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中小學教育資源及組卷應用平臺
人教版九年級數學下名師點撥與訓練
第28章 銳角三角函數
小結與復習
知識體系構建
知識點梳理
知識點1 、投影
1.投影：一般地，用光線照射物體，在某個平面(地面或墻壁等)上得到的影子，叫做物體的投影.
2.平行投影：由平行光線形成的投影
(1)等高的物體垂直地面放置時，如圖1所示，在太陽光下，它們的影子一樣長.
　　　　　　　　
　(2)等長的物體平行于地面放置時，如圖2所示，它們在太陽光下的影子一樣長，且影長等于物體本身的長度.
（3）物高與影長的關系
①在不同時刻，同一物體的影子的方向和大小可能不同.不同時刻，物體在太陽光下的影子的大小在變，方向也在改變，就北半球而言，從早晨到傍晚，物體影子的指向是：西→西北→北→東北→東，影長也是由長變短再變長.
　　②在同一時刻，不同物體的物高與影長成正比例.
　　即：.
　　利用上面的關系式可以計算高大物體的高度，比如旗桿的高度等.
　　注意：利用影長計算物高時，要注意的是測量兩物體在同一時刻的影長.
3.中心投影：若一束光線是從一點發出的，像這樣的光線照射在物體上所形成的投影，叫做中心投影.這個“點”就是中心，相當于物理上學習的“點光源”
(1)等高的物體垂直地面放置時，如圖1所示，在燈光下，離點光源近的物體它的影子短，離點光源遠的物體它的影子長.
　　　　　　　　　　　　　
　(2)等長的物體平行于地面放置時，如圖2所示.一般情況下，離點光源越近，影子越長；離點光源越遠，影子越短，但不會比物體本身的長度還短.
　　在中心投影的情況下，還有這樣一個重要結論：點光源、物體邊緣上的點以及它在影子上的對應點在同一條直線上，根據其中兩個點，就可以求出第三個點的位置.
知識點2 、平行投影與中心投影的區別與聯系
1.聯系：
　（1）中心投影、平行投影都是研究物體投影的一種，只不過平行投影是在平行光線下所形成的投影，通常的平行光線有太陽光線、月光等，而中心投影是從一點發出的光線所形成的投影，通常狀況下，燈泡的光線、手電筒的光線等都可看成是從某一點發射出來的光線.
　（2）在平行投影中，同一時刻改變物體的方向和位置，其投影也跟著發生變化；在中心投影中，同一燈光下，改變物體的位置和方向，其投影也跟著發生變化.在中心投影中，固定物體的位置和方向，改變燈光的位置，物體投影的方向和位置也要發生變化.
2.區別：
　　（1）太陽光線是平行的，故太陽光下的影子長度都與物體高度成比例；燈光是發散的，燈光下的影子與物體高度不一定成比例.
　　（2）同一時刻，太陽光下影子的方向總是在同一方向，而燈光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向.
知識點3 、三視圖
1 .正投影
　 正投影的定義：
　　　　　　　　　　　
　　如圖所示，圖(1)中的投影線集中于一點，形成中心投影；圖(2)(3)中，投影線互相平行，形成平行投影；圖(2)中，投影線斜著照射投影面；圖(3)中投影線垂直照射投影面(即投影線正對著投影面)，我們也稱這種情形為投影線垂直于投影面.像圖(3)這樣，投影線垂直于投影面產生的投影叫做正投影.
　　(1)線段的正投影分為三種情況.如圖所示.
　　　　　　　　　　　　　
　　 ①線段AB平行于投影面P時，它的正投影是線段A1B1，與線段AB的長相等；
　　 ②線段AB傾斜于投影面P時，它的正投影是線段A2B2，長小于線段AB的長；
　　 ③線段AB垂直于投影面P時，它的正投影是一個點.
　　(2)平面圖形正投影也分三種情況，如圖所示.
　　　　　　　　　　　　
　　 ①當平面圖形平行于投影面Q時，它的正投影與這個平面圖形的形狀、大小完全相同，即正投影與這個平面圖形全等；
　　 ②當平面圖形傾斜于投影面Q時，平面圖形的正投影與這個平面圖形的形狀、大小發生變化，即會縮小，是類似圖形但不一定相似.
　　 ③當平面圖形垂直于投影面Q時，它的正投影是直線或直線的一部分.
　　(3)立體圖形的正投影.
