資源簡介

(共14張PPT)
高中數(shù)學(xué) 人民教育出版社 A版 選擇性必修 第二冊
第四章 數(shù)列
4.2.1 等差數(shù)列的概念（第一課時(shí)）
復(fù)習(xí)引入
思考：我們是按照什么流程來學(xué)習(xí)函數(shù)的？對我們下一步學(xué)習(xí)數(shù)列有什么啟發(fā)？
數(shù)列
概念
表示
前n項(xiàng)和公式
數(shù)列是一種特殊的函數(shù)
列表、圖象、通項(xiàng)公式、遞推公式
an與Sn 的關(guān)系
新知探究一
問題1：你能發(fā)現(xiàn)下列數(shù)列的取值規(guī)律嗎？
北京天壇圜丘壇的地面從內(nèi)到外各圈的石板數(shù)依次為：
9，18，27，36，45，54，63，72，81． ①
(2) S，M，L，XL，XXL，XXXL型號的女裝上衣對應(yīng)的尺碼分別是：
38，40，42，44，46，48． ②
(3)測量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大氣溫度，得到從距離地面20m
起每升高100m處的大氣溫度（單位：℃）依次為：
25.0，24.4，23.8，23.2，22.6． ③
新知探究一：等差數(shù)列的相關(guān)概念
一般地，如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示.
1. 等差數(shù)列的定義　
an－an-1 = d (d為常數(shù), n≥2 , n∈N*)或 an+1－an = d (d為常數(shù), n∈N*)
(遞推公式)
符號語言
判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列 如果是，寫出它的公差d？
（1）5，9，13，17，21；
（2）14，12，10，8，6；
(3) 1，－2，3，－4，5，－6；
（4）5，5，5，5，5，5；
(5) -8,-6,-4.
概念辨析
新知探究一：等差數(shù)列的相關(guān)概念
2. 等差中項(xiàng)　
若三個數(shù)a, A, b組成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項(xiàng).
計(jì)算：下列兩個數(shù)的等差中項(xiàng)分別是什么？
任意兩個數(shù)的等差中項(xiàng)即為它們的算術(shù)平均數(shù),
3.5
-6
此時(shí), 2A= a+b.
問題2：若三個數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，那么A應(yīng)滿足什么條件？
新知探究二：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式
問題3：已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1 ，公差為d ，你能根據(jù)等差
數(shù)列的定義推導(dǎo)它的通項(xiàng)公式嗎？
3. 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式　
首項(xiàng)為a1 ，公差為d的等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為：
an＝a1＋(n － 1)d (n∈N* )．
新知探究三：等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系
問題4：觀察等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 ，你認(rèn)為它與我們熟悉的哪一類
函數(shù)有關(guān)？
an＝a1＋(n－1)d
＝dn＋(a1－d)
當(dāng)d≠0時(shí)，an是一次函數(shù)f(x)＝dx＋(a1－d) (x∈R)
當(dāng)x＝n時(shí)的 函數(shù)值，即an＝f (n)；
當(dāng)d＝0時(shí)，an＝a1是常函數(shù).
1
2
a1
3
4
5
a2
a3
a4
a5
x
f(x)
O
f(x)＝dx＋(a1－d)
等差數(shù)列{an}的圖象是點(diǎn)(n, an)組成的集合, 這些點(diǎn)均勻分布在直線 f(x)＝dx＋(a1－d)上，直線的斜率為公差d.
問題5：由一次函數(shù)f(x)＝kx＋b（k，b為常數(shù)）得到的數(shù)列an＝ kn＋b一定為等差數(shù)列嗎？
新知探究三：等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系
a1＝f(1)＝k＋b，
當(dāng)n≥2時(shí)，an－an－1＝kn＋b －[k(n－1)＋b]＝k.
數(shù)列{an}是以(k＋b)為首項(xiàng)，k為公差的等差數(shù)列.
典例分析
例1 已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=5-2n，求數(shù)列{an} 的公差和首項(xiàng)．
解：把n＝1代入通項(xiàng)公式，得a1＝5－2×1＝3.
當(dāng)n≥2時(shí)，an－1＝5－2(n－1)=7－2n.
于是d＝an－an－1＝(5－2n)－(7－2n)＝－2.
所以，數(shù)列{an}的首項(xiàng)為3，公差為－2.
