資源簡介

(共42張PPT)
12.4　定　理
第1課時　三角形內角和定理及其推論
第12章　定義　命題　證明
一、 選擇題（每題6分，共30分）
1. （鹽城中考）將一副三角尺按如圖所示的方式擺放，則∠1的度數為（　C　）
A. 45° B. 60° C. 75° D. 105°
第1題　　 　
C
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2. 如圖，CE是△ABC的外角∠ACD的平分線.若∠B＝35°，∠ACE＝60°，則∠A的度數為（　B　）
A. 95° B. 85° C. 75° D. 65°
第2題　　 　
B
3. 在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝4∠C，則∠C的度數為（　A　）
A. 32° B. 36°
C. 40° D. 128°
A
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4. 將一副三角尺按如圖所示的方式擺放，若∠1＝80°，則∠2的度數是（　B　）
A. 80° B. 95°
C. 100° D. 110°
第4題　　 　
B
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5. （大慶中考）如圖，在△ABC中，BE是∠ABC的平分線，CE是△ABC的外角∠ACM的平分線，BE與CE相交于點E. 若∠A＝60°，則∠BEC的度數是（　B　）
A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°
第5題
B
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二、 填空題（每題7分，共28分）
6. 某建筑工具是如圖所示的人字架，若該人字架中的∠3＝110°，則∠1比∠2大 　70　°.
第6題　　
70　
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7. 如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB. 若∠A＝70°，∠B＝50°，則∠BDC＝ 　100　°.
第7題　　
100　
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8. 如圖，一把直尺的一邊緣經過直角三角形ABC的直角頂點C，交斜邊AB于點D；直尺的另一邊緣分別交AB，AC于點E，F. 若∠B＝30°，∠AEF＝50°，則∠DCB＝ 　20　°.
第8題　　
20　
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9. ★★如圖是可調躺椅示意圖，AE與BD的交點為C，且∠A，∠B，∠E保持不變.為了舒適，需調整∠D的大小，使∠EFD＝110°，則圖中∠D應 　減少　（填“增加”或“減少”） 　10°　（填度數）.
第9題
減少　
10°　
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三、 解答題（共42分）
10. （10分）如圖，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠1＝∠B，求證：DE⊥AB.
第10題
解：∵ ∠C＝90°，∴ ∠A＋∠B＝180°－∠C＝90°.∵ ∠1＝∠B，∴ ∠A＋∠1＝90°.∴ ∠ADE＝180°－（∠A＋∠1）＝180°－90°＝90°.
∴ DE⊥AB
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11. （14分）如圖，在△ABC中，∠ADB＝100°，∠C＝80°，∠BAD＝ ∠DAC，BE平分∠ABC，求∠BED的度數.
第11題
解：∵ ∠ADB＝100°，∠C＝80°，∴ ∠DAC＝∠ADB－∠C＝100°－80°＝20°.∵ ∠BAD＝ ∠DAC，∴ ∠BAD＝ ×20°＝10°.
∴ ∠ABC＝180°－∠ADB－∠BAD＝180°－100°－10°＝70°.∵ BE平分∠ABC，∴ ∠ABE＝ ∠ABC＝ ×70°＝35°.
∴ ∠BED＝∠BAD＋∠ABE＝10°＋35°＝45°
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12. ★★（18分）如圖所示的幾個圖形是五角星和它的變形.
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（1） 如圖①，該圖形的形狀是一個五角星，求證：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.
解：（1） 如圖①，由三角形內角和定理的推論，得∠1＝∠C＋∠E，∠2＝∠B＋∠D. 由三角形內角和定理，得∠A＋∠1＋∠2＝180°.
∴ ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°
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（2） 當圖①中的點A向下移動到BE上時（如圖②），五個角的和（即∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E）有無變化？試說明理由.
解：（2） 無變化　理由：如圖②，由三角形內角和定理的推論，得∠1＝∠C＋∠E，∠2＝∠CAD＋∠D. 由三角形內角和定理，得∠B＋∠1＋∠2＝180°.∴ ∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.
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（3） 當圖②中的點C向上移動到BD上時（如圖③），五個角的和（即∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E）有無變化？試說明理由.
解：（3） 無變化　理由：∵ ∠ECD是△BCE的一個外角，∴ ∠ECD＝∠B＋∠E. ∴ ∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E＝∠CAD＋∠ACE＋∠D＋∠ECD＝∠CAD＋∠ACD＋∠D＝180°.
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12.4　定　理
第2課時　多邊形的內角和、外角和定理
第12章　定義　命題　證明
一、 選擇題（每題6分，共30分）
1. 下列各度數不是多邊形的內角和的為（　D　）
A. 540° B. 900°
C. 1080° D. 1700°
D
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2. 如圖，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝280°，則∠5的度數為（　B　）
A. 70° B. 80° C. 90° D. 100°
第2題　　　
B
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3. 若一個多邊形的每一個外角都是30°，則這個多邊形的內角和等于（　C　）
A. 1440° B. 1620°
C. 1800° D. 1980°
C
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4. 如圖，在六邊形ABCDEF中，AF∥BC，則∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度數為（　D　）
A. 270° B. 360°
C. 450° D. 540°
第4題
D
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5. ★★一個多邊形切去一個角后，形成的另一個多邊形的內角和為1080°，那么原多邊形的邊數為（　D　）
A. 7 B. 7或8
C. 8或9 D. 7或8或9
D
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二、 填空題（每題7分，共28分）
6. 一個多邊形的內角和是它的外角和的2倍，這個多邊形是 　六　邊形.
