資源簡介

第二十四章　圓
24．1　圓的有關性質
24．1.1　圓
經歷圓的概念的形成過程，理解圓、弧、弦等與圓有關的概念，了解等圓、等弧的概念．
重點
經歷形成圓的概念的過程，理解圓及其有關概念．
難點
理解圓的概念的形成過程和圓的集合性定義．
活動1　創設情境，引出課題
1．多媒體展示生活中常見的給我們以圓的形象的物體．
2．提出問題：我們看到的物體給我們什么樣的形象？
活動2　動手操作，形成概念
在沒有圓規的情況下，讓學生用鉛筆和細線畫一個圓．
教師巡視，展示學生的作品，提出問題：我們畫的圓的位置和大小一樣嗎？畫的圓的位置和大小分別由什么決定？
教師強調指出：位置由固定的一個端點決定，大小由固定端點到鉛筆尖的細線的長度決定．
1．從以上圓的形成過程，總結概念：在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點所形成的圖形叫做圓．固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以點O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．
2．小組討論下面的兩個問題：
問題1：圓上各點到定點(圓心O)的距離有什么規律？
問題2：到定點的距離等于定長的點又有什么特點？
3．小組代表發言，教師點評總結，形成新概念．
(1)圓上各點到定點(圓心O)的距離都等于定長(半徑r)；
(2)到定點的距離等于定長的點都在同一個圓上．
因此，我們可以得到圓的新概念：圓心為O，半徑為r的圓可以看成是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合．(一個圖形看成是滿足條件的點的集合，必須符合兩點：在圖形上的每個點，都滿足這個條件；滿足這個條件的每個點，都在這個圖形上．)
活動3　學以致用，鞏固概念
1．教材第81頁　練習第1題．
2．教材第80頁　例1.
多媒體展示例1，引導學生分析要證明四個點在同一圓上，實際是要證明到定點的距離等于定長，即四個點到O的距離相等．
活動4　自學教材，辨析概念
1．自學教材第80頁例1后面的內容，判斷下列問題正確與否：
(1)直徑是弦，弦是直徑；半圓是弧，弧是半圓．
(2)圓上任意兩點間的線段叫做弧．
(3)在同圓中，半徑相等，直徑是半徑的2倍．
(4)長度相等的兩條弧是等弧．(教師強調：長度相等的弧不一定是等弧，等弧必須是在同圓或等圓中的弧．)
(5)大于半圓的弧是劣弧，小于半圓的弧是優弧．
2．指出圖中所有的弦和弧．
活動5　達標檢測，反饋新知
教材第81頁　練習第2，3題．
活動6　課堂小結，作業布置
課堂小結
1．圓、弦、弧、等圓、等弧的概念．要特別注意“直徑和弦”“弧和半圓”以及“同圓、等圓”這些概念的區別和聯系．等圓和等弧的概念是建立在“能夠完全重合”這一前提條件下的，它將作為今后判斷兩圓或兩弧相等的依據．
2．證明幾點在同一圓上的方法．
3．集合思想．
作業布置
1．以定點O為圓心，作半徑等于2厘米的圓．
2．如圖，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠C＝90°，∠D＝90°，點O是AB的中點．
求證：A，B，C，D四個點在以點O為圓心的同一圓上．
答案：1.略；2.證明OA＝OB＝OC＝OD即可．
24．1.2　垂直于弦的直徑
理解垂徑定理并靈活運用垂徑定理及圓的概念解決一些實際問題．
通過復合圖形的折疊方法得出猜想垂徑定理，并輔以邏輯證明加予理解．
重點
垂徑定理及其運用．
難點
探索并證明垂徑定理及利用垂徑定理解決一些實際問題．
一、復習引入
①在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點所形成的圖形叫做圓．固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑．
以點O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．
②連接圓上任意兩點的線段叫做弦，如圖線段AC，AB；
③經過圓心的弦叫做直徑，如圖線段AB；
④圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧，以A，C為端點的弧記作“”，讀作“圓弧AC”或“弧AC”．大于半圓的弧(如圖所示)叫做優弧，小于半圓的弧(如圖所示或)叫做劣弧．
⑤圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓．
⑥圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線．
二、探索新知
(學生活動)請同學按要求完成下題：
如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使CD⊥AB，垂足為M.
(1)如圖是軸對稱圖形嗎？如果是，其對稱軸是什么？
(2)你能發現圖中有哪些等量關系？說一說你理由．
(老師點評)(1)是軸對稱圖形，其對稱軸是CD.
(2)AM＝BM，＝，＝，即直徑CD平分弦AB，并且平分及.
這樣，我們就得到下面的定理：
垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧．
下面我們用邏輯思維給它證明一下：
已知：直徑CD、弦AB，且CD⊥AB垂足為M.
求證：AM＝BM，＝，＝.
分析：要證AM＝BM，只要證AM，BM構成的兩個三角形全等．因此，只要連接OA，OB或AC，BC即可．
證明：如圖，連接OA，OB，則OA＝OB，
在Rt△OAM和Rt△OBM中，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM，
∴AM＝BM，
∴點A和點B關于CD對稱，
∵⊙O關于直徑CD對稱，
∴當圓沿著直線CD對折時，點A與點B重合，與重合，與重合．
∴＝，＝.
進一步，我們還可以得到結論：
平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．
(本題的證明作為課后練習)
例1　有一石拱橋的橋拱是圓弧形，如圖所示，正常水位下水面寬AB＝60 m，水面到拱頂距離CD＝18 m，當洪水泛濫時，水面寬MN＝32 m時是否需要采取緊急措施？請說明理由．
分析：要求當洪水到來時，水面寬MN＝32 m是否需要采取緊急措施，只要求出DE的長，因此只要求半徑R，然后運用幾何代數解求R.