　　物體的正投影的形狀、大小與物體相對于投影面的位置有關，立體圖形的正投影與平行于投影面且過立體圖形的最大截面全等.
2 .三視圖
（1）.三視圖的概念
　　①視圖
　　從某一角度觀察一個物體時，所看到的圖象叫做物體的一個視圖.
　　②正面、水平面和側面
　　用三個互相垂直的平面作為投影面，其中正對我們的面叫做正面，正面下面的面叫做水平面，右邊的面叫做側面.
　　③三視圖
　　一個物體在三個投影面內同時進行正投影，在正面內得到的由前向后觀察物體的視圖，叫做主視圖；在水平面內得到的由上向下觀察物體的視圖，叫做俯視圖；在側面內得到的由左向右觀察物體的視圖，叫做左視圖.主視圖、左視圖、俯視圖叫做物體的三視圖.
（2）.三視圖之間的關系
①位置關系
　　三視圖的位置是有規定的，主視圖要在左邊，它的下方應是俯視圖，左視圖在其右邊，如圖(1)所示.
　　　　　　　　　　　　　
　　②大小關系
　　三視圖之間的大小是相互聯系的，遵循主視圖與俯視圖的長對正，主視圖與左視圖的高平齊，左視圖與俯視圖的寬相等的原則.如圖(2)所示.
知識點4 、畫幾何體的三視圖
畫圖方法：
　　畫一個幾何體的三視圖時，要從三個方面觀察幾何體，具體畫法如下：
　　(1)確定主視圖的位置，畫出主視圖；
　　(2)在主視圖的正下方畫出俯視圖，注意與主視圖“長對正”；
　　(3)在主視圖的正右方畫出左視圖，注意與主視圖“高平齊”，與俯視圖“寬相等”.
　　幾何體上被其他部分遮擋而看不見的部分的輪廓線應畫成虛線.
知識點5、由三視圖想象幾何體的形狀
由三視圖想象幾何體的形狀，首先應分別根據主視圖、俯視圖和左視圖想象主體圖的前面、上面和左側面，然后綜合起來考慮整體圖形.
三、高頻考點
考點1 平行投影
【例1-1】．在平行投影下，矩形的投影不可能是( )
A. B. C. D.
【例1-2】．下列說法正確的是( )
A.物體在陽光下的投影只與物體的高度有關
B.小明的個子比小亮高，我們可以肯定，不論什么情況，小明的影子一定比小亮的影子長.
C.物體在陽光照射下，不同時刻，影長可能發生變化，方向也可能發生變化.
D.物體在陽光照射下，影子的長度和方向都是固定不變的.
【變式1-1】．如圖是一棵小樹一天內在太陽下不同時刻的照片，將它們按時間先后順序進行排列正確的是( )
A.③—④—①—② B.②—①—④—③
C.④—①—②—③ D.④—①—③—②
【變式1-2】．日晷是我國古代利用日影測定時刻的一種計時儀器，它由“晷面”和“晷針”組成，古人常用的日晷有水平式日晷（圖1）和赤道式日晷（圖2）.其中水平式日晷的“晷針”與“晷面”的夾角就是其所在位置的地理緯度且“晷面”與地面平行；赤道式日晷的“晷面”與赤道面平行當太陽光照在日晷上時，晷針的影子就會投向晷面.隨著時間的推移，晷針的影子在晷面上慢慢地移動，以此來顯示時刻.此外，水平式日晷的“晷面”刻度不均勻，赤道式日晷的“晷面”刻度則是均勻的.
（1）如圖1，當水平式日晷放在緯度為（即）位置時，晷針與晷面的夾角為__________°.
（2）如圖3，將兩種日晷的“晷針”重合，n小時后，兩種日晷對應的時刻一致，即兩種晷“晷針”的影子所在的直線相交于點.此時，與滿足的關系式__________.
【變式1-3】．如圖，在一面與地面垂直的圍墻的同側有一根高10米的旗桿AB和一根高度未知的電線桿CD，它們都與地面垂直.為了測得電線桿的高度，一個小組的同學進行了如下測量：某一時刻，在太陽光照射下，旗桿落在圍墻上的影子EF的長度為2米，落在地面上的影子BF的長為10米，而電線桿落在圍墻上的影子GH的長度為3米，落在地面上的影子DH的長為5米.依據這些數據，該小組的同學計算出了電線桿的高度.
（1）該小組的同學在這里利用的是_________投影的有關知識進行計算的；
（2）試計算出電線桿的高度，并寫出計算的過程.