7. 如圖，小明從點A出發，沿直線走6米后向左轉θ，接著沿直線走6米后再向左轉θ……如此走下去.當他第一次回到點A時，發現自己走了72米，則θ的度數為 　30°　.
第7題　　 　　
六　
30°　
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8. 如圖，將四邊形紙片ABCD沿MN折疊，點A，D分別落在點A1，D1處.若∠1＋∠2＝145°，則∠B＋∠C＝ 　107.5°　.
第8題
9. ★★一條直線把五邊形分成兩個多邊形，它們的內角和的度數分別是a和b，則a＋b最大為 　900°　.
107.5°　
900°　
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三、 解答題（共42分）
10. （12分）已知n邊形的內角和θ＝（n－2）·180°.
（1） 甲同學說：“θ能取360°.”而乙同學說：“θ也能取630°.”甲、乙兩人的說法對嗎？若對，求出邊數n；若不對，請說明理由.
解：（1） 甲的說法對　當θ＝360°時，（n－2）·180°＝360°，解得n＝4　乙的說法不對　理由：當θ＝630°時，（n－2）·180°＝630°，解得n＝ .∵ n為整數，∴ θ不能取630°.
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（2） 若n邊形變為（n＋x）邊形，發現內角和增加了360°，用列方程的方法確定x的值.
解：（2） 由題意，得（n－2）·180°＋360°＝（n＋x－2）·180°，解得x＝2
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11. （12分）如圖，將六邊形紙片ABCDEF沿BG，DG剪去四邊形BCDG后，得到∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝400°，求∠G的度數.
第11題
解：∵ 六邊形ABCDEF的內角和為180°×（6－2）＝720°，且∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝400°，
∴ ∠GBC＋∠C＋∠CDG＝720°－400°＝320°.∵ 四邊形BCDG的內角和為360°，
∴ ∠G＝360°－（∠GBC＋∠C＋∠CDG）＝40°
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12. ★★（18分）
（1） 如圖①，在△ABC中，BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，BP，CP分別平分△ABC的外角∠DBC，∠ECB.
① 若∠A＝50°，則∠O＝ 　115°　，∠P＝ 　65°　；
② 若∠A＝α，則∠O＝ 　90°＋ α　，
∠P＝ 　90°－ α　（用含α的代數式表示）.
115°　
65°　
90°＋ α　
90°－ α　
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（2） 如圖②，BP，CP分別平分四邊形ABCD的外角∠EBC，∠FCB，請探究∠P與∠A，∠D的數量關系，并說明理由.
　　
解：∠P＝180°－ （∠A＋∠D）　理由：∵ BP，CP分別平分∠EBC，∠FCB，∴ ∠PBC＝ ∠EBC，∠PCB＝ ∠BCF. ∵ ∠P＝180°－（∠PBC＋∠PCB），∴ ∠P＝180°－ （∠EBC＋∠BCF）＝180°－ [180°＋180°－（∠ABC＋∠DCB）]＝ （∠ABC＋∠DCB）.∵ ∠ABC＋∠DCB＝360°－∠A－∠D，
∴ ∠P＝ （360°－∠A－∠D）＝180°－ （∠A＋∠D）.
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12.4　定　理
第3課時　反 證 法
第12章　定義　命題　證明
一、 選擇題（每題6分，共30分）
1. （常州中考）判斷命題“如果n＜1，那么n2－1＜0”是假命題，只需舉出一個反例.舉的反例中的n可以為（　A　）
A. －2 B. － C. 0 D.
2. 用反證法證明命題“在同一平面內，若直線a⊥c，b⊥c，則a∥b”時，應假設（　B　）
A. a∥c B. a與b不平行
C. b∥c D. a⊥b
A
B
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3. 對于命題“如果∠1＝∠2＝90°，那么∠1與∠2互補”，能說明這個命題的逆命題是假命題的反例為（　C　）
A. ∠1＝80°，∠2＝110° B. ∠1＝10°，∠2＝169°
C. ∠1＝60°，∠2＝120° D. ∠1＝60°，∠2＝140°
C
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4. 如圖，AB∥CD，直線AD與直線BC有公共點，命題“內錯角相等”是一個假命題，下列選項可以作為反例的是（　B　）
A. ∠1＝∠4 B. ∠2＝∠3
C. ∠1＝∠3 D. ∠B＝∠3
第4題
B
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5. ★用反證法證明“a，b至少有一個是0”時，應該假設（　A　）
A. a，b都不是0 B. a，b只有一個是0
C. a，b至多有一個是0 D. a，b兩個都是0
A
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二、 填空題（每題7分，共28分）
6. 用一個a的值說明命題“若a＞0，則a2＞ ”是假命題，這個值可以是 　 （答案不唯一）　.
7. 用反證法證明“若a＞b，則－3a＜－3b”時，應先假設 　－3a≥－3b　.
