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(共20張PPT)
小專題（二）　相交線與平行線中的數學思想方法
第七章　相交線與平行線
類型一　方程思想
1. 如圖，直線AB與直線CD相交于點O，OE⊥AB，垂足為O. 若∠EOD＝ ∠AOC，則∠BOC的度數為（　A　）
A. 112.5° B. 135°
C. 140° D. 157.5°
第1題
A
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2. 如圖，OA⊥OB，OC⊥OD，∠BOA∶∠AOD＝2∶3，則∠BOD的度數為 .
第2題
135°　
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3. 如圖，∠B＝∠BCD，∠BAC＝90°，∠B＋∠D＝180°，∠ACB∶∠ACD＝1∶2，則∠BAD的度數為 .
第3題
112.5°　
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4. 如圖，直線CD，EF交于點O，OA，OB分別平分∠COE和∠DOE，且∠1＋∠2＝90°.
（1） 若∠2∶∠3＝2∶5，求∠BOF的度數；
解：（1） ∵ OB平分∠DOE，∴ ∠BOE＝∠2.
∵ ∠2∶∠3＝2∶5，∴ 設∠2＝2α，則∠BOE＝2α，∠3＝5α.∴ ∠BOF＝∠2＋∠3＝7α.∵ ∠BOE＋∠BOF＝2α＋7α＝9α＝180°，∴ α＝20°.∴ ∠BOF＝7α＝140°
第4題
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（2） 試判斷AB與CD之間的位置關系，并說明理由.
解：（2） AB∥CD　理由：∵ OA，OB分別平分∠COE和∠DOE，∴ ∠COE＝2∠AOC，∠DOE＝2∠2.∵ ∠COE＋∠DOE＝2（∠AOC＋∠2）＝180°，∴ ∠2＋∠AOC＝90°.∵ ∠1＋∠2＝90°，
∴ ∠1＝∠AOC. ∴ AB∥CD.
第4題
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5. 如圖，AD∥BC，BE平分∠ABC交AD于點E，BD平分∠EBC.
（1） 若∠DBC＝30°，求∠A的度數.
解：（1） ∵ BD平分∠EBC，∠DBC＝30°，
∴ ∠EBC＝2∠DBC＝60°.∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠ABC＝2∠EBC＝120°.∵ AD∥BC，∴ ∠A＋∠ABC＝180°.∴ ∠A＝60°
第5題
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解：（2） 存在　∠DBF＝∠DFB　設∠DBC＝x.
∵ BD平分∠EBC，∴ ∠EBC＝2∠DBC＝2x.∵ BE平分∠ABC，∴ ∠ABC＝2∠EBC＝4x.∵ 7∠DBC－2∠ABF＝180°，∴ 7x－2∠ABF＝180°.∴ ∠ABF＝ x－90°.∴ ∠CBF＝∠ABC－∠ABF＝ x＋90°，∠DBF＝∠ABC－∠ABF－∠DBC＝90°－ x.∵ AD∥BC，∴ ∠DFB＋∠CBF＝180°.
∴ ∠DFB＝90°－ x.∴ ∠DBF＝∠DFB
第5題
（2） 若點F在線段AE上，且7∠DBC－2∠ABF＝180°，則圖中是否存在與∠DFB相等的角？若存在，請寫出這個角并證明；若不存在，請說明理由.
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類型二　轉化思想
6. 如圖，AB∥CD，∠E＝90°，∠1＝55°，則∠B的度數為 .
第6題
35°　
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7. 如圖，AB∥CD，∠ABE＝40°.若CF平分∠ECD，且滿足CF∥BE，則∠ECD的度數為 .
第7題
80°　
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8. 如圖，在一塊長20m、寬14m的長方形草地上有一條寬為2m的曲折小路，則這塊草地的綠地面積（空白部分）為 m2.
第8題
216　
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9. 如圖，AB∥CD，∠1＝∠B，∠2＝∠D. 求證：BE⊥DE.
第9題
解：過點E向左作EF∥AB. ∵ AB∥CD，∴ EF∥CD. ∴ ∠DEF＝∠D. 又∵ ∠D＝∠2，∴ ∠DEF＝∠2.同理，由EF∥AB，∠1＝∠B，可得∠BEF＝∠1.又∵ ∠1＋∠2＋∠BEF＋∠DEF＝180°，∴ ∠1＋∠2＝∠BEF＋∠DEF＝∠BED＝90°.∴ BE⊥DE
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類型三　分類討論思想
10. 若∠α與∠β的兩邊分別平行，且∠α＝（2x＋10）°，∠β＝（3x－20）°，則∠α的度數為（　B　）
A. 70° B. 70°或86°
C. 86° D. 30°或38°
11. 在直線MN上取一點P，過點P作射線PA，PB. 若PA⊥PB，則當∠MPA＝40°時，∠NPB的度數是 .
B
50°或130°　
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12. 如圖，直線AB，CD相交于點O，EO⊥CD于點O.
（1） 若∠AOC＝36°，求∠BOE的度數；
解：（1） ∵ EO⊥CD，∴ ∠DOE＝90°.
又∵ ∠BOD＝∠AOC＝36°，
∴ ∠BOE＝90°－36°＝54°
第12題
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（2） 若∠BOD∶∠BOC＝1∶5，求∠AOE的度數；
解：（2） ∵ ∠BOD∶∠BOC＝1∶5，∴ ∠BOD＝ ∠COD＝30°.∴ ∠AOC＝30°.又∵ EO⊥CD，
∴ ∠COE＝90°.∴ ∠AOE＝90°＋30°＝120°
第12題
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（3） 在（2）的條件下，請先過點O作直線MN⊥AB，并在直線MN上取一點F（點F與點O不重合），然后求出∠EOF的度數.
解：（3） 如圖，分兩種情況討論：當點F在射線OM上時，∵ EO⊥CD，∴ ∠DOE＝90°.∴ ∠BOE＝90°－∠BOD＝60°.∵ MN⊥AB，∴ ∠BOM＝∠BON＝90°.∴ ∠EOF＝∠BOM－∠BOE＝30°.當點F在射線ON上時，即在點F'處時，易得∠EOF'＝∠BOE＋∠BON＝60°＋90°＝150°.綜上所述，∠EOF的度數為30°或150°
第12題
　第12題答案
第12題答案
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類型四　類比思想
13. 我們已經學習了同旁內角的定義.類似地，現規定：如圖①，具有∠1與∠2這種位置關系的兩個角叫作同旁外角.
第13題
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（1） 請在圖①中再找出一對同旁外角，分別用∠3，∠4在圖①中標記出來；
解：（1） 如圖①，∠3與∠4互為同旁外角
第13題答案
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（2） 如圖②，直線a∥b，當∠1＝125°時，求∠2的度數；
解：（2） 如圖②.∵ 直線a∥b，∴ ∠3＋∠4＝180°.又∵ ∠1＝∠3，∠2＝∠4，∴ ∠1＋∠2＝180°.∵ ∠1＝125°，∴ ∠2＝180°－∠1＝55°
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（3） 如圖③，當∠1＋∠2＝180°時，試說明直線a∥b，并用文字敘述由此你能得出的結論.
第13題答案
解：（3） 如圖③.∵ ∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠3＝180°，∴ ∠2＝∠3.∴ a∥b　結論：同旁外角互補，兩直線平行
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13(共14張PPT)
7.2　平 行 線
7.2.2　平行線的判定
第七章　相交線與平行線
1. 如圖，一條街道有兩個拐角∠ABC和∠BCD，測得∠ABC＝145°，則∠BCD＝145°，就可以知道AB∥CD，其依據為（　C　）
A. 同位角相等，兩直線平行
B. 同旁內角互補，兩直線平行
C. 內錯角相等，兩直線平行
D. 平行于同一條直線的兩直線平行
第1題
C
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2. 如圖，下列條件中，能判定AB∥CD的是（　C　）
A. ∠AEC＝∠B
B. ∠C＋∠BFC＝180°
C. ∠BEC＋∠C＝180°
D. ∠C＝∠B
第2題
C
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3. （教材P14練習第1題變式）如圖.
第3題
（1） 若∠A＝∠3，則 ∥ .
理由是 .
（2） 若∠2＝∠E，則 ∥ .
理由是 .
AD　
BE　
同位角相等，兩直線平行　
BD　
CE　
內錯角相等，兩直線平行
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（3） 若∠A＋∠ABE＝180°，則 ∥ .
理由是 .
（4） 若∠2＝ ，則AD∥BE.
（5） 若∠DBC＋ ＝180°，則BD∥CE.
AD　
BE　
同旁內角互補，兩直線平行　
∠D　
∠BCE　
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4. 如圖，∠EFD＝53°，∠EHG＝37°，GH⊥AB于點H，圖中可以判斷哪兩條直線平行？為什么？
第4題
解：AB∥CD　∵ GH⊥AB，∴ ∠BHG＝90°.∵ ∠EHG＝37°，∴ ∠EHB＝∠BHG－∠EHG＝53°.∵ ∠EFD＝53°，∴ ∠EFD＝∠EHB. ∴ AB∥CD
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5. 如圖，下列說法正確的是（　C　）
A. 若∠3＝∠5，則CD∥EF
B. 若∠2＝∠6，則CD∥EF
C. 若∠4＝∠3，則CD∥EF
D. 若∠1＝∠6，則GH∥AB
第5題
C
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6. 如圖，下列條件中，不能判定AB∥CD的是（　D　）
A. ∠AOC＝∠DCO
B. ∠BOD＝∠CDO
C. ∠AOD＋∠CDO＝180°
D. ∠BOC＋∠AOC＝180°
第6題
D
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7. 如圖.
第7題
（1） 如果∠1＝ ，那么DE∥AC.
理由是 .
（2） 如果∠1＝ ，那么EF∥BC.
理由是 .
∠C　
同位角相等，兩直線平行
∠FED　
內錯角相等，兩直線平行
（3） 如果∠FED＋∠EFC＝180°，那么 ∥ .
理由是 .
（4） 如果∠2＋∠AED＝180°，那么 ∥ .
理由是 .
DE　
CF　
同旁內角互補，兩直線平行　
AE　
DF　
同旁內角互補，兩直線平行　
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8. 如圖，觀察圖形，若要使AD∥BC，則需添加的條件可以是（1） ；（2） ；（3） ；（4） .（答案不唯一）
第8題
∠ADF＝∠BCD　
∠ADB＝∠CBD　
∠DAC＝∠ACB　
∠ADC＋∠BCD＝180°　
（答案不唯一）
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9. 如圖，在三角形ABC中，CD⊥AB于點D，E是AC上一點，且∠1＋∠2＝90°.試說明DE∥BC.
第9題
∵ CD⊥AB（已知），
∴ ∠1＋ ＝90°（ ）.
∵ ∠1＋∠2＝90°（已知），
∠CDE　
垂直的定義　
∴ ＝∠2（ ）.
∴ DE∥BC（ ）.
∠CDE　
同角的余角相等　
內錯角相等，兩直線平行　
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10. 如圖，∠1＝40°，∠2＝55°，∠3＝85°，那么直線l1與l2平行嗎？為什么？
第10題
解：直線l1與l2平行　∵ ∠2＝55°，∴ ∠4＝55°.∵ ∠3＋∠4＋∠5＝180°，∴ ∠5＝180°－∠3－∠4＝180°－85°－55°＝40°.
