資源簡介

冀教版（2024）七上
第五章 一元一次方程
5.4 一元一次方程的應用
第1課時
本節課是冀教版初中數學七年級上冊第五章5.4的第1課時，本節課是在解一元一次方程的基礎上，講述一元一次方程的應用，讓學生通過審題，根據應用題的實際意義，找出相等關系，列出有關一元一次方程，是本節的重點和難點，同時也是本章節的重難點.本節課講述一元一次方程的應用題，呈現了經典的“雞兔同籠”等情境，讓學生在解決問題的過程中感受列算式和列方程的區別，總結兩種方法各自的特點，體會一元一次方程這一數學模型的重要作用.本課通過計算、討論等活動幫助學生提高分析問題和解決問題的能力，增強數學的應用意識和學習數學的興趣，積累數學活動經驗，發展模型觀念，同時，對后續教學內容起到奠基作用.
學生對一元一次方程的解法已經比較熟練,在小學對簡單方程的應用也有了一定的學習基礎.但由于學生的思維能力及習慣還需繼續培養和提高，對一些學習能力強的學生要進一步培養，對一些學習能力弱的學生也要進一步培養輔導和提高，所以對本節內容還要進一步的規范教學.
1.能從實際問題中抽象出數量之間的相等關系,會利用一元一次方程解決和、差、倍、分問題,培養學生的應用意識及分析和解決問題的能力,發展學生的抽象能力.
2.熟悉和、差、倍、分問題,培養學生的模型觀念.
3.了解找出等量關系、列出方程的關鍵在于分析已知、未知量之間的關系及尋找相等關系,列出一元一次方程解決實際問題.
重點：利用一元一次方程解決和、差、倍、分問題．
難點：學會分析復雜問題中數量關系和等量關系，列出一元一次方程
情境導入
“雞兔同籠” 是中國古代的數學名題之一.大約在1500年前，《孫子算經》中就記載了這個有趣的問題,在小學時你用什么方法求解.
問題：今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？
解法1：假設都是雞.35×2=70（條），94 70=24（條），
兔：24÷2=12 （只），雞 ：35 12=23（只）.
解法2：假設都是兔.4×35=140（條），140 94=46（條），
雞： 46÷2=23（只），兔：35-23=12(只).
還有列表法、畫圖法、公式法等等…
教師指導學生用列方程的方法去做一做：用方程的方法去求解：
解法1：設雞有x只，則兔有(35 x)只.
根據題意，得2x+4(35 x)=94.解得x=23.35 x=12.
答：雞有23只，兔有12只.
解法2：設兔有 x 只，則雞有 (35 x) 只，
根據題意，得4x+2(35 x)=94，解得x=12, 35 x=23.
答：雞有23只，兔有12只.
師生活動：教師提出問題,學生思考,小組討論,最后進行解答.
設計意圖：通過問題引導學生對比、發現, 加深了對方程的理解, 為本節課的教學開辟道路,體會到算術解法和方程解法的不同,初步感悟方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型.
問題：比較上述列算式的方法與列方程的方法，說說它們各自的特點.
解：利用列算式的方法求解，要先將每只兔子看成2條腿，與每只雞的腿數湊齊（或先將每只雞看成4條腿，與每只兔子的腿數湊齊），然后用腿數之差求出兔子（或雞）數量，思考過程和算式的得出都比較曲折，利用列方程的方法，可根據腿數之和直接列方程，使得問題的解決比較簡單.
師生活動：學生討論交流，教師歸納總結.
設計意圖：讓學生發現方程解法的優勢.
應用舉例
例1 某學校七年級同學參加一次公益活動，其中15%的同學去作保護環境的宣傳，剩下的170名同學去植樹，七年級共有多少名同學參加了這次公益活動？
分析：1.問題中涉及哪些量 等量關系是什么
2.設哪個未知量為未知數 如何用未知數表示其他未知量呢
答案：
1.問題中涉及三個量：
作保護環境宣傳的人數，植樹的人數，參加公益活動的同學人數.
等量關系：
作保護環境宣傳的人數+植樹的人數=參加公益活動的同學人數.
2.設參加公益活動的同學人數為x,則作保護環境宣傳的同學有15% x名.
解：設七年級共有x名同學參加這次公益活動，那么作環境保護宣傳的同學有15%x名．
依題意，得15%x＋170＝x.
解這個方程，得x＝200.
答：七年級共有200名同學參加了這次公益活動．
思考：列一元一次方程解應用題的步驟有哪些？
師生活動：學生思考討論交流回答，教師總結.
(1)審：審清題意,找出題中的等量關系,分清題中的已知量、未知量.
(2)設：設未知數,一般采用直接設法(求什么設什么),當直接設法列方程有困難
時,可采用間接設法,
(3)列：根據題中的等量關系,列出一元一次方程.
(4)解：解所列出的一元一次方程.
(5)驗：檢驗所得的解是否正確,是否符合實際意義(過程可省略不寫).
(6)答：寫出答案(包括單位名稱).
設計意圖：加強反思，幫助學生養成系統整理知識的習慣.
課堂練習
練習：1.一個數的3倍與這個數的的和等于6，求這個數.
思考：和、差、倍、分問題中常見的等量關系是什么
和(差)關系
如：總量=各分量之和,
大數=小數+大數與小數的差;
倍(分)關系
如幾倍后的量=基礎量×倍數,
分量=總量×分量對總量所占的分數.
解：設這個數為x.
根據題意，得3x+x=6,解得x= .
答：這個數為.
2.某倉庫存放的大米運出25%后，還剩37500kg.倉庫原有大米多少千克
解：設倉庫原有大米x千克，則運出大米25%x千克.
根據題意，得x-25%x=37500,
解得x=50000.
答：倉庫原有大米50000千克.
3.一種小麥加工成面粉后，可得到85%的面粉.為得到5100kg的面粉，需要小麥多少千克
答案：解：設需要小麥x千克,則得到的面粉85%x千克.
根據題意，得85%x=5100，
解得x=6000.
答：需要小麥6000千克.
4.如圖(1)，已知高度為60cm的圓柱形玻璃容器內水面的高度為20cm，現有體積分別相等的大球、小球若干個.
(1)如圖(2)，已知在容器內放入5個小球后，容器內水面的高度為25cm，那么在容器內放入1個小球，水面會升高____cm.
(2)在容器內放入1個大球，水面可升高2cm.如果在圖(1)所示的容器內放入大球、小球共18個，水面上升到46cm，那么應該放入小球多少個？
答案：（1）1；
（2）解：設放入小球x個，則放入大球(18-x)個.根據題意,得 20+x+2(18-x)=46.
解這個方程,得x=10.
答：應該放入小球10個.
師生活動：教師展示題目，學生獨立思考，認真完成，小組交流思路，教師引導展示思路方法和計算答案.
設計意圖：讓學生進一步鞏固所學知識，加深理解.培養規范化書寫和建模思想在解決數學問題的重要性.會用數學思維和語言表達數學實際問題.
課堂檢測
1.長江比黃河長899 km,黃河長度的6倍比長江長度的5倍多969 km,設長江長度為x km,則下列方程中正確的是(　D　)
A.5x-6(x-899)=969 B.6x-5(x+899)=969
C.6(x+899)-5x=969 D.6(x-899)-5x=969
分析：題中的等量關系是什么？
長江的長度=黃河的長度+899；
6×黃河的長度=5×長江的長度+969 .
2.小悅買書需用48元錢,付款時恰好用了1元和5元的紙幣共12張.設所用的1元紙幣為x張,根據題意,下面所列方程正確的 (　A　)
A.x+5(12-x)=48 B.x+5(x-12)=48
C.x+12(x-5)=48 D.5x+(12-x)=48
分析：題中的等量關系是什么？
1元紙幣的張數+5元紙幣的張數=12；
1×1元紙幣的張數+5×5元的紙幣張數=48.
3.動物園的門票售價為：成人票每張50元，兒童票每張30元.某日動物園售出門票700張，共得
29000元.設兒童票售出x張，依題意可列出程為( A )
A.30x+50(700-x)=29000 B.50x+30(700-x)=29000
C.30x+50(700+x)=29000 D.50x+30(700+x)=29000
分析：題中的等量關系是什么？
成人票的張數+兒童票的張數=700；
50×成人票的張數+30×兒童票的張數=29000.
4.學校文藝部組織部分文藝積極分子看演出，共購得8張甲票，4張乙票，總計用了112元．已知甲票的單價比乙票的單價貴2元，則甲票、乙票的票價分別是(　A 　)
A.甲票10元/張，乙票8元/張
B.甲票8元/張，乙票10元/張
C.甲票12元/張，乙票10元/張
D.甲票10元/張，乙票12元/張
分析：
1.題中的等量關系是什么？
甲票的單價=乙票的單價+2；8×甲票的單價+4×乙票的單價=112.
2.如何列方程呢？
設乙票的單價為x元/張，則甲票的單價為(x+2)元/張.
根據題意，列方程為8(x+2)+4x=112.
5.小剛有中國郵票和外國郵票共165張，中國郵票的張數比外國郵票的張數的3倍少55張，則小剛有中國郵票多少張，外國郵票多少張？
分析：
題中的等量關系是什么？
中國郵票的張數+外國郵票的張數=165；
中國郵票的張數=外國郵票的張數×3-55.
解：設小剛有外國郵票x張，則小剛有中國郵票（3x-55）張，
依題意有x+（3x-55）=165，
解得x=55，
所以3x-55=165-55=110．
答：小剛有中國郵票110張，外國郵票55張．
師生活動：生獨立完成，師課堂判，生更正.
設計意圖：通過練習性的檢測，檢查學生本節課學習成果，并及時進行教學評判，查漏補缺，起到融會貫通的目的.
課堂總結：
1.利用一元一次方程解決實際問題的步驟是什么？
2.用一元一次方程解決和、差、倍、分問題時常用的等量關系是什么？
設計意圖：通過小結讓學生熟悉鞏固本節課所學的知識，培養學生歸納概括總結能力.
本節課是《一元一次方程的應用》第1課時的內容，是學生首次應用一元一次方程解決生活中稍復雜的實際問題，以此幫助學生建立模型意識、樹立模型觀念、提高學生的應用意識，這對學生是一種全新的考驗.本課的重點是要根據題意，尋找積、差、倍、分問題中的等量關系.難點是尋找問題中的等量關系，據此列出一元一次方程.本課先用我國古代著名的《雞兔同籠》問題啟發學生用不同方法解題，引導學生通過對比算術與方程兩種不同方法體會方程解決實際問題的通用性和有效性.本節課的教學設計體現數學的應用價值，通過學生自主學習、合作交流的學習方式提高學生分析、解決問題的能力；在教學中教師引導學生總結歸納列一元一次方程解決實際問題的解題步驟規范過程的書寫；通過引導學生分析總結總量等于各分量之和，用不同的式子來表示同一個量，從而有效地突出重點、突破難點，很好的實現了教學目標的達成.(共24張PPT)
5.4 一元一次方
程的應用
一元一次方程
第1課時
冀教版2024七年級上冊
1.能從實際問題中抽象出數量之間的相等關系,會利用一元一次方程解決和、差、倍、分問題,培養學生的應用意識及分析和解決問題的能力,發展學生的抽象能力.
