資源簡介

一次函數的復習專題培訓
大綱對一次函數要求：
一次函數的教學內容：
1.結合具體情境體會一次函數的意義，能根據已知條件確定一次函數的表達式;會運用待定系數法確定一次函數的表達式，
2.能畫一次函數的圖象，根據圖象和表達式y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k<0時圖象的變化情況;理解正比例函數。
3.體會一次函數與二元一次方程的關系。
4.能用一次函數解決簡單實際問題
（二）一次函數學習要求
能根據簡單實際問題中的已知條件確定一次函數的表達式;會在不同問題情境中運用待定系數法確定一次函數的表達式;會畫出一次函數的圖象;會根據一次函數的表達式求其圖象與坐標軸的交點坐標;會根據一次函數的圖象和表達式y=kx+b(k≠0)，探索并理解k值的變化對函數圖象的影響。認識正比例函數中兩個變量之間的對應規律，會結合實例說明正比例函數的意義及變量之間的對應規律會根據一次函數的圖象解釋一次函數與二元一次方程的關系;能在實際問題中列出一次函數的表達式，并結合一次函數的圖象與表達式的性質等解決簡單的實際問題。
重視單元整體教學設計
改變過于注重以課時為單位的教學設計，推進單元整體教學設計，體現數學知識之間的內在邏輯關系，以及學習內容與核心素養表現的關聯。
單元整體教學設計要整體分析數學內容本質和學生認知規律，合理整合教學內容，分析主題一單元一課時的數學知識和核心素養主要表現，確定單元教學目標，并落實到教學活動各個環節，整體設計，分步實施，促進學生對數學教學內容的整體理解與把握，逐步培養學生的核心素養。
三、本單元思維導圖：(見PPT第三頁）
四、一次函數知識點及教學建議。
（一）定義：了解并識記一次函數的定義：y=kx+b（k，b是常數，且k≠0）
注意：
1.kx+b是整式，對b沒有具體要求。當b=0時，即y=kx此時一次函數為正比例函數。
2.自變量x和因變量y的次數為“1”。
例1. 下列函數哪些是y關于x的一次函數？哪些是y關于x的正比例函數？
　　
是一次函數，求m的值。
（二）一次函數的圖象教學。
1.理解函數圖象上的點的坐標與對應函數中兩變量的值的關系是一一對應關系。
2.掌握一次函數圖象的畫法：①列表，②描點，③連線。通過讓師生一起畫一次函數的圖象讓學生知道一次函數的圖象是一條直線。進一步指導學生畫一次函數圖象只需要找出兩點即可，因為兩點確定一條直線。通常我們找（0，b）和（）兩點來畫一次函數的圖象。
3.利用幾何畫板來幫助學生理解一次函數的圖象是一條直線，并進步使用幾何畫板來探究一次函數的圖象與系數k，b之間的關系，從而得出以下結論：
（1）當k＞0時，圖象一定經過第1、3象限，函數圖像從左往右成上升趨勢，y隨x的增大而增大；當k＜0時，圖象一定過2、4象限，函數圖象從左往右成下降趨勢，y隨x的增大而減小。
（2）當b＞0時，圖象一定經過第1、2象限，當b=0時，圖象過原點，當b＜0時，圖象一定過第3、4象限。
（3）當k變b不變時，兩函數的圖象與y軸的交點不變，即截距不變。且|k|越大，直線越陡，即與x軸的夾角越大。
（4）當b變k不變時，兩函數的圖象平行。進一步得出一次函數平移的規律：上“+”下“-”常數項變化。左“+”右“-”自變量改變。
關于x的一次函數的圖象可能正確的是（ ）
已知一次函數y＝kx+b，函數值y隨自變量x的增大而減小，且kb＜0，則函數y＝kx+b的圖象大致是（　　）
變式訓練：已知正比例函數與一次函數的交點在第 象限。
已知點M和點N在直線上，且該直線經過第一、二、四象限，當時，與的大小關系為： 。