解：不需要采取緊急措施，
設OA＝R，在Rt△AOC中，AC＝30，CD＝18，
R2＝302＋(R－18)2，
R2＝900＋R2－36R＋324，
解得R＝34(m)，
連接OM，設DE＝x，在Rt△MOE中，ME＝16，
342＝162＋(34－x)2，
162＋342－68x＋x2＝342，x2－68x＋256＝0，
解得x1＝4，x2＝64(不合題意，舍去)，
∴DE＝4，
∴不需采取緊急措施．
三、課堂小結(學生歸納，老師點評)
垂徑定理及其推論以及它們的應用．
四、作業布置
1．垂徑定理推論的證明．
2．教材第89，90頁　習題第8，9，10題．
24．1.3　弧、弦、圓心角
1．理解圓心角的概念和圓的旋轉不變性，會辨析圓心角．
2．掌握在同圓或等圓中，圓心角與其所對的弦、弧之間的關系，并能應用此關系進行相關的證明和計算．
重點
圓心角、弦、弧之間的相等關系及其理解應用．
難點
從圓的旋轉不變性出發，發現并論證圓心角、弦、弧之間的相等關系．
活動1　動手操作，得出性質及概念
1．在兩張透明紙片上，分別作半徑相等的⊙O和⊙O′.
2．將⊙O繞圓心旋轉任意角度后會出現什么情況？圓是中心對稱圖形嗎？
3．在⊙O中畫出兩條不在同一條直線上的半徑，構成一個角，這個角叫什么角？學生先說，教師補充完善圓心角的概念．
如圖，∠AOB的頂點在圓心，像這樣的角叫做圓心角．
4．判斷圖中的角是否是圓心角，說明理由．
活動2　繼續操作，探索定理及推論
1．在⊙O′中，作與圓心角∠AOB相等的圓心角∠A′O′B′，連接AB，A′B′，將兩張紙片疊在一起，使⊙O與⊙O′重合，固定圓心，將其中一個圓旋轉某個角度，使得OA與O′A′重合，在操作的過程中，你能發現哪些等量關系，理由是什么？請與小組同學交流．
2．學生會出現多對等量關系，教師給予鼓勵，然后，老師小結：在等圓中相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．
3．在同一個圓中，相等的圓心角所對的弧相等嗎？所對的弦相等嗎？
4．綜合2，3，我們可以得到關于圓心角、弧、弦之間的關系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．請用符號語言把定理表示出來．
5．分析定理：去掉“在同圓或等圓中”這個條件，行嗎？
6．定理拓展：教師引導學生類比定理，獨立用類似的方法進行探究：
(1)在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角，所對的弦也分別相等嗎？
(2)在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角，所對的弧也分別相等嗎？
綜上所述，在同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，就可以推出它們所對應的其余各組量也相等．
活動3　學以致用，鞏固定理
1．教材第84頁　例3.
多媒體展示例3，引導學生分析要證明三個圓心角相等，可轉化為證明所對的弧或弦相等．鼓勵學生用多種方法解決本題，培養學生解決問題的意識和能力，感悟轉化與化歸的數學思想．
活動4　達標檢測，反饋新知
教材第85頁　練習第1，2題．
活動5　課堂小結，作業布置
課堂小結
1．圓心角概念及圓的旋轉不變性和對稱性．
2．在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等，以及其應用．
3．數學思想方法：類比的數學方法，轉化與化歸的數學思想．
作業布置
1．如果兩個圓心角相等，那么(　　)
A．這兩個圓心角所對的弦相等
B．這兩個圓心角所對的弧相等
C．這兩個圓心角所對的弦的弦心距相等
D．以上說法都不對
2．如圖，AB和DE是⊙O的直徑，弦AC∥DE，若弦BE＝3，求弦CE的長．
3．如圖，在⊙O中，C，D是直徑AB上兩點，且AC＝BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M，N在⊙O上．
(1)求證：＝；
(2)若C，D分別為OA，OB中點，則＝＝成立嗎？
答案：1.D；2.3；3.(1)連接OM，ON，證明△MCO≌△NDO，得出∠MOA＝∠NOB，得出＝；(2)成立．
24.1.4　圓周角(2課時)
第1課時　圓周角的概念和圓周角定理
1．理解圓周角的概念，會識別圓周角．
2．掌握圓周角定理，并會用此定理進行簡單的論證和計算．
重點
圓周角的概念和圓周角定理．
難點
用分類討論的思想證明圓周角定理，尤其是分類標準的確定．
活動1　復習類比，引入概念
1．用幾何畫板顯示圓心角．
2．教師將圓心角的頂點進行移動，如圖1.
(1)當角的頂點在圓心時，我們知道這樣的角叫圓心角，如∠AOB.