考點2 中心投影
【例2-1】．下列哪種光線形成的投影不是中心投影( )
A.臺燈 B.太陽 C.手電筒 D.路燈
【例2-2】．如圖，白熾燈正下方有一個乒乓球，當乒乓球沿豎直方向越來越遠離白熾燈時，它在地面上的影子( )
A.越來越大 B.越來越小 C.先變大后變小 D.先變小后變大
【變式2--1】．下列選項能正確反映小亮和小美在同一盞路燈的兩側站立時影子情況的是( )
A. B.
C. D.
【變式2-2】．廣場上有一個高20米的路燈，一天晚上，身高1.65米的小剛路過這里，發現自己的影長是身高的2倍，這時小剛離路燈的距離是_________米.
【變式2-3】．在一直線上有幾根竹竿.它們在同一燈光下的影子如圖所示（圖中的粗線段）.
（1）根據燈光下的影子確定光源的位置；
（2）畫出竹竿AB的影子（用線段表示）；
（3）畫出影子為CD的竹竿（用線段表示）.
考點3 視點、視角、盲區
【例3-1】．如圖，區域為駕駛員的盲區，駕駛員視線與地面的夾角，視線與地面的夾角，點為視線與車窗底端的交點，.若A點到B點的距離，則盲區中的長度是( )
(參考數據：)
A.2.6m B.2.8m C.3.4m D.4.5m
【變式3-1】．如圖，在房子屋檐E處安有一臺監視器，房子前有一面落地的廣告牌，那么監視器的盲區是( )
A. B.
C. D.四邊形
【變式3-2】．最佳視點
如圖1，設墻壁上的展品最高處點P距底面a米，最低處的點Q距底面b米，站在何處觀賞最理想？所謂觀賞理想是指看展品的視角最大，問題轉化為在水平視線EF上求使視角最大的點.
如圖2，當過P、Q、E三點的圓與過點E的水平線相切于點E時，視角最大，站在此處觀賞最理想，小明同學想這是為什么呢？他在過點E的水平線上任取異于點E的點，連接交于點F，連接，…
任務一：請按照小明的思路，說明在點E時視角最大；
任務二：若，，觀察者的眼睛距地面的距離為1.5米，最大視角為，求觀察者應該站在距離多遠的地方最理想(結果精確到0.01米，參考數據).
考點4 判斷幾何體的三視圖
【例4-1】．篆刻是中華傳統藝術之一,雕刻印章是篆刻基本功.如圖是一塊雕刻印章的材料,其俯視圖為( )
A. B. C. D.
【例4-2】．下列幾何體都是由相同的小立方體搭成的，幾何體的左視圖與其他三個不同的是( )
A. B. C. D.
【變式4-1】．如圖,是由幾個大小完全一樣的小正方體搭成的幾何體,該幾何體從左面看的形狀圖是( )
A. B.
C. D.
【變式4-2】．．如圖是平面切割正方體得到的幾何體，該幾何體的主視圖是( )
A. B. C. D.
【變式4-3】．．榫卯是古代中國建筑、家具等的主要結構方式，如圖是某個部件“卯”的實物圖，它的左視圖是( )
A. B. C. D.
考點5 畫幾何體的三視圖
【例5-1】．請按要求在方格內分別畫出從這個幾何體的三個不同方向看到的形狀圖.
【例5-2】．一個零件是由長為、高和寬都為的長方體與直徑為、高度為的半圓柱組成幾何體后，又切去直徑為的圓柱后剩下的幾何體，其實物直觀圖如圖所示，請畫出這個零件的三視圖.
【變式5-1】．從大正方體中挖去一個小正方體，得到一個如圖所示的零件，畫出該零件的三視圖.
【變式5-2】．魯班鎖,民間也稱作孔明鎖,八卦鎖,它起源于中國古代建筑中首創的榫卯結構.如圖是魯班鎖的其中一個部件,它的左視圖是( )
A. B.
C. D.
【變式5-3】．用五個相同的正方體搭成如圖所示的立體圖形,則該立體圖形的主視圖是( )
A. B. C. D.
考點6由三視圖確定幾何體
【例6-1】．如圖是一個立體圖形的三視圖，該立體圖形是( )
A.三棱柱 B.圓柱 C.三棱錐 D.圓錐
【例6-2】．如圖為某幾何體的三種視圖,這個幾何體可以是( )
A. B. C. D.
【變式6-1】．根據三視圖，描述這個物體的形狀.