2.熟悉和、差、倍、分問題,培養學生的模型觀念.
3.了解找出等量關系、列出方程的關鍵在于分析已知、未知量之間的關系及尋找相等關系,列出一元一次方程解決簡單的應用題.
情境
“雞兔同籠” 是中國古代的數學名題之一.大約在1500年前，《孫子算經》中就記載了這個有趣的問題.
今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？
解法1：假設都是雞.
35×2=70（條），
94 70=24（條），
兔:24÷2=12 （只），雞 :35 12=23（只）.
解法2：假設都是兔.
4×35=140（條），
140 94=46（條），
雞: 46÷2=23（只），
兔:35-23=12(只).
還有列表法、畫圖法、公式法等等…
操作
解法1：設雞有x只，則
兔有（35 x）只.
根據題意，得2x+4(35 x)=94.
解得x=23.35 x=12.
答：雞有23只，兔有12只.
解法2：設兔有 x 只，則
雞有 (35 x) 只，
根據題意，得4x+2(35 x)=94，
解得x=12, 35 x=23.
答：雞有23只，兔有12只.
今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？
你能用方程來求嗎？
操作
比較上述列算式的方法與列方程的方法，說說它們各自的特點.
解：利用列算式的方法求解，要先將每只兔子看成2條腿，與每只雞的腿數湊齊（或先將每只雞看成4條腿，與每只兔子的腿數湊齊），然后用腿數之差求出兔子（或雞）數量，思考過程和算式的得出都比較曲折，利用列方程的方法，可根據腿數之和直接列方程，使得問題的解決比較簡單.
例1
某學校七年級同學參加一次公益活動，其中15%的同學去作保護環
境的宣傳，剩下的170名同學去植樹，七年級共有多少名同學參加
了這次公益活動？
分析
1.問題中涉及哪些量 等量關系是什么
2.設哪個未知量為未知數 如何用未知數表示其他未知量呢
問題中涉及三個量：
作保護環境宣傳的人數，植樹的人數，參加公益活動的同學人數.
1.問題中涉及哪些量 等量關系是什么
2.設哪個未知量為未知數 如何用未知數表示其他未知量呢
設參加公益活動的同學人數為x,則作保護環境宣傳的同學有15% x名.
等量關系：
作保護環境宣傳的人數+植樹的人數=參加公益活動的同學人數.
解：設七年級共有x名同學參加了這次公益活動，那么作保護環境宣傳的同學有15%x名.
依題意，得
解這個方程，得
15%x+170=x.
x=200.
答：七年級共有200名同學參加了這次公益活動.
例1
某學校七年級同學參加一次公益活動，其中15%的同學去作保護環
境的宣傳，剩下的170名同學去植樹，七年級共有多少名同學參加
了這次公益活動？
思考:列一元一次方程解應用題的步驟有哪些
(1)審:審清題意,找出題中的等量關系,分清題中的已知量、未知量.
(2)設:設未知數,一般采用直接設法(求什么設什么),當直接設法列方程有困難
時,可采用間接設法,
(3)列:根據題中的等量關系,列出一元一次方程.
(4)解:解所列出的一元一次方程.
(5)驗:檢驗所得的解是否正確,是否符合實際意義(過程可省略不寫).
(6)答:寫出答案(包括單位名稱).
練 習
1· 一個數的3倍與這個數的的和等于6，求這個數.
和、差、倍、分問題中常見的等量關系是什么
和(差)關系
如：總量=各分量之和,
大數=小數+大數與小數的差;
倍(分)關系,
如幾倍后的量=基礎量×倍數,
分量=總量×分量對總量所占的分數.
練 習
2.某倉庫存放的大米運出25%后，還剩37500kg.倉庫原有大米多少千克
解：設倉庫原有大米x千克，則運出大米25%x千克.
根據題意，得x-25%x=37500,
解得x=50000.
答:倉庫原有大米50000千克.
練 習
3.一種小麥加工成面粉后，可得到85%的面粉.為得到5100kg的面粉，需要小麥多少千克
解：設需要小麥x千克,則得到的面粉85%x千克.
根據題意，得85%x=5100，
解得x=6000.
答:需要小麥6000千克.
練 習
4.如圖(1)，已知高度為60cm的圓柱形玻璃容器內水面的高度為20cm，現有體積分別相等的大球、小球若干個.
(1)如圖(2)，已知在容器內放入5個小球后，容器內水面的高度為25cm，那么在容器內放入1個小球，水面會升高____cm.
1
解：設放入小球x個，則放入大球(18 x)個.
根據題意,得20+x+2(18 x)=46.
解這個方程,得x=10.
答:應該放入小球10個.
練 習
(2)在容器內放入1個大球，水面可升高2cm.如果在圖(1)所示的容器內放入大球、小球共18個，水面上升到46cm，那么應該放
入小球多少個？
分析
題中的等量關系是什么？
練 習
1.長江比黃河長899 km,黃河長度的6倍比長江長度的5倍多
969 km,設長江的長度為x km,則下列方程中正確的是(　　)
A.5x 6(x 899)=969 B.6x 5(x+899)=969
C.6(x+899) 5x=969 D.6(x 899) 5x=969
D
長江的長度=黃河的長度+899；
6×黃河的長度=5×長江的長度+969 km.
分析
題中的等量關系是什么？
練 習
2.小悅買書需用48元錢,付款時恰好用了1元和5元的紙幣共12張.設所用的1元紙幣為x張,根據題意,下面所列方程正確的(　　)
A.x+5(12 x)=48 B.x+5(x 12)=48
C.x+12(x 5)=48 D.5x+(12 x)=48
A
1元紙幣的張數+5元紙幣的張數=12；
1×1元紙幣的張數+5×5元的紙幣張數=48.
分析
題中的等量關系是什么？
練 習
3.動物園的門票售價為成人票每張50元，兒童票每張30元.某日動物園售出門票700張，共得29000元.設兒童票售出x張，依題意可列出程為( )
A.30x+50(700-x)=29000 B.50x+30(700-x)=29000
C.30x+50(700+x)=29000 D.50x+30(700+x)=29000
A
成人票的張數+兒童票的張數=700；
50×成人票的張數+30×兒童票的張數=29000.
分析
1.題中的等量關系是什么？
練 習
4.學校文藝部組織部分文藝積極分子看演出，共購得8張甲票，4張乙票，
總計用了112元．已知甲票的單價比乙票的單價貴2元，則甲票、乙票的
票價分別是(　 　)
A.甲票10元/張，乙票8元/張 B.甲票8元/張，乙票10元/張
C.甲票12元/張，乙票10元/張 D.甲票10元/張，乙票12元/張
A
甲票的單價=乙票的單價+2；8×甲票的單價+4×乙票的單價=112.
根據題意，列方程為8(x+2)+4x=112.
2.如何列方程呢？
設乙票的單價為x元/張，則甲票的單價為(x+2)元/張.
練 習
5.小剛有中國郵票和外國郵票共165張，中國郵票的張數比外國郵票的張數的3倍少55張，則小剛有中國郵票多少張，外國郵票多少張？
分析
題中的等量關系是什么？
中國郵票的張數+外國郵票的張數=165；
中國郵票的張數=外國郵票的張數×3-55.
練 習
5.小剛有中國郵票和外國郵票共165張，中國郵票的張數比外國郵票的張數的3倍少55張，則小剛有中國郵票多少張，外國郵票多少張？
解：設小剛有外國郵票x張，則小剛有中國郵票(3x-55)張.
依題意有x+(3x -55)=165，解得x=55，
所以3x-55=165-55=110．
答：小剛有中國郵票110張，外國郵票55張．冀教版2024七上
第五章 一元一次方程
5.4 一元一次方程的應用
第2課時
本節課《一元一次方程的應用》是冀教版初中數學七年級上冊第五章第四節的內容.本節課的兩個示例仍然是針對“各分量之和=總量”這個基本等量關系而設計的,目的是進一步體現這個等量關系的普遍適用性.引例為學生自主探究提供了活動內容與線索,所以,教師應指導學生自主完成后,再進行小組交流.關注解決問題的思維和概括的完整性:從問題出發, ;借助線段圖理解題意，找出等量關系,用代數式表示出題中的未知的量;列方程;解方程.例題是一個工程問題,這里不再把問題分為行程問題、工程問題等逐一分類展示,而是圍繞著和與差的基本等量關系以及獲得方程過程中的數學思考展開,所以,教學中應重點是強調對等量關系的認識.
學生對行程問題已經有了一定的認識，對解決過的問題有了一定的分類認知，解決問題習慣于算術解法，對問題中的隱含條件在閱讀中理解起來有困難，找不準題中的等量關系，列不出方程.學生的形象直觀思維已經比較成熟，具有好動，注意力分散，抽象思維能力，歸納能力比較薄弱.學習中不善于積累，類比歸納的習慣還沒有養成.本課立足于學生的“學”，要求學生多觀察，感受生活情境中的數學，從而可以幫助學生形成數學來源于生活，有應用于生活的理念，培養“三會”的數學核心素養.因此課堂采用自主探究和合作交流的方法組織教學，使每位學生都參與到課堂當中，體會到數學的樂趣!
1.掌握相遇問題、工程問題中的基本等量關系；
2.學會利用線段圖分析相遇問題及工程問題，找出等量關系，準確列出方程；
3.進一步體會方程這一數學模型的重要作用，增強數學的應用意識，發展模型觀念.
重點：掌握相遇問題、工程問題中的基本等量關系．
難點：學會利用線段圖分析相遇問題及工程問題，分清有關數量關系，找出等量關系，準確列出方程.
情境導入
小明家與學校的距離是2900米，今天早晨小明7：45分從家出發，他先走了一段路，發現時間不夠用了他又跑了一段，小明在8點準時到達學校.若他跑步的平均速度是250米/分，步行的平均速度是80米/分，算一算他跑步用了多長時間
問題：1.時間、路程、速度之間的關系式是什么？路程＝速度×時間
2.你能用線段圖表示題中的數量關系嗎
3.設小明跑步的時間是x分，能用含x的式子表示小明走路和跑步的路程呢？
解：設小明跑步的時間是x分鐘.
根據題意，得80（15-x）+250x=2900.
解這個方程，得x=10.
答：小明跑步的時間是10分鐘．
師生活動：教師引導學生，逐步完成問題，指定學生回答.
設計意圖：通過學生熟悉的生活場景，引出本節課研究的路程問題，為后面點學習做好鋪墊.
