資源簡介

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人教版九年級數學下名師點撥與訓練
第28章 銳角三角函數
29.1 投影
學習目標：
1、理解投影的有關概念，能根據光線的方向辨認物體的投影。
2、理解平行投影和中心投影的區別與聯系。
3、理解正投影概念，理解現實生活中影子的現象，學會用數學知識嘗試解答。
學習重點：理解平行投影、中心投影、正投影的特征。
學習難點：在投影面上畫出平面圖形的平行投影、中心投影、正投影。
老師告訴你
物體正投影的投影規律：當物體的某個面平行于投影面時，這個面的正投影與這個面的形狀、大小完全相同，并且物體正投影的形狀、大小與它相對于投影面的位置有關.
規律：1.線段正投影的投影規律：平行長不變，傾斜長縮短，垂直成一點
2.平面圖形正投影的投影規律：平行形不變，傾斜形改變，垂直成線段.
一、知識點撥
知識點1 、 平行投影
1.投影的概念：
一般地，用光線照射物體，在某個平面（地面、墻壁等）上得到的影子叫做物體的投影.照射光線叫做投影線，投影所在的平面叫做投影面
2.平行投影：由平行光線所形成的投影稱為平行投影.
注意：平行投影中物體與投影面平行時的投影是全等的．
判斷投影是平行投影的方法是看光線是否是平行的．如果光線是平行的，所得到的投影就是平行投影．
【新知導學】
例1-1．下面四幅圖是某校園內一棵小樹不同時刻在太陽光下的影子，按照時間的先后順序排列，是　 　.
例1-2．在太陽光的照射下，擺動一張正方形卡片，它在地面上的投影可能是什么圖形
【對應導練】
1．如圖，有甲、乙兩根木桿，線段AB是甲木桿的投影，在圖中畫出形成投影的太陽光線及乙木桿的投影.
2．下列投影是平行投影的是（　　）
A．太陽光下窗戶的影子 B．臺燈下書本的影子
C．在手電筒照射下紙片的影子 D．路燈下行人的影子
3．已知，如圖，AB和DE是直立在地面上的兩根立柱AB=6m，某一時刻AB在太陽光下的投影BC=3m．
（1）請你在圖中畫出此時DE在太陽光下的投影EF；
（2）在測量AB的投影時，同時測量出DE在太陽光下的投影EF長為6m，請你計算DE的長．
4．在數學活動課上，老師帶領數學小組測量大樹的高度.如圖，數學小組發現大樹離教學樓，大樹的影子有一部分落在地面上，還有一部分落在教學樓的墻上，墻上的影子長為，已知此時高的竹竿在水平地面上的影子長，那么這棵大樹高度是多少？
知識點2 、中心投影
1.中心投影：由同一點（點光源）發出的光線形成的投影叫做中心投影．如物體在燈光的照射下形成的影子就是中心投影．
2.中心投影的光線特點是從一點出發的投射線．物體與投影面平行時的投影是放大（即位似變換）的關系．
3.判斷投影是中心投影的方法是看光線是否相交于一點，如果光線是相交于一點，那么所得到的投影就是中心投影。
4.視點、視角和盲區
（1）把觀察者所處的位置定為一點，叫視點．
（2）人眼到視平面的距離視固定的（視距），視平面左右兩個邊緣到人眼的連線得到的角度就是視角．
（3）盲區：視線到達不了的區域為盲區
【新知導學】
例2-1．下列現象屬于中心投影的有（　　）
①小孔成像； ②皮影戲；③手影； ④放電影.
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
例2-2．某公園一角有一盞地面射燈照在一棵樹上，樹的影子投在墻上.已知樹高1m，樹與墻之間的距離為10m，與射燈之間的距離為5m.求樹在墻上的影長.
【對應導練】
1． 如圖，路燈下一墻墩（用線段表示）的影子是，小明（用線段表示）的影子是，在M處有一棵大樹，它在這個路燈下的影子是．
（1）在圖中畫出路燈的位置并用點P表示；
（2）在圖中畫出表示大樹的線段．
2．如圖所示，小紅想利用竹竿來測量旗桿AB的高度，在某一時刻測得1米長的竹竿豎直放置時影長2米，在同時刻測量旗桿的影長時，旗桿的影子一部分落在地面上（BC），另一部分落在斜坡上（CD），他測得落在地面上的影長為10米，落在斜坡上的影長為4 米，∠DCE＝45°，求旗桿AB的高度？
3．如圖，身高 米的小明站在距路燈底部O點10米的點A處，他的身高 線段 在路燈下的影子為線段AM，已知路燈燈桿OQ垂直于路面．
（1）在OQ上畫出表示路燈燈泡位置的點P；
（2）小明沿AO方向前進到點C，請畫出此時表示小明影子的線段CN；
（3）若 米，求路燈燈泡P到地面的距離．
知識點3 、正投影的概念
1.正投影：在平行投影中，投影線垂直于投影面產生的投影叫做正投影
2.正投影的規律
物體正投影的投影規律：當物體的某個面平行于投影面時，這個面的正投影與這個面的形狀、大小完全相同，并且物體正投影的形狀、大小與它相對于投影面的位置有關.
規律：（1）.線段正投影的投影規律：平行長不變，傾斜長縮短，垂直成一點
（2）.平面圖形正投影的投影規律：平行形不變，傾斜形改變，垂直成線段.
3.畫幾何體的正投影
物體正投影的形狀、大小與它相對于投影面的位置有關
【新知導學】
例3-1．當投影線由上到下照射水杯時，如圖所示，那么水杯的正投影是（　　）
A． B．
C． D．
例3-2．一個長方形的正投影的形狀、大小與原長方形完全一樣，則這個長方形　 　投影面；一個長方形的正投影的形狀、大小都發生了變化，則這個長方形　 　投影面.
