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高中數學 人民教育出版社 A版 選擇性必修 第二冊
第四章 數列
4.4 數學歸納法（第一課時）
情境1：“天下烏鴉一般黑”這句話正確嗎？
情境導入
情境1：“天下烏鴉一般黑”這句話正確嗎？
情境導入
新知導入
情景2：在數列的學習過程中，我們是怎樣得到等差數列的通項公式 ？
歸納可得
以上都是不完全歸納法的體現，其結果不一定正確。
從一類事物中的部分對象都具有某種性質推出這類對象全體都具有這種性質的歸納推理方法
在數列的學習過程中，我們已經用歸納的方法得出了一些結論，例如等差數列的通項公式 等，但并沒有給出嚴格的數學證明.
那么，對于這類與正整數n有關的命題，怎樣證明它對每一個正整數n都成立呢 ？本節我們就來介紹一種重要的證明方法——數學歸納法.
情境導入
已知數列滿足 ，，計算猜想其通項公式，并證明你的猜想.
分析：令n=1,有
探究新知
探究1
=1
令n=2,有
令n=3,有
=1
=1
已知數列滿足 ，，計算猜想其通項公式，并證明你的猜想.
如何證明這個猜想呢？
因此，我們需要另辟蹊徑，尋求一種方法：通過有限個步驟的推理，證明n取所有正整數時命題都成立.
探究新知
探究1
類比遷移
這是一種碼放骨牌的游戲. 碼放骨牌時，要保證任意相鄰的兩塊骨牌，若前一塊骨牌倒下，則一定導致后一塊骨牌也倒下.
類比遷移
（1）第一塊骨牌倒下；
（2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導致后一塊倒下.
問題1：在這個游戲中，能使所有多米諾骨牌全部倒下的條件是什么？
類比遷移
追問（1）：條件（1）的作用是什么？
（1）第一塊骨牌倒下；
（2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導致后一塊倒下.
提供了基礎
類比遷移
追問（1）：條件（2）的作用是什么？如何用數學語言描述它？
（1）第一塊骨牌倒下；
（2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導致后一塊倒下.
提供了基礎
遞推關系：
第k塊骨牌倒下
第k+1塊骨牌倒下
這樣，只要第1塊骨牌倒下，其他所有的骨牌就能夠相繼倒下.事實上，無論有多少塊骨牌，只要保證（1）（2）成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下.
類比遷移
由 及遞推關系
由 及遞推關系
……
遞推關系：
命題：當n=k時猜想成立，則n=k+1時猜想也成立.
如果n=k時猜想成立，
那么
即當n=k+1時，猜想也成立.
，
即
問題2：你認為證明前面的猜想“數列的通項公式是 ”與上述多米諾骨牌游戲有相似性嗎？你能類比多米諾骨牌游戲解決這個問題嗎？
類比遷移
骨牌原理 猜想的證明步驟
（1）第一塊骨牌倒下；
（2）證明“如果前一塊倒下，則后一塊也跟著倒下”.這句話是真實的
根據（1）（2），所有的骨牌都能倒下.
通過上面的類比，我們找到了“通過有限個步驟的推理，證明n取所有正整數時命題都成立”的方法，這個方法就叫做數學歸納法.
類比遷移
（1）證明n=1時，猜想正確
（2）證明“如果n=k時猜想成立，則n=k+1時猜想也成立”是真命題
根據（1）（2），這個猜想對于任意正整數n都成立
你能類比骨牌原理與這個猜想步驟的相似性嗎？
合作探究
數學歸納法的定義
一般地，證明一個與正整數n有關的命題，可按下列步驟進行：
（1）證明當時命題成立；
（2）以“當時命題成立”為條件，推出“當n=k+1時命題也成立”.
只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立，這種證明方法稱為數學歸納法。
歸納奠基
合作探究
數學歸納法的定義
一般地，證明一個與正整數n有關的命題，可按下列步驟進行：
（1）證明當時命題成立；
（2）以“當時命題成立”為條件，推出“當n=k+1時命題也成立”.
只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立，這種證明方法稱為數學歸納法。
歸納奠基
歸納遞推
一般地，證明一個與正整數n有關的命題，可按下列步驟進行：
（1）證明當時命題成立；
（2）以“當時命題成立”為條件，推出“當n=k+1時命題也成立”.
只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立，這種證明方法稱為數學歸納法。
思考：數學歸納中兩個步驟之間有什么關系？
歸納奠基
歸納遞推
合作探究
記P(n)是一個關于正整數n的命題.
（1）證明當時命題成立；
（2）以“當時命題成立”為條件，推出“當n=k+1時命題也成立”.
只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立，這種證明方法稱為數學歸納法。
思考：數學歸納中兩個步驟之間有什么關系？
歸納奠基
歸納遞推
合作探究
記P(n)是一個關于正整數n的命題.
（2）以“當時命題成立”為條件，推出“當n=k+1時命題也成立”.
只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立，這種證明方法稱為數學歸納法。
思考：數學歸納中兩個步驟之間有什么關系？
歸納奠基
歸納遞推
條件：（1）P為真；
合作探究
記P(n)是一個關于正整數n的命題.
（2）若P(k)(k∈N*，k≥n0)為真，
則P(k＋1)也為真.
只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立，這種證明方法稱為數學歸納法。
思考：數學歸納中兩個步驟之間有什么關系？
歸納奠基
歸納遞推
條件：（1）P為真；
合作探究
記P(n)是一個關于正整數n的命題.
（2）若P(k)(k∈N*，k≥n0)為真，
則P(k＋1)也為真.