∵ ∠1＝40°，∴ ∠1＝∠5.∴ l1∥l2
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11. （教材P20習題7.2第12題變式）如圖，點A在射線BG上，∠1＋∠3＝180°，∠1＝∠2，∠EAB＝∠BCD，直線EF與CD平行嗎？為什么？
第11題
解：EF∥CD　∵ ∠1＋∠3＝180°，∴ BG∥EF. ∵ ∠1＝∠2，
∴ AE∥BC. ∴ ∠EAB＋∠2＝180°.∵ ∠EAB＝∠BCD，∴ ∠BCD＋∠2＝180°.∴ BG∥CD. ∴ EF∥CD
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12. 如圖，MF⊥NF于點F，MF交AB于點E，NF交CD于點G，∠1＝140°，∠2＝50°.試判斷AB與CD的位置關系，并說明理由.
第12題
解：AB∥CD　理由：過點F向左作射線FH，使∠EFH＝∠2＝50°.∴ AB∥FH. ∵ MF⊥NF，∴ ∠MFG＝90°.∴ ∠HFG＝90°－∠EFH＝40°.又∵ ∠1＝140°，∴ ∠1＋∠HFG＝180°.
∴ FH∥CD. ∴ AB∥CD.
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12(共19張PPT)
7.1　相 交 線
7.1.2　兩條直線垂直
第七章　相交線與平行線
1. （教材P9習題7.1第8題變式）已知直線AB，CB，l在同一平面內.若AB⊥l，垂足為B，CB⊥l，垂足也為B，則符合題意的圖形可以是（　C　）
A B
C D
C
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2. 有下列條件：① 兩條直線相交所構成的四個角中有一個角是直角；② 兩條直線相交所構成的四個角相等；③ 兩條直線相交所構成的四個角中有一組相鄰的角相等；④ 兩條直線相交所構成的四個角中有一組對頂角的和為180°.其中，能判定兩條直線互相垂直的有（　D　）
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
D
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3. （2024·北京）如圖，直線AB和CD相交于點O，OE⊥OC. 若∠AOC＝58°，則∠EOB的度數為（　B　）
A. 29° B. 32° C. 45° D. 58°
第3題
B
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4. （教材P6探究變式）如圖，點P到直線公路MN共有四條路，若從點P到公路MN要用相同速度行走，則最快到達的路徑是（　B　）
A. PA B. PB C. PC D. PD
第4題
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5. （教材P9習題7.1第6題變式）如圖，運動會上，小明自踏板M處跳到沙坑P處，甲、乙、丙三名同學分別測得PM＝3.25m，PN＝3.15m，PF＝3.21m，則小明的成績為 m.
第5題
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6. 如圖①②③，分別過點P畫∠AOB的兩邊OA，OB的垂線.
第6題
解：如答案圖①②③所示
第6題答案
第6題答案
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7. 如圖，三條直線AB，CD，EF相交于點O，且CD⊥EF，∠AOE＝70°.若OG平分∠BOF，求∠DOG的度數.
第7題
解：因為三條直線AB，CD，EF相交于點O，∠AOE＝70°，所以∠BOF＝∠AOE＝70°.因為CD⊥EF，所以∠DOF＝90°.因為OG平分∠BOF，所以∠GOF＝ ∠BOF＝35°.所以∠DOG＝∠DOF－∠GOF＝90°－35°＝55°
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8. 如圖，AO⊥BE于點O，CO⊥DO于點O，∠BOC＝α，則∠AOD的度數為（　C　）
A. α－90° B. 2α－90°
C. 180°－α D. 2α－180°
第8題
C
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9. 如圖，AC⊥BC于點C，CD⊥AB于點D，DE⊥BC于點E，其長度能表示點到直線（或線段）的距離的線段有（　D　）
A. 3條 B. 4條 C. 7條 D. 8條
第9題
D
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10. 在直線AB上任取一點O，過點O作射線OC，OD，使OC⊥OD. 當∠AOC＝30°時，∠BOD的度數為 .
11. 如圖，直線AB，CD相交于點E，EF⊥AB. 如果∠FEC－∠CEA＝22°，那么∠BEC的度數為 .
第11題
60°或120°　
146°　
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12. 如圖，AC⊥BC于點C，AD⊥CD于點D，AB＝5，AD＝3，則AC長的取值范圍是 .
第12題
3＜AC＜5　
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13. 如圖，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10，點D在線段AB上運動，則線段CD長的最小值是 .
第13題
4.8　
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14. 如圖，直線AB，CD相交于點O，OE平分∠BOD，OF⊥CD.
（1） 若∠EOF＝54°，求∠AOC的度數.
解：（1） 因為OF⊥CD，所以∠DOF＝90°.因為∠EOF＝54°，所以∠DOE＝90°－54°＝36°.又因為OE平分∠BOD，所以∠BOD＝2∠DOE＝72°.所以∠AOC＝∠BOD＝72°
第14題
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（2） ① 在∠AOD的內部作射線OG⊥OE；② 試探索∠AOG與∠EOF之間有怎樣的數量關系，并說明理由.
解：（2） ① 如圖所示
② ∠AOG＝∠EOF　理由：因為OE平分∠BOD，所以∠BOE＝∠DOE. 因為OF⊥CD，OG⊥OE，所以∠EOF＋∠DOE＝90°，∠AOG＋∠BOE＝90°.所以∠EOF＝∠AOG.
第14題
　第14題答案
第14題答案
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15. 如圖，直線AB，CD相交于點O，OE平分∠AOD，OF平分∠BOD.
第15題
（1） 若∠AOC＝50°，則∠FOD＝ ；
（2） 若∠AOC＝α，則∠EOD＝ （用含α的式子表示）；
25°　
90°－ α　
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（3） 探究OE與OF之間的位置關系，并說明理由.
解：OE⊥OF　理由：因為OE平分∠AOD，OF平分∠BOD，所以∠EOD＝ ∠AOD，∠FOD＝ ∠BOD. 因為∠AOD＋∠BOD＝180°，所以∠EOF＝∠EOD＋∠FOD＝ （∠AOD＋∠BOD）＝ ×180°＝90°.所以OE⊥OF.
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16. 如圖①，直線AB與CD相交于點O，OM⊥AB.
（1） 若OC平分∠AOM，求∠AOD的度數；
解：（1） 因為OM⊥AB，所以∠AOM＝90°.因為OC平分∠AOM，所以∠AOC＝ ∠AOM＝45°.因為∠AOC＋∠AOD＝180°，所以∠AOD＝180°－∠AOC＝180°－45°＝135°
第16題
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16
（2） 如圖②，若∠BOC＝4∠NOB，且OM平分∠NOC，求∠MON的度數.
解：（2） 因為∠BOC＝4∠NOB，所以設∠NOB＝x，則∠BOC＝4x.所以∠NOC＝∠BOC－∠NOB＝3x.因為OM平分∠NOC，所以∠COM＝∠MON＝ ∠NOC＝ x.因為OM⊥AB，所以∠BOM＝90°.因為∠BOM＝∠MON＋∠NOB，所以 x＋x＝90°.所以x＝36°.所以∠MON＝ x＝54°，即∠MON的度數為54°
第16題
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16(共16張PPT)
7.1　相 交 線
7.1.1　兩條直線相交
第七章　相交線與平行線
1. （教材P3練習第1題變式）下列各圖中，∠1與∠2是對頂角的為（　C　）
A B
C D
C
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2. 泰勒斯被譽為古希臘及西方第一個自然科學家和哲學家，據說“兩條直線相交，對頂角相等”就是泰勒斯首次發現并論證的，論證“對頂角相等”使用的依據是（　D　）
A. 等角的補角相等 B. 同角的余角相等
C. 等角的余角相等 D. 同角的補角相等
D
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3. （2023·河南）如圖，直線AB，CD相交于點O. 若∠1＝80°，∠2＝30°，則∠AOE的度數為（　B　）
A. 30° B. 50° C. 60° D. 80°
第3題
B
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4. （教材P8習題7.1第1題變式）如圖，直線AB，CD，EF相交于點O，則∠COE的對頂角是 ，∠AOE的鄰補角是 .
第4題
∠DOF　
∠AOF，
∠BOE　
1
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5. 如圖，直線AB，CD相交于點O，OE平分∠BOD.
第5題
（1） 若∠EOD＝25°，則∠AOC＝ ，∠BOC＝ ；
（2） 若∠AOD＝140°，則∠BOE＝ ；
（3） 若∠AOC與∠BOD互余，則∠COE＝ .
50°　
130°　
20°　
157.5°　
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6. 如圖，直線AB，CD相交于點O，且∠AOC＝32°，∠DOE＝∠DOB，OF平分∠AOE，求∠BOE和∠AOF的度數.
第6題
解：由對頂角相等，可知∠DOB＝∠AOC＝32°.因為∠DOE＝∠DOB，所以∠BOE＝2∠DOB＝64°.因為∠AOE＋∠BOE＝180°，所以∠AOE＝180°－∠BOE＝116°.因為OF平分∠AOE，所以∠AOF＝ ∠AOE＝58°
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7. 如圖，直線AB，CD相交于點O，∠1＋∠2＝120°，∠3＝125°，則∠2的度數是（　D　）
A. 37.5° B. 75° C. 50° D. 65°
第7題
D
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6
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8. 如圖，直線AB，CD，EF相交于點O. 若∠1＋∠2＋2∠3＝210°，則∠3的度數為 .
第8題
30°　
1
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6
7
8
9
10
11
12
13
9. （教材P3練習第3題變式）如圖，直線AB，CD相交于點O，∠AOD＝120°，OE把∠BOD分成兩部分，且∠BOE∶∠EOD＝1∶2，則∠BOE＝ .
第9題
20°　
1
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5
6
7
8
9
10
11
12
13
10. 如圖，直線AB，CD，EF相交于點O.
第10題
（1） 若∠EOC＋∠DOF＝300°，則∠DOE＝ ；
（2） 若∠EOC＋∠COB＝248°，則∠AOE＝ .
30°　
68°　
1
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4
5
6
7
8
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10
11
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13
11. 如圖，直線a，b，c兩兩相交，∠1＝2∠3，∠2＝60°，則∠4＝ .
第11題
150°
1
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13
12. 如圖，直線AB，CD相交于點O，OC平分∠AOM，且∠AOM＝88°，射線ON在∠BOM的內部.
（1） 求∠AOD的度數；
解：（1） 因為OC平分∠AOM，且∠AOM＝88°，所以∠AOC＝∠COM＝ ∠AOM＝44°.所以∠AOD＝180°－44°＝136°
第12題
1
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13
（2） 若∠BOC＝4∠BON，求∠MON的度數.
解：（2） 因為∠AOD＝136°，所以∠BOC＝136°.又因為∠BOC＝4∠BON，所以∠BON＝34°.因為∠COM＝44°，所以∠MON＝∠BOC－∠BON－∠COM＝136°－34°－44°＝58°
第12題
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13
13. 如圖①，直線AB與CD相交于點E，射線EG在∠AEC內.