【對應導練】
1．已知一紙板的形狀為正方形ABC D(如圖)，其邊長為10cm，AD、BC與投影面β平行，AB、C D與投影面不平行，正方形在投影面β上的正投影為A1B1C1D1，若∠AB B1=45°，求正投影A1B 1C1D1的面積.
2．幾何體在平面P的正投影，取決于（　　）
①幾何體形狀；②投影面與幾何體的位置關系；③投影面P的大小
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
3．把一個正五棱柱如圖擺放，當投射線由正前方射到后方時，它的正投影是（　　）
A． B． C． D．
題型訓練
利用平行投影求物體高度
1．小王的身高是，在太陽光線下，他的影長是.
（1）小明的身高是，求同一時刻小明的影長(精確到).
（2）同一時刻旗桿的影長是，求旗桿的高.
2．據傳說，古希臘數學家、天文學家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的頂部立一根木桿，借助太陽光線構成兩個相似三角形，來測量金字塔的高度．如圖，木桿長，它的影長為，測得為，求金字塔的高度．
3．如圖所示，太陽光與地面成60°角，一顆傾斜的大樹在地面上所成的角為30°，這時測得大樹在地面上的影長約為10m，試求此大樹的長約是多少？（得數保留整數）
利用中心投影與相似解決生活問題
4．如圖分別是兩根木棒及其影子的情形．
（1）哪個圖反映了太陽光下的情形？哪個圖反映了路燈下的情形？
（2）在太陽光下，已知小明的身高是1.8米，影長是1.2米，旗桿的影長是4米，求旗桿的高；
（3）請在圖中分別畫出表示第三根木棒的影長的線段．
5．如圖，在一間黑屋里用一白熾燈照射一個球，
（1）球在地面上的陰影是什么形狀？
（2）當把白熾燈向上移時，陰影的大小會怎樣變化？
（3）若白熾燈到球心距離為1米，到地面的距離是3米，球的半徑是0.2米，求球在地面上陰影的面積是多少？
6．高高的路燈掛在路邊的上方，高傲而明亮，小明拿著一根2米長的竹竿，想量一量路燈的高度，直接量是不可能的．于是，他走到路燈旁的一個地方，豎起竹竿（即AE），這時，他量了一下竹竿的影長（AC）正好是1米，他沿著影子的方向走，向遠處走出兩根竹竿的長度（即AB=4米），他又豎起竹竿，這時竹竿的影長正好是一根竹竿的長度（即BD=2米）．此時，小明抬頭瞧瞧路燈，若有所思地說：“噢，我知道路燈有多高了！”同學們，請你和小明一起解答這個問題：
（1）在圖中作出路燈O的位置，并作OP⊥l于P．
（2）求出路燈O的高度，并說明理由．
正投影與作圖
7 .畫出下列立體圖形投影線從上方射向下方的正投影．
8 .畫出如圖擺放的正方體在投影面P上的正投影．
(1) 正方體的一個面ABCD平行于投影面P；
(2) 正方體的一個面ABCD傾斜于投影面P，底面ADEF垂直于投影面P，并且其對角線AE垂直于投影面P．
【答案】見解析。
【解析】如圖所示：
三、課堂達標
一、選擇題（每小題4分，共32分）
1．晚上小亮在路燈下散步，在小亮從遠處走到燈下，再遠離路燈這一過程中，他在地上的影子（　　）
A．逐漸變短 B．先變短后變長
C．先變長后變短 D．逐漸變長
2．如圖，箭頭表示投影線的方向，則圖中圓柱體的正投影是（　　）
A．圓 B．圓柱 C．梯形 D．矩形
3．下面四幅圖是兩個物體不同時刻在太陽光下的影子，按照時間的先后順序正確的是（　　）
A．A B C D B．D B C A
C．C D A B D．A C B D
4．兩個人的影子在兩個相反的方向，這說明（　　）
A．他們站在陽光下 B．他們站在路燈下
C．他們站在路燈的兩側 D．他們站在月光下
5．如圖，晚上小亮在路燈下散步，他從A處向著路燈燈柱方向徑直走到B處，這一過程中他在該路燈燈光下的影子(　　)
A．逐漸變短 B．逐漸變長
C．先變短后變長 D．先變長后變短
6．如圖，燈光與影子的位置最合理的是（　　）
A． B．
C． D．
7．圓桌上方的燈泡（看作一個點）發出的光線照射桌面后，在地面上形成陰影，如圖，已知桌面的直徑1.2米，桌面距離地面1米，若燈泡距離地面3米，則地面上陰影部分的面積為（　　）
A．0.36π平方米 B．0.81π平方米
C．2π平方米 D．3.24π平方米
8．春分時日，小彬上午9：00出去，測量了自己的影長，出去了一段時間之后，回來時，他發現這時的影長和上午出去時的影長一樣長，則小彬出去的時間大約是（　　）小時．
A．2 B．4 C．6 D．8
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．如圖，地面A處有一支燃燒的蠟燭(長度不計)，一個人在A與墻BC之間運動，則他在墻上的投影長度隨著他離墻的距離變小而　 　 (填“變大”、“變小”或“不變”).
