資源簡介

(共10張PPT)
正弦、余弦函數的圖象
X
-
R
[-1,1]
R
[-1,1]
R
值域
定義域
三角函數
1.復習：
2.P196思考：
正弦、余弦函數的圖象
問題：如何作出正弦、余弦函數的圖象？
y=sinx x [0,2 ]
O1
O
y
x
-1
1
y=sinx x R
終邊相同角的三角函數值相等
即： sin(x+2k )=sinx, k Z
描圖：用光滑曲線
將這些正弦線的終點連結起來
利用圖象平移
A
B
正弦、余弦函數的圖象
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1

y=sinx x [0,2 ]
y=sinx x R
正弦曲線
y
x
o
1
-1
正弦、余弦函數的圖象
y
x
o
1
-1
如何作出正弦函數的圖象（在精確度要求不太高時）？
(0,0)
( ,1)
( ,0)
( ,-1)
( 2 ,0)
五點畫圖法
五點法——
(0,0)
( ,1)
( ,0)
( ,1)
( 2 ,0)
(0,0)
( ,1)
( ,0)
( ,1)
( 2 ,0)
(0,0)
( ,1)
( ,0)
( ,1)
( 2 ,0)
(0,0)
( ,1)
( ,0)
( ,1)
( 2 ,0)
(0,0)
( ,1)
( ,0)
( ,-1)
( 2 ,0)
(0,0)
( ,1)
( ,0)
( ,-1)
( 2 ,0)
(0,0)
( ,1)
( ,0)
( ,-1)
( 2 ,0)
(0,0)
( ,1)
( ,0)
( ,-1)
( 2 ,0)
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1

正弦、余弦函數的圖象
余弦函數的圖象
正弦函數的圖象
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1

y=cosx=sin(x+ ), x R
余弦曲線
(0,1)
( ,0)
( ,-1)
( ,0)
( 2 ,1)
正弦曲線
形狀完全一樣只是位置不同
例1 畫出函數y=1+sinx，x [0, 2 ]的簡圖：
x
sinx
1+sinx
0 2
0
1
0
-1
0
1 2 1 0 1
o
1
y
x
-1
2
y=sinx，x [0, 2 ]
y=1+sinx，x [0, 2 ]
步驟：
1.列表
2.描點
3.連線
例2 畫出函數y= - cosx，x [0, 2 ]的簡圖：
x
cosx
- cosx
0 2
1
0
-1
0
1
-1 0 1 0 -1
y
x
o
1
-1
y= - cosx，x [0, 2 ]
y=cosx，x [0, 2 ]
正弦、余弦函數的圖象
x
sinx
0 2
1
0
-1
0
1
練習：在同一坐標系內，用五點法分別畫出函數
y= sinx，x [0, 2 ] 和 y= cosx，x [ , ]的簡圖：
o
1
y
x
-1
2
y=sinx，x [0, 2 ]
y= cosx，x [ , ]
向左平移 個單位長度
x
cosx
1
0
0
-1
0
0
正弦、余弦函數的圖象
正弦、余弦函數的圖象
小
結
1. 正弦曲線、余弦曲線
幾何畫法
五點法
2.注意與誘導公式知識的聯系
y
x
o
1
-1
y=sinx，x [0, 2 ]
y=cosx，x [0, 2 ](共39張PPT)
5.4.2正弦函數、余弦函數的性質（1）
—周期性、奇偶性、對稱性
第五章 三角函數
引 入
正弦函數五個關鍵點:
與x軸的交點
圖像的最高點
圖像的最低點
余弦函數五個關鍵點:
與x軸的交點
圖像的最高點
圖像的最低點
y＝sin x









y＝cos x
正弦曲線
探究新知
余弦函數的圖象
正弦函數的圖象
余弦曲線
形狀完全一樣只是位置不同
定義域：R
值域：[-1，1]
定義域：R
值域：[-1，1]
1.定義域和值域
探究新知
2.周期性
(1) 正弦函數具有“周而復始”的變化規律；
(2) 規律是：每隔2 重復出現一次（或者說每隔2k ，k Z重復出現）；
(3) 這個規律由誘導公式sin(2k +x)=sinx可以說明.
x
y
o
-1
1
-
2
3
4
5
-2
-3
-4

