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(共16張PPT)
人教2019A版必修 第一冊
5.5.1 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式
第五章 三 角 函 數
授課教師：
黟縣中學 郭啟光
問題探究
１.兩角差的余弦公式
如果已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出α＋β，α－β的正弦、余弦嗎？
下面，我們來探究cos(α－β)與角α，β的正弦、 余弦之間的關系
不妨令kπ＋β，k∈Z． 如圖5.5.1，設單位圓與軸的正半軸相交于點A（１，０），以軸非負半軸為始邊作角α，β，α—β。
１.兩角差的余弦公式
它們的終邊分別與單位圓相交于點(cosα，sinα)， cosβ，sinβ)，P(cos(α－β)，sin(α－β))．
根據圓的旋轉對稱性可知，
與重合，從而， 所以AP＝
連接，AP．若把扇形OAP繞著點O旋轉β角，則點A，P分別與點 重合．
根據兩點間的距離公式，得
+=+，
化簡得:
=+
當kπ＋β （k∈Z）時，容易證明上式仍然成立．
所以，對于任意角α，β有
=+
此公式給出了任意角α，β的正弦、余弦與其差角α－β的余弦之間的關系，
稱為差角的余弦公式，簡記作Ｃ(α－β).
１.兩角差的余弦公式
D
達標檢測
C
證明: (1)= +
=0＋1×
=．
(2)= +
=(-1)×．
＝－ ．
例１ 利用公式證明：
（１）=
（２）= ．
典例解析
證明: (1)= +
=0＋（-1）×
=．
(2)=
=+
=1×．
＝．
利用公式證明：
（１）=
（２）= ．
跟蹤訓練
解：由，∈(,),得
又由，是第三象限角，得．
所以=+
=() ×()+() ×()
=
例２ 已知，∈(,), ，是第三象限角，求的值．
已知 ，θ是第二象限角，求 的值．
1
已知 ，且 ， ，
求 的值．
2
答案： ．
答案： ．
達標檢測
思考？
課堂小結
課堂小結
人教A版必修第一冊5.5.1 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式
（第一課時）教學設計
授課教師：黟縣中學 郭啟光
教學目標
1．經歷探索兩角差余弦公式的過程，發展學生邏輯推理素養．
2．掌握公式，初步體會公式的意義，發展學生邏輯推理、數學運算素養．
教學重難點
教學重點：經歷推導兩角差余弦公式的過程，知道兩角差余弦公式的意義．
教學難點：發現差角余弦公式與圓的旋轉對稱性間的聯系．
課前準備
PPT課件．
教學過程
一、創設情景，引入新課
引導語：本節我們主要的研究內容是：三角恒等變換，即在不改變含有三角函數的式子的值的前提下，對式子變形．三角恒等變形在求值、化簡、證明中有著十分廣泛的應用．之前我們學習過的同角三角關系和誘導公式，都是三角恒等變換的重要工具．今天我們在此基礎上學習新的恒等變換公式．
活動一、問題1：我們知道 ，，由此我們能否得到大家可以猜想，是不是等于呢？
根據第一章所學的知識可知猜想是錯誤的！
如果已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出α＋β，α－β的正弦、余弦嗎？
引入新課
二、新授課
活動二：探究cos（α－β）與角α，β的正弦、 余弦之間的關系．
問題1:寫出P,A1,P1的坐標，A1P1與AP相等嗎？
提示：平面上任意兩點,P1（x1,y1）, P2（x2,y2）間的距離公式為：
P1P2=
由此得到
達標檢測
1．Cos15°等于(　　)
A． B． C． D．
2．cos43°cos13°＋sin43°sin13°的值為(　　)
A． B．－ C． D．－
例1：教材216頁 證明：（1）
（2）
達標檢測
證明：（1）
（2）cos(-α)=cosα
例2：教材216頁
已知sinα＝，α∈（），cosβ＝－,β是第三象限角，求cos（α－β）的值．
解：因為，
由此得
又因為是第三象限角，
所以
所以
達標檢測
1．已知，是第二象限角，求的值．
2．已知，且，，求的值．
預設答案：1． ； 2．．
設計意圖：通過兩個比較簡單的求值問題，促使學生鞏固同角三角關系及公式，提升數學運算素養．可對學生是否達到目標“能否運用公式解決簡單的三角恒等變換問題”提供評測依據．
思考：1. 已知銳角α，β滿足cos α＝， cos(α＋β)＝－，則cos β等于(　　)
A． B．－ C． D．－
2．已知α，β均為銳角，sin α＝，cos β＝，求α－β.
三、課堂小結
1.要認識公式結構的特征，了解公式的推導過程，熟知由此衍變的兩角和的余弦公式.在解題過程中注意角、的象限，也就是符號問題，學會靈活運用.
2.牢記公式
3.注意答題格式的規范性。
設計意圖：回顧反思，在頭腦中形成思維網絡．
四、課下作業
1.整理筆記
2.課后作業 教材228頁習題5.5 1，2
3

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