(2)當角的頂點運動到圓周時，如∠ACB這樣的角叫什么角呢？
學生會馬上猜出：圓周角．教師給予鼓勵，引出課題．
3．總結圓周角概念．
(1)鼓勵學生嘗試自己給圓周角下定義．估計學生能類比圓心角給圓周角下定義，頂點在圓周上的角叫圓周角，可能對角的兩邊沒有要求．
(2)教師提問：是不是頂點在圓周上的角就是圓周角呢？帶著問題，教師出示下圖．
學生通過觀察，會發現形成圓周角必須具備兩個條件：①頂點在圓周上；②角的兩邊都與圓相交．最后讓學生再給圓周角下一個準確的定義：頂點在圓周上，兩邊都與圓相交的角叫圓周角．
(3)比較概念：圓心角定義中為什么沒有提到“兩邊都與圓相交”呢？
學生討論后得出：凡是頂點在圓心的角，兩邊一定與圓相交，而頂點在圓周上的角則不然，因此，學習圓周角的概念，一定要注意角的兩邊“都與圓相交”這一條件．
活動2　觀察猜想，尋找規律
1．教師出示同一條弧所對圓周角為90°，圓心角為180°和同一條弧所對圓周角為45°，圓心角為90°的特殊情況的圖形．
提出問題：在這兩個圖形中，對著同一條弧的圓周角和圓心角，它們之間有什么數量關系．由于情況特殊，學生觀察、測量后，容易得出：對著同一條弧的圓周角是圓心角的一半．
2．教師提出：在一般情況下，對著同一條弧的圓周角還是圓心角的一半嗎？通過上面的特例，學生猜想，得出命題：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．
活動3　動手畫圖，證明定理
1．猜想是否正確，還有待證明．教師引導學生結合命題，畫出圖形，寫出已知、求證．
2．先分小組交流畫出的圖形，議一議：所畫圖形是否相同？所畫圖形是否合理？
3．利用實物投影在全班交流，得到三種情況．若三種位置關系未出現全，教師利用電腦演示同一條弧所對圓周角的頂點在圓周上運動的過程，得出同一條弧所對的圓心角和圓周角之間可能出現的不同位置關系，得到圓心角的頂點在圓周角的一邊上、內部、外部三種情況．
4．引導學生選一種最特殊、最容易證明的“圓心角的頂點在圓周角的一邊上”進行證明，寫出證明過程，教師點評．
5．引導學生通過添加輔助線，把“圓心角的頂點在圓周角的內部、外部”轉化成“圓心角的頂點在圓周角的一邊上”的情形，進行證明，若學生不能構造過圓周角和圓心角頂點的直徑，教師給予提示．然后小組交流討論，上臺展示證明過程，教師點評證明過程．
6．將“命題”改為“定理”，即“圓周角定理”．
活動4　達標檢測，反饋新知
1．教材第88頁　練習第1題．
2．如圖，∠BAC和∠BOC分別是⊙O中的弧BC所對的圓周角和圓心角，若∠BAC＝60°，那么∠BOC＝________.
3．如圖，AB，AC為⊙O的兩條弦，延長CA到D，使AD＝AB，如果∠ADB＝30°，那么∠BOC＝________.
答案：1.略；2.120°；3.120°.
活動5　課堂小結，作業布置
課堂小結
1．圓周角概念及定理．
2．類比從一般到特殊的數學方法及分類討論、轉化與化歸的數學思想．
作業布置
教材第88頁　練習第4題，教材第89頁　習題第5題．
第2課時　圓周角定理推論和圓內接多邊形
1．能推導和理解圓周角定理的兩個推論，并能利用這兩個推論解決相關的計算和證明．
2．知道圓內接多邊形和多邊形外接圓的概念，明確不是所有多邊形都有外接圓．
3．能證明圓內接四邊形的性質，并能應用這個性質解決簡單的計算和證明等問題．
重點
圓周角定理的兩個推論和圓內接四邊形的性質的運用．
難點
圓內接四邊形性質定理的準確、靈活應用以及如何添加輔助線．
活動1　溫習舊知
1．圓周角定理的內容是什么？
2．如圖，若的度數為100°，則∠BOC＝________，∠A＝________.
3．如圖，四邊形ABCD中，∠B與∠1互補，AD的延長線與DC所夾的∠2＝60°，則∠1＝________，∠B＝________.
4．判斷正誤：
(1)圓心角的度數等于它所對的弧的度數；(　　)
(2)圓周角的度數等于它所對的弧的度數的一半．(　　)
答案：1.略；2.100°，50°；3.120°，60°；4.略
活動2　探索圓周角定理的“推論”
1．請同學們在練習本上畫一個⊙O.想一想，以A，C為端點的弧所對的圓周角有多少個？試著畫幾個．然后教師引導學生：觀察下圖，∠ABC，∠ADC，∠AEC的大小關系如何？為什么？
讓學生得出結論后，教師繼續追問：如果把這個結論中的“同弧”改為“等弧”，結論正確嗎？
2．教師引導學生觀察下圖，BC是⊙O的直徑．請問：BC所對的圓周角∠BAC是銳角、直角還是鈍角？
讓學生交流、討論，得出結論：∠BAC是直角．教師追問理由．
3．如圖，若圓周角∠BAC＝90°，那么它所對的弦BC經過圓心嗎？為什么？由此能得出什么結論？
4．師生共同解決教材第87頁例4.
活動3　探索圓內接四邊形的性質
1．教師給學生介紹以下基本概念：
圓內接多邊形與多邊形的外接圓；圓內接四邊形與四邊形的外接圓．
2．要求學生畫一畫，想一想：
在⊙O上任作它的一個內接四邊形ABCD，∠A是圓周角嗎？∠B，∠C，∠D呢？進一步思考，圓內接四邊形的四個角之間有什么關系？
3．先打開幾何畫板，驗證學生的猜想，然后再引導學生證明，最后得出結論：圓內接四邊形對角互補．
4．課件展示練習：
(1)如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，則∠A＋∠C＝________，∠B＋∠ADC＝________；若∠B＝80°，則∠ADC＝________，∠CDE＝________；
(2)如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，∠AOC＝100°，則∠D＝________，∠B＝________；
(3)四邊形ABCD內接于⊙O，∠A∶∠C＝1∶3，則∠A＝________；
(4)如圖，梯形ABCD內接于⊙O，AD∥BC，∠B＝75°，則∠C＝________.
(5)想一想對于圓的任意內接四邊形都有這樣的關系嗎？
答案：(1)180°，180°，100°，80°；(2)130°，50°；(3)45°；(4)75°；(5)都有．
活動4　鞏固練習
1．教材第88頁　練習第5題．
2．圓的內接梯形一定是________梯形．
3．若ABCD為圓內接四邊形，則下列哪個選項可能成立(　　)
A．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3∶4
B．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝2∶1∶3∶4
C．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝3∶2∶1∶4
D．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝4∶3∶2∶1
答案：1.略；2.等腰；3.B.