10．在數學活動課上，老師帶領數學小組測量大樹 的高度．如圖，數學小組發現大樹離教學樓有5m，高1.4m的竹竿在水平地面的影子長1m，此時大樹的影子有一部分映在地面上，還有一部分映在教學樓的墻上，墻上的影子離 為2m，那么這棵大樹高　 　m．
11．如圖，林林在A時測得某樹的影長為2 m，B時又測得該樹的影長為8 m，若兩次日照的光線互相垂直，則該樹的高度為　 　
12．如圖所示，該小組發現8米高旗桿DE的影子EF落在了包含一圓弧型小橋在內的路上，于是他們開展了測算小橋所在圖的半徑的活動．小剛身高1.6米，測得其影長為2.4米，同時測得EG的長為3米，HF的長為1米，測得拱高（弧GH的中點到弦GH的距離，即MN的長）為2米，則小橋所在圓的半徑為　 　 m
13．如圖：（A）（B）（C）（D）是一天中四個不同時刻的木桿在地面上的影子，將它們按時間先后順序進行排列，為　 　 ．
三、解答題（每小題8分，共48分）
14．如圖，AB表示一個窗戶的高，AM和BN表示射人室內的光線，窗戶的下端到地面的距離BC=1m．已知某一時刻BC在地面的影長CN=1.5m，AC在地面的影長CM=4.5m，求窗戶的高度AB．
15．如圖，樹、紅旗、人在同一直線上，已知人的影子為AB，樹的影子為CD，確定光源的位置并畫出旗桿的影子．
16．如圖，一墻墩（用線段AB表示）的影子是BC，小明（用線段DE表示）的影子是EF，在M處有一顆大樹，它的影子是MN．
（1）試判斷是路燈還是太陽光產生的影子，如果是路燈產生的影子確定路燈的位置（用點P表示）．如果是太陽光請畫出光線．
（2）在圖中畫出表示大樹高的線段．
17．如圖，S為一個點光源，照射在底面半徑和高都為2m的圓錐體上，在地面上形成的影子為EB，且∠SBA=30°．（以下計算結果都保留根號）
（1）求影子EB的長；
（2）若∠SAC=60°，求光源S離開地面的高度．
18．與一盞路燈相對，有一玻璃幕墻，幕墻前面的地面上有一盆花和一棵樹．晚上，幕墻反射路燈燈光形成了那盆花的影子（如圖所示），樹影是路燈燈光形成的．請你確定此時路燈光源的位置．
19．已知如圖，AB和DE是直立在地面上的兩根立柱，AB=5m，某一時刻AB在陽光下的投影BC=2m．
（1）請你畫出此時DE在陽光下的投影；
（2）在測量AB的投影時，同時測量出DE在陽光下的投影長為4m，請你計算DE的長．
人教版九年級數學下名師點撥與訓練
第28章 銳角三角函數
29.1 投影
學習目標：
1、理解投影的有關概念，能根據光線的方向辨認物體的投影。
2、理解平行投影和中心投影的區別與聯系。
3、理解正投影概念，理解現實生活中影子的現象，學會用數學知識嘗試解答。
學習重點：理解平行投影、中心投影、正投影的特征。
學習難點：在投影面上畫出平面圖形的平行投影、中心投影、正投影。
老師告訴你
物體正投影的投影規律：當物體的某個面平行于投影面時，這個面的正投影與這個面的形狀、大小完全相同，并且物體正投影的形狀、大小與它相對于投影面的位置有關.
規律：1.線段正投影的投影規律：平行長不變，傾斜長縮短，垂直成一點
2.平面圖形正投影的投影規律：平行形不變，傾斜形改變，垂直成線段.
一、知識點撥
知識點1 、 平行投影
1.投影的概念：
一般地，用光線照射物體，在某個平面（地面、墻壁等）上得到的影子叫做物體的投影.照射光線叫做投影線，投影所在的平面叫做投影面
2.平行投影：由平行光線所形成的投影稱為平行投影.
注意：平行投影中物體與投影面平行時的投影是全等的．
判斷投影是平行投影的方法是看光線是否是平行的．如果光線是平行的，所得到的投影就是平行投影．
【新知導學】
例1-1．下面四幅圖是某校園內一棵小樹不同時刻在太陽光下的影子，按照時間的先后順序排列，是　 　.
【答案】③④①②
【知識點】平行投影
【解析】【解答】解：根據平行投影的特點和規律可知，③，④是上午，①，②是下午，
根據影子的長度可知先后為③④①②．
故答案為：③④①②．
【分析】我們國家在北半球，從早晨到傍晚物體的影子的指向是：西、西北、北、東北、東，影長由長變短，再變長．
例1-2．在太陽光的照射下，擺動一張正方形卡片，它在地面上的投影可能是什么圖形
【答案】解：在太陽光的照射下，擺動一張正方形卡片，它在地面上的投影可能正方形、長方形、菱形、平行四邊形或一條直線．
【知識點】平行投影
【解析】【分析】利用平行投影的性質思考解題即可．
【對應導練】
1．如圖，有甲、乙兩根木桿，線段AB是甲木桿的投影，在圖中畫出形成投影的太陽光線及乙木桿的投影.
【答案】解：如圖所示：
【知識點】平行投影；作圖-平行線
【解析】【分析】已知線段AB是甲木桿的投影，連接甲桿的頂端與B即可得到太陽光線，再根據太陽光線互相平行，過乙的頂端做剛才得到太陽光線的平行線.