思考：數學歸納中兩個步驟之間有什么關系？
歸納奠基
歸納遞推
條件：（1）P為真；
P(n0)真，P(n0＋1)真……P(k)真，P(k＋1)真…….
合作探究
記P(n)是一個關于正整數n的命題.
（2）若P(k)(k∈N*，k≥n0)為真，
則P(k＋1)也為真.
思考：數學歸納中兩個步驟之間有什么關系？
歸納奠基
歸納遞推
條件：（1）P為真；
結論： P(n)為真.
合作探究
例題講解
例1 用數學歸納法證明：如果{}是一個公差為d的等差數列，那么滿足 ① 對任何都成立.
例題講解
例1 用數學歸納法證明：如果{}是一個公差為d的等差數列，那么滿足① 對任何都成立.
（2）假設n=k 時，①式成立，
即 ，
根據等差數列的定義，有 ,
于是
證明: (1)當n =1時,左邊=,右邊= ,①式成立.
目 標
即當n=k+1時①式也成立.
用數學歸納法證明一個與正整數有關命題的步驟：
使用前提
基礎性
結 論
傳遞性
(1)證明當取第一個值n0(例如n0=1或2)時命題成立；
(2)假設當n=k(k∈N*,且k≥ n0 )時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立.
據(1)和(2)可知命題對于從n0開始的所有正整數n都正確.
口訣：遞推基礎不可少，歸納假設要用到，結論寫明莫忘掉.
課堂小結
作業布置
課本47頁練習
（1、2、）
謝謝！(共18張PPT)
高中數學 人民教育出版社 A版 選擇性必修 第二冊
第四章 數列
4.4 數學歸納法（第二課時）
問題1
什么時候需要應用數學歸納法？
數學歸納法一般被用于證明與正整數n有關的命題.
證明對任意的正整數n，等式 恒成立.
不必應用數學歸納法
難以應用數學歸納法
證明 (n∈N*)的單調性.
問題導入
追問1
追問2
即n=k+1時等式成立.
所以等式對一切自然數 均成立.
思考1：甲同學猜想 用數學歸納法證明步驟如下：
證明：假設n=k時等式成立，即
那么n=k+1時
上述證法是正確的嗎？為什么？
問題導入
問題導入
上述證明是錯誤的，事實上命題
本身是錯誤的
當n=1時，左邊=1，右邊=0
左邊≠右邊
第一步是遞推的基礎
思考2：乙同學用數學歸納法證明
如采用下面證法，對嗎？為什么？
問題導入
第二步證明n=k+1時，必須用歸納假設
第二步要證命題“若P(k)（k∈N*，k≥n0）為真
則P(k＋1)也為真”.
方法歸納
問題2
怎樣正確地使用數學歸納法？
不能缺少第一步的驗證；
用上假設，遞推才真
合作探究
例2 用數學歸納法證明：
①
例2 用數學歸納法證明：
①
證明：
（1）當n=1時，①式的左邊=，
右邊=，所以①式成立.
（2）假設當時，①式成立，即
，
在上式兩邊同時加上，有
即當n=k+1時，①式也成立.
由（1）（2）可知，①式對任何都成立.
例題講解
目標
例3 已知數列滿足 ，試猜想數列的通項公式，并用數學歸納法加以證明.
由 ，可得
由 可得
同理可得
歸納上述結果，猜想
①
解：
例題講解
例3 已知數列滿足 ，試猜想數列的通項公式，并用數學歸納法加以證明.
下面用數學歸納法證明這個猜想.
（1）當n=1時，
①式的左邊= ，右邊=，猜想成立.
（2）假設當時， ①式成立，即
那么
即當n=k+1時，猜想也成立.
由（1）（2）可知，猜想對任何 都成立.
例題講解
①
例4 設 x 為正實數，n為大于1的正整數，若數列
1，1+x，，…，，…的前n項和為，
試比較與n的大小，并用數學歸納法證明你的結論.
例題講解
例4 設 x 為正實數，n為大于1的正整數，若數列
1，1+x，，…，，…
的前n項和為，試觀察比較與n的大小，并用數學歸納法證明你的結論.
解法一：
由已知可得
當n=3時，，
由，可得 .
由此，我們猜想，當且時，
例題講解
下面用數學歸納法證明這個猜想.
（1）當n=2時，由上述過程知，不等式成立.
（2）假設當 時， 不等式成立，即
由，可得 ，所以
于是
所以，當n=k+1時，不等式也成立
由（1）（2）可知，不等式 對于任何大于1的正整數n都成立.
例題講解
當且時，
解法一：
例4 設 x 為正實數，n為大于1的正整數，若數列
1，1+x，，…，，…
的前n項和為，試比較與n的大小，并用數學歸納法證明你的結論.
解法二：
顯然，所給數列是等比數列，公比為1+x，于是
當n=2時， ，由，可得 ；
當n=3時， ，由，可得 .
由此，我們猜想，當且時，
例題講解
下面用數學歸納法證明這個猜想.
（1）當n=2時，由上述過程知，不等式成立.
（2）假設當時， 不等式成立，即
,
所以
于是
所以，當n=k+1時，不等式也成立.
由（1）（2）可知，不等式對于任何大于1的正整數n都成立.
例題講解
當且時，
由，可得 ，所以
問題3
通過本節課，你有哪些收獲？
什么時候需要應用數學歸納法
怎樣正確地應用數學歸納法
課堂小結
作業布置
課后作業
1.用數學歸納法證明：-1+2-5+...(
2.若數列，，，...，，...的前n項和為,計算
由次推測計算的公式，并用數學歸納法進行證明。
謝謝！

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