觀察正弦函數的圖像，
數學上用周期性來定量地刻畫這種“周而復始”的規律.
結論：像這樣一種函數叫做周期函數.
探究新知
周期函數定義：
一般地，設函數f(x)的定義域為D，如果存在一個非零常數T，使得對每一個x∈D，都有x+T∈D 且f(x＋T)＝f(x)，那么函數f(x)就叫做周期函數，非零常數T叫做這個函數的周期.
2.周期性
探究新知
對于一個周期函數f(x),如果在它所有的周期中存在一個最小的正數，那么這個最小的正數就叫做f(x)的最小正周期.
說明：我們現在談到三角函數周期時，如果不加特別說明，一般都是指的最小正周期。
最小正周期：
探究新知
正弦函數是周期函數，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.
余弦函數是周期函數，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.
正弦函數、余弦函數的周期：
探究新知
思考？
說明：定義是對定義域中的每一個x值來說的，只有個別的x值滿足：f(x+T)=f(x)，不能說T是y=f(x)的周期.
不是.
說明：周期函數中，x 定義域D，則必有x+T D, 且若T>0，則定義域無上界；T<0則定義域無下界.
探究新知
說明：T往往是多值的（如y=sinx, T=2 , 4 , … , －2 , － 4 , …都是周期）周期T中最小的正數叫做f (x)的最小正周期（有些周期函數沒有最小正周期）.
是. 但無最小正周期.
說明：并不是所有周期函數都有最小正周期，如y=1.
例題講解
（1）y＝3sin x，x∈R；
解 ：（1） x∈R，有3sin（x＋2π）＝3sin x，
由周期函數的定義可知，原函數的周期為2π．
例1　求下列函數的周期：
（2）y＝cos 2x，x∈R；
解 ：（2）令z＝2x，由x∈R得z∈R，且y＝cos z的周期為2π，
即cos（z＋2π）＝cos z，
于是cos（2x＋2π）＝cos 2x，所以cos 2（x＋π）＝cos 2x，x∈R．
由周期函數的定義可知，原函數的周期為π．
例題講解
解 ：（3）令 ，由x∈R得z∈R，
（3）y＝　　　　　　　　　 ．
由周期函數的定義可知，原函數的周期為4π．
且y＝2sin z的周期為2π，
于是 ，
所以 ，x∈R．
例題講解
第一步，先用換元法轉換：比如對于“（2）y＝cos 2x，x∈R”，
令2x＝t，所以y＝f (x)＝cos 2x＝cos t；
第二步，利用已知的三角函數的周期找關系：
由cos(2π＋t)＝cos t，代入可得：cos(2π＋2x)＝cos 2x；
第三步，根據定義變形：變形可得：cos 2(π＋x)＝cos 2x，
于是就有f (x＋π)＝f (x)；
對于周期問題，求解的步驟如下：
第四步，確定結論：根據定義可知其周期為π．
探究新知
仿照上述分析過程可得函數y＝Asin(ωx＋φ)、y＝Acos(ωx＋φ) (其中A，
ω，φ為常數，且A≠0，ω>0)的最小正周期為：T＝ ．
一般地，如果函數y＝f (x)的周期是T，
那么函數y＝f (ωx) (ω>0)的周期是 .
回顧例1的解答過程中，你能發現這些函數的周期與解析式中哪些量有關嗎？
函數的周期與x的系數有關.
課堂練習
1.求下列函數的周期：
2.函數
的最小正周期為_________.
4.函數 的最小正周期是_______.
5.求 的周期是________.
3.函數
的最小正周期為_________.
2
2
4
π
探究新知
變式：(多選)下列函數的最小正周期是的是( )
A.B.C.D.
BC
周期求法總結：
一般地，函數 y=Asin(ωx+φ) 及y=Acos(ωx+φ) （其中A ,ω,φ為常數，且 A≠0, ω≠0 ）的周期是:
法1.定義法：
法2.公式法：
法3.圖象法:
例題講解
6.已知函數
的周期為
，則
則正整數 的最大值為________.
7.已知函數
的最小正周期不小于 ,
利用函數的周期性，有助于從局部認識整體.
π
6
18
例2　
探究新知
探究新知
結論：若函數滿足以下四個條件的其中一個，即：
(1)；
(2)；或f(x＋a)＋f(x)=0
(3)；
(4)，則函數的周期.
我們證明第一個條件能得到該結論，其它兩個同理可得證.
證明：
，
∴.
探究新知
結論：若函數滿足以下條件的其中一個，即：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)，
(5)，則函數的周期.
(7)，則.
(6)，則.
探究新知
例4若，且滿足，則_________.
解：∵，∴周期.
∴，，
∴3
3
探究新知
3.奇偶性
正弦函數的圖象
探 究
余弦函數的圖象
問題：你能從它們的圖象看出它們有何奇偶性嗎？
探究新知
sin(-x)= - sinx (x R)
y=sinx (x R)
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1