活動5　課堂小結與作業布置
課堂小結
本節課我們學習了圓周角定理的兩個推論和圓內接四邊形的重要性質，要求同學們理解圓內接四邊形和四邊形的外接圓的概念，理解圓內接四邊形的性質定理；并初步應用性質定理進行有關問題的證明和計算．
作業布置
教材第89～91頁　習題第5，6，13，14，17題．
24.2　點和圓、直線和圓的位置關系
24．2.1　點和圓的位置關系
1．理解并掌握設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：點P在圓外 d>r；點P在圓上 d＝r；點P在圓內 d2．理解不在同一直線上的三個點確定一個圓并掌握它的運用．
3．了解三角形的外接圓和三角形外心的概念．
4．了解反證法的證明思想．
復習圓的兩種定理和形成過程，并經歷探究一個點、兩個點、三個點能作圓的結論及作圖方法，給出不在同一直線上的三個點確定一個圓的結論．接著從這三點到圓心的距離逐漸引入點P到圓心距離與點和圓位置關系的結論，并運用它們解決一些實際問題．
重點
點和圓的位置關系的結論：不在同一直線上的三個點確定一個圓及它們的運用．
難點
講授反證法的證明思路．
一、復習引入
(學生活動)請同學們口答下面的問題．
1．圓的兩種定義是什么？
2．你能至少舉例兩個說明圓是如何形成的？
3．圓形成后圓上這些點到圓心的距離如何？
4．如果在圓外有一點呢？圓內呢？請你畫圖想一想．
(老師點評)(1)在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓；圓心為O，半徑為r的圓可以看成是所有到定點O的距離等于定長r的點組成的圖形．
(2)圓規：一個定點，一個定長畫圓．
(3)都等于半徑．
(4)經過畫圖可知，圓外的點到圓心的距離大于半徑；圓內的點到圓心的距離小于半徑．
二、探索新知
由上面的畫圖以及所學知識，我們可知：設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離為OP＝d，
則有：點P在圓外 d>r；
點P在圓上 d＝r；
點P在圓內 d反過來，也十分明顯，如果d>r 點P在圓外；如果d＝r 點P在圓上；如果d因此，我們可以得到：
設⊙O的半徑為r，點P到圓的距離為d，
則有：點P在圓外 d>r；
點P在圓上 d＝r；
點P在圓內 d這個結論的出現，對于我們今后解題、判定點P是否在圓外、圓上、圓內提供了依據．
下面，我們接著研究確定圓的條件：
(學生活動)經過一點可以作無數條直線，經過二點只能作一條直線，那么，經過一點能作幾個圓？經過二點、三點呢？請同學們按下面要求作圓．
(1)作圓，使該圓經過已知點A，你能作出幾個這樣的圓？
(2)作圓，使該圓經過已知點A，B，你是如何做的？你能作出幾個這樣的圓？其圓心的分布有什么特點？與線段AB有什么關系？為什么？
(3)作圓，使該圓經過已知點A，B，C三點(其中A，B，C三點不在同一直線上)，你是如何做的？你能作出幾個這樣的圓？
(老師在黑板上演示)
(1)無數多個圓，如圖(1)所示．
(2)連接A，B，作AB的垂直平分線，則垂直平分線上的點到A，B的距離都相等，都滿足條件，作出無數個．
其圓心分布在AB的中垂線上，與線段AB互相垂直，如圖(2)所示．
(3)作法：①連接AB，BC；
②分別作線段AB，BC的中垂線DE和FG，DE與FG相交于點O；
③以O為圓心，以OA為半徑作圓，⊙O就是所要求作的圓，如圖(3)所示．在上面的作圖過程中，因為直線DE與FG只有一個交點O，并且點O到A，B，C三個點的距離相等(中垂線上的任一點到兩端點的距離相等)，所以經過A，B，C三點可以作一個圓，并且只能作一個圓．
即不在同一直線上的三個點確定一個圓．
也就是，經過三角形的三個頂點可以做一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓．
外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做這個三角形的外心．
下面我們來證明：經過同一條直線上的三個點不能作出一個圓．
證明：如圖，假設過同一直線l上的A，B，C三點可以作一個圓，設這個圓的圓心為P，那么點P既在線段AB的垂直平分線l1，又在線段BC的垂直平分線l2，即點P為l1與l2交點，而l1⊥l，l2⊥l，這與我們以前所學的“過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”矛盾．
所以，過同一直線上的三點不能作圓．
上面的證明方法與我們前面所學的證明方法思路不同，它不是直接從命題的已知得出結論，而是假設命題的結論不成立(即假設過同一直線上的三點可以作一個圓)，由此經過推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設不正確，從而得到命題成立．這種證明方法叫做反證法．
在某些情景下，反證法是很有效的證明方法．
例1　某地出土一明代殘破圓形瓷盤，如圖所示．為復制該瓷盤確定其圓心和半徑，請在圖中用直尺和圓規畫出瓷盤的圓心．
分析：圓心是一個點，一個點可以由兩條直線交點而成，因此，只要在殘缺的圓盤上任取兩條線段，作線段的中垂線，交點就是我們所求的圓心．
作法：(1)在殘缺的圓盤上任取三點連接成兩條線段；
(2)作兩線段的中垂線，相交于一點O.
則O就為所求的圓心．圖略．
三、鞏固練習
教材第95頁　練習1，2，3.
四、課堂小結
(學生總結，老師點評)
本節課應掌握：
1．點和圓的位置關系：設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離為d，則
2．不在同一直線上的三個點確定一個圓．
3．三角形外接圓和三角形外心的概念．
4．反證法的證明思想．
5．以上內容的應用．
五、作業布置
教材第101，102頁　習題1，7，8.