第13題
（1） 若∠BEC的鄰補角是它的余角的3倍，則∠BEC＝ ；
（2） 在（1）的條件下，若∠CEG比∠AEG小25°，求∠AEG的度數；
45°　
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13
（3） 如圖②，若射線EF平分∠AED，∠FEG＝m（m＞90°），則∠AEG－∠CEG＝ （用含m的式子表示）.
解：（2） 設∠AEG＝x，則∠CEG＝x－25°.因為∠AEG＋∠CEG＋∠BEC＝180°，由（1），知∠BEC＝45°，所以x＋x－25°＋45°＝180°，解得x＝80°.所以∠AEG＝80°
2m－180°　
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13(共17張PPT)
7.2　平 行 線
7.2.3　平行線的性質　第2課時　平行線判定與性質的綜合
第七章　相交線與平行線
1. 如圖，∠B＝43°，∠ADE＝43°，∠AED＝72°，則∠C的度數為（　A　）
A. 72° B. 65°
C. 50° D. 43°
第1題
A
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2. （教材P17例3變式）如圖，∠1＝72°，∠2＝72°，∠3＝70°，則∠4的度數是（　C　）
A. 130° B. 120°
C. 110° D. 100°
第2題
C
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3. 如圖，∠1＝∠2，∠D＝78°，則∠BCD的度數為（　D　）
A. 98° B. 62° C. 88° D. 102°
第3題
D
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4. 如圖，∠1＋∠2＝180°，∠3＝75°，則∠4＝ .
第4題
105°　
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5. 完成下面的推理過程，并在括號內填上依據.
第5題
如圖，∠1＋∠2＝180°，∠B＝∠D. 試說明：∠DAE＝∠E.
∵ ∠1＋∠2＝180°（已知），∠2＝∠AFC（ ），
∴ ∠1＋∠AFC＝180°.
對頂角相等
1
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∴ AB∥CD（ ）.
∴ ∠B＝∠DCE（ ）.
∵ ∠B＝∠D（已知），
∴ ∠D＝ （等式的基本事實）.
∴ ∥ （ 　）.
∴ ∠DAE＝∠E（ ）.
同旁內角互補，兩直線平行　
兩直線平行，同位角相等　
∠DCE　
AD　
BE　
內錯角相等，兩直線平行
兩直線平行，內錯角相等　
1
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12
6. 如圖所示為一路政工程車的工作示意圖，工作籃底部與支撐平臺平行.若∠1＝35°，∠3＝155°，則∠2的度數為（　B　）
A. 50° B. 60°
C. 65° D. 55°
第6題
B
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6
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12
7. 如圖，AC∥EG，BD平分∠ABE，EH平分∠BEF交BF于點H，∠EBF＝∠EFB. 有下列結論：① BD∥EH；② BF平分∠EBC；③ ∠BHE＝90°；④ ∠BFG－∠BEH＝90°.其中，正確的有（　D　）
A. ①②③ B. ①②④
C. ②③④ D. ①②③④
第7題
D
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5
6
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11
12
8. 如圖，∠ABC＋∠BCD＋∠CDE＝360°，直線FG分別交AB，DE于點F，G. 若∠1＝120°，則∠2＝ °.
第8題
60　
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5
6
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9. 如圖，如果AB∥CD，∠α＝145°，∠β＝60°，那么∠γ的度數是 .
第9題
25°　
1
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5
6
7
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12
10. 如圖，AE⊥BC于點M，FG⊥BC于點N，∠1＝∠2.
（1） 試說明：AB∥CD；
解：（1） ∵ AE⊥BC，FG⊥BC，∴ ∠AMB＝∠GNB＝90°.∴ AE∥FG. ∴ ∠A＝∠2.又∵ ∠2＝∠1，∴ ∠A＝∠1.∴ AB∥CD
第10題
1
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（2） 若∠D＝∠3＋50°，∠CBD＝60°，求∠C的度數.
解：（2） ∵ AB∥CD，∴ ∠D＋∠CBD＋∠3＝180°.∵ ∠D＝∠3＋50°，∠CBD＝60°，∴ ∠3＝35°.∵ AB∥CD，∴ ∠C＝∠3＝35°
第10題
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11. 如圖，∠1＝∠BDE，∠2＋∠3＝180°.
（1） 試說明：AD∥EF；
解：（1） ∵ ∠1＝∠BDE，∴ AC∥DE. ∴ ∠2＝∠ADE. ∵ ∠2＋∠3＝180°，∴ ∠3＋∠ADE＝180°.∴ AD∥EF
第11題
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（2） 若DA平分∠BDE，FE⊥AF于點F，∠1＝50°，求∠BAC的度數.
解：（2） ∵ ∠1＝∠BDE，∠1＝50°，∴ ∠BDE＝50°.∵ DA平分∠BDE，∴ ∠ADE＝ ∠BDE＝25°.∴ ∠2＝∠ADE＝25°.∵ FE⊥AF，∴ ∠F＝90°.由（1）得，AD∥EF，∴ ∠BAD＝∠F＝90°.∴ ∠BAC＝∠BAD－∠2＝90°－25°＝65°
第11題
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12
12. 如圖，在三角形ABC中，點D，E分別在AB，AC上，EF交DC于點F，∠3＋∠2＝180°，∠1＝∠B.
（1） 試說明：DE∥BC；
解：（1） ∵ ∠DFE＋∠2＝180°，∠3＋∠2＝180°，∴ ∠DFE＝∠3.∴ BD∥EF. ∴ ∠1＝∠ADE. ∵ ∠1＝∠B，∴ ∠ADE＝∠B.
∴ DE∥BC
第12題
1
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12
（2） 若DE平分∠ADC，∠3＝3∠B，求∠2的度數.
解：（2） 由（1）知，∠ADE＝∠B，BD∥EF，∴ ∠2＝∠ADC. ∵ DE平分∠ADC，∴ ∠ADC＝2∠ADE＝2∠B. ∵ ∠3＋∠ADC＝180°，∠3＝3∠B，∴ 3∠B＋2∠B＝180°，解得∠B＝36°.∴ ∠ADC＝72°.∴ ∠2＝72°
第12題
1
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11
12(共14張PPT)
7.4　平　移
第七章　相交線與平行線
1. 如圖②所示的圖形是由如圖①所示的圖形將（　A　）
第1題
A. 三角形AOB平移BC的長度得到的
B. 三角形COD平移BC的長度得到的
C. 三角形AOD平移AD的長度得到的
D. 三角形BOC平移BA的長度得到的
A
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2. （教材P27探究變式）如圖，將三角形ABC平移到三角形DEF的位置.有下列結論：① AB∥DE，AD＝CF＝BE；② ∠ACB＝∠DEF；③ 平移的方向是點C到點E的方向；④ 平移的距離為線段BE的長.其中，正確的有（　B　）
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
第2題
B
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6
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3. （2024·東營）如圖，將三角形DEF沿FE的方向平移3cm得到三角形ABC. 若三角形DEF的周長為24cm，則四邊形ABFD的周長為 cm.
第3題
30　
1
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4
5
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12
4. 如圖，將三角形ABE沿著BC方向平移到三角形FCD的位置.若AB＝4，AE＝3，BE＝2，BC＝5，則FC，CD，FD，EF的長分別是多少？
第4題
解：∵ 三角形FCD是由三角形ABE沿著BC方向平移得到的，∴ FC＝AB＝4，CD＝BE＝2，FD＝AE＝3，AF＝BC＝5.∴ EF＝AF－AE＝2
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5. 如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，三角形ABC的頂點A，B，C在格點上，將三角形ABC先向下平移4個單位長度，再向右平移3個單位長度得到三角形A1B1C1（點A，B，C的對應點分別為A1，B1，C1）.
（1） 在網格中畫出三角形A1B1C1；
解：（1） 三角形A1B1C1如圖所示
第5題
第5題答案
1
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5
6
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12
（2） 計算線段AC在變換到線段A1C1的過程中掃過區域的面積.
解：（2） 線段AC在變換到線段A1C1的過程中掃過區域的面積為4×2＋3×2＝14
第5題
1
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6. 如圖，兩個形狀、大小完全相同的三角形ABC和三角形DEF重疊在一起，固定三角形ABC不動，將三角形DEF向右平移，當點E和點C重合時停止移動，設DE交AC于點G. 給出下面的結論：① 四邊形ABEG的面積與四邊形CGDF的面積相等；② AD∥EC，且AD＝EC. 下列說法正確的是（　B　）
A. ①②都正確 B. ①正確，②錯誤
C. ①②都錯誤 D. ①錯誤，②正確
第6題
B
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7. 如圖，直線a，b，c交于一點，且b⊥c，平移直線a到直線d的位置.若∠1＝25°，則∠2的度數為 .
第7題
65°　
1
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5
6
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12
8. 如圖，AB＝4cm，BC＝5cm，AC＝2cm，將三角形ABC沿BC方向平移acm（0＜a＜5），得到三角形DEF，連接AD，則陰影部分的周長為 cm.
第8題
11　
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3
4
5
6
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8
9
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12
9. 要在臺階上鋪設某種紅地毯，這種紅地毯每平方米的售價是20元，臺階寬為3米，側面如圖所示.購買這種紅地毯至少需要 元.
第9題
600　
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3
4
5
6
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10. 如圖，在長方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，那么長方形ABCD沿著AB方向平移多少才能使平移后的長方形EFGH與原來的長方形ABCD重疊部分的面積為24？
第10題
解：由題意，知長方形EBCH為重疊部分，∴ S重疊部分＝EB·BC＝24.又∵ BC＝6，∴ EB＝4.∴ AE＝AB－BE＝10－4＝6.又∵ 點A的對應點是E，∴ 線段AE的長度就是長方形ABCD平移的距離.∴ 只需沿著AB方向平移6個單位長度即可
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11. 如圖，將直角三角形ABC沿著BC方向平移BE的長度，得到直角三角形DEF. 求陰影部分的面積.
第11題
解：由平移，得DE＝AB＝8.∴ HE＝DE－DH＝8－3＝5.∴ S陰影部分＝S梯形ABEH＝ ＝ ＝32.5
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12. 如圖，在長方形土地內修筑同樣寬的道路（陰影部分），余下部分作為耕地.當道路的寬為2m時，耕地的面積為多少平方米？
第12題
解：通過平移，使圖形變為規則圖形.（20－2）×（32－2）＝540（m2）.∴ 耕地的面積為540m2
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12(共29張PPT)
7.3　定義、命題、定理
第1課時　定義、命題
第七章　相交線與平行線
1. 下列語句不是定義的為（　C　）
A. 能寫成分數形式的數為有理數
B. 有公共端點的兩條射線組成的圖形叫作角
C. 鄰補角互補
D. 在同一平面內，當直線a，b不相交時，我們說直線a與b互相平行
C
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5
6
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12
2. 把“同角的補角相等”改寫成“如果……那么……”的形式，正確的是（　D　）
A. 如果兩個角相等，那么這兩個角是同一個角的補角
B. 如果兩個角的補角相等，那么這兩個角相等
C. 如果兩個角相等，那么這兩個角的補角相等
D. 如果兩個角是同一個角的補角，那么這兩個角相等
D
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3. （教材P24習題7.3第1題變式）下列命題中，屬于真命題的是（　D　）
A. 過一點有且只有一條直線與已知直線平行
B. 互補的兩個角是鄰補角
C. 兩條直線被第三條直線所截，同旁內角互補
D. 在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行
D
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2
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9
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12
4. 有下列語句：① 今天上午第幾節課是數學課？② 取線段AB的中點.③ 如果a＞b，那么3a＞3b.④ 這兩條直線平行嗎？⑤ 凡是直角都相等.其中， 是命題（填序號）.
