資源簡介

(共20張PPT)
高中數學 人民教育出版社 A版 選擇性必修 第二冊
第四章 數列
4.3.1 等比數列的概念（第一課時）
新課導入
我們知道，等差數列的特征是“從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數”。
類比等差數列的研究思路和方法，從運算的角度出發，你覺得還有怎樣的數列是值得研究的？
新知探究一：等比數列的相關概念
實例1:兩河流域發掘的古巴比倫時期的泥版上記錄了下面的數列:
①
②
③
新知探究一：等比數列的相關概念
實例2: 《莊子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭.”如果把“一尺之棰”的長度看成單位“1”，那么從第1天開始，各天得到的“棰”的長度依次是：
實例3: 在營養和生存空間沒有限制的情況下，某種細菌每20 min就通過分裂繁殖一代，那么一個這種細菌從第1次分裂開始，各次分裂產生的后代個數依次是：
新知探究一：等比數列的相關概念
新知探究一：等比數列的相關概念
實例4:某人存入銀行元，存期為5年，年利率是，那么按照復利，他5年內每年末得到的本利和分別是
復利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再計算下一期的利息.
. ⑥
問題1:請同學們仔細觀察以下六個數列，類比等差數列的研究，你認為可以通過怎樣的運算發現以下數列的取值規律？你發現了什么規律？
新知探究一：等比數列的相關概念
①
②
③
. ⑥
共同特點: 從第二項起，每一項與前一項的比都等于同一個常數.
如果一個數列從第___項起，每一項與它的前一項的___都等于___一個常數，那么這個數列就叫做_______.常數叫做等比數列的____，通常用字母__表示.
2
同
等比數列
公比
比
問題2 類比等差數列的概念，你能抽象出等比數列的概念嗎？
概念生成
q
(1)
(3)
(2)
思考：觀察并判斷下列數列是否是等比數列，是的話，指出公比，不是的話請說明理由:
(4)
(5) 2, 0, 2, 0, 2, 0, …
是,公比是 2
是,公比是 -2
是,公比是 1
不一定,分類討論
不是,分母不能為 0
不是,公比不能是 0
-2
7, 7, 7, 7,
0, 1, 2, 4, 8,
(6) 1, , , , , …
2
追問1：等差數列的項、公差均可以是0嗎？等比數列呢？
追問2：常數列是等差數列嗎？是等比數列嗎？
追問3：是否存在既是等差數列又是等比數列的數列？
概念辨析
等差中項
等比中項
如果三個數組成等差數列，那么叫做和的等差中項.
如果三個數組成等比數列，那么叫做和的等比中項
定義
a，A，b成等差數列
關系
新知探究二：等比中項
問題3: 類比等差中項的概念，你能抽象出等比中項的概念嗎？
追問：任意兩個實數都有等比中項嗎？
新知探究三：等比數列的通項公式
問題4: 你能類比等差數列的通項公式推導，根據等比數列的定義及遞推公式推導它的通項公式嗎？怎么推？
等比數列的通項公式可得：
例1 若等比數列的第項和第項分別為和，求的第項.
例1 若等比數列的第4項和第6項分別為48和12，求的第5項.
解法2：
因為是和的等比中項，所以
因此，的第5項是24或-24
==
所以
例2: 已知等比數列的公比為,試用的第項表示.
所以
例3：數列共有5項，前三項成等比數列，后三項成等差數列，第3項等于80, 第2項與第4項的和等于136，第1項與第5項的和等于132.求這個數列.
鞏固練習1：已知，在下表中填上適當的數.
2 8
2 0.2
鞏固練習2：，,求.
名稱 等比數列
概念 從第2項起,每一項與它前一項的比等于同一個常數
常數 公比為公比可正，可負，不可為零.
等比中項
通項公式1
通項公式2
課堂小結
作業布置
1, 課本P31頁,練習 第2，4，5題.
2, 預習課本P33-35頁，并做一份思維導圖.(共20張PPT)
高中數學 人民教育出版社 A版 選擇性必修 第二冊
第四章 數列
4.3.1 等比數列的概念（第二課時）
新知探究：等比數列與函數的關系
問題1: 在等差數列中，公差的等差數列可以與相應的一次函 數建立聯系，那么對于等比數列，公比滿足什么條件的數列可以與相應的函數建立類似的聯系
指數型函數
，
等比數列的第函數
反之，任給函數常數，
問題 類比指數函數的性質，說說公比的等比數列的單調性.
等比數列的單調性
單調遞減
單調遞增
單調遞增
不變
不變
單調遞減
例1 用10000元購買某個理財產品一年.