解法2：a1＝5－2×1＝3，a2＝5－2×2＝1.
于是d＝a2－a1＝1－3＝－2.
所以，數(shù)列{an}的首項(xiàng)為3，公差為－2.
典例分析
例1 已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=5-2n，求數(shù)列{an} 的公差和首項(xiàng)．
解法3：由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d=dn＋(a1－d) 知，n的系數(shù)就是公差.
所以，an=5-2n的公差為－2，首項(xiàng)為a1＝5－2×1＝3.
研究數(shù)列時(shí)，將數(shù)列的通項(xiàng)公式看成關(guān)于n的函數(shù)，用函數(shù)方法得到數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，是研究數(shù)列的常用方法.
典例分析
例2　求等差數(shù)列8，5，2，… 的第20項(xiàng)，并判斷-289是否是數(shù)列中的項(xiàng)，若是，是第幾項(xiàng)？
利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可以實(shí)現(xiàn)首項(xiàng)a1、公差d 、項(xiàng)序n以及項(xiàng)an這四個量的“知三求一”，體現(xiàn)了方程思想.
課堂小結(jié)
通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？
1、等差數(shù)列及等差中項(xiàng)的定義；
2、 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；
歸納法和累加法
3、 通項(xiàng)公式的應(yīng)用.
特殊到一般的思想、函數(shù)與方程的思想
作業(yè)布置：
1、書面作業(yè)：基礎(chǔ)型：教材P15 練習(xí)第1-5題
探究型：教材P25 習(xí)題4.2第4題
2、預(yù)習(xí)作業(yè)：P16-P17(共9張PPT)
高中數(shù)學(xué) 人民教育出版社 A版 選擇性必修 第二冊
第四章 數(shù)列
4.2.1 等差數(shù)列的概念（第二課時(shí)）
復(fù)習(xí)引入
等差數(shù)列的定義:
an－an-1 = d (d為常數(shù), n≥2 , n∈N*)
2. 等差中項(xiàng)：
3. 通項(xiàng)公式:
4. 等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系
5. 通項(xiàng)公式的應(yīng)用
應(yīng)用
通項(xiàng)公式
函數(shù)與方程
的思想
從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一
個常數(shù)的數(shù)列.
遞推公式：
a, A , b成等差數(shù)列 2A=a+b.
an=a1+(n-1)d
等差數(shù)列的應(yīng)用
例1 某公司購置了一臺價(jià)值為220萬元的設(shè)備，隨著設(shè)備在使用過程中老化，其價(jià)值會逐年減少．經(jīng)驗(yàn)表明，每經(jīng)過一年其價(jià)值就會減少d(d為正常數(shù))萬元．已知這臺設(shè)備的使用年限為10年，超過10年，它的價(jià)值將低于購進(jìn)價(jià)值的5%，設(shè)備將報(bào)廢．請確定d 的取值范圍.
220×5%＝11 (萬元)
問題1：如何確定d 的取值范圍？
問題2：用等差數(shù)列解決實(shí)際問題的步驟是什么？
等差數(shù)列的應(yīng)用
解：設(shè)使用n年后，這臺設(shè)備的價(jià)值為an萬元，則可得數(shù)列{an}．
設(shè)變量，建立數(shù)學(xué)模型
判斷等差數(shù)列
解決該等差數(shù)列問題
還原，得出結(jié)論
由已知條件，得an － an－1＝－d（n≥2）．
則數(shù)列{an}是 首項(xiàng)220－d、公差為－d的等差數(shù)列.
所以an＝220－d＋(n－1)(－d)＝220－nd.
a10＝220－10d≥11，
a11＝220－11d＜11.
解得19＜d≤20.9
所以， d的取值范圍為19＜d≤20.9
等差數(shù)列的應(yīng)用
例2 已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝2，公差d＝8，在{an}中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入3個數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個新的等差數(shù)列{bn}.
(1) 求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．
(2) b29是不是數(shù)列{an}的項(xiàng)？若是，它是{an}的第幾項(xiàng)？若不是，說明理由．
問題1: 如果插入k個數(shù)，公差為多少？
問題2: 還有其他方法判斷b29是不是數(shù)列{an}的項(xiàng)？
等差數(shù)列的性質(zhì)
例3 已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=3n-1.