（答案不唯一）　
－3a≥
－3b　
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8. 用反證法證明命題“一個三角形中不能有兩個直角”的過程歸納為以下三個步驟：① ∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，這與三角形內角和為180°相矛盾，則∠A＝∠B＝90°不成立；② 所以一個三角形中不能有兩個直角；③ 假設∠A，∠B，∠C中有兩個角是直角，不妨設∠A＝∠B＝90°.正確順序的序號排列為 　③①②　.
9. ★可以說明命題“不等式組 沒有整數解”是假命題的反例最多有 　2　個.
③①②　
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三、 解答題（共42分）
10. （9分）舉反例說明下列命題是假命題：
（1） 任何數的絕對值都大于0；
解：（1） 0的絕對值是0，但它不大于0，∴ 是假命題
（2） 兩個銳角的和是直角；
解：（2） 舉例不唯一，如45°與60°的角都是銳角，但45°＋60°≠90°，即和不是直角，∴ 是假命題
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（3） 兩條直線被第三條直線所截，內錯角相等.
解：（3） 舉例不唯一，如圖，∠1與∠2是內錯角，但它們不相等，
∴ 是假命題
　第10題答案
第10題答案
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11. （12分）試用舉反例的方法說明下列命題的逆命題是假命題.
（1） 負數是－a；
解：（1） 它的逆命題是“－a是負數”.反例：當a＝－3時，－a＝－（－3）＝3，而3是正數，不是負數（反例不唯一），∴ 逆命題是假命題
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（2） x＝3是不等式x－1＞1的解；
解：（2） 它的逆命題是“不等式x－1＞1的解是x＝3”.反例：當x＝4時，x－1＝3，此時x－1＞1成立（反例不唯一），∴ 逆命題是假命題
（3） 有無數個解的是不等式；
解：（3） 它的逆命題是“不等式的解有無數個”.反例：不等式（x－1）2≤0的解只有一個，即x＝1，不是無數個（反例不唯一），∴ 逆命題是假命題
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（4） 只有一個解的是二元一次方程組.
解：（4） 它的逆命題是“二元一次方程組的解只有一個”.反例：二元一次方程組 的解有無數個，不是一個（反例不唯一），∴ 逆命題是假命題
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12. （10分）用反證法證明：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.
解：已知：如圖，∠1是△ABC的一個外角.求證：∠1＝∠A＋∠B. 證明：假設∠1≠∠A＋∠B.
∵ ∠1＋∠ACB＝180°，∴ ∠A＋∠B＋∠ACB≠180°，這與“三角形三個內角的和等于180°”相矛盾.
∴ 假設不成立.∴ 原命題成立，即∠1＝∠A＋∠B
第12題答案　
第12題答案
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13. ★（11分）用反證法證明：如果兩個整數的乘積是偶數，那么這兩個整數中至少有一個是偶數.
解：假設這兩個整數都是奇數，分別為2m＋1，2n＋1（m，n為整數），則（2m＋1）（2n＋1）＝4mn＋2m＋2n＋1＝2（2mn＋m＋n）＋1.∵ m，n為整數，∴ 2（2mn＋m＋n）是偶數.∴ 2（2mn＋m＋n）＋1是奇數，這與“兩個整數的乘積是偶數”相矛盾.∴ 假設不成立.∴ 這兩個整數中至少有一個是偶數
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13(共15張PPT)
第12章小測
第12章　定義　命題　證明
一、 選擇題（每題6分，共30分）
1. 下列命題是真命題的為（　C　）
A. 垂直于同一條直線的兩直線垂直
B. 相等的角是對頂角
C. 過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行
D. 兩點之間，直線最短
C
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2. 對于命題“如果∠1＋∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，說明它是假命題的反例可以是（　D　）
A. ∠1＝50°，∠2＝40°
B. ∠1＝50°，∠2＝50°
C. ∠1＝40°，∠2＝40°
D. ∠1＝∠2＝45°
D
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3. 如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE為△ABC的高，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3的度數為（　A　）
A. 59° B. 60° C. 56° D. 22°
第3題　　　
A
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4. 如圖，∠BAC≠90°，AD∥BC，∠ADC＝∠B，E是線段BA延長線上一點，且∠ACB＝∠ADE. 給出下列四個結論：① ED∥AC；② BE∥CD；③ CA平分∠BCE；④ ∠BED＝∠ACD. 其中，正確的個數是（　C　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第4題　　　
C
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5. ★★如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB的平分線與四邊形ABCD的外角∠CBE的平分線相交于點P，且∠D＋∠C＝210°，則∠P的度數為（　B　）
A. 10° B. 15° C. 30° D. 40°
第5題
B
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二、 填空題（每題7分，共28分）
6. 把命題“平行于同一條直線的兩條直線平行”改成“如果……，那么……”的形式： 　如果兩條直線平行于同一條直線，那么這兩條直線平行　.
7. “任意兩個負數之和是負數”的逆命題是 　如果兩個數的和是負數，那么這兩個數都是負數　.
如果兩條直線平行于同一條直線，那么這兩條直線
平行　
如果兩個數的和是負
數，那么這兩個數都是負數　
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8. 一個零件的形狀如圖所示，按規定∠A應等于90°，∠B與∠D的度數分別是20°和30°，牛叔叔量得∠BCD＝140°，請你幫助牛叔叔判
斷該零件 　合格　（填“合格”或“不合格”）.