(1)若以月利率0.4%的復利計息，12個月能獲利多少利息(精確到0.01元)？
典例分析
(2) 若以季度復利計息，存4個季度，則當每季度利率為多少時，按季結算的利息不少于(1)中按月結算的利息.（精確到）？
例2 已知數列的首項
(1)若數列為等差數列,公差=2,證明數列為等比數列；
(2)若數列為等比數列,公比=,證明數列為等差數列.
分析：如何證明一個數列為等差數列或者等比數列
利用定義
例2 已知數列的首項
(1)若數列為等差數列,公差=2,證明數列為等比數列
例2 已知數列的首項
(2)若數列為等比數列,公比=,證明數列為等差數列.
思考：已知如果數列等差數列，那么數列等比數列？如果數列各項均為正的等比數列，那么數列一定是等差數列？
問題等差數列，那么數列等比數列？
問題：如果數列各項均為正的等比數列，那么數列一定是等差數列？
等比數列的性質：已知且
例3 某工廠去年12月試產1050個高新電子產品，產品合格率為90%. 從今天1月開始，工廠在接下來的兩年中將生產這款產品. 1月按去年12月的產量和產品合格率生產，以后每月的產量都在前一個月的基礎上提高5%，產品合格率比前一個月增加0.4%，那么生產該產品一年后，月不合格品的數量能否控制在100個以內？
典例分析
解：設從今年1月起，各月的產量及不合格率分別構成數列
由題意，知
其中
則從今年1月起，各月不合格產品的數量是
由計算工具計算（精確到0.1），并列表(表4.3-1).
1 2 3 4 5 6 7
105.0 105.8 106.5 107.0 107.2 107.2 106.9
8 9 10 11 12 13 14
106.4 105.5 104.2 102.6 100.6 98.1 95.0
時，，且
由<1, 得
所以，當，
又
所以，當3，
所以，生產該產品一年后，月不合格品的數量能控制在100個以內.
某汽車集團計劃大力發展新能源汽車，2017年全年生產新能源汽車5000輛. 如果在后續的幾年中，后一年新能源汽車的產量都是前一年的150%，那么2025年全年約生產新能源汽車多少輛（精確到1）？
解：由題意可知，后一年比前一年汽車的產量增加50%，則2025年全年約生產新能源汽車為
鞏固練習
課堂小結
1. 等比數列的性質；
2. 等比數列的性質的應用；
3. 等差數列與等比數列的綜合應用；
4. 等比數列的實際應用。
作業布置
1, 課本P34頁,練習 第1，2，3題.
2, 預習課本P33-37頁，并做一份思維導圖.(共27張PPT)
高中數學 人民教育出版社 A版 選擇性必修 第二冊
第四章 數列
4.3.2 等比數列的前n項和（第一課時）
引入新課
1
2
第1格：
第2格：
第4格：
第3格：
第63格：
第64格：
……
引入新課
問題1：這位聰明的發明者到底要求的是多少麥粒呢？
麥粒總數為
引入新課
問題2：大膽猜想S64應該等于多少？
探究S64的求法
引入新課
公式推導
①式兩邊同乘以2則有
追問1：觀察相鄰兩項的特征，有何聯系？
如果我們把每一項都乘以2，
就變成了與它相鄰的后一項
引入新課
公式推導
①
②
①
②
反思：縱觀全過程，①式兩邊為什么要乘以2 ？
乘以3？
等，會達到一樣的效果嗎？
追問2：比較①、②兩式，你有什么發現？
①-②得：
引入新課
公式推導
(1)
(2)
錯位相減法
引入新課
公式推導
1000粒麥子的質量約為40g，麥粒的總質量超過了7000億噸
所以國王兌現不了他的承諾
引入新課
公式推導
呼應故事：
約是2016—2017年度世界小麥產量的981倍
引入新課
公式推導
應用舉例
例1. 已知數列 是等比數列.
引入新課
公式推導
應用舉例
例1. 已知數列 是等比數列.
引入新課
公式推導
應用舉例
例1. 已知數列 是等比數列.
引入新課
公式推導
應用舉例
例1. 已知數列 是等比數列.
首項
末項
公比
前n項和
項數
方程（組）的思想
引入新課
公式推導
應用舉例
例2 已知等比數列{an}的首項為-1，前n項和為Sn，若 求公比q.
引入新課
公式推導
應用舉例
例2 已知等比數列{an}的首項為-1，前n項和為Sn，若 求公比q.
引入新課
公式推導
應用舉例
證明：
引入新課
公式推導
應用舉例
引入新課
公式推導
應用舉例
不用分類討論的方式能否證明該結論？
思考：
由等比數列前n項和定義：
當q= -1時，此結論不一定成立.
