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人教版·初中數學·八年級上冊·第十五章
分式復習
要點梳理
一、分式
1.分式的概念：
2.分式有意義的條件：
當_______時分式有意義；
當_______時無意義.
一般地，如果A、B都表示整式，且B中含有字母，那么稱 為分式.其中A叫做分式的分子，B為分式的分母.
對于分式
3.分式值為零的條件：
當____________時，分式 的值為零.
4.分式的基本性質：
C
0
5.分式的約分：
約分的定義
根據分式的基本性質，把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分．
最簡分式的定義
分子與分母沒有公因式的式子，叫做最簡分式
注意：分式的約分，一般要約去分子和分母所有的公因式，使所得的結果成為最簡分式或整式
約分的基本步驟
(1)若分子﹑分母都是單項式，則約去系數的最大公約數，并約去相同字母的最低次冪；
(2)若分子﹑分母含有多項式，則先將多項式分解因式，然后約去分子﹑分母所有的公因式．
6.分式的通分：
分式的通分的定義
根據分式的基本性質，使分子、分母同乘適當的整式（即最簡公分母），把分母不相同的分式變成分母相同的分式，這種變形叫分式的通分.
最簡公分母
為通分先要確定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次冪的積作公分母，叫做最簡公分母.
二、分式的運算
1.分式的
乘除法則：
2.分式的
乘方法則：
3.分式的加減法則：
(1)同分母分式的加減法則：
(2)異分母分式的加減法則：
4.分式的混合運算：
先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號的先算括號里面的.
計算結果要化為最簡分式或整式．
考點一 分式的有關概念
【解析】根據分式值為0的條件：分子為0而分母不為0，列出關于x的方程，求出x的值，并檢驗當x的取值時分式的分母的對應值是否為零.
由題意可得：x2-1=0, 解得x=±1.
當x=-1時，x+1=0;當x=1時，x+1 ≠0.
例1 如果分式 的值為0，那么x的值為 .
1
歸納總結
分式有意義的條件是分母不為0，分式無意義的條件是分母的值為0；分式的值為0的條件是：分子為0而分母不為0.
針對訓練
1.若分式 無意義，則x的值 .
-3
2.如果分式 的值為零，則a的值為 .
3
例2 如果把分式　　　 中的x和y的值都擴大為
原來的3倍，則分式的值（　 　）
A.擴大為原來的3倍　 B.不變　
C.縮小為原來的　 D.縮小為原來的
B
歸納總結
對于一個分式，如果給出其中字母的取值，我們可以先將分式進行化簡，再把字母取值代入，即可求出分式的值.但對于某些分式的求值問題，卻沒有直接給出字母的取值，而只是給出字母滿足的條件，這樣的問題較復雜，需要根據具體情況選擇適當的方法.
變式訓練
5.已知x2-5x+1=0,求出 的值.
三、分式方程
1.分式方程的定義
分母中含未知數的方程叫做分式方程
2.分式方程的解法
(1)在方程的兩邊都乘以最簡公分母，約去分母，化成整式方程.
(2)解這個整式方程.
(3)把整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解，否則須舍去.
考點三 分式方程的解法
例5 解下列分式方程：
【解析】兩分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可確定出分式方程的解．
解：（1）去分母得x+1+x﹣1=0，解得x=0，
經檢驗x=0是分式方程的解；
（2）去分母得x﹣4=2x+2﹣3，解得x=﹣3，
經檢驗x=﹣3是分式方程的解．
總結：
解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根．
針對訓練
解：最簡公分母為(x+2)(x-2)，
去分母得(x-2)2-(x+2)(x-2)=16，
整理得-4x+8=16，解得x=-2，
檢驗：x+2=0，x2-4=0
故原分式方程無解．
列分式方程解應用題的一般步驟
(1)審:清題意，并設未知數；
(2)找:相等關系；
(3)列:出方程；
(4)解:這個分式方程；
(5)驗根:（包括兩方面 :1.是否是分式方程的根； 2.是否符合題意）；
(6)寫:答案.
6.某施工隊挖掘一條長90米的隧道，開工后每天比原計劃多挖1米，結果提前3天完成任務，原計劃每天挖多少米？若設原計劃每天挖x米，則依題意列出正確的方程為（ ）
D
考點四 分式方程的應用
7. 某商店第一次用600元購進2B鉛筆若干支，第二次又用600元購進該款鉛筆，但這次每支的進價是第一次進價的 倍，購進數量比第一次少了30支.求第一次每支鉛筆的進價是多少元？
解：設第一次每支鉛筆進價為x元，根據題意列方程，得
解得 x=4.
經檢驗，x=4 是分式方程的解.
答：第一次每支鉛筆的進價為4元.
歸納總結
已知字母之間的關系式，求分式的值時，可以先用含有一個字母的代數式來表示另一個字母，然后把這個關系式代入到分式中即可求出分式的值.這種方法即是主元法，此方法是在眾多未知元之中選取某一元為主元，其余視為輔元.那么這些輔元可以用含有主元的代數式表示，這樣起到了減元之目的，或者將題中的幾個未知數中，正確選擇某一字母為主元，剩余的字母視為輔元，達到了化繁入簡之目的，甚至將某些數字視為主元，字母變為輔元，起到化難為易的作用.

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