合格　
第8題
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第9題
9. ★★如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝60°，∠C＝100°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，則∠BED＋∠BFD＝ 　220　°.
220　
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三、 解答題（共42分）
10. （10分）用反證法證明：兩直線平行，同旁內角互補.
解：已知：如圖，l1∥l2， l1，l2都被 l3所截.求證：∠1＋∠2＝180°.證明：假設∠1＋∠2≠180°.∵ l1∥l2，∴ ∠1＝∠3.∵ ∠1＋∠2≠180°，∴ ∠3＋∠2≠180°，這與平角為180°矛盾.∴ 假設不成立.∴ ∠1＋∠2＝180°
　第10題答案
第10題答案
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11. （14分）如圖，在△ABC中，點D，E分別在AB，AC上，EF交DC于點F，∠3＋∠2＝180°，∠1＝∠B.
（1） 求證：DE∥BC；
解：（1） ∵ ∠DFE＋∠2＝180°，∠3＋∠2＝180°，∴ ∠DFE＝∠3.∴ BD∥EF. ∴ ∠1＝∠ADE. ∵ ∠1＝∠B，∴ ∠ADE＝∠B.
∴ DE∥BC
第11題
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（2） 若DE平分∠ADC，∠3＝3∠B，求∠2的度數.
解：（2） 由（1）知，∠ADE＝∠B，BD∥EF. ∴ ∠2＝∠ADC. ∵ DE平分∠ADC，∴ ∠ADC＝2∠ADE＝2∠B. ∵ ∠3＋∠ADC＝180°，∠3＝3∠B，∴ 3∠B＋2∠B＝180°.∴ ∠B＝36°.∴ ∠ADC＝72°.∴ ∠2＝72°
第11題
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12. ★★（18分）如圖①，在△ABC中，BP，CP分別是∠ABC和∠ACB的平分線.
（1） 若∠ABC＝40°，∠ACB＝80°，則∠BPC的度數為 　120°　；
120°　
（2） 若∠A＝80°，求∠BPC的度數；
解：（2） ∵ BP，CP分別是∠ABC和∠ACB的平分線，∴ ∠PBC＝ ∠ABC，∠PCB＝ ∠ACB. ∴ ∠BPC＝180°－∠PBC－∠PCB＝180°－ （∠ABC＋∠ACB）＝180°－ （180°－∠A）＝90°＋ ∠A. ∵ ∠A＝80°，∴ ∠BPC＝90°＋ ∠A＝90°＋ ×80°＝130°
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（3） 寫出∠BPC與∠A之間的數量關系，并說明理由；
解：（3） ∠BPC＝90°＋ ∠A　理由：∵ BP，CP分別是∠ABC和∠ACB的平分線，∴ ∠PBC＝ ∠ABC，∠PCB＝ ∠ACB.
∴ ∠BPC＝180°－∠PBC－∠PCB＝180°－（∠PBC＋∠PCB）＝180°－ （∠ABC＋∠ACB）＝180°－ （180°－∠A）＝90°＋ ∠A.
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（4） 如圖②，在四邊形ABCD中，BP，CP分別是∠ABC和∠BCD的平分線，直接寫出∠BPC與∠A＋∠D的數量關系.
　　　
解：（4） ∠A＋∠D＝2∠BPC
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12(共27張PPT)
第12章檢測卷
一、 選擇題（每題2分，共16分）
1. 下列語句中，不屬于命題的是（　C　）
A. 如果兩個角都是30°，那么這兩個角是對頂角
B. 不平行的兩條直線只有一個交點
C. x與y的差等于x－y嗎
D. 如果b＋1＜a＋1，那么a＋1＞b＋1
C
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2. 下列命題是真命題的為（　D　）
A. 若x2＋kx＋ 是完全平方式，則k＝1
B. 三角形的三條高的交點一定在三角形的內部
C. 過一點有且只有一條直線與已知直線平行
D. 同角或等角的余角相等
3. 對于命題“若a＋b＜0，則a＜0，b＜0”，下列能說明該命題是假命題的反例為（　C　）
A. a＝2，b＝3 B. a＝－2，b＝3
C. a＝2，b＝－3 D. a＝－2，b＝－3
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4. 下列命題的逆命題是假命題的為（　D　）
A. 若a＋b＞0，則a＞0，b＞0
B. 二元一次方程3x＋y＝1的一個解是
C. 若兩個角互余，則這兩個角的度數為38°，52°
D. 若ax＝6，ay＝8，則ax＋y＝48
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5. 如圖，下列推理不正確的是 （　C　）
A. ∵ AB∥CD，∴ ∠ABC＋∠C＝180°
B. ∵ ∠1＝∠2，∴ AD∥BC
C. ∵ AD∥BC，∴ ∠3＝∠4
D. ∵ ∠A＋∠ADC＝180°，∴ AB∥CD
第5題　　　　　　
C
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6. 將一副三角尺按如圖所示的方式放置，則∠1的度數為（　D　）
A. 45° B. 60° C. 65° D. 75°
第6題　　　　　　
D
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7. 如圖，把△ABC沿EF翻折，點B，C的對應點分別為B'，C'.若∠A＝60°，∠1＝95°，則∠2的度數是（　C　）
A. 15° B. 20° C. 25° D. 35°
第7題
C
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8. 有下列命題：① 若C是線段AB的中點，則AC＝BC；② 若射線OC平分∠AOB（∠AOB小于平角），則∠AOB＝2∠AOC；③ 若AB＝BC＝ AC，則B是線段AC的中點；④ 若∠AOC＝∠BOC，則射線OC平分∠AOB（∠AOB小于平角）.其中，原命題與逆命題都是真命題的個數是（　B　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
B
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二、 填空題（每題3分，共30分）
9. 命題“直角三角形的兩個銳角互余”的條件是 　兩個角為一個直角三角形的兩銳角　.
