實際意義的 x、y 的值有哪些？把它們填入表中.
上表中哪對 x，y 的值還滿足方程 2x＋y＝8？
0
1
2
3
4
5
6
6
5
4
3
2
1
0
x＝2，y＝4 還滿足方程 2x＋y＝8. 也就是說，x＝6，y＝4是方程 x＋y＝6 與方程 2x＋y＝8 的公共解，記作
注意 判斷一對數值是不是二元一次方程組的解的方法
判斷一對數值是不是二元一次方程組的解，只需將這對數值分別代入方程組中的每一個方程進行檢驗，若滿足每一個方程，則這對數值就是這個方程組的解；若不滿足其中任何一個方程，則這對數值就不是這個方程組的解.
一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.
二元一次方程組的解：
3.二元一次方程組的解是( )
A.｛
C.｛
D.｛
B.｛
x＝4,
y＝3
x＝3,
y＝6
x＝2,
y＝4
x＝4,
y＝2
C
歸納 一般地，二元一次方程有無數組解，而二元一次方程組只有一組解.
例2 若是方程x－ky＝1的解,則 k 的值為 .
－1
解析：將代入原方程得－2－3k＝1，解得k＝－1.
例3 加工某種產品須經兩道工序，第一道工序每人每天可完成900 件，第二道工序每人每天可完成 1200 件.現有 7 位工人參加這兩道工序，應怎樣安排人力，才能使每天第一、二道工序所完成的件數相等？請列出符合題意的二元一次方程組.
解：設安排第一道工序為 x 人，第二道工序為 y 人.根據題意得
2.二元一次方程組 的解是( )
A. B. C. D.
C
x＋ ＝1，
y＋x＝2
1.下列不是二元一次方程組的是( 　 )
A.
x＋y＝3，
x－y＝1
B.
C.
D.
6x＋4y＝9，
y＝3x＋4
B
x＝1，
y＝1
x＝1，
y＝3
2x＋y＝5，
3x－2y＝4
x＝1，
y＝2
x＝2，
y＝1
x＝2，
y＝－1
3.關于 x、y 的方程 ax2＋bx＋2y＝3 是一個二元一次方程，則 a、b 的值分別為（ ）
A. a＝0 且 b＝0 B. a＝0 或 b＝0
C. a＝0 且 b≠0 D. a≠0 且 b≠0
C
4.小劉同學用 10 元錢購買了兩種不同的賀卡共 8 張，
單價分別是 1 元與 2 元．設他購買了 1 元的賀卡 x
張，2 元的賀卡 y 張，那么可列方程組(　　)
A. B.
C. D.
D
5.已知 是方程2x－4y＋2a＝3的一組解，則a＝____.
6.若方程 2x2m＋3＋3y3n－7＝0 是關于 x,y 的二元一次方程，則m＝______，n＝______.
x＝3，
y＝1
－1
有兩個未知數，含有每個未知數的項的次數都是1，并且一共有兩個方程的方程組
二元一次方程（組）
二元一次方程
二元一次方程組
概念
解
概念
解
含有兩個未知數，并且含有未知數的項的次數都是 1 的方程
一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值
一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解

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