變式6-2】．根據三視圖，描述這個物體的形狀.
【變式6-3】．由5個相同的小正方體搭成的物體的俯視圖如圖所示，這個物體有幾種搭法？
【變式6-4】．根據下列三視圖想象物體原形，并分別畫出物體的實物圖.
考點7 由三視圖求幾何體的表面積
【例7-1】．一個幾何體的三個視圖如圖所示(單位：cm).
(1)寫出這個幾何體的名稱：______；
(2)若其俯視圖為正方形,根據圖中數據計算這個幾何體的表面積.
【例7-2】．根據下列三視圖，求它們表示的幾何體的體積（圖中標有尺寸）.
【變式7-1】．圖（1）是由兩個長方體組成的立體圖形，圖（2）中的長方體是圖（1）中的兩個長方體的另一種擺放形式，圖①②③是從不同的方向看圖（1）所得的平面圖形.
（1）填空：圖①是從___________面看得到的平面圖形，圖②是從___________面看得到的平面圖形，圖③是從___________面看得到的平面圖形，
（2）請根據各圖中所給的信息（單位：cm），計算出圖（1）中上面的小長方體的體積.
【變式7-2】．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是( )
A. B. C. D.
【變式7-3】．．如圖，是一個底面為等邊三角形的正三棱柱和它的主視圖及俯視圖，則它的左視圖的面積是( )
A. B.8 C. D.16
【變式7-4】．．如圖，計算所給三視圖表示的幾何體的體積是_____.
人教版九年級數學下名師點撥與訓練
第28章 銳角三角函數
小結與復習
知識體系構建
二、知識點梳理
知識點1 、投影
1.投影：一般地，用光線照射物體，在某個平面(地面或墻壁等)上得到的影子，叫做物體的投影.
2.平行投影：由平行光線形成的投影
(1)等高的物體垂直地面放置時，如圖1所示，在太陽光下，它們的影子一樣長.
　　　　　　　　
　(2)等長的物體平行于地面放置時，如圖2所示，它們在太陽光下的影子一樣長，且影長等于物體本身的長度.
（3）物高與影長的關系
①在不同時刻，同一物體的影子的方向和大小可能不同.不同時刻，物體在太陽光下的影子的大小在變，方向也在改變，就北半球而言，從早晨到傍晚，物體影子的指向是：西→西北→北→東北→東，影長也是由長變短再變長.
　　②在同一時刻，不同物體的物高與影長成正比例.
　　即：.
　　利用上面的關系式可以計算高大物體的高度，比如旗桿的高度等.
　　注意：利用影長計算物高時，要注意的是測量兩物體在同一時刻的影長.
3.中心投影：若一束光線是從一點發出的，像這樣的光線照射在物體上所形成的投影，叫做中心投影.這個“點”就是中心，相當于物理上學習的“點光源”
(1)等高的物體垂直地面放置時，如圖1所示，在燈光下，離點光源近的物體它的影子短，離點光源遠的物體它的影子長.
　　　　　　　　　　　　　
　(2)等長的物體平行于地面放置時，如圖2所示.一般情況下，離點光源越近，影子越長；離點光源越遠，影子越短，但不會比物體本身的長度還短.
　　在中心投影的情況下，還有這樣一個重要結論：點光源、物體邊緣上的點以及它在影子上的對應點在同一條直線上，根據其中兩個點，就可以求出第三個點的位置.
知識點2 、平行投影與中心投影的區別與聯系
1.聯系：
　（1）中心投影、平行投影都是研究物體投影的一種，只不過平行投影是在平行光線下所形成的投影，通常的平行光線有太陽光線、月光等，而中心投影是從一點發出的光線所形成的投影，通常狀況下，燈泡的光線、手電筒的光線等都可看成是從某一點發射出來的光線.
　（2）在平行投影中，同一時刻改變物體的方向和位置，其投影也跟著發生變化；在中心投影中，同一燈光下，改變物體的位置和方向，其投影也跟著發生變化.在中心投影中，固定物體的位置和方向，改變燈光的位置，物體投影的方向和位置也要發生變化.
2.區別：
　　（1）太陽光線是平行的，故太陽光下的影子長度都與物體高度成比例；燈光是發散的，燈光下的影子與物體高度不一定成比例.
　　（2）同一時刻，太陽光下影子的方向總是在同一方向，而燈光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向.