24．2.2　直線和圓的位置關系(3課時)
第1課時　直線和圓的三種位置關系
(1)了解直線和圓的位置關系的有關概念．
(2)理解設⊙O的半徑為r，直線l到圓心O的距離為d，則有：
直線l和⊙O相交 dr.
重點
理解直線和圓的三種位置關系．
難點
由上節課點和圓的位置關系遷移并運動直線導出直線和圓的位置關系的三個對應等價．
一、復習引入
(老師口問，學生口答，老師并在黑板上板書)同學們，我們前一節課已經學到點和圓的位置關系．設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d.
則有：點P在圓外 d>r，如圖(a)所示；
點P在圓上 d＝r，如圖(b)所示；
點P在圓內 d二、探索新知
前面我們講了點和圓有這樣的位置關系，如果這個點P改為直線l呢？它是否和圓還有這三種的關系呢？
(學生活動)固定一個圓，把三角尺的邊緣移動，如果把這個邊緣看成一條直線，那么這條直線和圓有幾種位置關系？
(老師口問，學生口答)直線和圓有三種位置關系：相交、相切和相離．
(老師板書)如圖所示：
如圖(a)，直線l和圓有兩個公共點，這時我們就說這條直線和圓相交，這條直線叫做圓的割線．
如圖(b)，直線l和圓有一個公共點，這時我們說這條直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個點叫做切點．
如圖(c)，直線l和圓沒有公共點，這時我們說這條直線和圓相離．
我們知道，點到直線l的距離是這點向直線作垂線，這點到垂足D的距離，按照這個定義，作出圓心O到l的距離的三種情況．
(學生分組活動)：設⊙O的半徑為r，圓心到直線l的距離為d，請模仿點和圓的位置關系，總結出什么結論？
老師點評：直線l和⊙O相交 d直線l和⊙O相切 d＝r，如圖(b)所示；
直線l和⊙O相離 d>r，如圖(c)所示．
例1　如圖，已知Rt△ABC的斜邊AB＝8 cm，AC＝4 cm.
(1)以點C為圓心作圓，當半徑為多長時，直線AB與⊙C相切？
(2)以點C為圓心，分別以2 cm和4 cm為半徑作兩個圓，這兩個圓與直線AB分別有怎樣的位置關系？
解：(1)如圖，過C作CD⊥AB，垂足為D.
在Rt△ABC中，
BC＝＝4.
∴CD＝＝2，
因此，當半徑為2 cm時，AB與⊙C相切．
(2)由(1)可知，圓心C到直線AB的距離d＝2 cm，所以
當r＝2時，d>r，⊙C與直線AB相離；
當r＝4時，d三、鞏固練習
教材第96頁　練習
四、課堂小結
(學生歸納，總結發言，老師點評)
本節課應掌握：
1．直線和圓相交(割線)、直線和圓相切(切線、切點)、直線和圓相離等概念．
2．設⊙O的半徑為r，直線l到圓心O的距離為d則有：
直線l和⊙O相交 d直線l和⊙O相切 d＝r；
直線l和⊙O相離 d>r.
五、作業布置
教材第101頁　習題第2題．
第2課時　圓的切線
1．能用“數量關系”確定“位置關系”的方法推導切線的判定定理，能判定一條直線是否為圓的切線；能從逆向思維的角度理解切線的性質定理．
2．掌握切線的判定定理和性質定理，并能運用圓的切線的判定和性質解決相關的計算與證明問題．
重點
探索圓的切線的判定和性質，并能運用它們解決與圓的切線相關的計算和證明等問題．
難點
探索圓的切線的判定方法和解決相關問題時怎樣添加輔助線．
活動1　動手操作
要求學生先在紙上畫⊙O和圓上一點A，然后思考：根據所學知識，如何畫出這個圓過點A的一條切線？能畫幾條？有幾種畫法？你怎么確定你所畫的這條直線是⊙O的切線？
活動2　探索切線的判定定理
1．如圖，在⊙O中，經過半徑OA的外端點A作直線l⊥OA，則圓心O到直線l的距離是多少？
2．思考：如果圓心到直線的距離等于半徑，那么直線和圓有何位置關系呢？你能發現此問題和上節課所學內容的聯系嗎？
3．教師引導學生探索得出切線的判定定理的內容．要求學生嘗試用文字語言和幾何語言描述：
文字語言描述：經過________并且________的直線是圓的切線．
幾何語言描述：如上圖，∵OC為半徑，且OC⊥AB，∴AB與⊙O相切于點C.