如圖y＝﹣x+2向上平移m個單位后，與直線y＝﹣2x+6的交點在第一象限，則m的取值范圍是　 　．
（三）一次函數的應用：
1.求直線的解析式
（1）已知兩點求一次函數的解析式。（步驟如下）
①設函數表達式 ②列方程或列方程組
③解方程或方程組 ④把求出的值代入回表達式。
已知兩直線的解析式分別為，當兩直線平行時有：，當兩直線垂直時有：。
例1.已知某一次函數的圖象經過A（0,2），B（1,3），C（a，1）則a的值是 。
例2.如圖，已知直線y＝kx+2與x軸、y軸分別相交于點A、點B，∠BAO＝30°，若將△AOB沿直線CD折疊，使點A與點B重合，折痕CD與x軸交于點C，與AB交于點D．
（1）求k的值；
（2）求點C的坐標；
（3）求直線CD的表達式．
2.一次函數與一元一次方程、二元一次方程組的關系。
（1) 一次函數與一元一次方程的關系：
一次函數通常表示為y=kx+b（k≠0），而一元一次方程可以轉化為ax+b=（a≠0的形式。可以看出，一次函數與一元一次方程在形式上有很大的相似性。是當y=0時，x的值。所以方程ax+b=0的解就是直線與x軸交點的橫坐標。
（2）二元一次方程組的解與一次函數的關系：
每一個二元一次方程組都可以化為的形式，所以二元一次方程組的解可以看做是同一直角坐標系中兩個一次函數圖象的關系，即兩直線的關系，當兩直線相交時，交點的坐標即為方程組的解。當兩直線平行時，原方程組無解，當兩直線重合時，原方程組有無數個解。反之，兩直線的交點坐標也可以通過聯立兩函數的關系式建立方程組來求交點的坐標。
例1.若一次函數y＝kx+b的圖象如圖所示，則關于x的方程kx+b＝0的解為（　　）
A．x＝﹣2 B．x＝﹣0.5 C．x＝﹣3 D．x＝﹣4
例.2如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝2x+1與直線y＝﹣3x+m相交于點P，若點P的橫坐標為1，則關于x，y的二元一次方程組的解是 　 　．
利用一次函數解決問題:
①解決生活中的實際問題
讀圖方法：
A.讀懂圖象中X軸和Y軸的具體含義；
B.找到具體點的坐標，如交點，圖象中射線、線段的端點等。
C.觀察函數的變化趨勢。
D.當兩個函數圖象在同一平面直角坐標系中是，那個函數圖象在上方，對應函數的函數值就越大，圖象交點就是對應函數的函數值相等處。
例1.2014年10月，四川天府新區正式獲批成為第11個國家級新區．近十年來，天府新區全面踐行新發展理念，努力推進公園城市先行區建設，為慶祝四川天府新區獲批國家級新區10周年，甲、乙兩個服裝廠特推出以“奮楫揚帆啟新程 喜迎新區十周年”為主題的文化衫，設甲服裝廠的銷售總費用為y1（元），乙服裝廠的銷售總費用為y2（元），銷售量為x（件），y1，y2與x的函數關系式如圖所示：
（1）請分別求出y1，y2與x的函數關系式；
（2）若當甲、乙服裝廠的銷售量相同且銷售總費用相差150元時，則銷售量是多少件？
②與幾何相聯系求面積，最值，存在性問題
用割補法求面積
用平行線法求面積
如圖，在平面直角坐標系中，直線l1：y＝x+6與y軸交于點A，直線l2：y＝kx+b與y軸交于點B，與l1相交于C（﹣3，3），AO＝2BO．
求直線l2：y＝kx+b的解析式；
求△ABC的面積．
例2如圖，在平面直角坐標系中，過點A（0，6）的直線AB與直線OC相交于點C（2，4）動點P沿路線O→C→B運動．
（1）求直線AB的解析式；
（2）當△OPB的面積是△OBC的面積的時，求出這時點P的坐標；