2．下列投影是平行投影的是（　　）
A．太陽光下窗戶的影子 B．臺燈下書本的影子
C．在手電筒照射下紙片的影子 D．路燈下行人的影子
【答案】A
【知識點】平行投影
【解析】【解答】A、太陽光下窗戶的影子，是平行投影，故本選項正確；B、臺燈下書本的影子是中心投影，故本選項錯誤；C、在手電筒照射下紙片的影子是中心投影，故本選項錯誤；D、路燈下行人的影子是中心投影，故本選項錯誤；故選A．
【分析】可根據平行投影的特點分析求解，或根據常識直接確定答案即可．
3．已知，如圖，AB和DE是直立在地面上的兩根立柱AB=6m，某一時刻AB在太陽光下的投影BC=3m．
（1）請你在圖中畫出此時DE在太陽光下的投影EF；
（2）在測量AB的投影時，同時測量出DE在太陽光下的投影EF長為6m，請你計算DE的長．
【答案】（1）連接AC，過點D作DF∥AC，交直線BC于點F，線段EF即為DE的投影，如圖；
（2）∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE．
∵∠ABC=∠DEF=90°，
∴△ABC∽△DEF，
∴=，即=
∴DE=12（m）．
【知識點】相似三角形的應用；平行投影
【解析】【分析】（1）根據太陽光線為平行光線，連結AC，然后過D點作AC的平行線交BC于E即可；
（2）證明△ABC∽△DEF，利用相似比計算DE的長．
4．在數學活動課上，老師帶領數學小組測量大樹的高度.如圖，數學小組發現大樹離教學樓，大樹的影子有一部分落在地面上，還有一部分落在教學樓的墻上，墻上的影子長為，已知此時高的竹竿在水平地面上的影子長，那么這棵大樹高度是多少？
【答案】解：如圖所示，過作于，
則，.
同一時刻物高和影長成正比，
，
，
，
答：這棵大樹高為.
【知識點】平行投影
【解析】【分析】 過D作DE⊥AB于E， 在BE=CD=2m，DE=BC=5m，進而根據同一時刻物高和影長成正比建立方程，求解即可.
知識點2 、中心投影
1.中心投影：由同一點（點光源）發出的光線形成的投影叫做中心投影．如物體在燈光的照射下形成的影子就是中心投影．
2.中心投影的光線特點是從一點出發的投射線．物體與投影面平行時的投影是放大（即位似變換）的關系．
3.判斷投影是中心投影的方法是看光線是否相交于一點，如果光線是相交于一點，那么所得到的投影就是中心投影。
4.視點、視角和盲區
（1）把觀察者所處的位置定為一點，叫視點．
（2）人眼到視平面的距離視固定的（視距），視平面左右兩個邊緣到人眼的連線得到的角度就是視角．
（3）盲區：視線到達不了的區域為盲區
【新知導學】
例2-1．下列現象屬于中心投影的有（　　）
①小孔成像； ②皮影戲；③手影； ④放電影.
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】D
【知識點】中心投影
【解析】【解答】解：根據中心投影的定義可知答案為：D，
故答案為：D.
【分析】中心投影：若一束光線是從一點發出的，像這樣的光線照射在物體上所形成的投影，叫做中心投影。這個“點”就是中心，生活中能形成中心投影的點光源主要有手電筒、路燈、臺燈、投影儀的燈光、放映機的燈光等。由此可得出答案.
例2-2．某公園一角有一盞地面射燈照在一棵樹上，樹的影子投在墻上.已知樹高1m，樹與墻之間的距離為10m，與射燈之間的距離為5m.求樹在墻上的影長.
【答案】∵樹高：影子長=燈與樹距離：燈與墻的距離，
∴1：影子長=5：15，解得，影子長=3m.
【知識點】中心投影
【解析】【分析】根據中心投影的概念，列出比例式求解.
【對應導練】
1． 如圖，路燈下一墻墩（用線段表示）的影子是，小明（用線段表示）的影子是，在M處有一棵大樹，它在這個路燈下的影子是．
（1）在圖中畫出路燈的位置并用點P表示；
（2）在圖中畫出表示大樹的線段．
【答案】（1）解：見解析：如圖，點P即為所求，
（2）解：見解析：如圖，線段即為所求．
【知識點】中心投影
【解析】【解答】解：
【分析】 （1）連接CA、FD并延長，交點即為路燈P的位置；
（2）連接PN，過點M作MQ⊥MN交PN于Q，MQ即為表示大樹的線段．
2．如圖所示，小紅想利用竹竿來測量旗桿AB的高度，在某一時刻測得1米長的竹竿豎直放置時影長2米，在同時刻測量旗桿的影長時，旗桿的影子一部分落在地面上（BC），另一部分落在斜坡上（CD），他測得落在地面上的影長為10米，落在斜坡上的影長為4 米，∠DCE＝45°，求旗桿AB的高度？
【答案】解：延長AD交BC的延長線于點F，過點D作DE⊥BC于點E，
∵CD 米，∠DCE=45°，
∴DE=CE=CD =4，
∵同一時刻物高與影長成正比，
∴ ，解得EF=2DE=8，
∴BF=10+4+8=22，
∵DE⊥BC，AB⊥BC，
∴△EDF∽△BAF，
∴ ，即 ，
∴AB=11米．
答：旗桿的高度為11米．
【知識點】相似三角形的應用；中心投影
【解析】【分析】 延長AD交BC的延長線于點F，過點D作DE⊥BC于點E， 證出 △EDF∽△BAF， 再利用相似三角形的性質列出比例式求解即可。
3．如圖，身高 米的小明站在距路燈底部O點10米的點A處，他的身高 線段 在路燈下的影子為線段AM，已知路燈燈桿OQ垂直于路面．
（1）在OQ上畫出表示路燈燈泡位置的點P；
（2）小明沿AO方向前進到點C，請畫出此時表示小明影子的線段CN；
（3）若 米，求路燈燈泡P到地面的距離．
【答案】（1）
（2）如圖：
（3）∵AB∥OP，
∽ ，
，即 ，
解得 ．
即路燈燈泡P到地面的距離是8米．
【知識點】相似三角形的判定與性質；中心投影
【解析】【分析】（1）根據中心投影的性質，連接MB并延長交OQ于一點，該點就是路燈燈泡位置的點P ；
（2）根據中心投影的性質，連接PD并延長，交OM于點N，線段CN就是小明在路燈下的影子；
（3）根據平行于三角形一邊的直線，截其它兩邊，所截的三角形與原三角形相似得出 △MAB∽△MOP， ，根據相似三角形對應邊成比例得出 ， 根據比例式建立方程求解即可求出OP的長，從而得出答案。
知識點3 、正投影的概念
1.正投影：在平行投影中，投影線垂直于投影面產生的投影叫做正投影
2.正投影的規律
物體正投影的投影規律：當物體的某個面平行于投影面時，這個面的正投影與這個面的形狀、大小完全相同，并且物體正投影的形狀、大小與它相對于投影面的位置有關.