一起探究
用一元一次方程解決“相遇問題”
甲、乙兩地間的路程為375km.一輛轎車和一輛公共汽車分別從甲、乙兩地同時出發沿公路相向而行.轎車的平均速度為90km/h，公共汽車的平均速度為60km/h.它們出發后多少小時在途中相遇？
問題1：找出本題中的等量關系.(動畫演示運動過程)
答：轎車行駛的路程+公共汽車行駛的路程=甲乙兩地間的路程.
問題2：1.設兩車出發后x h相遇，你能用含x的代數式表示轎車和公共汽車行駛的路程嗎？
答：它們出發后x小時在途中相遇， 此時轎車行駛的路程為90xkm， 公共汽車行駛的路程為
60xkm.
問題2：如何列出方程并求解呢？
根據題意，得90x+60x=375.
解這個方程，得x=2.5.
答：它們出發后2.5小時相遇．
總結歸納：相遇問題中常見的等量關系:
路程＝速度和×相遇時間
甲走的路程+乙走的路程=甲、乙之間的距離
注意：相向而行的始發時間和相遇地點
師生活動：老師提問學生舉手回答問題．
設計意圖：通過學生參與小組活動，激發學生參與課堂教學的熱情，使學生進入問題情境，引出解決相遇問題的思路.通過實例引出線段圖，讓學生試著解釋，激發學生的求知欲望，感受一元一次方程在相遇問題中的應用.
用一元一次方程解決“工程問題”
應用舉例
例題 一項工作，小李單獨做需要6h完成，小王單獨做需要9h完成.如果小李先做2h后，再由兩人合做，那么還需幾小時才能完成？
問題1：類比相遇問題的分析方法，找出本題的等量關系.
小李單獨做2h的工作量十小王、小李合做完成的工作量=工作總量
問題2：工作總量是多少？小李和小王的工作效率分別是多少？
解：設工作總量是1，小李的工作效率是 ，小王的工作效率是
問題3：如果設還需兩人合做xh才能完成,你能用含x的式子表示出小王和小李合作完成的工作量嗎？
解：設還需兩人合做xh才能完成,依題意，得 ，
解得 .
答：還需兩人合做h才能完成．
總結：解決工程問題的解題思路
1.三個基本量：
工程問題中的三個基本量：工作總量、工作效率、工作時間，
它們之間的關系是：工作總量=工作效率×工作時間.
若把工作量看作1，則工作效率=1÷工作時間.
2.相等關系：
(1)按工作時間:各時間段的工作量之和=完成的工作量.
(2)按工作者:若一項工作有甲、乙兩人參與，則甲的工作量+乙的工作量=完成的工作量.
師生活動：學生先獨立思考再作答.
設計意圖：通過具體的生活問題，幫助學生體會一元一次方程的實際應用，讓學生一起感受一元一次方程解決工程問題的解題思路，增加考察難度.
課堂練習
1.甲、乙兩人騎自行車同時從相距14km的兩地相向而行，甲的速度為12km/h，乙的速度為16km/h，他們出發后多長時間相遇？
答案：
解: 設他們出發xh后相遇，根據題意得12x+16x=14.
解這個方程，得x=0.5.
答：他們出發后0.5h相遇．
2.為使福利院的孩子們度過一個快樂的兒童節，某玩具廠決定贈送他們一批玩具.這批玩具甲組獨立生產需10天完成，乙組獨立生產要6天完成，甲組獨立生產2天后，乙組開始參與生產.兩組合做多少天可以完成批玩具的生產任務？
分析：設兩組合做x天可以完成這批玩具的生產任務，請畫出線段分析圖.
解:設兩組合做x天可以完成這批玩具的生產任務，根據題意得：，
解得x = 3.
答：兩組合做3天可以完成這批玩具的生產任務．
師生活動：學生先獨立思考再作答.
設計意圖：這些問題是這節課的主要知識，教師要清楚地向學生說明，并且要注意語言的準確與規范，要舍得花時間讓學生充分發表想法，使學生對解決實際問題中的相遇問題和工程問題有一個系統的認識.使學生學會用一元一次方程解決生活中的問題，深入理解一元一次方程的使用意義.課堂檢測
1.甲、乙兩人騎摩托車同時從相距170千米的A，B兩地相向而行，2小時相遇，如果甲比乙每小時多行5千米，則乙每小時行(　　)
A．30千米 B．40千米 C．50千米 D．45千米
答案：B
2.甲、乙兩人在400米的環形跑道上練習長跑，他們同時同地反向而跑，甲的速度是6米/秒，乙的速度是4米/秒，則他們首次相遇時，兩人都跑了(　　)
A．40秒 B．50秒 C．60秒 D．70秒
答案：A
3.一項工程，甲單獨做需要9天完成，乙單獨做需要12天完成.甲、乙兩人合作3天后，甲有其他任務，剩下的工程由乙單獨完成.那么，乙還需要幾天才能完成全部工程？
解：設乙還需要x天才能完成全部工程.
根據題意，得，
解得x=5 .
答：乙還需要5天才能完成全部工程.
師生活動：學生先獨立完成,教師核對答案 .
設計意圖：通過課堂檢測鞏固新知，加深對本節課的理解及應用.
課堂總結
1.如何應用一元一次方程解決相遇問題？
2.如何應用一元一次方程解決工程問題？
師生活動：教師和學生一起回顧本節課所講的內容.
設計意圖：通過小結讓學生進一步熟悉鞏固本節課所學的知識.
通過行程問題和工程問題的學習培養學生建立模型思想，從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，利用幾何直觀，幫助學生直觀的理解數學，把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，培養學生的創新意識.有的問題由于比較復雜,各個量之間的關系不是很容易被理解,這個時候,借助于簡單的線段圖,可以使問題中的各種量直觀化和明晰化,從而使問題迎刃而解.(共20張PPT)
第2課時
5.4 一元一次方
程的應用
一元一次方程
冀教版2024七年級上冊
圖片替換區
1.掌握相遇問題、工程問題中的基本等量關系；
2.學會利用線段圖分析相遇問題及工程問題，找出等量關系，準確列出方程；
3.進一步體會方程這一數學模型的重要作用，增強數學的應用意識，發展模型觀念.
情境
小明家與學校的距離是2900米，今天早晨小明7：45分從家出發，他先走了一段
路，發現時間不夠用了他又跑了一段，小明在8點準時到達學校.若他跑步的平均
速度是250米/分，步行的平均速度是80米/分，算一算他跑步用了多長時間
時間、路程、速度之間的關系是什么？
路程＝速度×時間
你能用線段圖表示題中的數量關系嗎
情境
小明家與學校的距離是2900米，今天早晨小明7：45分從家出發，他先走了一段
路，發現時間不夠用了他又跑了一段，小明在8點準時到達學校.若他跑步的平均
速度是250米/分，步行的平均速度是80米/分，算一算他跑步用了多長時間
小明走路的路程
2 900米
小明家
學校
小明跑步的路程
80(15-x)
250x
設小明跑步的時間是x分鐘，能用含x的式子表示小明走路和跑步的路程呢？
情境
小明家與學校的距離是2900米，今天早晨小明7：45分從家出發，他先走了一段
路，發現時間不夠用了他又跑了一段，小明在8點準時到達學校.若他跑步的平均
速度是250米/分，步行的平均速度是80米/分，算一算他跑步用了多長時間
解：設小明跑步的時間是x分鐘，
根據題意，得80(15-x) +250x=2900.
解這個方程，得x=10.
答：小明跑步的時間是10分鐘．
操作
甲、乙兩地間的路程為375km．一輛轎車和一輛公共汽車分別從甲、乙兩地同時出發沿公路相向而行．轎車的平均速度為90km/h，公共汽車的平均速度為60km/h.它們出發后多長時間相遇？
找出本題中的等量關系.
1.設兩車出發后x h相遇，你能用含x的代數式表示轎車和公共汽車行駛的路程嗎？
轎車行駛的路程+公共汽車行駛的路程=甲、乙兩地間的距離
90x km
60x km
375km
相遇地點
甲
乙
轎車行駛的路程
公共汽車行駛的路程
2.如何列出方程并求解呢？
解：設兩車出發后xh相遇，
根據題意，得90x+60x=375.
解這個方程，得x=2.5.
答：它們出發后2.5小時相遇．
操作
甲、乙兩地間的路程為375km．一輛轎車和一輛公共汽車分別從甲、乙兩地同時出發沿公路相向而行．轎車的平均速度為90km/h，公共汽車的平均速度為60km/h.它們出發后多長時間相遇？
總結
相遇問題中常見的等量關系:
路程＝速度和×時間
甲走的路程+乙走的路程=甲、乙之間的距離
注意：相向而行的始發時間和相遇地點.
例題
一項工作，小李單獨做需要6h完成，小王單獨做需要9h完成.如果小李先做2h后，再由兩人合做，那么還需幾小時才能完成？
小李單獨做2h的工作量十小王、小李合做完成的工作量=工作總量
1.類比相遇問題的分析方法，找出本題的等量關系.
小李單獨做2h完成的工作量
小王、小李合做完成的工作量
工作總量
小李單獨做2h完成的工作量
小王、小李合做xh完成的工作量
1
2.工作總量是多少？小李和小王的工作效率分別是多少？
3.如果設還需兩人合做xh才能完成,你能用含x的式子表示出小王和小李合作完成的工作量嗎？
解：設工作總量是1，小李的工作效率是，小王的工作效率是
例題
一項工作，小李單獨做需要6h完成，小王單獨做需要9h完成.如果小李先做2h后，再由兩人合做，那么還需幾小時才能完成？
解：設還需兩人合做x h才能完成，依據題意，得解這個方程，得
x2+（+x= 1.
答：還需兩人合做h才能完成這項工作.
總結
工程問題解題思路
1.三個基本量：
工程問題中的三個基本量：工作總量、工作效率、工作時間，
它們之間的關系：工作總量=工作效率×工作時間.
若把工作總量看作1，則工作效率=1÷工作時間.
2.相等關系：
(1)按工作時間：各時間段的工作量之和=完成的工作總量.
(2)按工作者： 若一項工作由甲、乙兩人參與，則甲的工作量+乙的工作量
=完成的工作總量.
練 習
1.甲、乙兩人騎自行車，同時從相距14km的兩地相向而行，
甲的速度為12km/h，乙的速度為16km/h，他們出發后多長
時間相遇？
解：設他們出發后 xh相遇，依據題意，得
12x+16x=14.
　　解這個方程，得x=0.5.
答：他們出發后0.5h相遇．
練 習
2.為使福利院的孩子們度過一個快樂的兒童節，某玩具工廠決定贈送他
們一批玩具，這批玩具甲組獨立生產需要10天完成，乙組獨立生產需要
6天完成.甲組獨立生產2天后，乙組開始參與生產，兩組合做多少天可以
完成這批玩具的生產任務
甲單獨做2天完成的工作量
甲、乙合做x天完成的工作量
總工作量
分析
設他們合做x天可以完成任務，畫出線段分析圖.