是奇函數
x
6
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1

y
cos(-x)= cosx (x R)
y=cosx (x R)
是偶函數
定義域關于原點對稱
正弦函數、余弦函數的奇偶性：
例題講解
例5 判斷下列函數的奇偶性
課堂練習
課堂練習
課堂練習
練習：2.
課堂練習
4
3
5
探究新知
判斷函數奇偶性的方法
(1)判斷函數奇偶性應把握好的兩個方面：
一看函數的定義域是否關于原點對稱；
二看f(x)與f(－x)的關系.
(2)判斷三角函數的奇偶性，有時可根據誘導公式先將函數式化簡后再判斷.
①提醒：研究函數性質應遵循“定義域優先”的原則.
②若形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常數，且A≠0，ω>0)具備奇偶性，則它能通過誘導公式轉化為下列函數中的一個：
y＝Asin ωx——奇函數
或y＝Acos ωx——偶函數(A≠0，ω>0).
課堂練習
6. (1)函數是( )
A. 最小正周期為的偶函數 B. 最小正周期為的偶函數
C. 最小正周期為的奇函數 D. 最小正周期為的奇函數
(2)若，函數為奇函數，( )
A. 0 B.1 C. D.
A
A
例題講解
7. (1)函數( )
A. 是奇函數B. 是偶函數C. 是非奇非偶函數D. 是既奇又偶函數
(2)若函數是R上的偶函數，則的值是( )
A. 0 B. C. D.
B
C
探究新知
知道一個函數的奇偶性，同樣也可以縮小我們研究函數的范圍，因為奇、偶函數的圖象分別關于原點、y軸對稱，所以只需要搞清楚函數在y軸右側的圖象與性質，那么，整個定義域內的圖象與性質就都知道了，可以提高我們研究函數的效率．
【思考】正弦函數、余弦函數的圖象分別關于原點、y軸對稱，除此以外它們是否還有其它的對稱中心和對稱軸呢？
知道一個函數的奇偶性，對研究它的圖象與性質有什么幫助？
探究新知
4.對稱性
x
y
o
-
-1
2
3
4
-2
-3
1