規律：（1）.線段正投影的投影規律：平行長不變，傾斜長縮短，垂直成一點
（2）.平面圖形正投影的投影規律：平行形不變，傾斜形改變，垂直成線段.
3.畫幾何體的正投影
物體正投影的形狀、大小與它相對于投影面的位置有關
【新知導學】
例3-1．當投影線由上到下照射水杯時，如圖所示，那么水杯的正投影是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知識點】平行投影
【解析】【解答】解：投影線的方向是從上往下，因為杯口和杯底是圓，所以能看到一個圓和一條小線段。
故答案為：D。
【分析】由投影線的照射方向，可從向上往下看水杯得到圖形。
例3-2．一個長方形的正投影的形狀、大小與原長方形完全一樣，則這個長方形　 　投影面；一個長方形的正投影的形狀、大小都發生了變化，則這個長方形　 　投影面.
【答案】//；不平行于
【知識點】平行投影
【解析】【解答】解：長方形與投影面平行時，正投影不改變大小；
當長方形與投影面不平行時，正投影的形狀將會改為，可能為線段，平行四邊形。
故答案為：//；不平行于
【分析】長方形的正投影與投影面的相對位置的不同，得到的正投影的大小也不一樣。長方形與投影面的特殊的相對位置有：互相平行，互相垂直。平行時，正投影與原長方形形狀大小一樣；其他相對位置時，正投影的形狀大小將會改變。
【對應導練】
1．已知一紙板的形狀為正方形ABC D(如圖)，其邊長為10cm，AD、BC與投影面β平行，AB、C D與投影面不平行，正方形在投影面β上的正投影為A1B1C1D1，若∠AB B1=45°，求正投影A1B 1C1D1的面積.
【答案】解：過A作AE
BB1，交于點E，
因為∠ABB1=45°，
所以AE=BE=
cm
因為四邊形ABCD是正方形，AD、BC與投影面β平行，
所以A1D1=B1C1=AD=BC=10cm，
所以正投影A1B 1C1D1的面積=10×
＝
(cm2)
【知識點】平行投影
【解析】【分析】AD、BC與投影面β平行，則A1D1=B1C1=AD=BC，而且四邊形ABCD是正方形，可得正投影A1B 1C1D1是正方形，求出A1B1的長即可（根據∠ABB1=45°可求得）。
2．幾何體在平面P的正投影，取決于（　　）
①幾何體形狀；②投影面與幾何體的位置關系；③投影面P的大小
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【知識點】平行投影
【解析】【解答】解：∵幾何體在平面的正投影與幾何體的形狀、投影面與幾何體的位置有關，與投影面的大小無關，
∴只有①②符合題意
故答案為；A
【分析】根據幾何體在平面的正投影與幾何體的形狀、投影面與幾何體的位置有關，與投影面的大小無關，即可得出答案。
3．把一個正五棱柱如圖擺放，當投射線由正前方射到后方時，它的正投影是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】簡單幾何體的三視圖；平行投影
【解析】【解答】根據投影的性質可得，該物體為五棱柱，則正投影應為矩形．故選B．
【分析】根據正投影的性質：當投射線由正前方射到后方時，其正投影應是矩形．
題型訓練
利用平行投影求物體高度
1．小王的身高是，在太陽光線下，他的影長是.
（1）小明的身高是，求同一時刻小明的影長(精確到).
（2）同一時刻旗桿的影長是，求旗桿的高.
【答案】（1）解：設同一時刻小明的影長為xm，則
．
解得．
答：同一時刻小明的影長約為1.45m；
（2）解：設旗桿高為hm，則
．
解得．
答：旗桿的高為18.64m．
【知識點】相似三角形的應用；平行投影
【解析】【分析】（1）設同一時刻小明的影長為xm，同時同地物高與影長成正比，據此列式計算即可得解；
（2）設同一時刻旗桿高為hm，同時同地物高與影長成正比，據此列式計算即可得解．
2．據傳說，古希臘數學家、天文學家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的頂部立一根木桿，借助太陽光線構成兩個相似三角形，來測量金字塔的高度．如圖，木桿長，它的影長為，測得為，求金字塔的高度．
【答案】解：太陽光線是平行線，．
又，，
，．
答：金字塔的高度為．
【知識點】相似三角形的應用；平行投影
【解析】【分析】由平行線的性質證出，根據對應邊成比例求解即可．
3．如圖所示，太陽光與地面成60°角，一顆傾斜的大樹在地面上所成的角為30°，這時測得大樹在地面上的影長約為10m，試求此大樹的長約是多少？（得數保留整數）
【答案】解：過B作BM⊥AC于M，
∵∠A=30°，
∴BM= BC=5，AM=5 ，
又∵∠CBE=60°，
∴∠ACB=30°，
∴AB=CB，
∴CM=AM=5 ，
∴AC=10 ≈17．
答：此大樹的長約是17m．
【知識點】三角形的外角性質；等腰三角形的判定與性質；含30°角的直角三角形；平行投影
【解析】【分析】先過B作BM⊥AC于M，構造含30°角的直角三角形，求得AM的長，再根據△ABC為等腰三角形，利用三線合一求得AC的長．