練 習
2.為使福利院的孩子們度過一個快樂的兒童節，某玩具工廠決定贈送他
們一批玩具，這批玩具甲組獨立生產需要10天完成，乙組獨立生產需要
6天完成.甲組獨立生產2天后，乙組開始參與生產，兩組合做多少天可以
完成這批玩具的生產任務
解：設兩組合做x天可以完成這批玩具的生產任務.
根據題意，得× 2+（+）x =1.
解得x = 3.
答：兩組合做3天可以完成這批玩具的生產任務.
練 習
1.甲、乙兩人騎摩托車同時從相距170千米的A，B兩地相向而行，2小時相
遇，如果甲比乙每小時多行5千米，則乙每小時行(　　)
A．30千米 B．40千米 C．50千米 D．45千米
2.甲、乙兩人在400米的環形跑道上練習長跑，他們同時同地反向而跑，甲的
速度是6米/秒，乙的速度是4米/秒，則他們首次相遇時，兩人都跑了(　　)
A．40秒 B．50秒 C．60秒 D．70秒
B
A
練 習
3.一項工程，甲單獨做需要9天完成，乙單獨做需要12天完成.甲、
乙兩人合作3天后，甲有其他任務，剩下的工程由乙單獨完成.那
么乙還需要幾天才能完成全部工程？
解：設乙還需要x天才能完成全部工程.
根據題意，得+=1.
解得x = 5.
答：乙還需要5天才能完成全部工程.
1.如何應用一元一次方程解決相遇問題？
2.如何應用一元一次方程解決工程問題？冀教版2024七年級上冊
第五章 一元一次方程
5.4 一元一次方程的應用
第3課時
本節課是冀教版初中數學七年級上冊第五章第四節第3課時的內容,主要揭示依據“同一個量的不同表示”列方程解決實際問題.兩個示例都是求兩個未知量,一般會有兩個等量關系,需要注意的是只需設出一個未知量,然后根據一個等量關系表示出另一個未知量,根據另一個等量關系列出方程即可,體現方程模型在解決實際問題時的靈活性和應用價值.引例通過“觀察與思考”,為學生提供了探究的內容,教學中應先指導學生自主觀察、思考,再進行比較、分析,最后歸納、總結,注意設的未知量不同,列出的方程也不同.例題的教學應重點強調了根據題中的不變量列方程,分析過程可由教師示范,解答過程可由學生自己完成.
七年級學生正處于數學思維的快速發展階段，他們已經具備了一定的代數基礎，包括變量、常數、運算符以及一元一次方程的基本解法.然而，在將實際問題轉化為數學模型的過程中，學生普遍面臨以下挑戰：抽象能力不足；難以從實際情境中抽象出數學問題；邏輯推理不嚴；在列方程時容易遺漏關鍵條件或關系；解題技巧欠缺；對如何靈活運用方程解決實際問題缺乏經驗；學習風格差異；不同學生對知識的理解和接受方式存在差異，需要個性化教學.
1.能根據題意找到“同一個量的不同表示”，并以此來列方程，解決實際問題.
2. 經歷分析追及、盈余不足問題中的數量關系、列方程的過程，提高學生運用新知識解決實際問題的能力，體會“建模”思想.
3.經歷不同的生活情境，體會數學與生活的緊密聯系，培養學生分析和解決實際問題的能力.
重點：掌握用“同一個量的不同表示”來列方程，根據實際問題中等量關系列出方程進而解決實際問題.
難點：經歷分析追及、盈余不足問題中的數量關系、列方程的過程，提高學生運用新知識解決實際問題的能力，體會“建模”思想.
情境導入
某學校七年級師生進行了一次徒步活動.帶隊教師和學生以4 km/h的速度從學校出發,20 min后,小王騎自行車前往追趕.如果小王以12 km/h的速度騎行,那么小王要用多少時間才能追上隊伍 此時,隊伍已行走了多遠
分析：追及問題：路程差= 速度差×追及時間 .
追問：如果用算式要怎么求呢？
答案：
20min=h.4×÷(12-4)= (h).
12×=2(km)
答：小王用 h可追上隊伍,此時,隊伍已行走了2 km.
追問：如果用方程解，要怎么做呢？
師生活動：師引導學生復習追及問題常用的公式，學生獨立用算式來求，進而導入本節課，如何利用一元一次方程求追及問題.
設計意圖：通過復習追及問題，為后面學習一元一次方程求追及問題作好鋪墊，感悟方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型.
一起探究
問題：某學校七年級師生進行了一次徒步活動.帶隊教師和學生以4 km/h的速度從學校出發,20 min后,小王騎自行車前往追趕.如果小王以12 km/h的速度騎行,那么小王要用多少時間才能追上隊伍 此時,隊伍已行走了多遠
分析：
問題1：題中的等量關系是什么？
小王騎車行駛的路程=師生行走的路程.
小王騎車行駛的時間＋20min=教師和學生行走的時間。
問題2：如何設未知數呢 設小王要用x h才能追上隊伍; 設此時隊伍行走的路程為y km，
問題3：1. 設小王要用x h才能追上隊伍,如何列方程呢？
問題4：2.如果設此時隊伍行走的路程為y km，如何列方程呢？
= .
答案：解法1：
解:設小王要用x h才能追上隊伍,此時隊伍行走的時間為h.
由題意,得,解得
所以 （km）
答:小王用 h可追上隊伍,此時,隊伍已行走了2 km.
解法2：
解:設此時隊伍行走的路程為y km.
由題意，得= ，解得y=2. = .
答:小王用 h可追上隊伍,此時,隊伍已行走了2 km.
問題：在列方程解決這類問題時應注意什么？
根據設的未知數尋找等量關系.
求兩個未知量，一般會有兩個等量關系,需要注意的是只需設出一個未知量,然后根據一個等量關系表示出另一個未知量,根據另一個等量關系列出方程即可.
總結：追及問題中的等量關系:快者走的路程-慢者走的路程=追及路程；
若同時出發，快者追上慢者時，快者用的時間=慢著的時間.
師生活動：學生獨立思考后小組討論以上問題，以小組匯報形式進行展示.
設計意圖：嘗試兩種不同解題過程，讓學生體會同一個問題因所設未知數不同，找出不同的等量關系，列出不同方程，并解決問題，開闊學生的解題思路.
應用舉例
例：某農場要對一塊麥田施底肥，現有化肥若干千克.若每公頃施肥400kg，則余下化肥800kg；若每公頃施肥500 kg，則缺少化肥300kg.那么，這塊麥田的面積是多少公頃？現有化肥多少千克？
對上述情景進行探究：
問題1：設這塊麥田為x公頃，如何用含x的式子表示化肥質量呢？
由“若每公頃施肥400kg，那么余下化肥800 kg”，可得表示化肥質量的式子：
（400x+800） kg
由“若每公頃施肥500kg，那么缺少化肥300kg”，可得表示化肥質量的式子：（500x－300）kg
問題3：這兩個代數式應有怎樣的關系？
答：化肥質量是相同的，所以有400x+800=500x－300.
解：設這塊麥田的面積是x公頃.
由題意,得400x+800=500x－300.
解得x=11.
現有化肥為400x+800=5200.
答:這塊麥田的面積是11公頃,現有化肥5200千克.
方法二：此題是否還有其他解法？
問題1.設現有化肥y千克，如何用含y的式子表示麥田的面積呢？
由“若每公頃施肥400kg,那么余下化肥800kg”，則表示麥田面積的式子： kg.
由“若每公頃施肥500 kg，則缺少化肥300kg”，則表示麥田面積的式子： kg.
問題3.兩個代數式有什么樣的關系呢
答： =
解：設現有化肥數為y千克，
由題意，得.解得y=5200.
.
答：這塊麥田的面積是11公頃，現有化肥5200千克.
總結：利用方程解決盈虧問題的思路:
1.找到不變的量；
2.從不同的角度用代數式表示這個量；
3.用同一個量的不同表示形式，得到方程.
師生活動：老師提問學生舉手回答問題.
設計意圖：通過設計階梯式問題，激發學生參與課堂教學的熱情，使學生進入問題情境，找出等量關系，列出方程，并解決問題.
課堂練習
1.小李家和小剛家相距 900 m，兩人同時從家出發，相向而行.
(1)如果小李每分鐘走60m，小剛每分鐘走90m，那么兩人幾分鐘后相遇
(2)如果小李每分鐘走60m，5min后兩人相遇，那么小剛每分鐘走多少米
2.一塊長為200cm、寬為100cm、厚為1cm的鋼板經鍛壓后寬度不變，長度增加到320cm.那么，鍛壓后的鋼板厚度是多少厘米
分析：題中的等量關系是什么？
鍛壓前鋼板的體積=鍛壓后鋼板的體積
3.甲、乙兩名同學從學校出發去縣城.甲步行，每小時走4km，甲出發1.5h后，乙騎自行車追趕，半小時后追上了甲，求乙的速度.
答案:
1.解:(1)設兩人x分鐘后相遇.
由題意,得（60+90）x=900
解得x=6.
答:兩人6分鐘后相遇.
(2)設小剛每分鐘走x米.
由題意,得 5（60+x）=900,
解得x=120.
答:小剛每分鐘走120米.
2.解:設鍛壓后的鋼板厚度是x厘米
由題意,得 100×320×x=200×100×1
解得x=0.625.
答:鍛壓后的鋼板厚度是0.625厘米.
3.解:設乙的速度是x km/h.
由題意,得4×(1.5+0.5)=0.5x .
解得x=16.
答:乙的速度是16 km/h.
師生活動：學生先獨立作答，再隨機選擇學生展示過程并解答.
設計意圖：通過課堂練習鞏固新知，加深對本節課的理解及應用.
課堂檢測
1.甲、乙兩人相距6 km，二人同時出發.同向而行，甲3小時可追上乙；相向而行，1小時后相遇.二人的速度各是多少？
2.我國元朝朱世杰所著的《算學啟蒙》中記載：“良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里 . 駑馬先行一十二日，問良馬幾何追及之？”意思是：“跑得快的馬每天走240里，跑得慢的馬每天走150里，慢馬先走12天，快馬幾天可以追上慢馬？”
3.一艘客船從A地出發到B地順流行駛,用了2.5時;從B地返回A地逆流行駛,用了3.5時,已知水流的速度是4千米/時,求客船在靜水中的速度.
答案：
1.解：設甲的速度是xkm/h，則乙的速度是(6－x)km/h.
由題意，得3x=3(6－x)+6，解得x=4. 6－x=2.
答：甲、乙的速度分別是4km/h，2km/h.
2.解：設快馬x天可以追上慢馬.
由題意，可得150(x+12)=240x，解得x=20.
答：快馬20天可以追上慢馬.
3.解：設客船在靜水中的速度為x千米/時,
根據題意，列方程得2.5(x+4)=3.5(x-4)，解得x=24.
答:客船在靜水中的速度為24千米/時.
