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28.1.1 銳角三角函數(shù)
第2課時
第二十八章 銳角三角函數(shù)
人教版數(shù)學九年級下冊
A
B
C
a
b
c
教學目標
正弦的定義：在Rt△ABC中，∠C=90°，我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即
∠A的正弦sinA隨著∠A的變化而變化．
A
B
C
c
a
b
對邊
斜邊
知識回顧
在Rt△ABC中，∠C=90°，當∠A確定時，∠A的對邊與斜邊比隨之確定．此時，其它邊之間的比是否也隨之確定呢？
∠A對邊a，同時也是∠B的鄰邊，這又會有什么新的發(fā)現(xiàn)尼？
A
B
C
c
a
b
對邊
斜邊
新知探究
與
相等嗎？
與
∠A,∠D的鄰邊比斜邊也是定值，同樣的，對邊比鄰邊也是定值。
新知探究
在Rt△ABC中，當銳角A的度數(shù)一定時，無論這個直角三角形大小如何，∠A的鄰邊與斜邊的比、對邊與鄰邊的比都是一個固定值．
在直角三角形中，銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做這個銳角A的余弦，記作cosA．
在直角三角形中，銳角A的對邊與鄰邊的比叫做這個銳角的正切，記作tan A．
余弦和正切的概念
新知探究
A
B
C
c
a
b
對邊
斜邊
1.sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定義的,∠A是銳角(注意數(shù)形結合,構造直角三角形)。
2.sinA,cosA,tanA, 是一個完整的符號,表示∠A的正切,習慣省去“∠”號。
3.sinA,cosA,tanA,是一個比值.注意比的順序,且sinA,cosA,tanA,均﹥0,無單位。
定義中幾個注意的問題：
新知探究
4.sinA,cosA,tanA, 的大小只與∠A的大小有關,而與直角三角形的邊長無關。
5.角相等,則其三角函數(shù)值相等；兩銳角的三角函數(shù)值相等,則這兩個銳角相等.所以可以利用這一點求一些角（等角）的三角函數(shù)值。
∠A的正弦
∠A的余弦
∠A的正切
∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的銳角三角函數(shù)．
概念梳理
A
B
C
c
a
b
對邊
斜邊
如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6， 求sin A，cos A， tan A的值.
解：在Rt△ABC中，
A
B
C
10
6
b
對邊
斜邊
例題解析
求出下圖直角三角形中兩個銳角的正弦值、余弦值和正切值．
解：由勾股定理得
鞏固練習
C
B
A
13
12
如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°．求證：sinA=cosB，sinB=cosA．
利用三角函數(shù)定義證明
證明：
注意：∠A,∠B必須互余。
三角函數(shù)之間的關系探究
C
B
A
c
a
b
如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°．求證：
證明：
注意：是同一個角的三個三角函數(shù)之間的關系。
三角函數(shù)之間的關系探究
利用三角函數(shù)定義證明
C
B
A
c
a
b
如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°．求證：
證明：
三角函數(shù)之間的關系探究
利用三角函數(shù)定義證明
C
B
A
c
a
b
在Rt△ABC中，如果各邊長都擴大2倍，那么銳角A的正弦值、余弦值和正切值有什么變化？
解：設各邊長分別為a、b、c，∠A的三個三角函數(shù)分別為 ：
則擴大2倍后三邊分別為2a、2b、2c
鞏固練習
C
B
A
c
a
b
C
B
A
2c
2a
2b
如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，tanA＝ ，求：sinA、cosB的值．
A
B
C
給出一個三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)
如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝ ，求sinA、tanA的值．
常見題型
A
B
C
如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，tanB=cos∠DAC，
求證：AC=BD；
若 ，BC=12，求AD的長．
答案：
利用三角函數(shù)的定義證明．
AD=8．
未知數(shù)設定技巧
A
B
C
D
12x
13x
5x
13x
∠A的正弦
∠A的余弦
∠A的正切
∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的銳角三角函數(shù)．
當堂小結
A
B
C
c
a
b
∠A對邊
斜邊
∠A鄰邊

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