（3）是否存在點P，使△OBP是直角三角形？若存在，直接寫出點P的坐標，若不存在，請說明理由．
總結
一次函數是初中所學的第一種函數，也是函數中最簡單的函數，只有我們真正掌握了一次函數的學習方法與技巧，才能更好地為我們以后學習其他函數打下良好的基礎。教學中我們不僅要教給學生一次函數的基本知識與基本技能，基本思想，基本活動經驗，更要讓他們注意平時生活中的函數模型，從而更好學好函數，用好函數。(共16張PPT)
一次函數專題復習培訓
2024年12月10日
大綱對一次函數的要求：
(一)一次函數的教學內容：
1.結合具體情境體會一次函數的意義，能根據已知條件確定一次函數的表達式;會運用待定系數法確定一次函數的表達式，
2.能畫一次函數的圖象，根據圖象和表達式y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k<0時圖象的變化情況;理解正比例函數。
3.體會一次函數與二元一次方程的關系。
4.能用一次函數解決簡單實際問題
一次函數學習要求
能根據簡單實際問題中的已知條件確定一次函數的表達式;會在不同問題情境中運用待定系數法確定一次函數的表達式;會畫出一次函數的圖象;會根據一次函數的表達式求其圖象與坐標軸的交點坐標;會根據一次函數的圖象和表達式y=kx+b(k≠0)，探索并理解k值的變化對函數圖象的影響。認識正比例函數中兩個變量之間的對應規律，會結合實例說明正比例函數的意義及變量之間的對應規律會根據一次函數的圖象解釋一次函數與二元一次方程的關系;能在實際問題中列出一次函數的表達式，并結合一次函數的圖象與表達式的性質等解決簡單的實際問題。
一次函數思維導圖
定義：在某個變化過程中，有兩個變量x、y，且對于x的每一個值，變量y都有唯一的值與它對應，那么稱y是x的函數，x是自變量，y是因變量
表示法：列表法、
圖象法、
解析式法
自變量取值范圍：
（1）分式的分母不為0;
（2）偶次方根的被開方數為非負數;
（3）零指數冪或負整數指數冪的底數不為0;
（4）實際問題中自變量的取值要符合實際情況.
函數
一般表達式：
y=kx+b（k，b為常數，k≠0）
正比例函數：
y=kx（k≠0）可見正比例函數是一次函數，一次函數不一定是正比例函數。
一次函數
圖象
k＞0
b＞0
b=0
第1.2.3象限
第1.3象限
b＜0
第1.3.4象限
圖象從左往右呈上升趨勢，y隨x的增大而增大
k＜0
b＞0
b=0
b＜0
第1.2.4象限
第2.4象限
第2.3.4象限
圖象從左往右呈下降趨勢，y隨x的增大而減小
數學思想：數形結合，分類思考，方程思想。
一次函數的應用
求函數解析式：
k變b不變時，圖象過定點（0，b），且|k|越大時，直線越陡，與x軸所成銳角越大，函數值變化的更快。
b變k不變時，新函數與原函數的圖象平行。
當兩函數的斜率積為-1時，兩直線垂直。

與一元一次方程的關系
生活中的問題：如銷售、行程問題
與幾何聯系，求面積、最大值，存在性問題。
一次函數
一次函數的定義
若兩個變量x,y間的對應關系可以表示成y=kx+b(k，b為常數，k≠0)的形式，則稱y是x的一次函數.特別地，當b=0時，稱y是x的正比例函數
注意：
1.kx+b是整式，對b沒有具體要求。當b=0時，即y=kx此時一次函數為正比例函數。
2.自變量x和因變量y的次數為“1”。
常見題型
例1. 下列函數哪些是y關于x的一次函數？哪些是y關于x的正比例函數？
　　
答案：一次函數有:(1),(3),(6)正比例函數有:(1)
解：∵是一次函數
∴
∴m=-5
例2.