師生活動：學生先獨立作答，再隨機選擇學生展示過程并解答.
設計意圖：讓學生進一步鞏固所學知識，找到等量關系列出方程并解決實際問題.
課堂總結
師生活動：教師和學生一起回顧本節課所講的內容.
本節課你學到了什么？
如何利用方程解盈虧問題的關鍵是什么？
設計意圖：通過小結讓學生進一步熟悉鞏固本節課所學的知識.
本節課主要利用分析追擊、盈余不足問題中的數量關系，根據題意設取不同的未知數列方程解決實際問題，提高學生運用新知識解決實際問題的能力，體會“建模”思想.本節問題的背景和表達都比較貼近實際，因為其中的有些數量關系比較隱蔽，所以在探究過程中正確建立方程是難點，教師要恰當的引導，讓學生弄清問題背景，分析清楚有關數量關系，找出可作為方程依據的主要相等關系，但教師不要代替學生的思考，要鼓勵學生自主探究，根據設的未知數不同，尋找等量關系，體現一題多解的靈活性．(共23張PPT)
一元一次方程
第3課時
5.4 一元一次方
程的應用
冀教版2024七年級上冊
1.能根據題意找到“同一個量的不同表示”，并以此來列方程，解決實際問題.
2. 經歷分析追及、盈余不足問題中的數量關系、列方程的過程，提高學生運用新知識解決實際問題的能力，體會“建模”思想.
3.經歷不同的生活情境，體會數學與生活的緊密聯系，培養學生分析和解決實際問題的能力.
情境
某學校七年級師生進行了一次徒步活動.帶隊教師和學生以4 km/h的速度從學校出發,20 min后,小王騎自行車前往追趕.如果小王以12 km/h的速度騎行,那么小王要用多少時間才能追上隊伍 此時,隊伍已行走了多遠
分析
追及問題：路程差=速度差×追及時間.
你會利用方程來解嗎
某學校七年級師生進行了一次徒步活動.帶隊教師和學生以4 km/h的速度從學校出發,20 min后,小王騎自行車前往追趕.如果小王以12 km/h的速度騎行,那么小王要用多少時間才能追上隊伍 此時,隊伍已行走了多遠
分析
題中的等量關系是什么？
小王走的路程
追上
教師和學生先走的路程
教師和學生后走的路程
學校
小王騎車行駛的時間＋20min=教師和學生行走的時間
小王騎車行駛的路程=師生行走的路程
如何設未知數呢
操作
某學校七年級師生進行了一次徒步活動.帶隊教師和學生以4 km/h的速度從學校出發,20 min后,小王騎自行車前往追趕.如果小王以12 km/h的速度騎行,那么小王要用多少時間才能追上隊伍 此時,隊伍已行走了多遠
分析
1. 設小王要用x h才能追上隊伍,如何列方程呢？
2.如果設此時隊伍行走的路程為y km，如何列方程呢？
操作
某學校七年級師生進行了一次徒步活動.帶隊教師和學生以4 km/h的速度從學校出發,20 min后,小王騎自行車前往追趕.如果小王以12 km/h的速度騎行,那么小王要用多少時間才能追上隊伍 此時,隊伍已行走了多遠
操作
解法1：
解：設小王要用xh才能追上隊伍，此時隊伍行走的時間為（+x）h.
由題意，得12x= 4（1+x），解得x=.
所以 12×=2（km）
答：小王用 h可追上隊伍，此時，隊伍已行走了2 km.
某學校七年級師生進行了一次徒步活動.帶隊教師和學生以4 km/h的速度從學校出發,20 min后,小王騎自行車前往追趕.如果小王以12 km/h的速度騎行,那么小王要用多少時間才能追上隊伍 此時,隊伍已行走了多遠
操作
解法2：解：設此時隊伍行走的路程為y km.
由題意，得= ，
解得y=2. =.
答：小王用了h可追上隊伍，此時，隊伍已行走了2 km.
根據設的未知數尋找等量關系.
總結
追及問題中的等量關系:快者走的路程-慢者走的路程=追及路程；
若同時出發，快者追上慢者時，快者用的時間=慢者用的時間.
在列方程解決這類問題時應注意什么？
求兩個未知量，一般會有兩個等量關系,需要注意的是只需設一個未知量,然后根據一個等量關系表示另一個未知量,根據另一個等量關系列出方程即可.
例題
某農場要對一塊麥田施底肥，現有化肥若干千克.若每公頃施肥400kg,則余下化肥800kg；若每公頃施肥500 kg，則缺少化肥300kg.那么，這塊麥田的面積是多少公頃 現有化肥多少千克
圖片替換區
400x+800
設這塊麥田為x公頃，如何用含x的式子表示化肥質量呢？
分析
500x－300
兩個代數式有什么關系呢？
圖片替換區
解：設這塊麥田的面積是x公頃.
由題意,得400x+800=500x－300.
解得x=11.
現有化肥為400x+800=5200.
答:這塊麥田的面積是11公頃,現有化肥5200千克.
此題是否還有其他解法
例題
某農場要對一塊麥田施底肥，現有化肥若干千克.若每公頃施肥400kg,則余下化肥800kg；若每公頃施肥500 kg，則缺少化肥300kg.那么，這塊麥田的面積是多少公頃 現有化肥多少千克
設現有化肥y千克，如何用含y的式子表示麥田的面積呢？
分析
兩個代數式有什么關系呢？
例題
某農場要對一塊麥田施底肥，現有化肥若干千克.若每公頃施肥400kg,則余下化肥800kg；若每公頃施肥500 kg，則缺少化肥300kg.那么，這塊麥田的面積是多少公頃 現有化肥多少千克
圖片替換區
例題
某農場要對一塊麥田施底肥，現有化肥若干千克.若每公頃施肥400kg,則余下化肥800kg；若每公頃施肥500 kg，則缺少化肥300kg.那么，這塊麥田的面積是多少公頃 現有化肥多少千克
分析
設現有化肥y千克，如何用含y的式子表示麥田的面積呢？
兩個代數式有什么關系呢？
總結
利用方程解決盈虧問題的思路:
1.找到不變的量；
2.從不同的角度用代數式表示這個量；
3.用同一個量的不同表示形式，得到方程.
練 習
1.小李家和小剛家相距 900 m，兩人同時從家出發，相向而行.
(1)如果小李每分鐘走60m，小剛每分鐘走90m，那么兩人幾分
鐘后相遇
(2)如果小李每分鐘走60m，5min后兩人相遇，那么小剛每分鐘
走多少米
解:(1)設兩人x分鐘后相遇.
由題意,得(60+90)x=900
解得x=6.
答:兩人6分鐘后相遇.
(2)設小剛每分鐘走x米.
由題意,得5(60+x)=900
解得x=120.
答:小剛每分鐘走120米.
練 習
2.一塊長為200cm、寬為100cm、厚為1cm的鋼板經鍛壓后
寬度不變，長度增加到320cm.那么，鍛壓后的鋼板厚度是
多少厘米
題中的等量關系是什么？
分析
鍛壓前鋼板的體積=鍛壓后鋼板的體積.
練 習
2.一塊長為200cm、寬為100cm、厚為1cm的鋼板經鍛壓后
寬度不變，長度增加到320cm.那么，鍛壓后的鋼板厚度是
多少厘米
解:設鍛壓后的鋼板厚度是x厘米.
由題意,得100×320×x=200×100×1，
解得x=0.625.
答:鍛壓后的鋼板厚度是0.625厘米.
練 習
3.甲、乙兩名同學從學校出發去縣城.甲步行，每小時走4km，甲出發1.5h后，乙騎自行車追趕，半小時后追上了甲，求乙的速度.
解:設乙的速度是x km/h.
由題意,得4×(1.5+0.5)=0.5x,
解得x=16.
答:乙的速度是16 km/h.
練 習
1.甲、乙兩人相距6 km，二人同時出發.同向而行，甲3小時
可追上乙；相向而行，1小時后相遇,甲、乙的速度各是多少？
解：設甲的速度是xkm/h，則乙的速度是(6－x)km/h.
由題意，得3x=3(6－x)+6，解得x=4. 6－x=2.
答：甲、乙的速度分別是4km/h，2km/h.
練 習
2.我國元朝朱世杰所著的《算學啟蒙》中記載：“良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里. 駑馬先行一十二日，問良馬幾何追及之？”意思是：“跑得快的馬每天走240里，跑得慢的馬每天走150里，慢馬先走12天，快馬幾天可以追上慢馬？”
解：設快馬x天可以追上慢馬.
由題意，可得150(x+12)=240x，解得x=20.
答：快馬20天可以追上慢馬.
逆水的速度=船在靜水中的速度-水流的速度
順水的速度=船在靜水中的速度+水流的速度
題中的等量關系是什么？
逆水速度、順水速度、水流速度和船在靜水中的速度有什么關系？
順水行駛的路程=逆水行駛的路程
練 習
3.一艘客船從A地出發到B地順流行駛,用了2.5時;從B地返回A地逆流行駛,用了3.5時,已知水流的速度是4千米/時,求客船在靜水中的速度.
解：設客船在靜水中的速度為x千米/時,
根據題意，列方程得2.5(x+4)=3.5(x-4)，解得x=24.
答:客船在靜水中的速度為24千米/時.
練 習
3.一艘客船從A地出發到B地順流行駛,用了2.5時;從B地返回A地逆流行駛,用了3.5時,已知水流的速度是4千米/時,求客船在靜水中的速度.冀教版2024七上
第五章 一元一次方程
5.4 一元一次方程的應用
第4課時
本節課是在學生學習了一元一次方程的解法及應用中的和差倍分問題、行程問題、工程問題、等積變形問題的基礎上所學習的一節一元一次方程解決增長率、儲蓄和銷售問題的應用課，目標能利用一元一次方程解決商品經濟中的實際問題,通過解決商品經濟中的實際問題的學習，使學生認識到數學的應用價值，通過獲得成功的體驗和克服困難的經歷，增進應用數學的自信心..
學生社會知識有限，往往弄不清銷售問題存儲問題中的有關概念，理解不清概念之間的關系，所以學生在本節課的學習中可能存在兩個方面的困難：一是不理解相關概念，找不準相等關系；二是習慣于用小學算術解法，不適應用方程解決應用題.作為教師應鼓勵學生開拓思路，只要思路正確，所列方程合理，都是正確的，讓學生選擇合理的思路，使得方程盡可能簡單明了.
1.掌握商品銷售中所涉及的進價、原價、售價、利潤、利潤率等這些基本量之間的關系以及儲蓄問題中本金、利率、利息等數量關系.
2.在利用一元一次方程解決百分率、銷售與儲蓄的問題的過程中，發展學生的的應用意識、分析和解決問題的能力,培養學生的模型觀念．
3.通過百分率、銷售與儲蓄的問題的學習，使學生認識到數學的應用價值，增進應用數學的自信心.