利用中心投影與相似解決生活問題
4．如圖分別是兩根木棒及其影子的情形．
（1）哪個圖反映了太陽光下的情形？哪個圖反映了路燈下的情形？
（2）在太陽光下，已知小明的身高是1.8米，影長是1.2米，旗桿的影長是4米，求旗桿的高；
（3）請在圖中分別畫出表示第三根木棒的影長的線段．
【答案】解：（1）圖2反映了太陽光下的情形，圖1反映了路燈下的情形；（2）設旗桿的高為xm，根據題意得，解得x=6，所以旗桿的高為6m；（3）如圖1中，FG為在路燈下的第三根木棒的影長；如圖2，FG為在太陽光下的第三根木棒的影長．
【知識點】平行投影；中心投影
【解析】【分析】（1）把木棒的頂端與投影的頂點連結起來即可得到投影線，然后根據投影線的關系判斷是中心投影還是平行投影；
（2）對于平移投影，根據同一時刻身高與影長正比例進行計算；
（3）根據中心投影和平行投影的定義畫圖．
5．如圖，在一間黑屋里用一白熾燈照射一個球，
（1）球在地面上的陰影是什么形狀？
（2）當把白熾燈向上移時，陰影的大小會怎樣變化？
（3）若白熾燈到球心距離為1米，到地面的距離是3米，球的半徑是0.2米，求球在地面上陰影的面積是多少？
【答案】解：（1）因為球在燈光的正下方，所以陰影是圓形；（2）白熾燈向上移時，陰影會逐漸變小；（3）設球在地面上陰影的半徑為x米，則，解得：x2=，則S陰影=π平方米．
【知識點】中心投影
【解析】【分析】（1）球在燈光的正下方，所以陰影是圓形；
（2）根據中心投影的特點可知：在燈光下，離點光源近的物體它的影子短，離點光源遠的物體它的影子長，所以白熾燈向上移時，陰影會逐漸變小；
（3）先根據相似求出陰影的半徑，再求面積．
6．高高的路燈掛在路邊的上方，高傲而明亮，小明拿著一根2米長的竹竿，想量一量路燈的高度，直接量是不可能的．于是，他走到路燈旁的一個地方，豎起竹竿（即AE），這時，他量了一下竹竿的影長（AC）正好是1米，他沿著影子的方向走，向遠處走出兩根竹竿的長度（即AB=4米），他又豎起竹竿，這時竹竿的影長正好是一根竹竿的長度（即BD=2米）．此時，小明抬頭瞧瞧路燈，若有所思地說：“噢，我知道路燈有多高了！”同學們，請你和小明一起解答這個問題：
（1）在圖中作出路燈O的位置，并作OP⊥l于P．
（2）求出路燈O的高度，并說明理由．
【答案】解：（1）
（2）由于BF=DB=2（米），即∠D=45°，
所以，DP=OP=燈高，
△COP中AE⊥CP，OP⊥CP，
∴AE∥OP
∴△CEA∽△COP，即，
設AP=x，OP=h則：
①，
DP=OP表達為2+4+x=h②，
聯立①②兩式得：
x=4，h=10，
∴路燈有10米高．
【知識點】中心投影
【解析】【分析】（1）連接DF并延長與CE的延長線交與一點即可得到路燈的位置；
（2）由于BF=DB=2米，即∠D=45°，則DP=OP=燈高，得出△CEA∽△COP，即，進而求出路燈的高．
正投影與作圖
7 .畫出下列立體圖形投影線從上方射向下方的正投影．
【答案】見解析。
【解析】如圖所示：
8 .畫出如圖擺放的正方體在投影面P上的正投影．
(1) 正方體的一個面ABCD平行于投影面P；
(2) 正方體的一個面ABCD傾斜于投影面P，底面ADEF垂直于投影面P，并且其對角線AE垂直于投影面P．
【答案】見解析。
【解析】如圖所示：
三、課堂達標
一、選擇題（每小題4分，共32分）
1．晚上小亮在路燈下散步，在小亮從遠處走到燈下，再遠離路燈這一過程中，他在地上的影子（　　）
A．逐漸變短 B．先變短后變長
C．先變長后變短 D．逐漸變長
【答案】B
【知識點】中心投影
【解析】【解答】解：晚上小亮在路燈下散步，當小亮從遠處走到燈下的時候，他在地上的影子由長變短，當他再遠離路燈的時候，他在地上的影子由短變長．
故選B．
【分析】根據中心投影的定義當小亮從遠處走到燈下，他在地上的影子逐漸變短，當他再遠離路燈的時，他在地上的影子逐漸變長．
2．如圖，箭頭表示投影線的方向，則圖中圓柱體的正投影是（　　）
A．圓 B．圓柱 C．梯形 D．矩形
【答案】D
【知識點】平行投影
【解析】【解答】解：根據平行投影特點，圖中圓柱體的正投影是矩形．故選D．
【分析】根據平行投影特點可知．
3．下面四幅圖是兩個物體不同時刻在太陽光下的影子，按照時間的先后順序正確的是（　　）
A．A B C D B．D B C A
C．C D A B D．A C B D
【答案】C
【知識點】平行投影
【解析】【解答】解：根據平行投影的特點和規律可知，C，D是上午，A，B是下午，
根據影子的長度可知先后為C→D→A→B．
故選C．
【分析】解：根據平行投影的特點和規律可知，C，D是上午，A，B是下午，根據影子的長度可知先后為C→D→A→B．
4．兩個人的影子在兩個相反的方向，這說明（　　）
A．他們站在陽光下 B．他們站在路燈下
C．他們站在路燈的兩側 D．他們站在月光下
【答案】C
【知識點】中心投影
【解析】【解答】解：根據兩個人的影子在兩個相反的方向，則一定是中心投影；且兩人同在光源兩側.故答案為：C.