y
x
o
-
-1
2
3
4
-2
-3
1

正弦函數的對稱性：
余弦函數的對稱性：
例題講解
例6
課堂練習
BCD
D
B
變式：
探究新知
5.周期性與對稱性的結合
(1)若，則的對稱軸為
(2)若，則的對稱中心為
(3)若圖象關于直線與對稱，則
(4)若圖象關于點與對稱，則
(5)若圖象關于直線和點對稱，則
(6)若偶函數圖象關于直線對稱，則
(7)若奇函數圖象關于直線對稱，則
例題講解
5.周期性與對稱性的結合
例：(1)(多選)函數的定義域為，且與都為奇函數，則( )
A.是奇函數B. 是周期函數
C.是奇函數D. 是偶函數
(2)已知為定義在上的奇函數，且滿足。若當時，，則( )
A. B. C. D. 0
ABC
C
例題講解
例：定義在R上的函數既是偶函數又是周期函數。若的最小正周期是，且當時，，則的值是多少？
變式：已知函數是定義在R上的奇函數，且是以為周期的周期函數，若當時，，則( )
A. B. C. D.
解：因為的最小正周期是，所以.
又因為是偶函數，所以，即.
解：因為是奇函數，所以是的一個對稱中心.又因為是以為周期的周期函數，且兩個對稱中心之間相差了半個周期，所以點也是的一個對稱點，所以，所以.
所以
B
課堂小結
正弦函數 余弦函數
函數圖像
周期 2π 2π
奇偶性 奇函數 偶函數
對稱性 對稱軸
對稱中心
單調性 遞增區間
遞減區間
最值點 最小值
最大值
正余弦函數的性質
課堂小結(共15張PPT)
X
黟縣中學:查正興
2021.12.23
5.4.3 正切函數的性質與圖象
函數 正弦函數 余弦函數
函數圖像
周期 2π 2π
奇偶性 奇函數 偶函數
對稱性 對稱軸
對稱中心
單調性 遞增區間
遞減區間
最值點 最小值
最大值
知 識 回 顧
圖象→性質
（1）根據研究正弦函數和余弦函數的經驗，你認為應該如何研究正切
函數的圖象和性質？
（2）你能用不同的方法研究正切函數嗎？
性質→圖象
正切函數：
由誘導公式 可知，
由誘導公式 可知，
表明正切函數的定義域關于原點對稱
正切函數是周期函數，周期是π.
【1】周期性：
【2】奇偶性：
正切函數是奇函數.
根據正切函數的周期性，只要研究正切函數在一個周期，
再根據正切函數的奇偶性，只要研究正切函數在半個周期，
比如區間 內的圖象與性質即可．
比如區間 內的圖象與性質即可．
你認為正切函數的周期性和奇偶性對研究它的圖象及其他性質會
有什么幫助？







由此可見，當 時，線段AT的長度就是相應角x的正切值．
我們可以利用線段AT畫出函數 　 　 的圖象
如何畫出函數y＝tan x， 　 　的圖象呢？
探究







觀察圖象可知：當 時，隨著x的增大，線段AT的長度也在增大，
相應地，函數的圖象從左向右呈不斷上升趨勢，而且當x趨向于 時，AT的長度趨向于無窮大．且向右上方無限逼近直線 ，但不會與該直線相交．
第一步，因為正切函數是奇函數，
就可得到 的圖象；
探究：根據剛得的部分圖象，并根據正切函數的性質，畫出正切函數的圖象嗎？正切函數的圖象有怎樣的特征？







第二步，根據正切函數的周期性，把圖象向左、向右擴展，得到正切函數的圖象，
y
x
1
-1
/2
- /2

3 /2
-3 /2
-
0
漸近線
圖象特征：
正切曲線是由相互平行的直線 所隔開的無窮多支曲線組成，每支曲線向上、向下可無限接近相應的兩條直線。
稱為正切曲線
正切函數圖象的簡單畫法：
三點兩線法
“三點”:
“兩線”:
x
y
0
1
-1
正切函數的圖象
【3】單調性：
由正切函數的周期性可知，正切函數在每一區間 ，上都單調遞增.
正切函數在區間 上單調遞增,
x
y
0
【4】值域：
觀察正切曲線可知，當 ，時 在
內可以取到任意實數值,但沒有最大值、最小值.因此正切函數的值域是實數集R.
x
y
0
【5】對稱性：
正切函數的圖象是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形.
關于點 對稱.
【例2】求函數 的定義域、周期及單調區間．
函數
圖像
定義域
值域 R
周期性 π
單調性
奇偶性 奇函數
對稱性
歸 納 總 結
布置作業(P214 NO.13.14)

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