知識點3 、三視圖
1 .正投影
　 正投影的定義：
　　　　　　　　　　　
　　如圖所示，圖(1)中的投影線集中于一點，形成中心投影；圖(2)(3)中，投影線互相平行，形成平行投影；圖(2)中，投影線斜著照射投影面；圖(3)中投影線垂直照射投影面(即投影線正對著投影面)，我們也稱這種情形為投影線垂直于投影面.像圖(3)這樣，投影線垂直于投影面產生的投影叫做正投影.
　　(1)線段的正投影分為三種情況.如圖所示.
　　　　　　　　　　　　　
　　 ①線段AB平行于投影面P時，它的正投影是線段A1B1，與線段AB的長相等；
　　 ②線段AB傾斜于投影面P時，它的正投影是線段A2B2，長小于線段AB的長；
　　 ③線段AB垂直于投影面P時，它的正投影是一個點.
　　(2)平面圖形正投影也分三種情況，如圖所示.
　　　　　　　　　　　　
　　 ①當平面圖形平行于投影面Q時，它的正投影與這個平面圖形的形狀、大小完全相同，即正投影與這個平面圖形全等；
　　 ②當平面圖形傾斜于投影面Q時，平面圖形的正投影與這個平面圖形的形狀、大小發生變化，即會縮小，是類似圖形但不一定相似.
　　 ③當平面圖形垂直于投影面Q時，它的正投影是直線或直線的一部分.
　　(3)立體圖形的正投影.
　　物體的正投影的形狀、大小與物體相對于投影面的位置有關，立體圖形的正投影與平行于投影面且過立體圖形的最大截面全等.
2 .三視圖
（1）.三視圖的概念
　　①視圖
　　從某一角度觀察一個物體時，所看到的圖象叫做物體的一個視圖.
　　②正面、水平面和側面
　　用三個互相垂直的平面作為投影面，其中正對我們的面叫做正面，正面下面的面叫做水平面，右邊的面叫做側面.
　　③三視圖
　　一個物體在三個投影面內同時進行正投影，在正面內得到的由前向后觀察物體的視圖，叫做主視圖；在水平面內得到的由上向下觀察物體的視圖，叫做俯視圖；在側面內得到的由左向右觀察物體的視圖，叫做左視圖.主視圖、左視圖、俯視圖叫做物體的三視圖.
（2）.三視圖之間的關系
①位置關系
　　三視圖的位置是有規定的，主視圖要在左邊，它的下方應是俯視圖，左視圖在其右邊，如圖(1)所示.
　　　　　　　　　　　　　
　　②大小關系
　　三視圖之間的大小是相互聯系的，遵循主視圖與俯視圖的長對正，主視圖與左視圖的高平齊，左視圖與俯視圖的寬相等的原則.如圖(2)所示.
知識點4 、畫幾何體的三視圖
畫圖方法：
　　畫一個幾何體的三視圖時，要從三個方面觀察幾何體，具體畫法如下：
　　(1)確定主視圖的位置，畫出主視圖；
　　(2)在主視圖的正下方畫出俯視圖，注意與主視圖“長對正”；
　　(3)在主視圖的正右方畫出左視圖，注意與主視圖“高平齊”，與俯視圖“寬相等”.
　　幾何體上被其他部分遮擋而看不見的部分的輪廓線應畫成虛線.
知識點5、由三視圖想象幾何體的形狀
由三視圖想象幾何體的形狀，首先應分別根據主視圖、俯視圖和左視圖想象主體圖的前面、上面和左側面，然后綜合起來考慮整體圖形.
三、高頻考點
考點1 平行投影
【例1-1】．在平行投影下，矩形的投影不可能是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：因為矩形的投影是在平行投影下，所以對邊平行或重合成一條線段，故選項A錯誤.故選A.
【例1-2】．下列說法正確的是( )
A.物體在陽光下的投影只與物體的高度有關
B.小明的個子比小亮高，我們可以肯定，不論什么情況，小明的影子一定比小亮的影子長.
C.物體在陽光照射下，不同時刻，影長可能發生變化，方向也可能發生變化.
D.物體在陽光照射下，影子的長度和方向都是固定不變的.
答案：C
解析：A、物體在陽光下的投影不只與物體的高度有關，還與時刻有關，錯誤；
B、小明的個子比小亮高，在不同的時間，小明的影子可能比小亮的影子短，錯誤；
C、不同時刻物體在太陽光下的影子的大小在變，方向也在改變，正確；
D、不同時刻物體在太陽光下的影子的大小在變，方向也在改變，錯誤.