（1)計(jì)算下列各式：
a1+a9 = ; a2+a8 = ; a3+a7 = ; a5 +a5 = ; a10 = .
a1+a14 = ; a3+a12 = ; a5+a10 = ; a15 = .
(2)觀察（1）中的結(jié)果，你能得到什么結(jié)論嗎？
28
28
28
28
44
43
43
（3）你能寫出（2）中結(jié)論的一般形式并證明它嗎？
29
43
a1+a9=a2+a8 = a3+a7 =a5 +a5
a1+a14=a3+a12 = a5+a10
等差數(shù)列的性質(zhì)
思考： 你能結(jié)合下列圖形，從幾何角度解釋等差數(shù)列的這一性質(zhì)嗎？
S(s,as)
P(p,ap)
Q(q,aq)
T(t,at)
在等差數(shù)列{an}中，若p＋q＝s＋t (p，q，s，t∈N*) ，則ap＋aq＝as＋at .
思路一：中位線相等
思路二：斜率相等
課堂小結(jié)
通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？
1、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用；
2、等差數(shù)列下標(biāo)和相等的兩項(xiàng)和相等.
函數(shù)與方程思想；數(shù)形結(jié)合思想.
作業(yè)布置：
1、書面作業(yè)：基礎(chǔ)型：課本P17 練習(xí)1-5題
探究型：教材P26 習(xí)題4.2第12題
2、預(yù)習(xí)作業(yè)：4.2.2 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(共18張PPT)
高中數(shù)學(xué) 人民教育出版社 A版 選擇性必修 第二冊
第四章 數(shù)列
4.2.2 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（第一課時(shí)）
1. 等差數(shù)列定義：
2. 等差數(shù)列通項(xiàng)公式：
3. 等差數(shù)列的性質(zhì)：
an－an－1 ＝d (n≥2)
an＝a1＋(n－1)d
m＋n＝p＋q am＋an＝ap＋aq
01
復(fù)習(xí)舊知
02
創(chuàng)設(shè)情境 提出問題
高斯（Gauss，1777－1855），德國數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一. 他在天文學(xué)、大地測量學(xué)、磁學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域都做出過杰出貢獻(xiàn).
02
創(chuàng)設(shè)情境 提出問題
高
斯
求
和
問題1：
你能說說高斯在首尾配對中運(yùn)用了等差數(shù)列的什么性質(zhì)嗎？
設(shè)
1+100 2+99 3+98 ··· 50+51
m＋n＝p＋q am＋an＝ap＋aq .
= = = =
= = = =
將不同數(shù)求和轉(zhuǎn)化為相同數(shù)求和
追問1：
首尾配對還可以通過什么方式實(shí)現(xiàn)？
第1層1根
第2層2根
……
第100層100根
101根
100層
問題2：這堆鋼管一共有多少根？
倒序相加法
問題3：
用倒序相加法計(jì)算1+2+3+···+n
追問：倒序相加法可以用于
一般的等差數(shù)列求和嗎？
問題4：
n個
問題5
思路1
思路2
分析：
等差數(shù)列任意問題
2個相互獨(dú)立方程
2個相互獨(dú)立條件
一般的，對于等差數(shù)列，只要給定兩個相互獨(dú)立的條件，這個數(shù)列就完全確定
04
鞏固練習(xí)
根據(jù)下列各題中的條件，求相應(yīng)等差數(shù)列{an }的前n項(xiàng)和Sn .
(1) a1＝5, an＝95, n＝10; (2) a1＝100, d＝－2, n＝50;
(3) a1＝－4, a8＝－18, n＝10; (4) a1＝14.5, d＝0.7, an＝32.
05
課堂小結(jié)
知識總結(jié)
課堂
小結(jié)
方法總結(jié)
倒序相加法
思想總結(jié)
方程思想
06
作業(yè)布置
2、（1）求從小到大排列的前n個正偶數(shù)的和
（2）求從小到大排列的前n個正奇數(shù)的和
（3）在三位正整數(shù)的集合中有多少個是5的倍數(shù)？求這些數(shù)的和
（4）在小于100的正整數(shù)中，有多少個數(shù)被7除余2？這些數(shù)的和是多少？(共17張PPT)
高中數(shù)學(xué) 人民教育出版社 A版 選擇性必修 第二冊
第四章 數(shù)列
4.2.2 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（第二課時(shí)）
01
復(fù)習(xí)舊知
1. 等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式：
或
2. 等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法：
倒序相加法
特點(diǎn)：
常數(shù)項(xiàng)為0
時(shí)是二次函數(shù)
02
等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式變形
時(shí)開口向上
時(shí)開口向下
03
題型1：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的最值問題
例1 已知等差數(shù)列{}的前項(xiàng)和為，若＝10，公差，是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值時(shí)的值；若不存在，請說明理由.