10. 將命題“垂直于同一條直線的兩條直線平行”寫成“如果……，那么……”的形式：如果 　兩條直線垂直于同一條直線　，那么 　這兩條直線互相平行　.
兩個角為一個直角
三角形的兩銳角　
兩條直線垂直于同一條直線　
這兩條
直線互相平行　
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第11題　　　　
11. 如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點，點F在BC的延長線上，DE∥BC，∠A＝44°，∠1＝57°，則∠2＝ 　101　°.
101　
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12. 命題“同角的余角相等”的逆命題是 　如果幾個角相等，那么這幾個角是同一個角的余角　.
13. 用反證法證明“三角形中至少有一個內角不小于60°”，應當先假設這個三角形中 　三個角都小于60°　.
14. 如果一個多邊形的每一個內角都是108°，那么這個多邊形是 　五　邊形.
如果幾個角相等，那么這幾
個角是同一個角的余角　
三個角都小于60°　
五　
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第15題　　　　
15. （黃岡中考）如圖，AB∥EF，∠ABC＝75°，∠CDF＝135°，則∠BCD＝ 　30　°.
30　
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16. 如圖，在△ABC中，∠A＝86°，點D，E，F分別在BC，AB，AC上，∠1＝∠2，∠3＝∠4，則∠EDF的度數為 　47°　.
第16題　　　　
47°　
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17. 如圖，在△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后變成四邊形，則∠1＋∠2＝ 　220°　.
第17題
220°　
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18. 如圖，直線a∥b，在圖①中，可得∠1＋∠2＝180°；在圖②中，可得∠1＋∠2＋∠P1＝360°，則按照以上規律，∠1＋∠2＋∠P1＋
　　 　　 　　
第18題
（n＋1）
×180°　
…＋∠Pn＝ 　 （n＋1）×180°　.
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三、 解答題（共54分）
19. （6分）已知一個多邊形的邊數為n.
（1） 若n＝5，求這個多邊形的內角和；
解：（1） 當n＝5時，（5－2）×180°＝540°，∴ 這個多邊形的內角和為 540°
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（2） 若這個多邊形的內角和的 比一個四邊形的外角和多90°，求n的值.
解：（2） 由題意，得 ×（n－2）×180°－360°＝90°，
解得n＝12
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20. （8分）用反證法證明：任意三角形的三個外角（每個頂點外取一個外角）中至多有一個直角.
第20題
已知：如圖，∠BAD，∠CBE，∠ACF是△ABC的三個外角.
求證：∠BAD，∠CBE，∠ACF中至多有1個直角.
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解：假設∠BAD，∠CBE，∠ACF中至少有2個直角，不妨設∠BAD＝∠CBE＝90°.∵ ∠BAD＋∠BAC＝180°，∠CBE＋∠ABC＝180°，∴ ∠BAC＝90°，∠ABC＝90°.∴ ∠BAC＋∠ABC＝180°.∴ ∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＞180°，這與三角形三個內角的和等于180°相矛盾.∴ 假設不成立.∴ ∠BAD，∠CBE，∠ACF中至多有1個直角
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21. （10分）
（1） 如圖，∠A＝∠C. 若AB∥CD，則BC∥AD. 請說明理由.
理由：∵ AB∥CD（已知），
∴ ∠ABE＝∠ 　C　（　 　兩直線平行，同位角相等　　）.
∵ ∠A＝∠C（已知），
∴ 　∠ABE＝∠A　（　 　等量代換　　）.
∴ BC∥AD（　 　內錯角相等，兩直線平行　　）.
C　
兩直線平行，同位角相等　
∠ABE＝∠A　
等量代換　
內錯角相等，兩直線平行　
第21題
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（2） 請寫出問題（1）的逆命題，并判斷它是真命題還是假命題.若是真命題，請寫出證明過程；若是假命題，請舉出反例.
解：問題（1）的逆命題：已知∠A＝∠C，若 BC∥AD，則AB∥CD　它是真命題　∵ BC∥AD（已知），∴ ∠ABE＝∠A（兩直線平行，內錯角相等）.∵ ∠A＝∠C（已知），∴ ∠ABE＝∠C（等量代換）.∴ AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）
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22. （6分）求證：四位數 一定能被101整除.
解：∵ ＝1000a＋100b＋10a＋b＝1010a＋101b，
∴ ÷101＝（1010a＋101b）÷101＝10a＋b.∵ a為1～9的自然數，b為0～9的自然數，∴ 10a＋b為整數，即四位數 一定能被101整除
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23. （12分）如圖，∠ADE＋∠BCF＝180°，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E.
（1） AD與BC平行嗎？請說明理由.
解：（1） AD∥BC　理由：∵ ∠ADE＋∠ADF＝180°，∠ADE＋∠BCF＝180°，∴ ∠ADF＝∠BCF. ∴ AD∥BC.