【分析】由平行投影中影子的長度取決于物體的長度，中心投影中影子的長度和方向不僅與物體的長度有關，而且還要看物體到光源的距離可以得出本題結論.
5．如圖，晚上小亮在路燈下散步，他從A處向著路燈燈柱方向徑直走到B處，這一過程中他在該路燈燈光下的影子(　　)
A．逐漸變短 B．逐漸變長
C．先變短后變長 D．先變長后變短
【答案】A
【知識點】中心投影
【解析】【解答】根據光源是由遠到近的過程和中心投影的特點可得：小亮在路燈下由遠及近向路燈靠近時，其影子應該逐漸變短，
故答案為：A．
【分析】該投影是中心投影， 小亮從A處向著路燈燈柱方向徑直走到B處 的過程中，光源是由遠到近的過程，根據中心投影的特點，小亮在路燈下由遠及近向路燈靠近時，其影子應該逐漸變短。
6．如圖，燈光與影子的位置最合理的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知識點】中心投影
【解析】【解答】解：根據中心投影的特點：①影子與光源應在物體的異側，②連接物體和它影子的頂端的直線必定經過點光源；
故答案為：B.
【分析】根據中心投影特點一一分析即可得出答案.
7．圓桌上方的燈泡（看作一個點）發出的光線照射桌面后，在地面上形成陰影，如圖，已知桌面的直徑1.2米，桌面距離地面1米，若燈泡距離地面3米，則地面上陰影部分的面積為（　　）
A．0.36π平方米 B．0.81π平方米
C．2π平方米 D．3.24π平方米
【答案】B
【知識點】相似三角形的性質；中心投影
【解析】【解答】如圖，根據常識桌面與地面平行，
所以，△ADE∽△ABC，
∴
即 ，
解得BC=1.8，
所以，地面上陰影部分的面積= =0.81π（平方米）．
故答案為：B．
【分析】根據常識，桌面與地面是平行的，然后判斷出△ADE∽△ABC，根據相似三角形對應高的比等于對應邊的比列出比例式，然后求出地面陰影部分的直徑，再根據圓的面積公式列式進行計算即可得解．
8．春分時日，小彬上午9：00出去，測量了自己的影長，出去了一段時間之后，回來時，他發現這時的影長和上午出去時的影長一樣長，則小彬出去的時間大約是（　　）小時．
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【知識點】平行投影
【解析】【解答】解：依題意，要令影長相等，就要使太陽高度角相等．已知上午9：00與15：00的太陽高度角是相等的，
故可求出小彬出去的之間為15﹣9=6（小時）．
故選：C．
【分析】結合題意，要使兩個時間的影長相等，必須使陽光照射的角度相等，根據地理常識可知：上午9：00與15：00的陽光照射的角度相等，故則小彬出去的時間大約為6小時．
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．如圖，地面A處有一支燃燒的蠟燭(長度不計)，一個人在A與墻BC之間運動，則他在墻上的投影長度隨著他離墻的距離變小而　 　 (填“變大”、“變小”或“不變”).
【答案】變小
【知識點】中心投影
【解析】【解答】解：易知投影為光線路程從蠟燭A點到人物頭所連接的直線延伸到墻上，設為AD.
當人離墻的距離變小時候（即往右邊移動），易知其AD與AB的夾角會變小，AD長度變小，根據勾股定理易知，斜邊變小，其中一條直角邊固定不變，則另一條直角邊肯定會長度變小.
故答案為：變小.
【分析】可連接光源和人的頭頂可知，墻上的影長和人到墻的距離變化規律是：距離墻越近，影長越短，距離墻越遠影長越長．
10．在數學活動課上，老師帶領數學小組測量大樹 的高度．如圖，數學小組發現大樹離教學樓有5m，高1.4m的竹竿在水平地面的影子長1m，此時大樹的影子有一部分映在地面上，還有一部分映在教學樓的墻上，墻上的影子離 為2m，那么這棵大樹高　 　m．
【答案】9
【知識點】平行投影
【解析】【解答】解：延長AD交BC延長線于E，
根據同一時刻影長與物高成比例可得CE：CD=1：1.4，
∵CD=2m，
∴CE= m，
∴BE=BC+CE=5+ = m，
∴BE：AB=1：1.4，
∴AB=9m．
故答案為：9．
【分析】根據同一時刻影長與物高成比例，先求出CE，再求AB即可．
11．如圖，林林在A時測得某樹的影長為2 m，B時又測得該樹的影長為8 m，若兩次日照的光線互相垂直，則該樹的高度為　 　
【答案】4m
【知識點】銳角三角函數的定義；平行投影
【解析】【解答】解：根據題意構建如圖所示的三角形：
∴∠ECF=90°，ED=2 m，DF=8 m，CD為樹高.
∵∠1+∠2=∠E+∠2=90°，
∴∠1=∠E.
∴tan E=tan∠ 1，
即 = ，
解得CD=4 m.
【分析】根據題意構建如圖所示的三角形：根據同角的余角相等，再由等角的正切相等得 ，解之即可得出答案.