重點：掌握商品銷售中所涉及的進價、原價、售價、利潤、打折、利潤率等這些基本量之間的關系以及儲蓄問題中本金、利率、利息等數量關系．
難點：尋找百分率、銷售與儲蓄的問題的等量關系，列出方程
情境導入
導語：生活中，我們經常可以看見一些信息，你知道它們的意思嗎？
師生活動：教師多媒體展示圖片，學生讀出圖片中的信息，感悟到生活中處處有數學問題，并思考生活中的銷售和利率問題所涉及到的數學知識，引領學生進入本節的學習內容，感悟數學來源于生活的樂趣，激發學生學習新知的欲望．
設計意圖：從學生熟知冬裝打8折和銀行利率兩張圖片，從這兩個生活情境中，提煉出銷售和利率等數學問題，感受到數學源于生活又回歸于生活的本質，以此來激發學生學習數學的積極性，為學習新知作好鋪墊．
一起探究
某企業2022年的生產總值為95930萬元，比2021年增長了7.3%.那么2021年該企業的生產總值為多少萬元 （結果精確到1萬元）
問題1：請找出本題中的等量關系.
答案：解： 2021年生產總值+2022年增長的產值=2022年生產總值.
問題2：設該企業2021年的生產總值為x萬元，請將下表補充完整.
答案：
問題3：請列出方程并求解.
解：依題意，得x+7.3%x=95930，
解得x≈89404.
答：2021年該企業的生產總值約為89404萬元.
師生活動：教師出示第一個問題之后，安排學生獨立思考，之后的小組合作交流環節.教師在此基礎上，提出第2、第3問題，學生回答填空，不對的地方學生補充.學生板書解題過程，交流分析思路，教師多媒體展示課件，進行獨立思考，小組交流，教師引導的學習模式.總結知識點，為后續解決問題打好堅實的基礎.
設計意圖：從企業生產總值增長的百分率出發，在現實問題中探索發現增長率問題，從中找出等量關系來分析和解決問題，使學生進一步體檢、感受增長率在現實問題中的地位，提高用方程解決實際問題的能力.
應用舉例
例題 某期3年期國債的年利率為2.8%，這期國債發行時，3年期定期存款的年利率為3.0%.小紅的爸爸有一筆錢，如果用來存3年期定期存款比買這期國債到期后可多得利息48元，那么這筆錢是多少元？（提示：利息=本金×年利率×年數）
分析：等量關系為3年定期利息一3年國債利息=多得利息（48元）.
解：設這筆錢是x元. 依題意，得
x×3.0%×3－x×2.8%×3=48.
解得x=8000.
答：這筆錢是8000元.
總結：
（1）儲蓄問題：利息＝本金×利率×期數
本息＝本金＋利息
（2）增長率問題：原量×（1+增長率）=增長后的量
原量×（1-減少率）=減少后的量
師生活動：教師出示問題之后，安排學生獨立思考，之后的小組合作交流環節.小組展示匯報，在此教師引導，學生補充，完成用一元一次方程解決問題，關鍵是等量關系引導學生審題思考.，及時總結知識點，為后續解決問題打好堅實的基礎.
設計意圖：從3年期國債和3年銀行定期利率出發，通過對儲蓄問題中找出等量關系，幫助學生感受數量關系在列方程解應用題中的重要性，同時讓學生了解應用題來自實際生活的需要，增強學生對數學與生活密切聯系的認識，讓學生在探索中發現并提出問題分析問題獲得進一步的活動經驗，提高用方程解決實際問題的能力.
課堂練習
1.一件上衣按其進價提高40%后標價.在促銷活動中，以標價的八折售出，結果仍盈利18元.那么這件上衣的進價是多少元？（提示：利潤=售價一進價，售價=標價×折扣率）
分析：本題的等量關系是什么？
售價-進價=18.
解：設這件上衣的進價是x元.依題意，得
（1+40%）×80% x一x=18.
解得，x=150.
答：這件上衣的進價是150元 .
總結：1.銷售問題中的關系式：利潤＝售價－進價，利潤＝進價×利潤率；
售價＝標價×折扣率＝進價＋利潤＝進價×(1＋利潤率)．
利潤率＝ ×100% ＝ ×100%；
2.某產品每件的成本是200元.如果每件產品按原價的九折出售，商家所獲得的利潤率為8%，那么這種產品的原價是多少元
解：設這種產品的原價是x元.依題意，得
90% x－200=200×8%.
解得，x=240.
答：這種產品的原價是240元.
3.某人購買了一種1年期債券50000元，到期后共得本息51750元，這種債券的年收益率是多少
解：設這種債券的年收益率是x.依題意，得
50000+50000 x=51750.
解得x=0.035=3.5%.
答：這種債券的年收益率是3.5%.
師生活動：通過練習題的設置，學生獨立完成，小組合作交流思路和方法，并總結銷售問題的知識點，學生展示答案，其他學生進行補充，教師過程中進行引導.
設計意圖：讓學生進一步鞏固銷售方面的所學知識，加深理解找到解決問題的核心是等量關系的確立，培養方程模型觀念，對解決問題的重要性，加深對本節課知識的理解.
課堂檢測
1.商店將某種商品按30%的利潤進行定價，然后打九折賣出，共獲利340元，設這件商品的成本價是x元，根據題意，可列方程為 __________________
答案：(1+30%)×0.9x－x=340
2.一商家進行促銷活動，某商品的優惠方案是“第二件商品半價”，現購買2件該商品，相當于這2件商品共打了（ ）折.
A．5 B．5.5 C．7 D．7.5
答案：D
3.張叔叔用若干元人民幣購買了一種年利率為10%的一年期債券,到期后他取出本金的一半用于購物，剩下的一半及所得的利息又全部買了這種一年期債券(利率不變)，到期得本息和1320元，問張叔叔當初購買這種債券花了多少元
解：設張叔叔當初購買這種債券花了x元.
依題意，得 (x+10%x－0.5x)×(1+10%)=1320.
解得 x=2000.
答：張叔叔當初購買這種債券花了2000元.
師生活動：學生先獨立作答，再隨機選擇學生回答.
設計意圖：讓學生進一步鞏固所學知識，加深理解對本節課知識的理解的同時提高綜合運用所學知識解決問題的能力.
課堂總結
1．本節你學到了哪些知識？
2．通過本節課的學習，你有怎樣的收獲？
師生活動：教師和學生一起回顧本節課所講的內容.
設計意圖：通過小結讓學生進一步熟悉鞏固本節課所學的知識.
本節課從和我們的生活息息相關增長率、儲蓄和銷售問題入手，讓學生在具體情境中感受到數學在生活實際中的應用，從而激發他們學習數學的興趣．根據“現在數量=增長數量+原有數量”“利息=本金×年利率×年數”等數量關系列一元一次方程解決與商品經濟中的實際問題．審清題意，找出等量關系是解決問題的關鍵．另外，在生活中與商品經濟中的實際問題相關的問題題型很多，讓學生觸類旁通，達到舉一反三，靈活的運用有關的公式解決實際問題，提高學生的解題能力．(共17張PPT)
一元一次方程
第4課時
5.4 一元一次方
程的應用
冀教版2024七上
1.掌握商品銷售中所涉及的進價、原價、售價、利潤、利潤率等
這些基本量之間的關系以及儲蓄問題中本金、利率、利息等數量
關系.
2.在利用一元一次方程解決百分率、銷售與儲蓄的問題的過程中，
發展學生的的應用意識、分析和解決問題的能力,培養學生的模
型觀念．
3.通過百分率、銷售與儲蓄的問題的學習，使學生認識到數學的
應用價值，增進應用數學的自信心.
圖片替換區
情境
生活中，我們經常可以看見一些信息，你知道它們的意思嗎？
操作
某企業2022年的生產總值為95930萬元，比2021年增長了7.3%.那么2021年該企業的生產總值為多少萬元 （結果精確到1萬元）
（1）請找出本題中的等量關系.
解：2021年生產總值+2022年增長的產值 =2022年生產總值.
95930
增長7.3％
2021年
2022年

圖片替換區
2021年的生產總值（萬元） 2022年增長的產值（萬元） 2022年的生產總值（萬元）
x
7.3%x
95930
操作
某企業2022年的生產總值為95930萬元，比2021年增長了7.3%.那么2021年該企業的生產總值為多少萬元 （結果精確到1萬元）
（2）設該企業2021年的生產總值為x萬元，請將下表補充完整.
95930
增長7.3％
2021年
2022年

解：依題意，得x+7.3%x=95930，
解得x≈89404.
答：2021年該企業的生產總值約為89404萬元.
操作
某企業2022年的生產總值為95930萬元，比2021年增長了7.3%.那么2021年該企業的生產總值為多少萬元 （結果精確到1萬元）
（3）請列出方程并求解.
95930
增長7.3％
2021年
2022年

圖片替換區
分析
等量關系為 .
3年定期利息－3年國債利息=多得利息（48元）
例題
某期3年期國債的年利率為2.8%，這期國債發行時，3年期定期存款的年利率為3.0%.小紅的爸爸有一筆錢，如果用來存3年期定期存款比買這期國債到期后可多得利息48元，那么這筆錢是多少元？（提示:利息=本金×年利率×年數）
圖片替換區
解：設這筆錢是x元. 依題意，得
x×3.0%×3－x×2.8%×3=48.
解得x=8000.
答：這筆錢是8000元.
例題
某期3年期國債的年利率為2.8%，這期國債發行時，3年期定期存款的年利率為3.0%.小紅的爸爸有一筆錢，如果用來存3年期定期存款比買這期國債到期后可多得利息48元，那么這筆錢是多少元？（提示:利息=本金×年利率×年數）
總結
（1）儲蓄問題：利息＝本金×年利率×期數
本息和＝本金＋利息
（2）增長率問題：原量×（1+增長率）=增長后的量
原量×（1-減少率）=減少后的量
練 習
1. 一件上衣按其進價提高40%后標價.在促銷活動中，以標價的八折售出，結果仍盈利18元.那么這件上衣的進價是多少元？（提示：利潤=售價一進價，售價=標價×折扣率）
解：設這件上衣的進價是x元.
依題意，得(1+40%)×80% x-x=18，解得x=150.
答：這件上衣的進價是150元 .
分析
本題的等量關系是什么？
售價-進價=18
總結
1.銷售問題中的關系式：
2.銷售中的盈虧:
總售價＞ 總成本
總售價＜ 總成本
總售價＝ 總成本
盈 利
虧 損
不盈不虧
不盈不虧
練 習
2.某產品每件的成本是200元.如果每件產品按原價的九折出售，商家所獲得的利潤率為8%，那么這種產品的原價是多少元
解：設這種產品的原價是x元.
依題意，得90% x－200=200×8%.
解得x=240.
答：這種產品的原價是240元 .
練 習
3.某人購買了一種1年期債券50000元，到期后共得本息51750元.這種債券的年收益率是多少
解：設這種債券的年收益率是x.