故選：C.
【變式1-1】．如圖是一棵小樹一天內在太陽下不同時刻的照片，將它們按時間先后順序進行排列正確的是( )
A.③—④—①—② B.②—①—④—③
C.④—①—②—③ D.④—①—③—②
答案：B
解析：眾所周知，影子方向的變化是上午時朝向西邊，中午時朝向北邊，下午時朝向東邊；
影子長短的變化是由長變短再變長，結合方向和長短的變化即可得出答案
故選：B.
【變式1-2】．日晷是我國古代利用日影測定時刻的一種計時儀器，它由“晷面”和“晷針”組成，古人常用的日晷有水平式日晷（圖1）和赤道式日晷（圖2）.其中水平式日晷的“晷針”與“晷面”的夾角就是其所在位置的地理緯度且“晷面”與地面平行；赤道式日晷的“晷面”與赤道面平行當太陽光照在日晷上時，晷針的影子就會投向晷面.隨著時間的推移，晷針的影子在晷面上慢慢地移動，以此來顯示時刻.此外，水平式日晷的“晷面”刻度不均勻，赤道式日晷的“晷面”刻度則是均勻的.
（1）如圖1，當水平式日晷放在緯度為（即）位置時，晷針與晷面的夾角為__________°.
（2）如圖3，將兩種日晷的“晷針”重合，n小時后，兩種日晷對應的時刻一致，即兩種晷“晷針”的影子所在的直線相交于點.此時，與滿足的關系式__________.
答案：（1）
（2）
解析：（1）水平式日晷的“晷針”與“晷面”的夾角就是其所在位置的地理緯度，
當水平式日晷放在緯度為（即）位置時，晷針與晷面的夾角為；
故答案為：；
（2）過點作于點E，如圖所示：
則，
，
根據題意可知，赤道日晷的晷面與晷針垂直，
，
，
，
，
根據平行投影可知，當12點時，點在水平方向的投影為點E，經過n小時后，的投影在上，因此，
，
.
故答案為：.
【變式1-3】．如圖，在一面與地面垂直的圍墻的同側有一根高10米的旗桿AB和一根高度未知的電線桿CD，它們都與地面垂直.為了測得電線桿的高度，一個小組的同學進行了如下測量：某一時刻，在太陽光照射下，旗桿落在圍墻上的影子EF的長度為2米，落在地面上的影子BF的長為10米，而電線桿落在圍墻上的影子GH的長度為3米，落在地面上的影子DH的長為5米.依據這些數據，該小組的同學計算出了電線桿的高度.
（1）該小組的同學在這里利用的是_________投影的有關知識進行計算的；
（2）試計算出電線桿的高度，并寫出計算的過程.
答案：（1）平行
（2）7米
解析：（1）平行
（2）如圖，過點E作于點M，過點G作于點N.
則米，米，米，米，（米）.由平行投影的性質可知，即，米，即電線桿的高度為7米.
考點2 中心投影
【例2-1】．下列哪種光線形成的投影不是中心投影( )
A.臺燈 B.太陽 C.手電筒 D.路燈
答案：B
解析：中心投影的光源為蠟燭、臺燈、路燈這樣的光，而平行投影的光源為太陽光與月光，由此可得形成的投影不是中心投影的是太陽，
故答案選擇：B.
【例2-2】．如圖，白熾燈正下方有一個乒乓球，當乒乓球沿豎直方向越來越遠離白熾燈時，它在地面上的影子( )
A.越來越大 B.越來越小 C.先變大后變小 D.先變小后變大
答案：B
解析：根據中心投影的特點，當乒乓球沿豎直方向越來越遠離白熾燈時，它在地面上的影子越來越小，
故選：B.
【變式2--1】．下列選項能正確反映小亮和小美在同一盞路燈的兩側站立時影子情況的是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：小亮和小美在同一盞路燈的兩側站立時影子情況應如圖所示：
故選D.
【變式2-2】．廣場上有一個高20米的路燈，一天晚上，身高1.65米的小剛路過這里，發現自己的影長是身高的2倍，這時小剛離路燈的距離是_________米.
答案：36.7
解析：如圖，由題意可得米，米，米，
，.設米，則米，，解得，小剛離路燈的距離是36.7米.