5. 下列語句哪些是命題？哪些不是命題？為什么？
③⑤　
（1） 延長線段AB到點C，使BC＝AB.
（2） 我們要支持某新區建設嗎？
（3） 在直線AB上任取一點C.
解：（1）（2）（3）不是命題，它們不是對一件事情進行判斷　
（4） 同位角不相等，則兩直線不平行.
解：（4）是命題，它是對一件事情進行判斷
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6. （教材P23練習第3題變式）寫出下列命題的題設和結論：
（1） 若∠1＋∠2＝180°，則∠1與∠2互補；
解：（1） 題設：∠1＋∠2＝180°　結論：∠1與∠2互補
（2） 同角的余角相等；
解：（2） 題設：兩個角是同一個角的余角　結論：這兩個角相等
（3） 如果一條直線和兩條平行線中的一條垂直，那么這條直線也和另一條直線垂直.
解：（3） 題設：一條直線和兩條平行線中的一條垂直　結論：這條直線也和另一條直線垂直
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7. 有下列說法：① 一個角小于它的補角；② 一個銳角大于它的余角；③ 兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；④ 兩個銳角的和一定大于90°.其中，是假命題的有（　D　）
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
D
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8. 對假命題“任何一個角的補角都不小于這個角”舉反例，正確的反例是（　C　）
A. ∠α＝60°，∠α的補角∠β＝120°，∠β＞∠α
B. ∠α＝90°，∠α的補角∠β＝90°，∠β＝∠α
C. ∠α＝100°，∠α的補角∠β＝80°，∠β＜∠α
D. 兩個角互為鄰補角
C
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9. 已知三條不同的直線a，b，c在同一平面內，有下列命題：① 如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；② 如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③ 如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④ 如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c.其中，屬于真命題的是 （填序號）.
①②④　
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10. 把下列命題改寫成“如果……那么……”的形式，并判斷命題的
真假.
（1） 一個有理數既不是正數，也不是負數，它一定是0；
解：（1） 如果一個有理數既不是正數，也不是負數，那么它一定是0，這是一個真命題
（2） 同位角相等；
解：（2） 如果兩個角是同位角，那么這兩個角相等，這是一個假命題
（3） 絕對值相等的兩個數互為相反數.
解：（3） 如果兩個數的絕對值相等，那么這兩個數互為相反數，這是一個假命題
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11. 如圖，現有下列三個論斷：① AB∥CD；② ∠B＝∠C；③ ∠E＝∠F. 請以其中兩個論斷為條件，另一個論斷為結論構造命題.
（1） 你構造的是哪幾個命題？
解：（1） 構造3個命題如下：若AB∥CD，∠B＝∠C，則∠E＝∠F；若AB∥CD，∠E＝∠F，則∠B＝∠C；若∠B＝∠C，∠E＝∠F，則AB∥CD
第11題
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（2） 你構造的命題是真命題還是假命題？請選擇其中一個真命題加以說明.
解：（2） 若AB∥CD，∠B＝∠C，則∠E＝∠F. 此命題是真命題　理由：∵ AB∥CD，∴ ∠C＝∠BAE. ∵ ∠B＝∠C，∴ ∠B＝∠BAE. ∴ AC∥BF. ∴ ∠E＝∠F. 　若AB∥CD，∠E＝∠F，則∠B＝∠C. 此命題是真命題　理由：∵ AB∥CD，∴ ∠C＝∠BAE. ∵ ∠E＝∠F，∴ CE∥BF. ∴ ∠B＝∠BAE. ∴ ∠B＝∠C. 　若∠B＝∠C，∠E＝∠F，則AB∥CD. 此命題是真命題　理由：∵ ∠E＝∠F，∴ CE∥BF.
∴ ∠B＝∠BAE. ∵ ∠B＝∠C，∴ ∠C＝∠BAE.
∴ AB∥CD.
第11題
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12. （1） 如圖，∠CDG＝∠B，AD⊥BC于點D，點E在AB上，EF⊥BC于點F. 試說明：∠1＝∠2.
解：（1） ∵ ∠CDG＝∠B，∴ DG∥AB. ∴ ∠1＝∠DAB. ∵ AD⊥BC，EF⊥BC，∴ EF∥AD. ∴ ∠2＝∠DAB. ∴ ∠1＝∠2
第12題
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（2） 若把（1）中的“∠CDG＝∠B”與結論“∠1＝∠2”對調，則所得的命題是真命題嗎？請說明理由.
解：（2） 是真命題　理由：∵ AD⊥BC，EF⊥BC，∴ AD∥EF. ∴ ∠2＝∠DAB. ∵ ∠1＝∠2，∴ ∠1＝∠DAB. ∴ DG∥AB. ∴ ∠CDG＝∠B.
第12題
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7.3　定義、命題、定理
第2課時　定理的證明
第七章　相交線與平行線
1. （教材P24練習第1題變式）完成下面的證明：
如圖，AB∥EF，EP⊥EQ，∠1＋∠APE＝90°.求證：AB∥CD.
第1題
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證明：∵ AB∥EF，
∴ ∠APE＝ （ ）.
∵ EP⊥EQ，
∴ ∠PEQ＝ （ ）.
∴ ∠2＋∠3＝90°.
∴ ∠APE＋∠3＝90°.
∵ ∠1＋∠APE＝90°，
∴ ∠1＝ .
∴ ∥CD（ ）.
又∵ AB∥EF，
∴ AB∥CD（ ）.
∠2　
兩直線平行，內錯角相等　
90°　
垂直的定義　
∠3　
EF　
內錯角相等，兩直線平行　
平行于同一直線的兩條直線互相平行　
第1題
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2. 如圖，AB∥CD，∠B＝∠D，直線EF與AD，BC的延長線分別交于點E，F. 求證：∠DEF＝∠F.
第2題
解：∵ AB∥CD，∴ ∠DCF＝∠B. ∵ ∠B＝∠D，∴ ∠DCF＝∠D. ∴ AD∥BC. ∴ ∠DEF＝∠F
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3. 如圖，EF⊥AB，CD⊥AB，垂足分別為E，D，點F在線段BC上，點G在線段AC上，∠EFB＝∠GDC. 求證：∠AGD＝∠ACB.
第3題
解：∵ EF⊥AB，CD⊥AB，∴ ∠BEF＝∠BDC＝90°.
∴ EF∥CD. ∴ ∠EFB＝∠BCD. ∵ ∠EFB＝∠GDC，∴ ∠GDC＝∠BCD. ∴ DG∥BC. ∴ ∠AGD＝∠ACB
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4. （教材P25習題7.3第3題變式）完成下面的證明推理過程，并在括號里填上依據.
如圖，DE∥BC，DF，BE分別平分∠ADE和∠ABC. 求證：∠FDE＝∠DEB.
第4題
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證明：∵ DE∥BC（已知），
∴ ∠ADE＝ （　 　）.
∵ DF，BE分別平分∠ADE和∠ABC（已知），
∴ ∠ADF＝ ∠ADE，∠ABE＝ ∠ABC（ ）.
∴ ∠ADF＝∠ABE.
∴ ∥ （ ）.
∴ ∠FDE＝ （ ）.
∠ABC　
兩直線平行，同位角相等　
角的平分線的定義
DF　
BE　
同位角相等，兩直線平行　
∠DEB　
兩直線平行，內錯角相等　
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5. 如圖，AD∥BC，∠1＝∠B.
第5題
（1） 求證：AB∥DE；
（2） 若∠A＝120°，CD⊥AD，求∠EDC的度數.
請完成下面的解答過程，并在括號里填上依據.
解：（1） ∵ AD∥BC（已知），
∴ ∠1＝ （　 　）.
又∵ ∠1＝∠B（已知），
∴ ∠B＝ .
∴ AB∥DE（　 　）.
∠DEC　
兩直線平行，內錯角相等　
∠DEC　
同位角相等，兩直線平行　
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（2） 由（1）已證AB∥DE，
∴ ∠A＋ ＝180°（　 　）.
∵ ∠A＝120°，
∴ ∠1＝ °（等式的基本事實）.
∵ CD⊥AD（已知），
∴ ∠ADC＝90°（垂直的定義）.
∴ ∠EDC＝ °.
∠1　
兩直線平行，同旁內角互補　
60　
30　
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6. 如圖，點F在AB上，點E在CD上，AE，DF分別交BC于點H，G，∠A＝∠D，∠FGB＋∠EHG＝180°.
（1） 求證：AB∥CD；
解：（1） ∵ ∠FGB＋∠EHG＝180°，
∴ ∠HGD＋∠EHG＝180°.∴ AE∥DF. ∴ ∠A＋∠AFD＝180°.又∵ ∠A＝∠D，∴ ∠D＋∠AFD＝180°.∴ AB∥CD
第6題
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（2） 若AE⊥BC，直接寫出圖中所有與∠C互余的角，不需要證明.
解：（2） ∵ AE⊥BC，∴ ∠CHE＝90°.∴ ∠C＋∠AEC＝90°，即∠C與∠AEC互余.
∵ AE∥DF，∴ ∠AEC＝∠D，∠A＝∠BFG.
∵ AB∥CD，∴ ∠AEC＝∠A. 綜上所述，與∠C互余的角有∠AEC，∠A，∠D，∠BFG
第6題
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7. 如圖，在三角形ABC中，過點A作AD⊥BC，垂足為D，E為AB上一點，過點E作EF⊥BC，垂足為F，過點D作DG∥AB，交AC于點G.
（1） 依題意補全圖形；
解：（1） 如圖所示
第7題
第7題答案
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（2） 請你判斷∠BEF與∠ADG的數量關系，并加以證明.
解：（2） ∠BEF＝∠ADG　∵ AD⊥BC，EF⊥BC，∴ ∠ADF＝∠EFB＝90°.∴ AD∥EF.
∴ ∠BEF＝∠BAD. ∵ DG∥AB，∴ ∠BAD＝∠ADG. ∴ ∠BEF＝∠ADG
第7題
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8. 如圖，AB∥CD，E是直線FD上的一點，∠ABC＝140°，∠CDF＝40°.
（1） 求證：BC∥EF.
解：（1） ∵ AB∥CD，∴ ∠ABC＋∠BCD＝180°.∵ ∠ABC＝140°，∴ ∠BCD＝40°.
∵ ∠CDF＝40°，∴ ∠BCD＝∠CDF. ∴ BC∥EF
第8題
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（2） 連接BD，AE. 若BD∥AE，∠BAE＝110°，求證：BD平分∠ABC.
解：（2） ∵ AE∥BD，∴ ∠BAE＋∠ABD＝180°.∵ ∠BAE＝110°，∴ ∠ABD＝70°.