第23題
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（2） AB與EF的位置關系如何？請說明理由.
解：（2） AB∥EF　理由：∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠ABE＝ ∠ABC. 又∵ ∠ABC＝2∠E，即∠E＝ ∠ABC，∴ ∠E＝∠ABE. ∴ AB∥EF.
第23題
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（3） 若AF平分∠BAD，求證：∠BAD＝2∠F.
解：（3） ∵ AB∥EF，∴ ∠BAF＝∠F. ∵ AF平分∠BAD，∴ ∠BAD＝2∠BAF. ∴ ∠BAD＝2∠F
第23題
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24. （12分）感知：如圖①，∠ACD為△ABC的外角，易得∠ACD＝∠A＋∠B（不需證明）.
探究：如圖②，在四邊形ABDC中，試探究∠BDC與∠BAC，∠B，∠C之間的關系，并說明理由.
解：探究：∠BDC＝∠BAC＋∠B＋∠C　理由：如圖②，連接AD并延長至點F. ∵ ∠BDF＝∠BAD＋∠B，∠CDF＝∠C＋∠CAD，又∵ ∠BDC＝∠BDF＋∠CDF，∠BAC＝∠BAD＋∠CAD，
∴ ∠BDC＝∠BAD＋∠B＋∠C＋∠CAD＝∠BAC＋∠B＋∠C.
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應用：如圖③，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY，XZ恰好經過點B，C. 若∠A＝50°，則∠ABX＋∠ACX＝ 　40　°.拓展：如圖④，BE平分∠ABD，CE平分∠ACD. 若∠BAC＝100°，∠BDC＝150°，則∠BEC＝ 　125　°.
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24(共13張PPT)
12.1　定　義
第12章　定義　命題　證明
一、 選擇題（每題6分，共30分）
1. 下列語句中，屬于定義的是（　C　）
A. 對頂角相等
B. 作一條直線和已知直線垂直
C. 在同一平面內，不相交的兩條直線叫作平行線
D. 圖形的平移不改變圖形的形狀和大小
C
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2. 有下列語句：① 多邊形相鄰兩邊組成的角叫作多邊形的內角；② 大于90°且小于180°的角叫作鈍角；③ 同位角相等嗎；④ 在平面內，由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形叫作三角形.其中，是定義的有（　C　）
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
C
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3. 有理數與整數、 之間的從屬關系如圖所示，則 表示的內容是（　B　）
A. 0
B. 分數
C. 小數
D. 正整數
B
4. ★如果一個n位數中各數字的n次冪之和等于該數本身，那么這個數叫作“自戀數”.下列數中是“自戀數”的為（　B　）
A. 66 B. 153 C. 225 D. 250
B
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13
5. ★★如果10b＝n，那么b叫作n的“拉格數”，記為d（n）.由定義可知：d（n）＝b.如102＝100，則d（100）＝d（102）＝2.給出下列關于“拉格數”d（n）的結論：① d（10）＝10；② d（10－2）＝－2；③ ＝3；④ d（mn）＝d（m）＋d（n）；⑤ d ＝d（m）÷d（n）.其中，正確的有（　B　）
A. ①③④ B. ②③④
C. ②③⑤ D. ②④⑤
B
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二、 填空題（每題6分，共24分）
6. 寫出倒數的定義： 　如果兩個數的乘積為1，那么這兩個數互為倒數關系，其中一個數叫作另一個數的倒數　.
7. 有下列語句：① 兩點確定一條直線；② 在同一平面內，不相交的兩條直線叫作平行線；③ 三角形的邊是一條線段；④ 同角的余角相等.其中，不是定義的有 　3　個.
8. 古希臘數學家把數1，3，6，10，15，21，…叫作三角形數，它有一定的規律性，數55 　是　（填“是”或“不是”）三角形數.
9. ★★任意兩個數a，b，按規則c＝a＋b－ab擴充得到一個新數c，新數c叫作“鴻蒙數”.例如：數1，2的“鴻蒙數”c＝1＋2－1×2＝1.若
a＝2，b＝x2－2x＋2，試比較b，c的大小：b 　≥　c.
如果兩個數的乘積為1，那么這兩個數互為倒數
關系，其中一個數叫作另一個數的倒數　
3　
是　
≥　
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三、 解答題（共46分）
10. （8分）請用兩種方法將如圖所示的幾何體進行分類，并指出分類的依據.
第10題
解：答案不唯一，如按柱體、錐體、球體分：柱體有①③④，錐體有②⑤，球體有⑥.按表面是平面還是曲面分：表面都是平面的有③④⑤，表面既有平面又有曲面的是①②，表面都是曲面的有⑥
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11. （12分）寫出下列概念的定義：
（1） 數軸；
解：（1） 規定了原點、正方向和單位長度的直線叫作數軸
（2） 乘方；
解：（2） 求相同因數的積的運算叫作乘方
（3） 線段的中點；
解：（3） 如果一個點把一條線段分成兩條相等的線段，那么這個點叫作這條線段的中點
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（4） 對頂角.