引導學生觀察下面兩個圖形，發現直線l都不是圓的切線．所以，在理解切線的判定定理時，應注意兩個條件“經過半徑外端”“垂直于半徑”缺一不可．
4．講解教材第98頁例1.請學生自己先尋找解題思路，教師引導，然后小結解題基本模式．
活動3　性質定理
1．教師引導學生思考：如圖，如果直線l是⊙O的切線，切點為A，那么半徑OA與直線l是不是一定垂直呢？
教師提示學生：直接證明切線的性質定理比較困難，可用反證法．假設半徑OA與l不垂直，如圖，過點O作OM⊥l，垂足為M，根據垂線段最短的性質有________＜________，∴直線l與⊙O________.這就與已知直線l與⊙O相切矛盾，∴假設不正確．因此，半徑OA與直線l垂直．
2．學生總結出切線的性質定理：圓的切線垂直于過切點的半徑．
3．教師引導學生辨別切線的判定定理與性質定理的區別與聯系．
切線的判定定理是要在未知相切而要證明相切的情況下使用；切線的性質定理是在已知相切而要推得一些其他的結論時使用．
活動4　鞏固練習
1．(1)下列直線是圓的切線的是(　　)
A．與圓有公共點的直線
B．到圓心的距離等于半徑的直線
C．垂直于圓的半徑的直線
D．過圓的直徑外端點的直線
(2)如圖，已知直線EF經過⊙O上的點E，且OE＝EF，若∠EOF＝45°，則直線EF和⊙O的位置關系是________．
,第(2)題圖)　　　　,第(3)題圖)
(3)如圖，AB是⊙O的直徑，∠PAB＝90°，連接PB交⊙O于點C，D是PA邊的中點，連接CD.求證：CD是⊙O的切線．
2．教材第98頁　練習第1，2題．
答案：1.(1)B；(2)相切；(3)連接OC，OD；2.略．
活動5　課堂小結與作業布置
課堂小結
1．知識總結：兩個定理：切線的判定定理是________；切線的性質定理是________．
2．方法總結：(1)證明切線的性質定理所用的方法是反證法．
(2)證明切線的方法：①當直線和圓有一個公共點時，把圓心和這個公共點連接起來，然后證明直線垂直于這條半徑，簡稱“連半徑，證垂直”；②當直線和圓的公共點沒有明確時，可過圓心作直線的垂線，再證圓心到直線的距離等于半徑，簡稱“作垂直，證半徑”．
(3)在運用切線的性質時，連接圓心和切點是常作的輔助線，這樣可以產生半徑和垂直條件．
作業布置
教材第101頁　習題24.2第4～6題．
第3課時　切線長定理
了解切線長的概念．
理解切線長定理，了解三角形的內切圓和三角形的內心的概念，熟練掌握它的應用．
復習圓與直線的位置關系和切線的判定定理、性質定理知識遷移到切長線的概念和切線長定理，然后根據所學三角形角平分線的性質給出三角形的內切圓和三角形的內心概念，最后應用它們解決一些實際問題．
重點
切線長定理及其運用．
難點
切線長定理的導出及其證明和運用切線長定理解決一些實際問題．
一、復習引入
1．已知△ABC，作三個內角平分線，說說它具有什么性質？
2．點和圓有幾種位置關系？
3．直線和圓有什么位置關系？切線的判定定理和性質定理是什么？
老師點評：(1)在黑板上作出△ABC的三條角平分線，并口述其性質：①三條角平分線相交于一點；②交點到三條邊的距離相等．
(2)(口述)點和圓的位置關系有三種，點在圓內 dr.
(3)(口述)直線和圓的位置關系同樣有三種：直線l和⊙O相交 dr；切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于半徑的直線是圓的切線；切線的性質定理：圓的切線垂直于過切點的半徑．
二、探索新知
從上面的復習，我們可以知道，過⊙O上任一點A都可以作一條切線，并且只有一條，根據下面提出的問題操作思考并解決這個問題．
問題：在你手中的紙上畫出⊙O，并畫出過A點的唯一切線PA，連接PO，沿著直線PO將紙對折，設圓上與點A重合的點為B，這時，OB是⊙O的一條半徑嗎？PB是⊙O的切線嗎？利用圖形的軸對稱性，說明圓中的PA與PB，∠APO與∠BPO有什么關系？
學生分組討論，老師抽取3～4位同學回答這個問題．
老師點評：OB與OA重疊，OA是半徑，OB也就是半徑了．又因為OB是半徑，PB為OB的外端，又根據折疊后的角不變，所以PB是⊙O的又一條切線，根據軸對稱性質，我們很容易得到PA＝PB，∠APO＝∠BPO.
我們把PA或PB的長，即經過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長．
從上面的操作我們可以得到：
從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角．
下面，我們給予邏輯證明．
例1　如圖，已知PA，PB是⊙O的兩條切線．
求證：PA＝PB，∠OPA＝∠OPB.
證明：∵PA，PB是⊙O的兩條切線．
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
又OA＝OB，OP＝OP，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP，
∴PA＝PB，∠OPA＝∠OPB.
因此，我們得到切線長定理：
從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角．
我們剛才已經復習，三角形的三條角平分線交于一點，并且這個點到三條邊的距離相等．
(同剛才畫的圖)設交點為I，那么I到AB，AC，BC的距離相等，如圖所示，因此以點I為圓心，點I到BC的距離ID為半徑作圓，則⊙I與△ABC的三條邊都相切．
與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，內切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做三角形的內心．
例2　如圖，已知⊙O是△ABC的內切圓，切點為D，E，F，如果AE＝2，CD＝1，BF＝3，且△ABC的面積為6.求內切圓的半徑r.
分析：直接求內切圓的半徑有困難，由于面積是已知的，因此要轉化為面積法來求，就需添加輔助線，如果連接AO，BO，CO，就可把三角形ABC分為三塊，那么就可解決．
解：連接AO，BO，CO，
∵⊙O是△ABC的內切圓且D，E，F是切點．
∴AF＝AE＝2，BD＝BF＝3，CE＝CD＝1，
∴AB＝5，BC＝4，AC＝3，
又∵S△ABC＝6，
∴(4＋5＋3)r＝6，
∴r＝1.
答：所求的內切圓的半徑為1.