∵ ∠ABC＝140°，∴ ∠DBC＝140°－70°＝70°.
∴ ∠ABD＝∠DBC. ∴ BD平分∠ABC
第8題
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8(共17張PPT)
7.2　平 行 線
7.2.1　平行線的概念
第七章　相交線與平行線
1. 下列圖形中，AB∥CD的是（　B　）
A B
C D
B
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2. 兩條射線平行是指（　D　）
A. 兩條射線一定都是水平的
B. 兩條射線都在同一直線上且方向相同
C. 兩條射線方向相反
D. 兩條射線所在的直線平行
D
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3. （教材P11思考變式）在同一平面內，經過直線外一點畫直線，下列說法錯誤的是（　B　）
A. 可以畫無數條直線與這條直線相交
B. 可以畫無數條直線與這條直線平行
C. 能且只能畫一條直線與這條直線平行
D. 能且只能畫一條直線與這條直線垂直
B
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4. 如圖，在4×6的網格中，點A，B，C，D，E，F都在格點上，連接C，D，E，F中任意兩點得到的所有線段中，與線段AB平行的是線段 .
第4題
DF　
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5. （教材P12練習變式）如圖.
（1） 過BC上的一點P畫AB的平行線，交AC于點T；
解：（1） 如圖所示
第5題
第5題答案
（2） 過點C畫MN∥AB；
解：（2） 如圖所示
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（3） 直線PT，MN具有何種位置關系？
解：（3） PT∥MN
第5題
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6. 在同一平面內，一條直線與另外兩條平行直線的位置關系是（　D　）
A. 一定與兩條平行直線相交
B. 與兩條平行直線中的一條平行，而與另一條相交
C. 一定與兩條平行直線平行
D. 與兩條平行直線都平行或都相交
D
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7. 已知∠AOB，P是平面內任意一點，過點P畫一條直線與OA平行，則這樣的直線（　D　）
A. 有且只有一條
B. 有兩條
C. 不存在
D. 有一條或不存在
D
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8. 有下列語句：① 任意兩條直線的位置關系不是相交就是平行；② 過一點有且只有一條直線與已知直線平行；③ 過兩條直線a，b外一點P，畫直線c，使c∥a，則一定有c∥b；④ 若直線a∥b，b∥c，則c∥a.其中，正確的有（　D　）
A. 4個 B. 3個
C. 2個 D. 1個
D
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9. 已知直線a，b都經過點M，且直線a∥l，b∥l，則直線a，b重合，依據是 .
10. 如圖，將一張長方形硬紙片ABCD對折后打開，折痕為EF，把長方形ABEF平放在桌面上.另一個長方形CDFE無論怎樣改變位置，總有CD∥AB，理由是 .
第10題
經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行　
如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直
線也互相平行　
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11. 如圖，直線AB，CD是一條河的兩岸，并且AB∥CD，E為直線AB，CD外一點，現想過點E作岸CD的平行線，只需過點E作岸AB的平行線即可，請畫出圖形，并說明理由.
第11題
解：如圖所示　理由：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.
第11題答案
第11題答案
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12. 如圖，AD∥BC，點E在線段AB上，且AE＝BE.
（1） 過點E作EF∥BC，交DC于點F.
解：（1） 如圖所示
第12題
　第12題答案
第12題答案
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（2） AD與EF平行嗎？為什么？
解：（2） 平行　如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行
第12題
（3） 通過測量，試判斷等式DF＝CF與EF＝ （AD＋BC）是否成立.
解：（3） 兩個等式都成立
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13. （1） 畫∠AOB＝60°，在∠AOB內部有一點P，過點P畫EF∥OA，交OB于點E（點E，F在點P的兩側），過點P畫GH∥OB，交OA于點G（點G，H在點P的兩側）.
解：（1） 如圖所示
第13題答案
第13題答案
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（2） 測量∠HPF和∠EPH的度數.
解：（2） ∠HPF＝60°，∠EPH＝120°
（3） ∠HPF與∠AOB，∠EPH與∠AOB有什么關系？
解：（3） ∠HPF＝∠AOB，∠EPH＋∠AOB＝180°
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解：（4） 當∠α＝∠β時，2∠β－30°＝∠β，解得∠β＝30°.所以∠α＝30°.當∠α＋∠β＝180°時，2∠β－30°＋∠β＝180°，解得∠β＝70°.所以∠α＝110°.所以∠α與∠β的度數為30°，30°或110°，70°
（4） 如果（3）中你猜想的結論是正確的，請用你的猜想解決下面的問題：
已知∠α的兩邊與∠β的兩邊分別平行，∠α比∠β的2倍少30°.求∠α與∠β的度數.
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13(共36張PPT)
第七章總結提升
第七章　相交線與平行線
考點一　相交線與垂線
1. 如圖，直線a，b相交于點O. 若∠2＝3∠1，則∠3的度數為（　C　）
A. 45° B. 100° C. 135° D. 160°
第1題
C
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2. 如圖，在三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝7，點M在邊BC上（點M不與點B，C重合），連接AM，則AM的長不可能是（　D　）
A. 6 B. 5.5
C. 4.5 D. 3
第2題
D
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3. 如圖，點O在直線AB上，EO⊥OF，EM⊥AB于點M，連接EF，則點E到OF的距離是線段 的長度.
第3題
EO　
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4. 如圖，點O在直線AB上，OC⊥OD. 若∠AOC＝50°，則∠BOD的度數是 .
第4題
140°　
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5. 如圖，直線AB，CD相交于點O，過點O作OE⊥AB，且OF平分∠AOD，∠BOD＝24°.
（1） 求證：∠COF＝∠BOF；
解：（1） ∵ OF平分∠AOD，∴ ∠AOF＝∠DOF. 又∵ ∠AOC＝∠BOD，∴ ∠AOF＋∠AOC＝∠DOF＋∠BOD，即∠COF＝∠BOF
第5題
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（2） 求∠EOF的度數.
解：（2） ∵ ∠AOD＝180°－∠BOD＝180°－24°＝156°，∴ ∠AOF＝∠DOF＝156°÷2＝78°.
又∵ OE⊥AB，∴ ∠AOE＝90°.∴ ∠EOF＝∠AOE－∠AOF＝90°－78°＝12°
第5題
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考點二　平行線的性質與判定
6. 如圖，為判斷一段紙帶的兩邊a，b是否平行，小亮在紙帶兩邊a，b上分別取點A，B，并連接AB，下列條件能判斷a∥b的是（　C　）
A. ∠1＝∠2 B. ∠1＝∠3
C. ∠2＋∠4＝180° D. ∠3＋∠4＝180°
第6題
C
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7. 如圖，直線a∥b，點C，A分別在直線a，b上，AC⊥BC. 若∠1＝50°，則∠2的度數為 .
第7題
40°　
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8. 如圖，直線a∥b，∠1＝63°，∠B＝45°，則∠2的度數為 .
第8題
108°　
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9. 小明到一個家具廠去參觀，看見木工師傅正在擺弄一塊如圖所示的板材，木工師傅告訴小明AB∥CD，他現在要用直角尺來檢驗AE與DE是否垂直.小明說他有其他的辦法，然后從書包里拿出量角器，量得∠A＝65°，∠D＝28°，小明就說AE與DE不垂直.小明的結論正確嗎？為什么？
第9題
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解：小明的結論正確　過點E向下作EF∥AB. ∴ ∠AEF＝∠A＝65°.∵ AB∥EF，AB∥CD，∴ EF∥CD. ∴ ∠DEF＝∠D＝28°.∴ ∠AED＝∠AEF＋∠DEF＝65°＋28°＝93°.∴ AE與DE不垂直.∴ 小明的結論正確
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考點三　命題、定理、證明
10. 下列命題的逆命題是真命題的為（　A　）
A. 兩直線平行，內錯角相等
B. 如果a＝b，那么a2＝b2
C. 鈍角三角形中有兩個銳角
D. 對頂角相等
11. 命題“垂直于同一條直線的兩條直線平行”的題設為 .
A
兩條直線垂直于同一條直線　
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考點四　平移
12. 如圖，三角形ABC的邊BC的長為5cm，將三角形ABC向上平移2cm得到三角形A'B'C'，且BB'⊥BC，則陰影部分的面積為（　B　）
A. 5cm2 B. 10cm2 C. 20cm2 D. 30cm2
第12題
B
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13. 如圖，一塊長方形草坪中間有兩條寬度均為2m的石子路（每條石子路間距均勻），那么草坪（陰影部分）的面積是 m2.
第13題
48　
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14. 如圖，CA⊥BE于點A，AD⊥BF于點D，下列說法正確的是（　D　）
A. ∠α與∠B是同位角
B. ∠α的鄰補角是∠DAC
C. ∠ACF是∠α的余角
D. ∠α與∠ACF互補
第14題
D
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15. （2024·涼山）將一副直角三角尺按如圖所示的方式擺放，點E在AB的延長線上，當DF∥AB時，∠EDB的度數為（　B　）
A. 10° B. 15° C. 30° D. 45°
第15題
B
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16. 有下列命題：① 有且只有一條直線平行于已知直線；② 過直線外一點到這條直線的垂線段就是這點到直線的距離；③ 在同一平面內，互相垂直的兩條線段一定相交；④ 若直線l外一點P與直線l上各點連接而成的所有線段中，最短線段的長為3cm，則點P到直線l的距離為3cm.其中，錯誤的有（　C　）
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
C
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17. 如圖所示為一塊長方形場地的示意圖，長AB為102m，寬AD為51m，A，B兩處入口的路寬都為1m，兩條小路匯合處的路寬為2m，其余部分為草坪，則草坪的面積為（　B　）
A. 5050m2 B. 5000m2
C. 1020m2 D. 499m2
第17題
B
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18. 如圖，∠ABD＝∠CDB，請寫出圖中另外一組相等的角：
（只能用圖中的字母表示）.
第18題
∠BAC＝∠ACD　
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19. 如圖，AB∥CD，EF∥GH，∠3＝∠4.若∠2＝70°，則∠1的度數為 .
第19題
40°　
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20. 將一張長方形紙片折疊成如圖所示的圖形.若∠ABC＝26°，則∠ACD的度數是 .
第20題
128°　
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21. 如圖，沿虛線剪去長方形紙片相鄰的兩個角，使∠1＝120°，AB⊥BC，則∠2＝ .
第21題
150°　
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22. 如圖，AB∥EG，CD∥EF，BC∥DE，若∠α＝50°，∠β＝26°，則∠γ的度數為 .
第22題
24°　
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23. 如圖，點D，E，H分別在三角形ABC的邊AB，BC，AC上，連接DE，過點C作CF交DH的延長線于點F且滿足∠B＋∠BCF＝180°.若DE∥AC，∠1＝∠3，求證：∠B＝∠F.
第23題
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證明：∵ DE∥AC（已知），
∴ ∠1＝ （兩直線平行，同位角相等）.
∵ ∠1＝∠3（已知），
∴ ∠3＝∠2（　 　）.
∴ DF∥BC（　 　）.
∴ ∠4＝∠B（兩直線平行，同位角相等）.