例如： ，當n為偶數時，
結論不成立
引入新課
公式推導
應用舉例
記為A（A≠0）
指數型函數
思維拓展
從函數的角度觀察等比數列的前n項和
引入新課
公式推導
應用舉例
思維拓展
引入新課
公式推導
應用舉例
練習1. 遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？
（意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的2倍，則塔的頂層共有多少盞燈？）
思維拓展
引入新課
公式推導
應用舉例
鞏固練習
練習2. 求數列1，a，a2，…的前n項和Sn.（ a ≠ 0）
練習3.
1.等比數列前n項和公式推導方法（錯位相減法）
2.等比數列前n項和公式（注意q的分類討論）
3.等比數列前n項和的性質
思維拓展
引入新課
公式推導
應用舉例
鞏固練習
課堂小結
1
3
2
4
故事情境
公式猜想
公式推導
數學建模
數據分析
邏輯推理
公式應用
數學運算
思維拓展
引入新課
公式推導
應用舉例
鞏固練習
課堂小結
1. 已知數列{an}是等比數列.
思維拓展
引入新課
公式推導
應用舉例
鞏固練習
課堂小結
布置作業
2.設等比數列{an}的前n項和為Sn，已知a2=6，6a1+a3=30.求an和Sn.
基礎型作業
3. 已知三個數成等比數列，它們的和等于14，積等于64. 求這個等比數列的首項和公比.
4. 如果一個等比數列前5項的和等于10，前10項的和等于50，那么這個數列的公比等于多少
思維拓展
引入新課
公式推導
應用舉例
鞏固練習
課堂小結
布置作業
拓展型作業
安徽省教育科學研究院 安徽省電化教育館
宣城市教育體育局 廣德市區教育體育局
聯合攝制
2023年9月(共21張PPT)
高中數學 人民教育出版社 A版 選擇性必修 第二冊
第四章 數列
4.3.2 等比數列的前n項和（第二課時）
問題1　推導等比數列前n項和公式的方法是什么？
錯位相減法
引入新課
問題2　等比數列的前n項和公式是什么？
引入新課
問題3：設{an}是首項為1，公比為2的等比數列，求數列{nan}的
前n項和.
解析：
引入新課
(1)
(2)
由題意知，
(1)-(2)：
解答：設正方形ABCD的面積為a1，后續各正方形的面積依次為a2，a3，…，an
則a1＝25，
由于第k＋1個正方形的頂點分別是第k個正方形各邊的中點，
　如圖，正方形ABCD的邊長為5 cm，取正方形ABCD各邊的中點
E，F，G，H，作第2個正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各邊的中點
I，J，K，L，作第3個正方形IJKL，依此方法一直繼續下去．
（1）求從正方形ABCD開始，連續10個正方形的面積之和；
（2）如果這個作圖過程可以一直繼續下去，那么所有這些正方形的面積之和將趨近于多少？
典例 1
引入新課
幾何應用
如圖，正方形ABCD的邊長為5 cm，取正方形ABCD各邊的中點E，
F，G，H，作第2個正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各邊的中點I，
J，K，L，作第3個正方形IJKL，依此方法一直繼續下去．
（1）求從正方形ABCD開始，連續10個正方形的面積之和；
（2）如果這個作圖過程可以一直繼續下去，那么所有這些正方形的面積之和將趨近于多少？
設 的前項和為Sn，
所以，前10個正方形的面積之和為　　　 cm2．
典例 1
引入新課
幾何應用
Sn將趨近于50．
　如圖，正方形ABCD的邊長為5 cm，取正方形ABCD各邊的中點E，
F，G，H，作第2個正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各邊的中點I，
J，K，L，作第3個正方形IJKL，依此方法一直繼續下去．
（1）求從正方形ABCD開始，連續10個正方形的面積之和；
（2）如果這個作圖過程可以一直繼續下去，那么所有這些正方形的面積之和將趨近于多少？
所以，所有這些正方形的面積之和將趨近于50．
典例 1
引入新課
幾何應用
總結：與用等差數列的前n項和公式解決問題類似，
用等比數列的前n項和公式解決問題時：
先發現問題情境中呈等比關系變化的量，
并構造一個等比數列來刻畫它，
然后把求這個量的和的問題轉化為求等比數列和的問題