三、鞏固練習
教材第100頁　練習．
四、課堂小結
(學生歸納，老師點評)
本節課應掌握：
1．圓的切線長概念；
2．切線長定理；
3．三角形的內切圓及內心的概念．
五、作業布置
教材第102頁　綜合運用11，12
24．3　正多邊形和圓
了解正多邊形和圓的有關概念；理解并掌握正多邊形半徑和邊長、邊心距、中心角之間的關系，會應用多邊形和圓的有關知識畫多邊形．
復習正多邊形概念，讓學生盡可能講出生活中的多邊形為引題引入正多邊形和圓這一節的內容．
重點
講清正多邊形和圓的關系，正多邊形半徑、中心角、弦心距、邊長之間的關系．
難點
通過例題使學生理解四者：正多邊形半徑、中心角、弦心距、邊長之間的關系．
一、復習引入
請同學們口答下面兩個問題．
1．什么叫正多邊形？
2．從你身邊舉出兩三個正多邊形的實例，正多邊形具有軸對稱、中心對稱嗎？其對稱軸有幾條，對稱中心是哪一點？
老師點評：1.各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形．
2．實例略．正多邊形是軸對稱圖形，對稱軸有很多條，但不一定是中心對稱圖形，正三角形、正五邊形就不是中心對稱圖形．
二、探索新知
如果我們以正多邊形對應頂點的交點作為圓心，以點到頂點的連線為半徑，能夠作一個圓，很明顯，這個正多邊形的各個頂點都在這個圓上，如圖，正六邊形ABCDEF，連接AD，CF交于一點，以O為圓心，OA為半徑作圓，那么B，C，D，E，F肯定都在這個圓上．
因此，正多邊形和圓的關系十分密切，只要把一個圓分成相等的一些弧，就可以作出這個圓的內接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓．
我們以圓內接正六邊形為例證明．
如圖所示的圓，把⊙O分成相等的6段弧，依次連接各分點得到六邊ABCDEF，下面證明，它是正六邊形．
∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝AF，
∴＝＝＝＝＝，
又∴∠A＝的度數＝(＋＋＋)的度數＝2的度數，
∠B＝的度數＝(＋＋＋)的度數＝2的度數，
∴∠A＝∠B，
同理可證：∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝∠A，
又六邊形ABCDEF的頂點都在⊙O上，
∴根據正多邊形的定義，各邊相等、各角相等，六邊形ABCDEF是⊙O的內接正六邊形，⊙O是正六邊形ABCDEF的外接圓．
為了今后學習和應用的方便，我們把一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個多邊形的中心．
外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．
正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角．
中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．
例1　已知正六邊形ABCDEF，如圖所示，其外接圓的半徑是a，求正六邊形的周長和面積．
分析：要求正六邊形的周長，只要求AB的長，已知條件是外接圓半徑，因此自然而然，邊長應與半徑掛上鉤，很自然應連接OA，過O點作OM⊥AB垂足為M，在Rt△AOM中便可求得AM，又應用垂徑定理可求得AB的長．正六邊形的面積是由六塊正三角形面積組成的．
解：如圖所示，由于ABCDEF是正六邊形，所以它的中心角等于＝60°，△OBC是等邊三角形，從而正六邊形的邊長等于它的半徑．
因此，所求的正六邊形的周長為6a
在Rt△OAM中，OA＝a，AM＝AB＝a
利用勾股定理，可得邊心距
OM＝a2－(a)2＝a
∴所求正六邊形的面積＝6××AB×OM＝6××a×a＝a2
現在我們利用正多邊形的概念和性質來畫正多邊形．
例2　利用你手中的工具畫一個邊長為3 cm的正五邊形．
分析：要畫正五邊形，首先要畫一個圓，然后對圓五等分，因此，應該先求邊長為3的正五邊形的半徑．
解：正五邊形的中心角∠AOB＝＝72°，
如圖，∠AOM＝36°，OA＝AB÷sin36°＝1.5÷sin36°≈2.55(cm)
畫法：(1)以O為圓心，OA＝2.55 cm為半徑畫圓；
(2)在⊙O上順次截取邊長為3 cm的AB，BC，CD，DE，EA.
(3)分別連接AB，BC，CD，DE，EA.
則正五邊形ABCDE就是所要畫的正五邊形，如圖．
三、鞏固練習
教材第108頁　習題1，2，3
四、課堂小結
(學生小結，老師點評)
本節課應掌握：
1．正多邊形和圓的有關概念：正多邊形的中心，正多邊形的半徑，正多邊形的中心角，正多邊的邊心距．
2．正多邊形的半徑、正多邊形的中心角、邊長、正多邊形的邊心距之間的關系．
3．畫正多邊形的方法．
4．運用以上的知識解決實際問題．
五、作業布置
教材第108－109頁　習題4，6，8.
24．4　弧長和扇形面積(2課時)
第1課時　弧長和扇形面積公式
1．理解弧長與圓周長的關系，能用比例的方法推導弧長公式，并能利用弧長公式進行相關計算．
2．類比推導弧長公式的方法推導扇形面積公式，并能利用扇形面積公式進行相關計算．
重點
弧長和扇形面積公式的推導過程以及公式的應用．
難點
類比弧長公式的推導來獲得扇形面積公式的推導過程．
活動1　創設情境
這是章前圖中的車輪的一部分，如果一只螞蟻從點O出發，爬到A處，再沿弧AB爬到B處，最后回到點O處，若車輪半徑OA長60 cm，∠AOB＝108°，你能算出螞蟻所走的路程嗎？這就涉及到計算弧長的問題，也是本節課要研究的第一問題．
活動2　探究新知
思考：1.弧是圓的一部分，想一想，如何計算圓周長？
2．圓周長可以看作多少度的圓心角所對的弧長？
3．1°的圓心角所對的弧長是多少？2°的圓心角所對的弧長是多少？3°的圓心角所對的弧長是多少？n°的圓心角所對的弧長又是多少呢？
4．推導出弧長公式l＝，強調n表示1°的圓心角的倍數，n不帶單位，180也如此．
5．對于公式l＝，當R一定時，你能從函數的角度來理解弧長l和圓心角n的關系嗎？
活動3　達標檢測1
1．學生運用公式計算活動1中的問題．
2．解決教材第111頁的例1.
3．完成教材第113頁的練習第1，2題．
4．在半徑為12的⊙O中，60°圓心角所對的弧長是(　　)
A．6π　　　　B．4π　　　　C．2π　　　　D．π
答案：4.B
活動4　自主探究
1．觀察問題1中螞蟻所圍成的圖形是什么？請學生獨立閱讀教材第112頁第1自然段．
2．我們知道弧是圓的一部分，所以我們把弧長的問題轉化為圓周長的問題來解決．那么扇形呢？你能類比弧長的推導方式求出扇形的面積公式嗎？
3．比較弧長公式和扇形面積公式，請推導出扇形面積和對應弧長的關系．
活動5　反饋新知
1．已知扇形的半徑為3 cm，面積為3π cm2，則扇形的圓心角是________°，扇形的弧長是________cm.(結果保留π)(答案：120，2π)
2．師生共同完成教材第112頁例2.