∵ ∠B＋∠BCF＝180°（已知），
∴ ∥ （同旁內角互補，兩直線平行）.
∴ ∠4＝ （兩直線平行，內錯角相等）.
∴ ∠B＝∠F（等式的基本事實）.
∠2　
等式的基本事實　
內錯角相等，兩直線平行　
AB　
CF　
∠F　
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24. 如圖，直線AB，CD相交于點O，OM⊥AB于點O.
（1） 若∠1＝∠2，求∠NOD的度數；
解：（1） ∵ OM⊥AB，∴ ∠AOM＝90°.∴ ∠1＋∠AOC＝90°.∵ ∠1＝∠2，∴ ∠2＋∠AOC＝90°.∴ ∠NOC＝90°.∴ ∠NOD＝180°－∠NOC＝180°－90°＝90°
第24題
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24
（2） 若∠BOC＝4∠1，求∠AOC與∠MOD的度數.
解：（2） ∵ OM⊥AB，∴ ∠AOM＝∠BOM＝90°.∵ ∠BOC＝4∠1，∴ ∠BOM＝3∠1，即3∠1＝90°.∴ ∠1＝30°.∴ ∠AOC＝∠AOM－∠1＝90°－30°＝60°，∠MOD＝180°－∠1＝180°－30°＝150°
第24題
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25. 中華文化博大精深，方塊文字智慧靈秀，奧妙無窮.如圖①是一個“互”字，如圖②是由圖①抽象的幾何圖形，其中AB∥CD，MG∥FN，點E，M，F在同一條直線上，點G，N，H在同一條直線上，且∠EFN＝∠G.
（1） EF與GH平行嗎？請說明理由.
解：（1） 平行　
理由：∵ MG∥FN，∴ ∠EFN＝∠EMG.
∵ ∠EFN＝∠G，∴ ∠G＝∠EMG. ∴ EF∥GH.
25
26
第25題
（2） 求證：∠AEF＝∠GHD.
第25題
25
26
解：（2） 如圖②，延長EF交CD于點P. ∵ AB∥CD，∴ ∠BEF＋∠MPH＝180°.∵ EP∥GH，∴ ∠GHP＋∠MPH＝180°.
∴ ∠BEF＝∠GHP. ∵ ∠BEF＝180°－∠AEF，∠GHP＝180°－∠GHD，∴ ∠AEF＝∠GHD
25
26
26. 已知AB∥CD.
（1） 如圖①，請探索∠A，∠E，∠C三個角之間的數量關系，并說明理由.
第26題
25
26
解：（1） ∠AEC＋∠C－∠A＝180°　理由：如圖①，過點E作EM∥AB. ∵ AB∥CD，∴ AB∥EM∥CD. ∴ ∠AEM＝∠A，∠MEC＋∠C＝180°.∴ ∠AEM＋∠MEC＋∠C＝∠A＋180°，即∠AEC＋∠C－∠A＝180°.
25
26
① 如圖②，若∠F＝100°，求∠C＋∠E的度數；
② 如圖③，若∠AEF和∠DCF的平分線交于點G，請直接寫出∠G與∠F的數量關系.
（2） 若∠A＝24°.
25
26
解：（2） ① 如圖②，過點F作FN∥AB. ∵ AB∥CD，
∴ AB∥FN∥CD. ∴ ∠C＋∠NFC＝180°.∴ ∠C＝180°－∠NFC. 由（1），得∠E＋∠EFN－∠A＝180°，∴ ∠E＝180°－∠EFN＋∠A. ∴ ∠C＋∠E＝180°－∠NFC＋（180°－∠EFN＋∠A），即∠C＋∠E＝360°－（∠NFC＋∠EFN）＋∠A＝360°－∠EFC＋∠A. ∵ ∠EFC＝100°，∠A＝24°，∴ ∠C＋∠E＝360°－100°＋24°＝284°
② ∠G＋ ∠F＝168°
25
26(共20張PPT)
7.2　平 行 線
7.2.3　平行線的性質　 第1課時　平行線的性質
第七章　相交線與平行線
1. （教材P17練習第1題變式）（2024·內江）如圖，AB∥CD，直線EF分別交AB，CD于點E，F. 若∠EFD＝64°，則∠BEF的度數是（　C　）
A. 136° B. 64° C. 116° D. 128°
第1題
C
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2. （2024·甘孜）如圖，AB∥CD，AD平分∠BAC，∠1＝30°，則∠2的度數為（　B　）
A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°
第2題
B
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3. （教材P16探究變式）如圖.
第3題
（1） ∵ ∥ ，∴ ∠ABD＝∠BDC（ ）.
（2） ∵ ∥ ，∴ ∠CBE＝∠DCB（ ）.
DC　
AE　
兩直線平行，內錯角相等
DC　
AE　
兩直線平行，內錯角相等
（3） ∵ ∥ ，∴ ∠CDB＋∠DBE＝180°（ ）.
（4） ∵ DB∥ ，∴ ∠ABD＝ （ ）.
DC　
AE　
兩直線平行，同旁內角互補　
CE　
∠E　
兩直線平行，同位角相等
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4. 如圖，直線AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝54°，求∠2的度數.
第4題
解：∵ AB∥CD，∴ ∠ABC＝∠1＝54°，∠ABD＋∠BDC＝180°.∵ BC平分∠ABD，∴ ∠ABD＝2∠ABC＝108°.∴ ∠BDC＝180°－∠ABD＝72°.∴ ∠2＝∠BDC＝72°
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15
5. 如圖，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，交AC于點D，過點D作DE∥BC，交AB于點E，則下列結論不一定正確的是（　D　）
A. ∠AED＝90° B. ∠BDE＝45°
C. ∠ADE＝∠C D. ∠DBC＝∠DCB
第5題
D
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15
6. （2024·巴中）如圖，直線m∥n，一塊含有30°角的直角三角尺按如圖所示的方式放置.若∠1＝40°，則∠2的度數為（　A　）
A. 70° B. 60°
C. 50° D. 40°
第6題
A
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7. 如圖，AB∥DE，BC⊥CD，下列說法中，正確的是（　B　）
A. α，β的度數之和為定值
B. α隨β的增大而增大
C. α，β的度數之積為定值
D. α隨β的增大而減小
第7題
B
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15
8. 如圖，AB與CD相交于點O，AC∥OP∥BD. 如果∠C＝50°，∠B＝65°，那么∠AOD＝ .
第8題
115°　
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15
9. 如圖，把三角形ABC沿平行于BC的直線DE折疊，使點A落在邊BC上的點F處.若∠B＝50°，則∠BDF的度數為 .
第9題
80°　
1
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5
6
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14
15
10. （2023·永州）如圖，AB∥CD，BC∥ED，∠B＝80°，則∠D＝ .
第10題
100°　
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15
11. 某路口紅綠燈的平面示意圖如圖所示，AB平行于地面CD，ED垂直于地面CD. 已知∠BED的度數是150°，則∠ABE的度數是 .
第11題
120°　
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15
12. 如圖，l1∥l2，且分別與l3，l4相交，∠1與∠2互余，∠3＝115°，求∠4的度數.
第12題
解：∵ l1∥l2，∴ ∠3＋∠1＝180°，∠4＋∠2＝180°.∵ ∠3＝115°，∴ ∠1＝180°－115°＝65°.∵ ∠1與∠2互余，∴ ∠2＝90°－65°＝25°.∴ ∠4＝180°－∠2＝155°
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13. 國慶期間，小明家正在裝修，他看到家里有一個兩組對邊分別平行的四邊形框架ABCD（如圖）.裝修師傅告訴他這個四邊形框架的兩組對角分別相等，即∠A＝∠C，∠B＝∠D. 小明百思不得其解.你能告訴他原因嗎？
第13題
解：由題意，知AB∥CD，AD∥BC，∴ ∠A＋∠D＝180°，∠A＋∠B＝180°.∴ ∠B＝∠D. 同理，可得∠A＝∠C
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14. 如圖，AB∥CD，CE與AB交于點O，OF平分∠AOE，OG⊥OF.
（1） 若∠C＝50°，求∠BOF的度數；
解：（1） ∵ AB∥CD，∴ ∠BOE＝∠C＝50°.
∴ ∠AOE＝180°－∠BOE＝130°.∵ OF平分∠AOE，∴ ∠EOF＝∠AOF＝65°.∴ ∠BOF＝∠BOE＋∠EOF＝50°＋65°＝115°
第14題
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（2） 試說明OG平分∠AOC.
解：（2） ∵ OG⊥OF，∴ ∠GOF＝90°.∴ ∠AOF＋∠AOG＝90°，∠EOF＋∠COG＝90°.∵ ∠AOF＝∠EOF，∴ ∠AOG＝∠COG. ∴ OG平分∠AOC
第14題
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15. 如圖，AB∥CD.
（1） 如圖①，若∠CMN＝90°，點B在射線MN上，∠ABM＝120°，求∠C的度數；
第15題
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解：（1） 如圖①，過點M作MK∥AB，則∠ABM＋∠KMB＝180°.∴ ∠KMB＝180°－∠ABM＝60°.∵ ∠CMN＝90°，
∴ ∠CMK＝90°－∠KMB＝30°.∵ AB∥CD，MK∥AB，
∴ MK∥CD. ∴ ∠C＝∠CMK＝30°
第15題答案
第15題答案
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14
15
（2） 如圖②，若∠CMN＝150°，試猜想∠ABM與∠C的數量關系，并說明理由.
第15題
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15
解：（2） ∠ABM－∠C＝30°　理由：如圖②，過點M作ME∥AB，即∠ABM＋∠EMB＝180°，∴ ∠EMB＝180°－∠ABM. ∵ AB∥CD，ME∥AB，∴ ME∥CD. ∴ ∠C＝∠CME. ∵ ∠CMN＝∠CME＋∠EMB＝150°，∴ ∠C＋180°－∠ABM＝150°.∴ ∠ABM－∠C＝30°.
第15題答案
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14
15(共19張PPT)
7.1　相 交 線
7.1.3　兩條直線被第三條直線所截
第七章　相交線與平行線
1. 如圖，直線a，b被直線c所截，下列各組角是同位角的為（　B　）
A. ∠1與∠2 B. ∠1與∠3
C. ∠2與∠3 D. ∠3與∠4
第1題
B
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4
5
6
7
8
9
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11
12
2. （教材P7例3變式）如圖，與∠1是內錯角的是（　D　）
A. ∠2 B. ∠3 C. ∠4 D. ∠5
第2題
D
1
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5
6
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12
3. 如圖，有下列結論：① ∠2與∠6是內錯角；② ∠3與∠4是內錯角；③ ∠5與∠6是同旁內角；④ ∠1與∠4是同旁內角.其中，正確的是（　C　）
A. ①② B. ②③④
C. ①②④ D. ①②③④
第3題
C
1
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4
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6
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9
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11
12
4. 如圖，當直線BC，DC被直線AB所截時，∠1的同位角是 ，同旁內角是 ；當直線AB，AC被直線BC所截時，∠1的同位角是 ；當直線AB，BC被直線CD所截時，∠2的內錯角是 .