依題意，得
50000+50000x=51750.
解得x=0.035=3.5%.
答：這種債券的年收益率是3.5%.
練 習
1.商店將某種商品按30%的利潤進行定價，然后打九折賣出，共
獲利340元，設這件商品的成本價是x元，根據題意，可列方程為________________________.
2.一商家進行促銷活動，某商品的優惠方案是“第二件商品半價”，現購買2件該商品，相當于這2件商品共打了（ ）折.
A．5 B．5.5 C．7 D．7.5
(1+30%)×0.9x－x=340
D
練 習
3.張叔叔用若干元人民幣購買了一種年利率為10%的一年期債券,
到期后他取出本金的一半用于購物，剩下的一半及所得的利息又
全部買了這種一年期債券(利率不變)，到期得本息和1320元，問
張叔叔當初購買這種債券花了多少元
解：設張叔叔當初購買這種債券花了x元.
依題意，得 (x+10%x－0.5x)×(1+10%)=1320.
解得 x=2000.
答：張叔叔當初購買這種債券花了2000元.冀教版2024七上
第五章 一元一次方程
5.4 一元一次方程的應用
第5課時
本節課《一元一次方程的應用》是冀教版初中數學七年級上冊第五章第四節的內容.分段計費問題是生活中的常見問題，具有一定的現實性和開放性．生活中的數學問題大多是具有開放性的綜合問題，所以對這類問題的探究是“數學回歸生活，服務于生活”的需要，這類問題的探究目的不僅是解決這個具體問題，而且是通過這個問題的解決過程讓學生進一步體驗“建模解題”的過程，滲透建模思想，是本節課的重點也是本章的一個難點.用幾何圖形賦予代數元素，產生了一類新的問題，解決這類問題通常要用到圖形的性質及其幾何量之間的關系，在教學中，應關注幾何圖形中幾何量之間的等量關系，如長方形的對邊相等、長方體的體積=長×寬×高等.
學生通過之前的學習，比較熟悉在一些典型問題中應用方程模型，而對于“階梯收費計費問題”這樣的綜合性問題，還缺乏解決問題的經驗，容易無所適從或片面理解.對于本節課的問題，學生不是完全沒有基礎，只是在思維方式的邏輯性和解決方法的科學性方面有待清晰的梳理和規范，所以本節課針對以上問題，實施以下三個步驟：（1）先由學生根據問題情境獨立思考并表述對問題的認識；（2）通過借鑒其他同學的觀點再次思考、討論，進一步認識和表述；（3）教師在學生認識的基礎上加以點撥，引導學生數學化地解決問題，而后學生第三次系統認識并解決問題
1.解決分段計費問題，增強模型觀念.體會分類思想和方程思想，增強應用意識和應用能力.
2.通過分析幾何圖形的性質及其幾何量之間的等量關系，建立方程解決問題．
3.通過解決實際問題，獲得進一步的數學活動經驗，提高用方程解決實際問題的能力
重點：利用一元一次方程解決分段計費問題和幾何問題．
難點：尋找分段計費問題中的等量關系列方程.
情境導入
在現實生活中，選擇經濟實惠的付費方式成為了我們所關心而且具有實際意義的問題，分段計費與方案選擇也是我們生活中常見的情境，如交水電費、出租車收費、商場購物等，你還能舉出例子嗎？
師生活動：學生思考，自由回答.（共享單車收費，停車場的收費等等）
設計意圖：從生活情境中，提煉分段計費數學問題，感受到數學源于生活又回歸于生活的本質，以此來激發學生學習數學的積極性，為學習新知作好鋪墊．
一起探究
分段計費問題的探究
為鼓勵居民節約用電，某市實行每月階梯電價收費制度，具體執行方案如下：
檔次 每戶每月用電量/(千瓦·時) 執行電價/[元/(千瓦·時)]
第一檔 小于或等于240 0.5
第二檔 大于240且小于或等于400時，超出240的部分 0.6
第三檔 大于400時，超出400約部分 0.8
根據表格信息計算下列問題：
問題1.如果某月用電量200千瓦·時，應繳費多少元？若用電量不超過第一檔時，最多繳費多少元？
答案： 解： 200×0.5=100(元).
240×0.5=120(元).
答：如果某月用電量為200千瓦·時，應繳費100元；若用電量不超過第一檔時，最多繳費120元.
問題2. 2.如果某月用電量300千瓦·時，應繳費多少元？
追問：分成幾部分算費用？
當用電量300千瓦·時，其中240千瓦·時按照第一檔的收費標準，0.5元/(千瓦·時)計算，超出的部分(300-240)千瓦·時，按照第二檔0.5元/(千瓦·時)收費.
答案： 解：
240×0.5+(300-240)×0.6=156（元）
答：應繳費156元.
問題3.如果某月用電量500千瓦·時，應繳費多少元？
師追問：分成幾部分算費用？
當用電量500千瓦·時，其中240千瓦·時按照第一檔的收費標準，0.5元/(千瓦·時)算，(400-240)千瓦·時，按照第二檔0.5元/(千瓦·時)收費，(500-400)千瓦·時，按照第二檔0.8元/(千瓦·時)收費.
答案：解：
240×0.5+(400-240)×0.6+(500-400)×0.8=296（元）
答：應繳費296元.
師生活動：教師提出問題，學生思考并小組討論，教師選小組匯報討論結果.
設計意圖：教師層層設問，由淺入深，循序漸進，讓學生知道理解階梯收費，并會求相應的費用.
應用舉例
某戶居民6月、7月共用電520千瓦·時，用電費用為268元.已知該用戶7月的用電量大于6月的用電量，且6月、7月的用電量均小于400千瓦·時.那么該用戶6月、7月的用電量分別是多少千瓦·時
問題1：如何確定6月和7月的用電量在哪個檔
解：若6月，7月的用電量都在第一檔，240×2=480(千瓦·時).由題意可知6月、7月共用電520千瓦·時， 480＜520，所以6月和7月的用電量不可能都在第一檔；
若6月，7月的用電量都在第二檔，則這兩個月用電的總費用為240×0.5+240×
0.5+40×0.6=264≠268，故6月、7月的用電量也不可能都在第二檔；
又因為7月的用電量大于6月的用電量，且6月、7月的用電量均小于400千瓦·時，所以可以判斷6月份的用電量在第一檔范圍內，7月份的用電量在第二檔范圍內.
問題2：如果設6月的用電量為x千瓦·時，如何用含x的式子表示6，7月份的費用
解： 7月份用電量為(520－x) 千瓦·時，
6月份的費用：0.5x元;
7月份的費用： [240×0.5+(520－x－240)×0.6]元.
解：依題意可知，6月、7月的用電量不可能都在第一檔.
若6月，7月的用電量都在第二檔，則這兩個月用電的總費用為240×0.5+240×0.5+40×0.6=264≠268，
故6月、7月的用電量也不可能都在第二檔.
又因為7月的用電量大于6月的，所以6月的用電量應在第一檔，
7月的用電量應在第二檔.
設6月的用電量為x千瓦·時，則7月的用電量為(520－x) 千瓦·時.
依題意，得0.5x+240×0.5+(520－x－240)×0.6=268.
解得x=200.
520－200=320.
答：該用戶6月的用電量為200千瓦·時，7月的用電量為320千瓦·時.
師生活動：教師提出問題，學生思考并小組討論，教師選小組匯報討論結果.
設計意圖：教師層層設問，由淺入深，循序漸進，引導學生對問題的逐步探究，最終得到階梯收費問題的解決．進一步深入探究，將同一問題弄透徹，同時給學生自主學習的空間培養學生自主探究的能力．
2.幾何問題的探究
將一張長和寬分別為40 cm，30 cm的長方形薄紙板按圖1中的實線剪開，再按虛線折疊，恰好折疊成如圖2所示的長方體盒子，如果這個盒子的寬∶高=4∶1，那么這個長方體盒子的體積是多少
問題1：題中的等量關系是什么？
長方體盒子的高×2+長方體盒子的長=30
長方體盒子的寬×2+長方體盒子的高×2=40
問題2：若設這個長方體盒子的高為x cm，則這個長方體盒子的長、寬如何表示
長方體盒子的寬：4x cm
長方體盒子的長：(30-2x )cm
解：設這個長方體盒子的高為x cm，則這個長方體盒子的寬為4x cm，長為(30-2x )cm.
依題意，得2x+8x=40，解得x=4.
所以長方體盒子的體積為：
4x×(30－2x)x=16×22×4=1408.
答：這個長方體盒子的體積是1408cm3.
師生活動：學生共同回憶相關體積公式后獨立完成，以小組形式匯報板展.
設計意圖：通過學生參與小組活動，激發學生參與課堂教學的熱情，激發學生的求知欲望，感受用一元一次方程解決實際問題的便捷.
課堂練習
1.已知每立方厘米鐵的質量為7.8g.現有質量為46.8kg的一塊廢鐵，把它熔化后鑄成鐵錠.已知鐵錠的外形為長方體形，長和寬分別為15cm和10cm.那么它的高為多少厘米
解： 46.8kg =46800g.
設這個長方體的高為x cm，
依題意，得15×10x×7.8=46800
解得x=40.
答：那么這個長方體的高是40cm.
2.某市為鼓勵市民節約用水，增強節水意識，決定對居民用水實行“階梯收費”方案.規定：每戶每月不超過月用水標準部分的水價為2.5元/噸：超過月用水標準部分的水價為3.5元/噸.該市小明家5月用水量為12噸交水費32元.
(1)請判斷小明家5月用水是否超過標準用水量；
(2)該市規定的每戶月用水標準量是多少噸
分析：（2）本題的等量關系是什么？
月用水量為標準量的水費+超過月用水標準部分的水費=32元
答案：解：（1）12×2.5=30 (t) ，30＜32 所以超過標準用水量.
(2) 解：該市規定的每戶月用水標準量是x t，
依題意得2.5x+3.5(12-x)=32，解得x=10.
答：該市規定的每戶每月用水標準量是10 t.
師生活動：學生先獨立思考再作答，教師強調解題步驟.
設計意圖：通過課堂練習鞏固新知，加深對本節課的理解及應用.
課堂檢測
1.小明所在城市的“階梯水價”收費標準是：每戶用水不超過5噸，每噸水費x元；超過5噸，超過部分每噸加收2元. 小明家今年5月份用水9噸，共交水費為44元，根據題意列出關于x的方程正確的是（A ）
A．5x + 4(x + 2) = 44
B．5x + 4(x - 2) = 44
C．9(x + 2) = 44
D．9(x + 2) - 4×2 = 44
2.有一位旅客攜帶了30千克行李乘坐某航空公司的飛機，按該航空公司規定，旅客最多可免費攜帶20千克行李，超重部分每千克按飛機票價的1.5%支付行李托運費用.現該旅客支付了 120 元的托運費用，他的飛機票是多少元
解：設該旅客飛機票為x元，根據題意
可得 (30－20)×1.5%x＝120，解得：x＝800．
答：該旅客飛機票價為 800 元．
3.小華有一張長為32cm，寬為24cm的包裝紙，小華想在四個角上截去四個相同的小正方形，然后做成底面周長為64 cm的沒有蓋的長方體盒子用來裝禮物，請你幫小華設計一下，截去的小正方形的邊長應是多少
解：設截去小正方形的邊長是xcm，
依題意，得2[(24-2x)+(32-2x)]=64，
解得x=6.