所以，當(dāng)取與
時(shí)，最大.
所以，的最大值為.
02
題型2：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的最值問題
···
···
問題1: 取最大值時(shí)有何特點(diǎn)？
例1 已知等差數(shù)列{}的前項(xiàng)和為，若＝10，公差，是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值時(shí)的值；若不存在，請說明理由.
解：
由
，
所以數(shù)列{}是遞減數(shù)列.
所以
由
得
令
所以，當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
所以，
即，當(dāng)時(shí)，最大.
因?yàn)?br/>所以的最大值為.
求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的最大(小)值的常用方法
大
小
(2) 通項(xiàng)公式的正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)法
(1) 二次函數(shù)法
變式：
所以，當(dāng)取與
4時(shí)，最小.
所以，的最小值為.
解：
由
，
所以數(shù)列{}是遞增數(shù)列.
由
得
令
所以，當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
所以，
即，當(dāng)時(shí)，最小.
因?yàn)?br/>所以的最小值為-18.
變式：
思考：
有最大值
解法一:
有最大值
解法二:
有最大值
03
題型2：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的實(shí)際應(yīng)用
例2 某校新建一個報(bào)告廳，要求容納800個座位，報(bào)告廳共有20排座位，從第2排起后一排都比前一排多2個座位. 問第1排應(yīng)安排多少個座位.
用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的一般步驟
實(shí)際問題
數(shù)學(xué)問題
數(shù)學(xué)問題的解
實(shí)際問題的解
分析：
實(shí)際問題 數(shù)學(xué)問題
從第2排起后一排都比前一排多兩個座位
報(bào)告廳共有20排座位
容納800個座位
第1排應(yīng)安排多少個座位？
等差數(shù)列{}
=
=
=
=
轉(zhuǎn)化：已知等差數(shù)列的， ，求.
解：設(shè)報(bào)告廳的座位從第1排到第20排，各排的座位數(shù)依次排成一列，構(gòu)成數(shù)列{}，其前項(xiàng)和為.
根據(jù)題意，數(shù)列{}是一個公差為2的等差數(shù)列，且=
代入公式，得
2=800
解得
因此，第1排應(yīng)安排21個座位.
解決等差數(shù)列前項(xiàng)和
數(shù)學(xué)建模
實(shí)際問題
與等差數(shù)列有
關(guān)的數(shù)學(xué)問題
數(shù)學(xué)問題的解
實(shí)際問題的解
轉(zhuǎn)化
求
解
回歸
某市一家商場的新年最高促銷獎設(shè)立了兩種領(lǐng)獎方式：第一種，獲獎?wù)呖梢赃x擇2000元的獎金；第二種，從12月20日到第二年的1月1日，每天到該商場領(lǐng)取獎品，第1天領(lǐng)取的獎品價(jià)值為100元，第2天為110元，以后逐天增加10元. 你認(rèn)為哪種領(lǐng)獎方式獲獎?wù)呤芤娓?
跟蹤訓(xùn)練：
04
課堂小結(jié)
數(shù)學(xué)建模
（1）二次函數(shù)法
（2）通項(xiàng)公式的正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)法
1. 求等差數(shù)列前項(xiàng)和最大（?。┲档姆椒ㄓ心男?？
2. 如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題？
05
作業(yè)布置
1. 基礎(chǔ)性作業(yè)
（1）必做題：教科書2425頁習(xí)題4.2第6、7、8題；
（2）選做題：教科書第24頁練習(xí)第5題，第25頁習(xí)題4.2第9題
2. 拓展性作業(yè)
設(shè)是等差數(shù)列{}的前項(xiàng)和，已知 .
（1）若 ，求{}的通項(xiàng)公式；
（2）若 ，求使得 時(shí)的取值范圍.

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