第4題
∠2　
∠5　
∠3　
∠4　
1
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12
5. 如圖，BE是AB的延長線，下列各組中的兩個角分別是由哪兩條直線被哪一條直線所截形成的？它們是什么角？
（1） ∠A與∠D；
解：（1） ∠A與∠D是由直線AE，CD被直線AD所截形成的同旁內角
第5題
1
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5
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11
12
（2） ∠A與∠CBA；
解：（2） ∠A與∠CBA是由直線AD，BC被直線AE所截形成的同旁內角
第5題
1
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5
6
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9
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12
（3） ∠C與∠CBE.
解：（3） ∠C與∠CBE是由直線CD，AE被直線BC所截形成的內錯角
第5題
1
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5
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10
11
12
6. 如圖，下列說法錯誤的是（　C　）
A. ∠1與∠2是對頂角
B. ∠1與∠3是同位角
C. ∠1與∠4是內錯角
D. ∠B與∠D是同旁內角
第6題
C
1
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4
5
6
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8
9
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12
7. 如圖，風箏的骨架構成了多種位置關系的角.下列角中，與∠1構成同位角的是（　A　）
A. ∠2 B. ∠3 C. ∠4 D. ∠5
第7題
A
1
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4
5
6
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10
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12
8. 如圖.
第8題
（1） 當直線AC，DG被直線CD所截時，∠2的內錯角是 ；
（2） ∠AEF的同位角是 ；
（3） ∠1的同旁內角是 .
∠ACD　
∠ACD，∠ACB　
∠ACD，∠ACB，∠EFD　
1
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12
9. 如圖.
第9題
（1） ∠1和∠2是直線 和直線 被直線 所截形成的 ；
（2） ∠5和∠8是直線 和直線 被直線 所截形成的 ；
CD　
AB　
AE　
內錯角　
AB　
AE　
CD　
同位角　
（3） ∠2和∠7是直線 和直線 被直線 所截形成的 .
AE　
CD　
AB　
內錯角　
1
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12
10. 如圖，直線a，b被直線c所截，∠1＝40°，∠2＝105°.求：
（1） ∠1的同位角的度數；
解：（1） 由圖，可知∠1的同位角是∠4.因為∠2與∠4互為鄰補角，所以∠2＋∠4＝180°.因為∠2＝105°，所以∠4＝180°－∠2＝75°.所以∠1的同位角的度數為75°
第10題
1
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12
（2） ∠4的內錯角的度數；
解：（2） 由圖，可知∠4的內錯角是∠5.因為∠5與∠1互為對頂角，所以∠5＝∠1.因為∠1＝40°，所以∠5＝40°.所以∠4的內錯角的度數為40°
第10題
1
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4
5
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8
9
10
11
12
（3） ∠3的同旁內角的度數.
解：（3） 由圖，可知∠3的同旁內角是∠4，由（1），可知∠4＝75°，所以∠3的同旁內角的度數為75°
第10題
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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12
11. 如圖，直線DE，BC被直線AB，AC所截.
（1） ∠2與∠B是什么角？若∠1＝∠B，則∠2與∠B有何數量關系？請說明理由.
解：（1） ∠2與∠B是同旁內角　若∠1＝∠B，則∠2＋∠B＝180°　理由：因為∠1＋∠2＝180°（鄰補角定義），∠1＝∠B，所以∠2＋∠B＝180°.
第11題
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11
12
（2） ∠3與∠C是什么角？若∠4＋∠C＝180°，則∠3與∠C有何數量關系？請說明理由.
解：（2） ∠3與∠C是同位角　∠3＝∠C　理由：因為∠3＋∠4＝180°（鄰補角定義），∠4＋∠C＝180°，所以∠3＝∠C（同角的補角相等）.
第11題
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9
10
11
12
12. 如圖，直線DE截直線AB，AC，構成標有數字記號的8個角.
（1） 寫出這8個角中所有的同位角、內錯角、同旁內角；
解：（1） 同位角：∠1與∠8，∠2與∠5，∠3與∠6，∠4與∠7　內錯角：∠3與∠8，∠4與∠5　同旁內角：∠3與∠5，∠4與∠8
第12題
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12
（2） ∠A與∠8，∠A與∠5，∠A與∠6分別是哪兩條直線被哪一條直線所截而形成的什么關系的角？
解：（2） ∠A與∠8是直線AB，DE被直線AC所截而形成的同位角　∠A與∠5是直線AB，DE被直線AC所截而形成的同旁內角　∠A與∠6是直線AB，DE被直線AC所截而形成的內錯角
第12題
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12(共25張PPT)
小專題（一）　平行線中的“拐點”問題
第七章　相交線與平行線
類型一　含一個拐點的平行線問題
1. 如圖，某江段的水流方向經過B，C，D三點拐彎后與原方向相同.若∠ABC＝125°，∠BCD＝75°，則∠CDE的度數為（　A　）
A. 20° B. 25°
C. 35° D. 50°
第1題
2. 如圖，若∠1＝40°，∠2＝140°，直線a∥b，則∠3＝ .
第2題
A
80°　
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11
3. 如圖，直線AB∥CD. 若∠E＝90°，∠C＝40°，則∠1＝ .
第3題
130°　
1
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3
4
5
6
7
8
9
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11
4. 如圖，AB∥CD. 若∠A＝72°，∠C＝58°，則∠E＝ .
第4題
14°　
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3
4
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6
7
8
9
10
11
5. 科學實驗表明，平面鏡反射光線的規律是射到平面鏡上的光線和反射出來的光線與平面鏡所夾的角相等.如圖①，一束平行光線AB與DE射向同一個水平鏡面后被反射，此時有∠ABP＝∠CBE，∠DEB＝∠FEQ. 如圖②，一束光線m射到平面鏡AP上，被平面鏡AP反射到平面鏡AQ上，又被平面鏡AQ反射，且平面鏡AQ反射出來的光線n平行于光線m.
第5題
1
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11
（1） 若∠1＝50°，求∠2的度數；
解：（1） 如圖②，∵ ∠1＝50°，∴ ∠4＝∠1＝50°.∴ ∠6＝180°－∠1－∠4＝180°－50°－50°＝80°.∵ m∥n，∴ ∠2＋∠6＝180°.∴ ∠2＝100°
1
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11
（2） 求∠3的度數.
解：（2） 如圖②，過點A作AB∥m.∵ m∥n，∴ AB∥n，∠2＋∠6＝180°.根據題意，得∠4＝∠1，∠5＝∠7，∴ ∠1＋∠4＋∠5＋∠7＝（180°－∠6）＋（180°－∠2）＝360°－（∠2＋∠6）＝360°－180°＝180°.∴ ∠1＋∠7＝90°.∵ AB∥m，AB∥n，∴ ∠1＝∠PAB，∠7＝∠BAQ. ∴ ∠3＝∠PAB＋∠BAQ＝∠1＋∠7＝90°
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11
6. 如圖①，AB∥CD，∠PAB＝128°，∠PCD＝124°，求∠APC的度數.小明的思路是過點P作PE∥AB，通過平行線的性質來求∠APC的度數.
第6題
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11
（1） 按照小明的思路，寫出推算過程，求∠APC的度數.
解：（1） ∵ PE∥AB，AB∥CD，∴ PE∥AB∥CD. ∴ ∠A＋∠APE＝180°，∠C＋∠CPE＝180°.∵ ∠PAB＝128°，∠PCD＝124°，∴ ∠APE＝52°，∠CPE＝56°.∴ ∠APC＝∠APE＋∠CPE＝108°
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11
（2） 如圖②，AB∥CD，點P在射線OM上運動，記∠PAB＝α，∠PCD＝β，當點P在B，D兩點之間運動時，∠APC與α，β之間有何數量關系？請說明理由.
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11
解：（2） ∠APC＝α＋β　理由：如答案圖①，過點P作PE∥AB交AC于點E. ∵ AB∥CD，∴ AB∥PE∥CD. ∴ α＝∠APE，β＝∠CPE. ∴ ∠APC＝∠APE＋∠CPE＝α＋β.
①
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5
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10
11
（3） 在（2）的條件下，當點P在線段OB上時，請直接寫出∠APC與α，β之間的數量關系.
②
解：（3） 如答案圖②，當點P在線段OB上時，∠APC＝β－α
第6題答案
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11
類型二　含多個拐點的平行線問題
7. 如圖，直線m∥n，AB⊥BC，∠1＝35°，∠2＝62°，則∠BCD的度數為（　B　）
A. 97° B. 117° C. 125° D. 152°
第7題
B
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11
8. 如圖，直線AE∥DF，若∠ABC＝120°，∠DCB＝95°，則∠1＋∠2＝ .
第8題
35°　
1
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5
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7
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11
9. 如圖，若AB∥EF，∠C＝90°，則α，β與γ之間的數量關系是 .
第9題
α＋β－γ＝90°　
1
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6
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11
10. 學行線的判定與性質后，某興趣小組提出如下問題：
第10題
已知AB∥CD.
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11
（1） 如圖①，若∠C＝3∠B，求∠B的度數.
解：（1） ∵ AB∥CD，∴ ∠B＋∠C＝180°.∵ ∠C＝3∠B，
∴ ∠B＋3∠B＝180°.∴ ∠B＝45°
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（2） 如圖②，當點E，F在兩平行線之間，且位于點B，C所在直線的異側時，求證：∠B＋∠E＝∠C＋∠F.
解：（2） 過點E向右作EM∥AB，過點F向左作FN∥AB.
∵ AB∥CD，∴ AB∥CD∥EM∥FN. ∴ ∠B＋∠BEF＋∠FEM＝180°，∠EFN＋∠EFC＋∠C＝180°，∠EFN＝∠FEM. ∴ ∠B＋∠BEF＝∠C＋∠EFC
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11
（3） 在（2）的條件下，如圖③，∠ABE＝3∠EBP，∠CFE＝3∠EFP. 若∠E＝88°，∠C＝130°，求∠BPF的度數.
1
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11
解：（3） 由（2），知∠ABE＋∠E＝∠CFE＋∠C，∴ ∠ABE－∠CFE＝∠C－∠E＝130°－88°＝42°.∵ ∠ABE＝3∠EBP，∠CFE＝3∠EFP，∴ ∠EBP－∠EFP＝14°.設BP交EF于點O.
∵ ∠EBO＋∠E＋∠BOE＝∠POF＋∠EFP＋∠P＝180°，∠BOE＝∠POF，∠E＝88°，∴ ∠EBO＋88°＝∠P＋∠EFP. ∴ ∠P＝88°＋∠EBO－∠EFP＝88°＋14°＝102°
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11. 已知AB∥CD，∠ABE與∠CDE的平分線相交于點F.
（1） 如圖①，若∠E＝80°，求∠BFD的度數；
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11
解：（1） 如圖①，分別過點E，F作EG∥AB，FH∥AB.
∵ AB∥CD，∴ EG∥AB∥FH∥CD. ∴ ∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH，∠ABE＋∠BEG＝180°，∠GED＋∠CDE＝180°.