是一次函數，求m的值。
一次函數的圖象教學
教學步驟：
例題展示
歸納總結
例1.關于x的一次函數 的圖象可能正確的是（ ）
例2. 已知正比例函數
與一次函數
的交點在第 象限。
和點N
在直線
上，且該直線經過
時，
與
的大小關系為： 。
例3. 已知點M
第一、二、四象限，當
數形結合、分類思考
一次函數的圖象教學
一次函數的應用（求解析式）
1.已知兩點求一次函數的解析式。
①設函數表達式
②列方程或列方程組
③解方程或方程組
④把求出的值代入回表達式。
2.已知兩直線的解析式分別為
當兩直線平行時有： ，
當兩直線垂直時有： 。
，
（1）答案：a=-1
一次函數的應用（與方程和方程組的關系）
1) 一次函數與一元一次方程的關系：
一次函數通常表示為y=kx+b（k≠0），而一元一次方程可以轉化為ax+b=（a≠0的形式。可以看出，一次函數與一元一次方程在形式上有很大的相似性。是當y=0時，x的值。所以方程ax+b=0的解就是直線與x軸交點的橫坐標。
（2）二元一次方程組的解與一次函數的關系：
每一個二元一次方程組都可以化為兩個一次函數的形式，所以二元一次方程組的解可以看做是同一直角坐標系中兩個一次函數圖象的關系，即兩直線的關系，當兩直線相交時，交點的坐標即為方程組的解。當兩直線平行時，原方程組無解，當兩直線重合時，原方程組有無數個解。反之，兩直線的交點坐標也可以通過聯立兩函數的關系式建立方程組來求交點的坐標
一次函數的應用（生活中的函數）
解決生活中的實際問題
讀圖方法：
A.讀懂圖象中X軸和Y軸的具體含義；
B.找到具體點的坐標，如交點，圖象中射線、線段的端點等。
C.觀察函數的變化趨勢。
D.當兩個函數圖象在同一平面直角坐標系中是，那個函數圖象在上方，對應函數的函數值就越大，圖象交點就是對應函數的函數值相等處。
2014年10月，四川天府新區正式獲批成為第11個國家級新區．近十年來，天府新區全面踐行新發展理念，努力推進公園城市先行區建設，為慶祝四川天府新區獲批國家級新區10周年，甲、乙兩個服裝廠特推出以“奮楫揚帆啟新程 喜迎新區十周年”為主題的文化衫，設甲服裝廠的銷售總費用為y1（元），乙服裝廠的銷售總費用為y2（元），銷售量為x（件），y1，y2與x的函數關系式如圖所示：
（1）請分別求出y1，y2與x的函數關系式；
（2）若當甲、乙服裝廠的銷售量相同且銷售總費用相差150元時，則銷售量是多少件？
一次函數的應用（求面積、最值、存在性問題）
例2如圖，在平面直角坐標系中，過點A（0，6）的直線AB與直線OC相交于點C（2，4）動點P沿路線O→C→B運動．
（1）求直線AB的解析式；
（2）當△OPB的面積是△OBC的面積的時，求出這時點P的坐標；
（3）是否存在點P，使△OBP是直角三角形？若存在，直接寫出點P的坐標，若不存在，請說明理由．
例2如圖，在平面直角坐標系中，過點A（0，6）的直線AB與直線OC相交于點C（2，4）動點P沿路線O→C→B運動．
（1）求直線AB的解析式；
（2）當△OPB的面積是△OBC的面積的時，求出這時點P的坐標；
（3）是否存在點P，使△OBP是直角三角形？若存在，直接寫出點P的坐標，若不存在，請說明理由．
數以形而直觀，
形以數而入微.
華羅庚名言
感謝各位領導及教師的指正！
再見

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