答：截去的小正方形的邊長應是6cm.
師生活動：學生先獨立完成，教師核對答案，小組討論解決出現的問題.
設計意圖：檢測學生對新知的掌握情況，鞏固學習成果，提高課堂學習效率，通過小結讓學生進一步熟悉鞏固本節課所學的知識.
課堂總結
1.通過本節課的學習，你有哪些收獲？
2.回顧本節課的學習目標，看你是否完成了本節課的任務？
3.這節課你還有哪些疑惑？
設計意圖：讓學生進行自我反思，總結自己的收獲、不足和疑惑.
本節課主要通過教師層層設問，由淺入深，循序漸進，引導學生對問題的逐步探究，最終解決分段計費和幾何問題．首先從熟悉的實際生活入手，切入課題，讓學生感受生活中處處有數學，數學來源于實踐，也服務于實踐．本節教學要以學生為主體，以探究為主線，采取合作交流的探究方式進行學習，使學生的知識得到鞏固的同時，生活經驗、學習方法等也得到提高．(共23張PPT)
一元一次方程
第5課時
5.4 一元一次方
程的應用
冀教版2024七上
1.解決分段計費問題,增強模型觀念.體會分類思想和方程思想,增強應用意識和應用能力.
2.通過分析幾何圖形的性質及其幾何量之間的等量關系，建立方程解決問題．
3.通過解決實際問題,獲得進一步的數學活動經驗,提高用方程解決實際問題的能力.
情境
在現實生活中,選擇經濟實惠的付費方式成為了我們所關心而且具有實際意義的問題，分段計費與方案選擇也是我們生活中常見的情境，如交水電費、出租車收費、商場購物等，你還能舉出例子嗎？
檔次 每戶每月用電量/(千瓦·時) 執行電價/[元/(千瓦·時)]
第一檔 小于或等于240 0.5
第二檔 大于240且小于或等于400時,超出240的部分 0.6
第三檔 大于400時,超出400的部分 0.8
操作
為鼓勵居民節約用電,某市實行每月階梯電價收費制度,具體執行方案如下:
操作
根據表格信息計算下列問題：
1.如果某月用電量為200千瓦·時，應繳費多少元？若用電量不超過第一檔時，最多繳費
多少元？
解: 200×0.5=100(元).
240×0.5=120(元).
答：如果某月用電量為200千瓦·時，應繳
費100元；若用電量不超過第一檔時，最多
繳費120元.
檔次 每戶每月用電量/(千瓦·時) 執行電價/[元/(千瓦·時)]
第一檔 小于或等于240 0.5
第二檔 大于240且小于或等于400時,超出240的部分 0.6
第三檔 大于400時,超出400的部分 0.8
操作
根據表格信息計算下列問題：
2.如果某月用電量300千瓦·時，應繳費多
少元？
解：240×0.5+(300-240)×0.6=156(元).
答：應繳費156元.
檔次 每戶每月用電量/(千瓦·時) 執行電價/[元/(千瓦·時)]
第一檔 小于或等于240 0.5
第二檔 大于240且小于或等于400時,超出240的部分 0.6
第三檔 大于400時,超出400的部分 0.8
操作
根據表格信息計算下列問題：
3.如果某月用電量500千瓦·時，應繳費多少元？
解：
240×0.5+(400-240)×0.6+(500-400)×
0.8=296(元).
答：應繳費296元.
檔次 每戶每月用電量/(千瓦·時) 執行電價/[元/(千瓦·時)]
第一檔 小于或等于240 0.5
第二檔 大于240且小于或等于400時,超出240的部分 0.6
第三檔 大于400時,超出400的部分 0.8
例1
某戶居民6月、7月共用電520千瓦·時,用電費用為268元.已知該用戶7月的用電量大于6月的用電量,且6月、7月的用電量均小于400千瓦·時.那么該用戶6月、7月的用電量分別是多少千瓦·時
檔次 每戶每月用電量/(千瓦·時) 執行電價/[元/(千瓦·時)]
第一檔 小于或等于240 0.5
第二檔 大于240且小于或等于400時,超出240的部分 0.6
第三檔 大于400時,超出400的部分 0.8
分析
1.如何確定6月和7月的用電量在哪個檔
2.如果設6月的用電量為x千瓦·時,如何
用含x的式子表示6,7月的用電費用
解:若6月,7月的用電量都在第一檔，240×2=480(千瓦·時).由題意可知6月、7月共用電520千瓦·時, 480＜520,所以6月和7月的用電量不可能都在第一檔；
如何確定6月和7月的用電量在哪個檔
若6月,7月的用電量都在第二檔,則這兩個月用電的總費用為240×0.5+240×
0.5+40×0.6=264≠268,故6月、7月的用電量也不可能都在第二檔；
又因為7月的用電量大于6月的用電量,且6月、7月的用電量均小于400千瓦·時,所以可以判斷6月份的用電量在第一檔范圍內,7月份的用電量在第二檔范圍內.
解:
7月份用電量為(520－x) 千瓦·時,
6月份的費用:0.5x元;
7月份的費用:
[240×0.5+(520－x－240)×0.6]元.
檔次 每戶每月用電量/(千瓦·時) 執行電價/[元/(千瓦·時)]
第一檔 小于或等于240 0.5
第二檔 大于240且小于或等于400時,超出240的部分 0.6
第三檔 大于400時,超出400的部分 0.8
如果設6月的用電量為x千瓦·時,如何用含x分別表示6,7月份的費用
解:依題意可知,6月、7月的用電量不可能都在第一檔.若6月,7月的用
電量都在第二檔,則這兩個月用電的總費用240×0.5+240×0.5+40×0.6=264≠268,故6月、7月的用電量也不可能都在第二檔.
又因為7月的用電量大于6月的,所以6月的用電量應在第一檔,7月的用
電量應在第二檔.
設6月的用電量為x千瓦·時,則7月的用電量為(520－x) 千瓦·時.
依題意,得0.5x+240×0.5+(520－x－240)×0.6=268.
解得x=200.
520－200=320.
答:該用戶6月的用電量為200千瓦·時,7月的用電量為320千瓦·時.
例2
將一張長和寬分別為40cm,30cm的長方形薄紙板按圖(1)中的實線剪開,再按虛線折疊,恰好折疊成如圖(2)所示的長方體盒子,如果這個盒子的寬∶高=4∶1,那么這個長方體盒子的體積是多少
分析
2.若設這個長方體盒子的高為x cm，則
這個長方體盒子的長、寬如何表示
1.題中的等量關系是什么？
(1) (2)
寬
長方體盒子的高×2+長方體盒子的長=30
長方體盒子的寬×2+長方體盒子的高×2=40
1.題中的等量關系是什么？
長
高
高
2.若設這個長方體盒子的高為x cm，
則這個長方體盒子的長、寬如何表示
長方體盒子的寬：4x cm
長方體盒子的長：(30-2x )cm
(1) (2)
解:設這個長方體盒子的高為x cm，則這個長方體盒子的寬為4x cm，長為(30-2x )cm.
依題意，得2x+8x=40，解得x=4.
所以長方體盒子的體積為：
4x×(30－2x)x=16×22×4=1408.
答：這個長方體盒子的體積
是1408cm3.
(1) (2)
練 習
1.已知每立方厘米鐵的質量為7.8g.現有質量為46.8kg的一塊廢鐵，把
它熔化后鑄成鐵錠.已知鐵錠的外形為長方體形，長和寬分別為15cm
和10cm.那么它的高為多少厘米
解: 46.8kg =46800g.
設這個鐵錠的高為x cm.
依題意得15×10x×7.8=46800,
解得x=40.
答：它的高為40cm.
練 習
2.某市為鼓勵市民節約用水，增強節水意識，決定對居民用水實行“階梯收費”方案.規定:每戶每月不超過月用水標準部分的水價為2.5元/噸，超過月用水標準部分的水價為3.5元/噸.該市小明家5月用水量為12噸，交水費32元.
(1)請判斷小明家5月用水是否超過標準用水量.
解:因為12×2.5=30 (元) ,30＜32，所以超過標準用水量.
練 習
2.某市為鼓勵市民節約用水，增強節水意識，決定對居民用水實行“階梯收費”辦法.規定:每戶每月不超過月用水標準部分的水價為2.5元/噸，超過月用水標準部分的水價為3.5元/噸.該市小明家5月用水量為12噸，交水費32元.
(2)該市規定的每戶每月用水標準量是多少噸
分析
本題的等量關系是什么？
月用水量為標準量的水費+超過月用水標準部分的水費=32元
解：該市規定的每戶月用水標準量是x t,
依題意得2.5x+3.5(12-x)=32,解得x=10.
答:該市規定的每戶每月用水標準量是10 t.
練 習
2.某市為鼓勵市民節約用水，增強節水意識，決定對居民用水實行“階梯收費”辦法.規定:每戶每月不超過月用水標準部分的水價為2.5元/噸，超過月用水標準部分的水價為3.5元/噸.該市小明家5月用水量為12噸，交水費32元.
(2)該市規定的每戶每月用水標準量是多少噸
練 習
1.小明所在城市的“階梯水價”收費標準是：每戶用水不超過
5噸，每噸水費x元；超過5噸，超過部分每噸加收2元. 小明家
今年5月份用水9噸，共交水費為44元，根據題意列出關于x的
方程正確的是( )
A．5x + 4(x + 2) = 44 B．5x + 4(x - 2) = 44
C．9(x + 2) = 44 D．9(x + 2) - 4×2 = 44
A
練 習
2.有一位旅客攜帶了30千克行李乘坐某航空公司的飛機，按
該航空公司規定，旅客最多可免費攜帶20千克行李，超重部
分每千克按飛機票價的1.5%支付行李托運費用.現該旅客支
付了120 元的托運費用，他的飛機票是多少元
解：設該旅客飛機票為 x 元.
解得x＝800．
答：該旅客的飛機票為 800 元．
根據題意可得 (30－20)×1.5%x＝120，
練 習
3.小華有一張長為32cm，寬為24cm的包裝紙，小華想在四個
角上截去四個相同的小正方形，然后做成底面周長為64 cm的
沒有蓋的長方體盒子用來裝禮物,請你幫小華設計一下,截去
的小正方形的邊長應是多少
解：設截去的小正方形的邊長是xcm,
依題意,得2[(24-2x)+(32-2x)]=64,
解得x=6.
答：截去的小正方形的邊長應是6cm.

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