12．如圖所示，該小組發現8米高旗桿DE的影子EF落在了包含一圓弧型小橋在內的路上，于是他們開展了測算小橋所在圖的半徑的活動．小剛身高1.6米，測得其影長為2.4米，同時測得EG的長為3米，HF的長為1米，測得拱高（弧GH的中點到弦GH的距離，即MN的長）為2米，則小橋所在圓的半徑為　 　 m
【答案】5
【知識點】平行投影
【解析】【解答】解：小橋所在圓的圓心為點O，連結OG，設⊙O的半徑為Rm，如圖，
∵=，
∴=，解得GH=8，
∵MN為弧GH的中點到弦GH的距離，
∴點O在直線MN上，GM=HM=GH=4，
在Rt△OGM中，OM=R﹣2，OG=R，GM=4，
∵OM2+GM2=OG2，
∴（R﹣2）2+42=R2，解得R=5，
即⊙O的半徑為5m．
故答案為5m．
【分析】小橋所在圓的圓心為點O，連結OG，設⊙O的半徑為Rm，如圖，先利用平行投影的性質和相似的性質得到=，于是可求出GH=8，再根據垂徑定理得到點O在直線MN上，GM=HM=GH=4，然后根據勾股定理得到（R﹣2）2+42=R2，再解方程即可．
13．如圖：（A）（B）（C）（D）是一天中四個不同時刻的木桿在地面上的影子，將它們按時間先后順序進行排列，為　 　 ．
【答案】（D）（C）（A）（B）
【知識點】平行投影
【解析】【解答】解：太陽從東方升起最后從西面落下，木桿的影子應該在西面，隨著時間的變化影子逐漸的向北偏西，南偏西，正東方向的順序移動，故它們按時間先后順序進行排列，為（D）（C）（A）（B）．
【分析】根據影子變化的方向正好太陽所處的方向是相反的來判斷．太陽從東方升起最后從西面落下確定影子的起始方向．
三、解答題（每小題8分，共48分）
14．如圖，AB表示一個窗戶的高，AM和BN表示射人室內的光線，窗戶的下端到地面的距離BC=1m．已知某一時刻BC在地面的影長CN=1.5m，AC在地面的影長CM=4.5m，求窗戶的高度AB．
【答案】解：∵BN∥AM，
∴∠CBN=∠A，∠CNB=∠M，
∴△CBN∽△CAM，
∴ 即
解得：CA=3，
∴AB=3-1=2，
答：窗戶的高度AB為2m．
【知識點】相似三角形的性質；平行投影
【解析】【分析】陽光可看作一束平行光，由光的直線傳播特性可知透過窗戶后的光線BN與AE仍然平行，由此可得出一對相似三角形，由相似三角形的性質可求出AC的長，進而求出AB的長即窗戶的高度.
15．如圖，樹、紅旗、人在同一直線上，已知人的影子為AB，樹的影子為CD，確定光源的位置并畫出旗桿的影子．
【答案】解：如圖所示是燈光的光線．原因是過一棵樹的頂端及其影子的頂端作一條直線，再過人的頂端及其影子的頂端作一條直線，兩直線相交，其交點就是光源的位置；然后再過旗桿的頂端連接光源的直線，交地面于一點，連接這點與旗桿底端的線段就是旗桿的影子．
【知識點】平行投影
【解析】【分析】利用兩個物體與影長的對應頂點的連線交于一點，這樣得到的投影是中心投影，此點就是光源的位置所在．
16．如圖，一墻墩（用線段AB表示）的影子是BC，小明（用線段DE表示）的影子是EF，在M處有一顆大樹，它的影子是MN．
（1）試判斷是路燈還是太陽光產生的影子，如果是路燈產生的影子確定路燈的位置（用點P表示）．如果是太陽光請畫出光線．
（2）在圖中畫出表示大樹高的線段．
【答案】解：（1）如圖所示：P點即為路燈的位置；
（2）如圖所示：GM即為所求．
【知識點】中心投影
【解析】【分析】（1）利用對應點連線相交于一點進而得出路燈位置；
（2）利用路燈的位置得出大樹高．
17．如圖，S為一個點光源，照射在底面半徑和高都為2m的圓錐體上，在地面上形成的影子為EB，且∠SBA=30°．（以下計算結果都保留根號）
（1）求影子EB的長；
（2）若∠SAC=60°，求光源S離開地面的高度．
【答案】解：（1）∵圓錐的底面半徑和高都為2m，∴CH=HE=2m，∵∠SBA=30°，∴HB=2m，∴影長BE=BH﹣HE=2﹣2（m）；（2）作CD⊥SA于點D，在Rt△ACD中，得CD=ACcos30°=AC=，∵∠SBA=30°，∠SAB=∠SAC+∠BAC=60°+45°=105°，∴∠DSC=45°，∴SC==2，∴SB=2+BC=2+4，∴SF=SB=（+2）m，答：光源S離開地面的高度為（2+）m．
【知識點】中心投影
【解析】【分析】（1）根據已知得出CH=HE=2m，進而得出HB的長，即可得出BE的長；
（2）首先求出CD的長進而得出∠DSC=45°，利用銳角三角函數關系得出SC的長即可．
18．與一盞路燈相對，有一玻璃幕墻，幕墻前面的地面上有一盆花和一棵樹．晚上，幕墻反射路燈燈光形成了那盆花的影子（如圖所示），樹影是路燈燈光形成的．請你確定此時路燈光源的位置．
【答案】解：
∴點O為路燈光源的位置．
【知識點】中心投影
【解析】【分析】直接連接樹的頂端和影子的頂端形成的直線，再根據反射的原理作出經過玻璃反射的光線形成的直線，兩條直線的交點處即為點光源的位置．
19．已知如圖，AB和DE是直立在地面上的兩根立柱，AB=5m，某一時刻AB在陽光下的投影BC=2m．
（1）請你畫出此時DE在陽光下的投影；
（2）在測量AB的投影時，同時測量出DE在陽光下的投影長為4m，請你計算DE的長．
【答案】解：（1）如圖，EF為此時DE在陽光下的投影；
（2）∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE，
∴Rt△ABC∽Rt△DEF，
∴，即，解得DE=10（m），
即DE的長為10m．
【知識點】相似三角形的應用；平行投影
【解析】【分析】（1）連結AC，過點D作DF∥AC，則EF為所求；
（2）先證明Rt△ABC∽Rt△DEF，然后利用相似比計算出DE的長．
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