3．完成教材第113頁練習第3題．
4．如圖，已知扇形的圓心角是直角，半徑是2，則圖中陰影部分的面積是________．(結果不計算近似值)(答案：π－2)
5．方法小結：
問題1：求一個圖形的面積，而這個圖形是未知圖形時，我
們應該把未知圖形化為什么圖形呢？
問題2：通過以前的學習，我們又是通過什么方式把未知圖形化為已知圖形的呢？
活動6　達標檢測2
1．120°的圓心角所對的弧長是12π cm，則此弧所在的圓的半徑是________．
2．如圖，在4×4的方格中(共有16個方格)，每個小方格都是邊長為1的正方形．O，A，B分別是小正方形的頂點，則扇形OAB的弧長等于________．(結果保留根號及π)
3．如圖，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，以AD的長為半徑的⊙A交BC邊于點E，則圖中陰影部分的面積為________．
答案：1.18 cm；2.π；3.－－π.
活動7　課堂小結與作業布置
課堂小結
1．弧長公式是什么？扇形的面積公式呢？是怎樣推導出來的？如何理解這兩個公式？這兩個公式有什么作用？這兩個公式有什么聯系？
2．在解決部分與整體關系的問題時，我們應學會用什么方法去解決？
3．解決不規則圖形的面積問題時，我們應用什么數學思想去添加輔助線？
作業布置
教材第115頁　習題24.4第1題的(1)，(2)題，第2～8題．
第2課時　圓錐的側面積和全面積
了解圓錐母線的概念，理解圓錐側面積計算公式，理解圓錐全面積的計算方法，并會應用公式解決問題．
通過創設情境和復習扇形面積的計算方法探索圓錐側面積和全面積的計算公式以及應用它解決現實生活中的一些實際問題．
重點
圓錐側面積和全面積的計算公式．
難點
探索兩個公式的由來．
一、復習引入
1．什么是n°的圓心角所對的弧長和扇形面積的計算公式，并請講講它們的異同點．
2．問題1：一種太空囊的示意圖如圖所示，太空囊的外表面須作特別處理，以承受重返地球大氣層時與空氣摩擦后產生的高熱，那么該太空囊要接受防高熱處理的面積應由幾部分組成的．
老師點評：(1)n°圓心角所對弧長：l＝，S扇形＝，公式中沒有n°，而是n；弧長公式中是R，分母是180；而扇形面積公式中是R2，分母是360，兩者要記清，不能混淆．
(2)太空囊要接受熱處理的面積應由三部分組成；圓錐的側面積，圓柱的側面積和底圓的面積．這三部分中，第二部分和第三部分我們已經學過，會求出其面積，但圓錐的側面積，到目前為止，如何求，我們是無能為力，下面我們來探究它．
二、探索新知
我們學過圓柱的側面積是沿著它的母線展開成長方形，同樣道理，我們也把連接圓錐頂點和底面圓上任意一點的線段叫做圓錐的母線．
(學生分組討論，提問兩三位同學)
問題2：與圓柱的側面積求法一樣，沿母錐一條母線將圓錐側面剪開并展平，容易得到，圓錐的側面展開圖是一個扇形，設圓錐的母線長為l，底面圓的半徑為r，如圖所示，那么這個扇形的半徑為________，扇形的弧長為________，因此圓錐的側面積為________，圓錐的全面積為________．
老師點評：很顯然，扇形的半徑就是圓錐的母線，扇形的弧長就是圓錐底面圓的周長．因此，要求圓錐的側面積就是求展開圖扇形面積S＝，其中n可由2πr＝求得：n＝，∴扇形面積S＝＝πrl；全面積是由側面積和底面圓的面積組成的，所以全面積＝πrl＋πr2.
例1　圣誕節將近，某家商店正在制作圣誕節的圓錐形紙帽，已知紙帽的底面周長為58 cm，高為20 cm，要制作20頂這樣的紙帽至少要用多少紙？(結果精確到0.1 cm2)
分析：要計算制作20頂這樣的紙帽至少要用多少紙，只要計算紙帽的側面積即可．
解：設紙帽的底面半徑為r cm，母線長為l cm，則
r＝，
l＝≈22.03，
S紙帽側＝πrl≈×58×22.03＝638.87(cm)，
638．87×20＝12777.4(cm2)，
所以，至少需要12777.4 cm2的紙．
例2　已知扇形的圓心角為120°，面積為300π cm2.
(1)求扇形的弧長；
(2)若將此扇形卷成一個圓錐，則這個圓錐的軸截面面積為多少？
分析：(1)由S扇形＝求出R，再代入l＝求得．(2)若將此扇形卷成一個圓錐，扇形的弧長就是圓錐底面圓的周長，就可求圓的半徑，其截面是一個以直徑為底，圓錐母線為腰的等腰三角形．
解：(1)如圖所示：
∵300π＝，
∴R＝30，
∴弧長l＝＝20π(cm)，
(2)如圖所示：
∵20π＝2πr，
∴r＝10，R＝30，
AD＝＝20，
∴S軸截面＝×BC×AD
＝×2×10×20＝200(cm2)，
因此，扇形的弧長是20π cm，卷成圓錐的軸截面是200 cm2.
三、鞏固練習
教材第114頁　練習1，2.
四、課堂小結
(學生歸納，老師點評)
本節課應掌握：
1．什么叫圓錐的母線．
2．會推導圓錐的側面積和全面積公式并能靈活應用它們解決問題．
五、作業布置
教材第115～116頁　習題6，8，10.

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