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第五章 一元函數的導數及其應用
5.2 導數的運算
5.2.3 簡單復合函數的導數
教學目標
學習目標 數學素養
1.進一步運用導數公式和導數運算法則求函數的導數． 1.數學運算素養和邏輯思維素養.
2.了解復合函數的概念，掌握復合函數的求導法則． 2.數學運算素養和邏輯思維素養.
溫故知新
1.基本初等函數的導數公式
①若f (x)＝c（c為常數）,
則f '(x)＝0；
②若f (x)＝(α∈Q，且α≠0),
則f '(x)＝；
③若f (x)＝,
則f '(x)＝；
④若f (x)＝,
則f '(x)＝；
⑤若f (x)＝(a>0，且a≠1),
則f '(x)＝；
特別地，若f (x)＝,
則f '(x)＝；
⑥若f (x)＝(a>0，且a≠1),
則f '(x)＝；
特別地，若f (x)＝,
則f '(x)＝.
溫故知新
2.導數的四則運算法則：
導數的運算法則1
[f(x)±g(x)]′=f'(x)±g'(x).
導數的運算法則2
[f(x) g(x)]′=f′(x) g(x)+f (x) g′(x)；
(g(x)≠0).
導數的運算法則3
[cf(x)]′=cf′(x) .
.
新知探究
若設，則y=lnu，從而函數y=ln(2x－1)可以看成是由y=lnu和復合而成的一個復合函數.
函數y= ln(2x－1)不是由基本初等函數通過加、減、乘、除運算得到的, 所以無法用現有的方法求它的導數. 下面, 我們先分析這個函數的結構特點.
y=f(u)=f(g(x))= ln(2x－1).
如果把y與u的關系記作y=f(u)，u與x的關系記作u=g(x)，那么這個“復合”過程可表示為
一般地，對于兩個函數y=f(u)和u=g(x)，如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數，那么稱這個函數為函數y=f(u)和u=g(x)的復合函數(composite function).
記作：y=f(g(x)).
如何求函數y=ln(2x－1)的導數？
新知探究
如何求復合函數的導數呢 我們先來研究y=sin2x的導數.
我們遇到的許多函數都可以看成由兩個函數經過“復合”得到的.例如函數y= ln(2x－1)由y=lnu和復合而成的.又如y=sin2x是由y=sinu和u=2x復合而成.
以表示對的導數，表示對的導數，表示的導數，一方面，
一個合理的猜想是，函數y=sin2x的導數一定與函數y=sinu，u=2x的導數有關.
，
新知探究
如何求復合函數的導數呢 我們先來研究y=sin2x的導數.
以表示對的導數，表示對的導數，表示對的導數，一方面，
一個合理的猜想是，函數y=sin2x的導數一定與函數y=sinu，u=2x的導數有關.
，
另一方面 = ， =2，
可以發現 .
知新探究
復合函數的導數法則：
一般地，對于由y=f(u)和u=g(x)復合而成的函數 y=f(g(x))，它的導數與函數y=f(u)，u=g(x)的導數間的關系為
y′x＝y′u·u′x.
寫成：
即y對x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積，簡單的理解就是復合函數的導數等于內外函數的導數之積.
⑶求每層函數的導數時，注意分清是對哪個變量求導．
注意
⑴中間變量的選擇應是基本初等函數的結構；
⑵求導由外向內，并保持對外層函數求導時，內層不變的原則；
知新探究
【例1】求下列函數的導數：
⑴y＝; ⑵ ;
⑶.
解：
⑴設
⑵設則
∴y′x=
.
.
∴y′x=
.
.
知新探究
【例1】求下列函數的導數：
⑴y＝; ⑵ ;
⑶.
解：
⑶設則
∴y′x=
.
．
知新探究
注意：
⑴觀察函數結構，識別構成復合函數的基本初等函數；
⑵引入中間變量，運用基本初等函數的求導公式與復合函數的求導法則運算；
⑶用中間變量關于自變量的函數替換掉中間變量，得到關于自變量的導數.
求復合函數的一般步驟
①計算過程要發揮中間變量的作用，確保準確識別函數結構，選對求導公式；
②最后結果寫成關于的函數，不再出現中間變量.
初試身手
⑴設
1.求下列函數的導數:
⑴y＝ ; ⑵y＝2;
⑶y＝; ⑷y＝.
解：
⑵設.
∴y′x=
.
∴y′x=
.
初試身手
⑶設
1.求下列函數的導數:
⑴y＝ ; ⑵y＝2;
⑶y＝; ⑷y＝.
解：
⑷設.
∴y′x=
.
∴y′x=
.
知新探究
【例2】求下列函數的導數:
⑴; ⑵ .
解：
⑴y'=
=.
=
⑵y'=
.
.
初試身手
⑴∵y=，
2.求下列函數的導數:
⑴y＝; ⑵y＝．
解：
∴y'＝．
⑵∵y＝
.
.
∴y'＝
.
知新探究
【例3】某個彈簧振子在振動過程中的位移y（單位：mm）與時間t（單位：s）之間的關系為.求函數y在t=3時的導數，并解釋它的實際意義.
解：
函數可以看作函數的復合函數，根據復合函數的求導法則，得
.
＝
＝
＝．
當t=3時,.
它表示t=3s時,彈簧振子振動的瞬時速度為0 mm/s.
初試身手
∴
3.某港口在一天24小時內潮水的高度近似滿足關系式s(t)＝(0≤t≤24)，其中s的單位是m，t的單位是h，求函數在t＝18時的導數，并解釋它的實際意義.
解：
∴．
表示當t=18h時，潮水的高度上升相等速度為 m/h．
設
課堂小結
1.復合函數的概念
一般地，對于兩個函數y=f(u)和u=g(x)，如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數，那么稱這個函數為函數y=f(u)和u=g(x)的復合函數(composite function).
記作：y=f(g(x)).
2.復合函數的導數法則
一般地，對于由y=f(u)和u=g(x)復合而成的函數 y=f(g(x))，它的導數與函數y=f(u)，u=g(x)的導數間的關系為
y′x＝y′u·u′x.
寫成：
即y對x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積，簡單的理解就是復合函數的導數等于內外函數的導數之積.
作業布置
作業： P81-82 習題5.2 第2,9，10，11,12題
盡情享受學習數學的快樂吧！
我們下節課再見！
謝謝
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