解：（4） 兩條直線相交所成的四個角中，有公共頂點沒有公共邊的兩個角叫作對頂角
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12. （10分）若一個正整數能表示為兩個連續奇數的平方差，則稱這個正整數為“好數”.判斷下面各數是否為“好數”：
（1） 250；
解：設兩個連續奇數為2n＋1，2n－1，則（2n＋1）2－（2n－1）2＝（2n＋1＋2n－1）（2n＋1－2n＋1）＝4n×2＝8n.
（1） 因為250＝8×31＋2，所以250不是“好數”
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（2） 520.
解：設兩個連續奇數為2n＋1，2n－1，則（2n＋1）2－（2n－1）2＝（2n＋1＋2n－1）（2n＋1－2n＋1）＝4n×2＝8n.
（2） 因為520＝8×65，所以520是“好數”
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13. ★（16分）王老師下定義如下：
有序數對（a，b，c）叫作關于x的二次多項式ax2＋bx＋c的附屬系數對；關于x的二次多項式ax2＋bx＋c叫作有序數對（a，b，c）的附屬多項式.
試根據王老師所下定義解決問題：
（1） 關于x的二次多項式x2－2x＋3的附屬系數對為 　（1，－2，3）　；
（1，－2， 3）
　
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（2） 若有序數對（a，2，－1）的附屬多項式與有序數對（－3，－2，4）的附屬多項式的差中不含二次項，求a的值.
解：依題意，得（ax2＋2x－1）－（－3x2－2x＋4）＝ax2＋2x－1＋3x2＋2x－4＝（a＋3）x2＋4x－5.因為差中不含二次項，所以a＋3＝0，解得a＝－3
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13(共13張PPT)
12.2　命　題
第12章　定義　命題　證明
一、 選擇題（每題6分，共30分）
1. 下列語句中，不是命題的為（　C　）
A. 兩點之間線段最短
B. 在同一個平面內，兩直線不平行就相交
C. 連接A，B兩點
D. 對頂角相等
C
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2. 關于命題“內錯角相等，兩直線平行”的條件和結論，下列說法中正確的是（　A　）
A. 條件是內錯角相等，結論是兩直線平行
B. 條件是兩直線平行，結論是內錯角相等
C. 條件和結論都是內錯角相等
D. 條件和結論都是兩直線平行
A
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13
3. 下列命題中，屬于真命題的是（　B　）
A. 相等的角是對頂角
B. 若兩個角的和為180°，則這兩個角互補
C. 若a，b滿足｜a｜＝｜b｜，則a＝b
D. 同位角相等
4. 下列命題的逆命題是真命題的為（　A　）
A. 兩直線平行，內錯角相等 B. 如果a＝b，那么a2＝b2
C. 鈍角三角形中有兩個銳角 D. 如果x＞1，那么x2＞1
B
A
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5. ★有下列命題：① 如果a＞b，那么｜a｜＞｜b｜；② 如果ac2＞bc2，那么a＞b；③ 二元一次方程2x－y＝3的解為 ④ 若∠α與∠β互余，∠β與∠γ互余，則∠α與∠γ互余.其中，假命題的個數為（　D　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
D
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二、 填空題（每題6分，共24分）
6. （無錫中考）命題“若a＞b，則a－3＜b－3”是 　假　命題（填“真”或“假”）.
7. （宿遷中考）命題“兩直線平行，同位角相等”的逆命題是 　同位角相等，兩直線平行　.
8. 把命題“等角的補角相等”改寫成“如果……，那么……”的形式為 　如果兩個角相等，那么它們的補角相等　.
假　
同位
角相等，兩直線平行　
如果兩個角相等，那么它們的補角相等　
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9. ★★如圖，在從① ∠1＝∠2；② ∠C＝∠D；③ ∠A＝∠F這三個條件中選出兩個作為已知條件，另一個作為結論所組成的命題中，真命題有 　3　個.
第9題
3　
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三、 解答題（共46分）
10. （12分）下列命題中，哪些是真命題？哪些是假命題？
（1） 同角的余角相等；
（2） 三角形的高線將三角形分成面積相等的兩部分；
（3） 在銳角三角形中，最大的角一定大于或等于60°.
解：（1）（3）是真命題，（2）是假命題
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11. （12分）已知命題：① 絕對值相等的兩個數相等；② 能被2整除的數是偶數.
（1） 將這兩個命題分別改寫成“如果……，那么……”的形式，并指出命題的條件與結論.
解：（1） 命題①改寫為：如果兩個數的絕對值相等，那么這兩個數相等.條件：兩個數的絕對值相等，結論：這兩個數相等　命題②改寫為：如果一個數能被2整除，那么這個數是偶數.條件：一個數能被2整除，結論：這個數是偶數
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（2） 分別判斷這兩個命題是真命題還是假命題.
解：（2） 命題①是假命題，命題②是真命題
（3） 命題“相等的兩個數的絕對值相等”與命題①是互逆命題嗎？
解：（3） 是互逆命題
（4） 命題“偶數能被2整除”與命題②是互逆命題嗎？
解：（4） 是互逆命題
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12. （10分）對于同一平面內的三條直線a，b，c，給出下列五個論斷：① a∥b；② b∥c；③ a⊥b；④ a∥c；⑤ a⊥c.以其中兩個論斷為條件，一個論斷為結論，組成你認為正確的三個不同的命題，不必說明理由.