　去年某地產生的生活垃圾為20萬噸，其中14萬噸垃圾以填埋方式處理，6萬噸垃圾以環保方式處理．預計每年生活垃圾的總量遞增5%，同時，通過環保方式處理的垃圾量每年增加1.5萬噸．為了確定處理生活垃圾的預算，請你測算一下從今年起5年內通過填埋方式處理的垃圾總量（精確到0.1萬噸）．
典例 2
引入新課
幾何應用
實際應用
Sn＝（a1－b1）＋（a2－b2）＋ ＋（an－bn）
當n＝5時，S5≈63.5，
＝（a1＋a2＋ ＋an）－（b1＋b2＋ ＋bn）
所以，從今年起5年內，通過填埋方式處理的垃圾總量約為63.5萬噸．
解：設從今年起每年生活垃圾的總量（單位：萬噸）構成數列{an}，每年以環保方式處理的垃圾量（單位：萬噸）構成數列{bn}，每年以填埋方式處理的垃圾量（單位：萬噸）構成數列{an - bn} ，n年內通過填埋方式處理的垃圾總量為Sn（單位：萬噸），
依題知：an＝20(1＋5%)n，bn＝6＋1.5n，
引入新課
幾何應用
實際應用
總結：若數列{an} 是公比為q的等比數列，數列{bn} 是公差為d 的等差數列，數列{an＋bn}的前n項和Sn為：
Sn＝（a1＋b1）＋（a2＋b2）＋ ＋（an＋bn）
＝（a1＋a2＋ ＋an）＋（b1＋b2＋ ＋bn）
分組求和法
　某牧場今年初牛的存欄數為1200，預計以后每年存欄數的增長率為8%，且在每年年底賣出100頭牛．設牧場從今年起每年年初的計劃存欄數依次為c1，
c2，c3，…
（1）寫出一個遞推公式，表示cn＋1與cn之間的關系；
解答：（1）由題意，得c1＝1200，并且cn＋1＝1.08cn－100．①
典例 3
引入新課
幾何應用
實際應用
　某牧場今年初牛的存欄數為1200，預計以后每年存欄數的增長率為8%，且在每年年底賣出100頭牛．設牧場從今年起每年年初的計劃存欄數依次為c1，
c2，c3，…
（2）將（1）中的遞推公式表示成cn＋1－k＝r（cn－k）的形式，其中k，r為常數；
（2）將cn＋1－k＝r（cn－k）化成cn＋1＝rcn－rk＋k．②
解這個方程組，得
所以（1）中的遞推公式可以化為cn＋1－1250＝1.08（cn－1250）
典例 3
引入新課
幾何應用
實際應用
某牧場今年初牛的存欄數為1200，預計以后每年存欄數的增長率為8%，且在每年年底賣出100頭牛．設牧場從今年起每年年初的計劃存欄數依次為c1，
c2，c3，…
（3）求S10＝c1＋c2＋c3＋ ＋c10的值（精確到1）
（3）由（2）可知，數列{cn－1250}是以－50為首項，1.08為公比的等比數列，
則：
（c1－1250）＋（c2－1250）＋（c3－1250）＋ ＋（c10－1250）
所以S10＝c1＋c2＋c3＋ ＋c10≈1250×10－724.8＝11775.7≈11776
典例 3
引入新課
幾何應用
實際應用
總結：在解決實際問題時，有時不容易發現呈等差關系或等比關系變化的量，
但可以發現某些量的遞推關系．
這時，往往可以先構建一個用遞推關系表達的數列，再嘗試通過代數變換，把這個數列轉化為等差數列或等比數列，或等差數列與等比數列的線性組合．
對于數列{cn} 滿足：cn＋1＝rcn＋m，先通過引入參數，建立一個含cn＋1與cn的等比關系，再求出其中的參數，這實際上是待定系數法，
即：cn＋1－k＝r（cn－k），先求出數列{cn－k} 的通項公式，進而求得數列{cn} 的通項公式．
引入新課
幾何應用
實際應用
鞏固練習
一個乒乓球從100cm高的高度自由落下，每次落下后反彈的高度都是原來高度的0.61倍.
（1）當它第6次著地時，經過的總路程是多少（精確到1cm）？
（2）至少在第幾次著地后，它經過的總路程能達到400cm？
1.采用錯位相減法求等比數列前n項和
2.等比數列前n項和在幾何中的應用
3.等比數列前n項和在實際生活中的應用
引入新課
幾何應用
實際應用
鞏固練習
課堂小結
引入新課
幾何應用
實際應用
鞏固練習
課堂小結
布置作業
基礎型作業
引入新課
幾何應用
實際應用
鞏固練習
課堂小結
布置作業
引入新課
幾何應用
實際應用
鞏固練習
課堂小結
布置作業
拓展型作業
4.中國古代數學著作《算法統宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數，請公仔細算相還.”其大意為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地……”，則該人最后一天走的路程為( )
A.24里 B.12里 C.6里 D.3里
安徽省教育科學研究院 安徽省電化教育館
宣城市教育體育局 廣德市區教育體育局
聯合攝制
2023年9月

展開更多......

收起↑