∴ ∠ABE＋∠BEG＋∠GED＋∠CDE＝360°.∵ ∠BED＝∠BEG＋∠GED＝80°，∴ ∠ABE＋∠CDE＝280°.∵ ∠ABE與∠CDE的平分線相交于點F，∴ 易得∠ABF＋∠CDF＝140°.∵ ∠ABF＝∠BFH，∠DFH＝∠CDF，∴ ∠BFD＝∠BFH＋∠DFH＝∠ABF＋∠CDF＝140°
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11
（2） 如圖②，∠ABM＝ ∠ABF，∠CDM＝ ∠CDF，寫出∠M與∠E之間的數量關系，并證明你的結論；
第11題
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10
11
解：（2） 6∠M＋∠E＝360°　∵ ∠ABM＝ ∠ABF，∠CDM＝ ∠CDF，∴ ∠ABF＝3∠ABM，∠CDF＝3∠CDM. ∵ ∠ABE與∠CDE的平分線相交于點F，∴ 易得∠ABE＝6∠ABM，∠CDE＝6∠CDM. 由（1），易得∠ABE＋∠E＋∠CDE＝360°，
∴ 6∠ABM＋6∠CDM＋∠E＝360°.由題意，易得∠M＝∠ABM＋∠CDM，∴ 6∠M＋∠E＝360°
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（3） 若∠ABM＝ ∠ABF，∠CDM＝ ∠CDF，設∠E＝m，直接用含m，n的式子表示∠M的度數.
解：（3） 由（2），易得2n∠ABM＋2n∠CDM＋∠E＝360°.
∵ ∠E＝m，∠M＝∠ABM＋∠CDM，∴ ∠M＝
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10
11(共28張PPT)
第七章素能測評
一、 選擇題（每小題3分，共30分）
1. 下列四幅圖中，∠1和∠2是同旁內角的是（　C　）
A B
C D
C
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21
22
2. 如圖，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，則點B到直線CD的距離是指（　D　）
A. 線段BC的長度 B. 線段CD的長度
C. 線段BE的長度 D. 線段BD的長度
第2題
D
1
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5
6
7
8
9
10
11
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13
14
15
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17
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19
20
21
22
3. 如圖，∠1＝20°，AO⊥CO，點B，O，D在同一條直線上，則∠2的度數為（　C　）
A. 20° B. 70°
C. 110° D. 160°
第3題
C
1
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3
4
5
6
7
8
9
10
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12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
4. 有下列說法：① 對頂角的平分線在同一條直線上；② 相鄰兩角的平分線互相垂直；③ 同旁內角的平分線互相垂直；④ 鄰補角的平分線互相垂直.其中，正確的有（　B　）
A. 1個 B. 2個
C. 3個 D. 4個
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
5. 如圖，下列條件不能判定DE∥BC的是（　C　）
A. ∠B＝∠ADE B. ∠2＝∠4
C. ∠1＝∠3 D. ∠ACB＋∠DEC＝180°
第5題
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
6. 如圖，直線AB∥CD，點E在直線AB上，射線EF交直線CD于點G，則圖中與∠AEF互補的角有（　C　）
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
第6題
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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13
14
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16
17
18
19
20
21
22
7. 如圖，將一張對邊平行的紙條沿AB折疊.若∠1＝130°，則∠2的度數為（　C　）
A. 65° B. 100° C. 115° D. 130°
第7題
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
8. 如圖，AB∥CD，直線MN分別與直線AB，CD交于點Q，E，QF平分∠EQA，FG⊥FQ，交AB于點G. 若∠MEC＝54°，則∠GFE的度數為（　B　）
A. 144° B. 117°
C. 126° D. 63°
第8題
B
1
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3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
9. 如圖，AB∥CD，點E，F分別在AB，CD上，∠EPF＝90°，∠BEP＝∠GEP，則∠1與∠2之間的數量關系為（　B　）
A. ∠1＝∠2 B. ∠1＝2∠2
C. ∠1＝3∠2 D. ∠1＝4∠2
第9題
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
10. 將邊長為2的正方形的局部進行如圖①～③所示的變換得到的圖形為圖④的一部分，則圖④的面積是（　B　）
A. 18 B. 16 C. 12 D. 8
第10題
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
二、 填空題（每小題3分，共18分）
11. 如圖，E是AD延長線上一點.如果添加一個條件，使BC∥AD，那么可添加的條件為 （寫出一個即可）.
第11題
答案不唯一，如∠A＋∠ABC＝180°　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
12. 如圖，OA⊥OB，OC⊥OD，∠AOD＝146°，則∠BOC＝ .
第12題
34°　
1
2
3
4
5
6
7
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13. 用兩根木條做成如圖所示的學具，AB和CD都可繞點O轉動.若∠AOD減小10°，則∠BOC的度數的變化情況是 .
第13題
14. 把命題：“互為相反數的兩個數的和為零”改寫成“如果……那么……”的形式： .
減小10°　
如果兩個數互為相反數，那么這兩個數的和為零
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15. 將一副三角尺按如圖所示的方式放置，其中AB∥DE，則∠CDF＝ .
第15題
105°　
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16. 如圖是一款長臂折疊LED護眼燈的示意圖，EF與桌面MN垂直，當發光的燈管AB恰好與桌面MN平行時，∠BCD＝110°，∠CDE＝95°，則∠DEF的度數為 .
第16題
115°　
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三、 解答題（共52分）
17. （6分）如圖，直線AB，CD相交于點O，∠AOC與∠AOD的度數之比為4∶5，OE⊥AB，OF平分∠DOB. 求∠EOF的度數.
第17題
解：∵ ∠AOC與∠AOD的度數之比為4∶5，
∠AOC＋∠AOD＝180°，∴ ∠AOC＝180°
× ＝80°，∠AOD＝180°× ＝100°.
∴ ∠DOB＝∠AOC＝80°.∵ OF平分∠DOB，
∴ ∠DOF＝ ∠DOB＝ ×80°＝40°.∵ OE⊥AB，
∴ ∠AOE＝90°.∴ ∠EOD＝∠AOD－∠AOE＝100°－90°
＝10°.∴ ∠EOF＝∠EOD＋∠DOF＝10°＋40°＝50°
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18. （6分）如圖，點E，F分別在AB，CD上，AF⊥CE于點O，∠1＝∠B，∠A＋∠2＝90°，求證：AB∥CD.
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第18題
證明：∵ AF⊥CE（已知），
∴ ∠AOE＝90°（ ）.
又∵ ∠1＝∠B（已知），
∴ （同位角相等，兩直線平行）.
∴ ∠AFB＝∠AOE（ ）.
∴ ∠AFB＝90°（　 　）.
又∵ ∠AFC＋∠AFB＋∠2＝180°（平角的定義），
∴ ∠AFC＋∠2＝ .
又∵ ∠A＋∠2＝90°（已知），
∴ ∠A＝∠AFC（ ）.
∴ AB∥CD（內錯角相等，兩直線平行）.
垂直的定義　
CE∥BF　
兩直線平行，同位角相等　
等式的基本事實　
90°　
同角的余角相等　
第18題
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19. （8分）在正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1個單位長度，三角形ABC的三個頂點的位置如圖所示.現將三角形ABC平移，使點C的對應點為D，點A，B的對應點分別是E，F.
（1） 請在圖中畫出三角形ABC平移后得到的三角形EFD；
解：（1） 如圖，三角形EFD即為所求
第19題
（2） 在圖中畫出三角形ABC的邊AB上的高CH；
解：（2） 如圖，線段CH即為所求
第19題答案
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（3） 若連接CD，AE，則這兩條線段的位置關系是 .
第19題
CD∥AE　
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20. （10分）如圖，直線AB，CD相交于點O，OC平分∠BOE，∠AOE＝2∠FOD.
（1） 若∠FOD＝21°，求∠AOD的度數；
解：（1） ∵ ∠FOD＝21°，∴ ∠AOE＝2∠FOD＝42°.∴ ∠BOE＝180°－∠AOE＝180°－42°＝138°.∵ OC平分∠BOE，∴ ∠COE＝ ∠BOE＝ ×138°＝69°.∴ ∠AOD＝180°－∠AOE－∠COE＝180°－42°－69°＝69°
第20題
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（2） 猜想OE與OF之間的位置關系，并說明理由.
解：（2） OE⊥OF　理由：設∠DOF＝x，∠COE＝y，則∠AOE＝2x，∠BOE＝2y.∵ ∠AOE＋∠BOE＝180°，∴ 2x＋2y＝180°.∴ x＋y＝90°，即∠DOF＋∠COE＝90°.∵ ∠EOF＋∠DOF＋∠COE＝180°，
∴ ∠EOF＝90°.∴ OE⊥OF.
第20題
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21. （10分）如圖，點B，C在線段AD的異側，E，F分別是線段AB，CD上的點，且∠AEG＝∠AGE，∠DCG＝∠DGC.
（1） 求證：AB∥CD；
解：（1） ∵ ∠AGE＝∠DGC，∠AEG＝∠AGE，∠DCG＝∠DGC，∴ ∠AEG＝∠DCG. ∴ AB∥CD
第21題
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（2） 若∠AGE＋∠AHF＝180°，且∠BFC－30°＝2∠C，求∠B的度數.
解：（2） ∵ ∠AGE＝∠DGC，∠AGE＋∠AHF＝180°，∴ ∠DGC＋∠AHF＝180°.∴ BF∥EC.
∴ ∠BFC＋∠C＝180°.∵ ∠BFC－30°＝2∠C，
∴ ∠BFC＝2∠C＋30°.∴ 2∠C＋30°＋∠C＝180°.
∴ ∠C＝50°.∴ ∠BFC＝130°.∵ AB∥CD，∴ ∠B＋∠BFC＝180°.∴ ∠B＝50°
第21題
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22. （12分）如圖，PM∥AN，且∠A＝40°，C是射線AN上一動點（不與點A重合），PB，PD分別平分∠APC和∠CPM，分別交射線AN于點B，D.
（1） 求∠BPD的度數.
解：（1） ∵ PM∥AN，∴ ∠A＋∠APM＝180°.
∵ ∠A＝40°，∴ ∠APM＝140°.∵ PB，PD分別平分∠APC和∠CPM，∴ ∠BPC＝ ∠APC，∠DPC＝ ∠CPM. ∴ ∠BPD＝∠BPC＋∠DPC＝ （∠APC＋∠CPM）＝ ∠APM＝ ×140°＝70°
第22題
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（2） 當點C運動到使∠PBA＝∠APD處時，求∠APB的度數.
解：（2） ∵ PM∥AN，∴ ∠PBA＝∠BPM.
∵ ∠PBA＝∠APD，∴ ∠BPM＝∠APD. ∴ 易得∠APB＝∠MPD. 由（1），得∠APM＝140°，∠BPD＝70°，∴ 易得∠APB＝∠MPD＝ ×（140°－70°）＝35°
第22題
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（3） 在點C的運動過程中，∠PCA與∠PDA之間是否存在一定的數量關系？若存在，請寫出它們之間的數量關系，并說明理由；若不存在，請舉出反例.
解：（3） 存在，∠PCA＝2∠PDA　理由：
∵ PM∥AN，∴ ∠PCA＝∠CPM，∠PDA＝∠DPM. ∵ PD平分∠CPM，∴ ∠CPM＝2∠DPM. ∴ ∠PCA＝2∠PDA.
第22題
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