解：答案不唯一，如命題1：條件：b∥c，a⊥b，結論：a⊥c；命題2：條件：b∥c，a⊥c，結論：a⊥b；命題3：條件：a⊥b，a⊥c，結論：b∥c
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13. ★★（12分）如圖，∠ABC的兩條邊分別平行于∠DEF的兩條邊，且∠ABC＝45°.
（1） 圖①中：∠DEF＝ 　45°　，圖②中：∠DEF＝ 　135°　；
45°　
135°　
第13題
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13
（2） 觀察圖①、圖②中∠DEF分別與∠ABC有怎樣的關系，并請你歸納出一個真命題.
　　
第13題
解：圖①中，∠DEF與∠ABC相等；圖②中，∠DEF與∠ABC互補　真命題：如果兩個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補
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13(共14張PPT)
12.3　證　明
第12章　定義　命題　證明
一、 選擇題（每題7分，共35分）
1. 下列關于判斷一個數學結論是否正確的敘述正確的是（　D　）
A. 只需觀察得出 B. 只需依靠經驗獲得
C. 通過親自試驗得出 D. 必須進行有根據地推理
2. 通過觀察你能肯定的是（　C　）
A. 圖中線段是否相等 B. 圖中線段是否平行
C. 圖中線段是否相交 D. 圖中線段是否垂直
D
C
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3. 如圖，直線l∥AB，AC為角平分線，下列結論錯誤的是（　B　）A. ∠1＝∠4 B. ∠1＝∠5 C. ∠2＝∠3 D. ∠1＝∠3
B
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如圖，直線b∥c，a⊥b，求證：a⊥c. 證明：① ∵ a⊥b（已知）， ∴ ∠1＝90°（垂直的定義）. ∵ b∥c（已知）， ② ∴ ∠1＝∠2（同位角相等，兩直線平行）.
③ ∴ ∠2＝∠1＝90°（等量代換）.
④ ∴ a⊥c（垂直的定義）.
A. ① B. ② C. ③ D. ④
4. 閱讀下面的材料，其①～④步中數學依據錯誤的是（　B　）
B
第4題
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5. ★★已知α，β是兩個鈍角的度數，計算 （α＋β）的值，甲、乙、丙、丁四名同學算出了四個不同的結果：24°，48°，76°，86°.其中只有一個結果是正確的，則正確的結果是（　C　）
A. 86° B. 76° C. 48° D. 24°
C
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二、 填空題（每題7分，共21分）
6. 如圖，用符號語言表達定理“同旁內角互補，兩直線平行”的推理形式：∵ 　∠1＋∠3＝180°　，∴ a∥b.
第6題　　　
∠1＋∠3＝180°　
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7. 將一副三角尺按如圖所示的方式擺放，則 　BC　∥ 　ED　，理由是 　內錯角相等，兩直線平行　.
第7題　　　
BC　
ED　
內錯角相等，兩直線平行　
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11
8. 如圖，在橫線上填寫推理依據.
∵ ∠1＝∠2（已知），
∴ l1∥l2（內錯角相等，兩直線平行）.
∴ ∠3＝∠4（　 　兩直線平行，同位角相等　　）.
第8題
兩直線平行，同位角相等　
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三、 解答題（共44分）
9. （12分）填空，完成下列證明過程.
第9題
如圖，點E在四邊形ABCD的邊BC的延長線上，連接AE，∠1＝∠2，∠B＝∠D.
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求證：AB∥CD.
證明：∵ ∠1＝∠2（　 　已知　　），
∴ AD∥BC（　 　內錯角相等，兩直線平行　　）.
∴ ∠D＝∠DCE（　 　兩直線平行，內錯角相等　　）.
∵ ∠B＝∠D（　 　已知　　），
∴ ∠B＝∠DCE（　 　等量代換　　）.
∴ AB∥CD（　 　同位角相等，兩直線平行　　）.
已知　
內錯角相等，兩直線平行　
兩直線平行，內錯角相等　
已知　
等量代換　
同位角相等，兩直線平行　
第9題
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10. ★（14分）已知：一個三位數的百位數字比十位數字大1，個位數字比十位數字小1.
求證：這個三位數一定能被3整除.
解：設十位數字為n，則百位數字為n＋1，個位數字為n－1，則三位數為100（n＋1）＋10n＋（n－1）＝111n＋99.∵ 111n＋99＝3（37n＋33），∴ 這個三位數一定能被3整除
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11. ★★（18分）
（1） 如圖①，在四邊形ABCD中，O是對角線BD上的任意一點，連接OA，OC. 求證：S△OBC∶S△OCD＝S△OAB∶S△OAD.
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解：（1） 如圖①，過點C作CM⊥BD于點M，過點A作AN⊥BD于點N. ∵ S△OBC＝ OB·CM，S△OCD＝ OD·CM，S△OAB＝ OB·AN，S△OAD＝ OD·AN，∴ S△OBC∶S△OCD＝OB∶OD，S△OAB∶S△OAD＝OB∶OD. ∴ S△OBC∶S△OCD＝S△OAB∶S△OAD
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解： （2） 能　答案不唯一，如S△ABD∶S△CBD＝S△AOD∶S△COD
（2） 如圖②，在△ABC中，你能否歸納出類似的結論？若能，寫出你猜想的結論（寫出一個即可）；若不能，請說明理由.
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