【變式2-3】．在一直線上有幾根竹竿.它們在同一燈光下的影子如圖所示（圖中的粗線段）.
（1）根據燈光下的影子確定光源的位置；
（2）畫出竹竿AB的影子（用線段表示）；
（3）畫出影子為CD的竹竿（用線段表示）.
答案：（1）見解析
（2）見解析
（3）見解析
解析：（1）如圖，點P即為光源所在的位置.
（2）BE即為竹竿AB的影子.
（3）CF是影子為CD的竹竿.
考點3 視點、視角、盲區
【例3-1】．如圖，區域為駕駛員的盲區，駕駛員視線與地面的夾角，視線與地面的夾角，點為視線與車窗底端的交點，.若A點到B點的距離，則盲區中的長度是( )
(參考數據：)
A.2.6m B.2.8m C.3.4m D.4.5m
答案：B
解析：本題考查解直角三角形的實際應用、矩形的判定和性質.
，
∴四邊形為矩形.
由題意得，
.
，故選B.
【變式3-1】．如圖，在房子屋檐E處安有一臺監視器，房子前有一面落地的廣告牌，那么監視器的盲區是( )
A. B.
C. D.四邊形
答案：C
解析：由圖知：在視點E的位置，看不到段，因此監視器的盲區在所在的區域，
故選：C.
【變式3-2】．最佳視點
如圖1，設墻壁上的展品最高處點P距底面a米，最低處的點Q距底面b米，站在何處觀賞最理想？所謂觀賞理想是指看展品的視角最大，問題轉化為在水平視線EF上求使視角最大的點.
如圖2，當過P、Q、E三點的圓與過點E的水平線相切于點E時，視角最大，站在此處觀賞最理想，小明同學想這是為什么呢？他在過點E的水平線上任取異于點E的點，連接交于點F，連接，…
任務一：請按照小明的思路，說明在點E時視角最大；
任務二：若，，觀察者的眼睛距地面的距離為1.5米，最大視角為，求觀察者應該站在距離多遠的地方最理想(結果精確到0.01米，參考數據).
答案：任務一：見解析
任務二：觀察者應該站在距離0.87米的地方最理想
解析：任務一：過點E的水平線上任取異于點E的點，連接交于點F，連接，
是的外角，
，
又與都是弧所對的圓周角，
，
，
在點E時視角最大.
任務二：，
，
又，
是等邊三角形，.
如圖2，連接，
是的切線，
，
，
，
，
又，
四邊形是平行四邊形，
，
.
由題意得，(米)，
在中，(米).
答：觀察者應該站在距離0.87米的地方最理想.
考點4 判斷幾何體的三視圖
【例4-1】．篆刻是中華傳統藝術之一,雕刻印章是篆刻基本功.如圖是一塊雕刻印章的材料,其俯視圖為( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：
【例4-2】．下列幾何體都是由相同的小立方體搭成的，幾何體的左視圖與其他三個不同的是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：
【變式4-1】．如圖,是由幾個大小完全一樣的小正方體搭成的幾何體,該幾何體從左面看的形狀圖是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：從左邊看,底層是兩個小正方形,上層的左邊是一個小正方形,
故選：B.
【變式4-2】．．如圖是平面切割正方體得到的幾何體，該幾何體的主視圖是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：
【變式4-3】．．榫卯是古代中國建筑、家具等的主要結構方式，如圖是某個部件“卯”的實物圖，它的左視圖是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：從左邊看到的平面圖形是，
故選：D.
考點5 畫幾何體的三視圖
【例5-1】．請按要求在方格內分別畫出從這個幾何體的三個不同方向看到的形狀圖.
答案：作圖見解析
解析：從正面可以看到5個正方形,分3列,依次為3個,1個,1個,
所以從正面看的主視圖為：
從左面可以看到4個正方形,分2列,依次為3個,1個,
所以從左面看的左視圖為：
從上面可以看到4個正方形,分3列,依次為1個,2個,1個,
所以從上面看的俯視圖為：
【例5-2】．一個零件是由長為、高和寬都為的長方體與直徑為、高度為的半圓柱組成幾何體后，又切去直徑為的圓柱后剩下的幾何體，其實物直觀圖如圖所示，請畫出這個零件的三視圖.
答案：見解析
解析：三視圖如圖所示：
【變式5-1】．從大正方體中挖去一個小正方體，得到一個如圖所示的零件，畫出該零件的三視圖.
答案：見解析
解析：如圖：
【變式5-2】．魯班鎖,民間也稱作孔明鎖,八卦鎖,它起源于中國古代建筑中首創的榫卯結構.如圖是魯班鎖的其中一個部件,它的左視圖是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：從左邊看,是一個矩形,矩形的中間有一條橫向的虛線.
故選：D.
【變式5-3】．用五個相同的正方體搭成如圖所示的立體圖形,則該立體圖形的主視圖是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：解：根據主視圖的意義可知，從正面看到四個正方形，
故選：B.
考點6由三視圖確定幾何體
【例6-1】．如圖是一個立體圖形的三視圖，該立體圖形是( )
A.三棱柱 B.圓柱 C.三棱錐 D.圓錐
答案：D
解析：由主視圖和左視圖為三角形判斷出是錐體，
根據俯視圖是圓可判斷出這個幾何體應該是圓錐.
故選：D.
【例6-2】．如圖為某幾何體的三種視圖,這個幾何體可以是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：根據幾何體的三視圖,只有A選項符合題意；
故選：A.
【變式6-1】．根據三視圖，描述這個物體的形狀.
答案：這個物體是正六棱柱
解析：
變式6-2】．根據三視圖，描述這個物體的形狀.
答案：見解析
解析：該物體由六個小正方體構成，只有一排，最底層是三個小正方體，中間一層是兩個小正方體，且這兩個小正方體靠右放置，上面一層是一個小正方體，且靠右放置（如圖所示）.
【變式6-3】．由5個相同的小正方體搭成的物體的俯視圖如圖所示，這個物體有幾種搭法？
答案：3種
解析：這個物體的搭法有3種，如圖所示.
【變式6-4】．根據下列三視圖想象物體原形，并分別畫出物體的實物圖.
答案：見解析
解析：圖（1）、圖（2）的物體的實物圖如下所示：
考點7 由三視圖求幾何體的表面積
【例7-1】．一個幾何體的三個視圖如圖所示(單位：cm).
(1)寫出這個幾何體的名稱：______；
(2)若其俯視圖為正方形,根據圖中數據計算這個幾何體的表面積.
答案：(1)長方體或四棱柱
(2)
解析：(1)∵這個立方體的三視圖都是長方形,
∴這個立方體是長方體或四棱柱.
(2)由三視圖知該長方體的表面積：.
【例7-2】．根據下列三視圖，求它們表示的幾何體的體積（圖中標有尺寸）.
答案：（1）
（2）
解析：（1）由三視圖知該幾何體由兩個圓柱組成，其中小圓柱在大圓柱的正上方.
，，
故.
（2）由三視圖知該幾何體的體積為一個長方體和一個半圓柱的體積和.
，
，
故.
【變式7-1】．圖（1）是由兩個長方體組成的立體圖形，圖（2）中的長方體是圖（1）中的兩個長方體的另一種擺放形式，圖①②③是從不同的方向看圖（1）所得的平面圖形.
（1）填空：圖①是從___________面看得到的平面圖形，圖②是從___________面看得到的平面圖形，圖③是從___________面看得到的平面圖形，
（2）請根據各圖中所給的信息（單位：cm），計算出圖（1）中上面的小長方體的體積.
答案：（1）正或后；上；左或右
（2）
解析：（1）正或后；上；左或右
（2）由題圖可得解得所以題圖（1）中上面的小長方體的長、寬、高分別為，，，所以，即題圖（1）中上面的小長方體的體積為.
【變式7-2】．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：由三視圖知該幾何體是三棱柱與半圓柱的組合體，且三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，三棱柱的高為2；半圓柱的底面半徑為1，高為2，該幾何體的體積為
.故選D.
【變式7-3】．．如圖，是一個底面為等邊三角形的正三棱柱和它的主視圖及俯視圖，則它的左視圖的面積是( )
A. B.8 C. D.16
答案：C
解析：由三視圖可知：底面等邊三角形的邊長為4，該幾何體的高為4，
該幾何體的左視圖為長方形，
該長方形的長為該幾何體的高4，寬為底面等邊三角形的高，
底面等邊三角形的高=，
它的左視圖的面積是，
故選：C.
【變式7-4】．．如圖，計算所給三視圖表示的幾何體的體積是_____.
答案：
解析：由三視圖可知幾何體是下部為底面半徑為4，高為8的圓柱，上部是底面半徑為2，高為2的圓柱，
所以所求幾何體的體積為：；
故答案為：.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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