資源簡介

第五章 一元一次方程
5.2 一元一次方程
《一元一次方程》是冀教版初中數學七年級上冊第五章第二節的內容在教材中占據關鍵地位.它是代數學習的基石，是從算術到代數的轉折點.一元一次方程引導他們用含未知數的等式來解決問題，開啟代數思維模式.它為后續更復雜的方程，如二元一次方程組、一元二次方程等提供解法思路和理論依據.同時，對于不等式的學習也有一定的鋪墊作用.
從思維培養角度看，能鍛煉學生的抽象思維和邏輯推理能力.將實際問題中的數量關系抽象為方程，需要學生抓住關鍵信息，這一過程促進抽象思維發展.
在實際應用方面，它能幫助學生解決大量生活中的問題，如行程、工程、銷售等問題，讓學生感受到數學與生活的緊密聯系.
從簡單而具體的實例中,讓學生經歷方程的形成與應用的過程,從而更好地理解一元一次方程的基本概念及意義,使學生從小學算術的思維方式逐漸過渡到用方程的思想思考和解決實際問題,發展應用數學的意識和能力.本課立足于學生的“學”，要求學生多觀察，感受生活情境中的數學，從而可以幫助學生形成數學來源于生活，有應用于生活的理念，培養“三會”的數學核心素養.因此課堂采用自主探究和合作交流的方法組織教學，使每位學生都參與到課堂當中，體會到數學的樂趣!
1.借助由特殊到一般的的研究思路,歸納出一元一次方程及方程的解的概念，掌握其特征，并且能從現實情境中提煉等量關系.
2.通過對多種實際問題的分析，感受方程作為刻畫現實世界的有效模型的意義.
3.通過經歷“建立數學模型”這一數學化的過程，提高學生的抽象概括能力.
重點：理解一元一次方程及方程的解的概念.
難點：從現實世界中建立方程模型
情境導入
小明騎自行車從甲村出發去乙村.已知甲村到乙村的路程是18 km，小明行駛的速度是
12 km/h.當小明騎行的時間為t h時，距乙村的路程還有3 km.根據題意如何列方程呢？
題目中的等量關系是什么呢？如何用含t的式子表示呢？
小明騎車的路程+距乙村的路程=甲乙兩村的距離；
12t+3=18.
師生活動：教師提問學生回答，教師引導學生有序分析問題，列出方程．
設計意圖：感受方程在數學模型中的重要功能，同時更要引導學生將問題中的未知數進行有效轉化，樹立方程思想，體會到方程是一個能夠實現對問題有效解決的重要模型，在求解含有等量關系的問題中，有時需要先用字母來表示未知量，再利用等量關系建立方程來解決問題．
一起探究
問題：1.一張長方形紙片的周長為20cm,面積為24 cm2.設長方形的長為x cm,請根據題意列出方程.
師追問：本題的等量關系是什么？
(長+寬)×2=20 長×寬=24
2.某市為創建優美宜居城市,計劃經過若干年使城區綠化總面積增加360萬平方米.自2020年初開始實施計劃后,實際每年新增綠化面積是原計劃的1.25倍,這樣可提前2年完成任務.設原計劃每年新增綠化面積為x萬平方米,請根據題意列出方程.
師追問：本題的等量關系是什么？
原計劃完成任務的時間=實際完成任務的時間+2
實際每年新增綠化面積=原計劃每年新增綠化面積×1.25
答案：解：（1）x(10－x)=24；（2） =+2.
師追問剛才的實際問題你是怎樣列出方程的呢
將實際問題轉化為方程的步驟：
(1) 審題： (2)理清問題中的關系,找出等量關系；
(3)設出未知數，并用含有未知數的代數式表示等量關系中的量，將問題轉化為方程.
師生活動：小組合作探究完成教材160頁一起探究的2道題，小組展示成果，全班同學質疑、發現、完善，在老師引導下真正解決問題.小組合作發現生活中的數學問題并用方程解決,完成后展示你們小組的成果.
設計意圖:充分發揮學習主動性，培養學生善于發現問題的習慣，提高學生發現問題解決問題的能力，真正體會到了方程在解決實際問題的優越性.
對于方程12t+3=18，當t=1時，左邊=_______，左邊_______右邊；
當t=2時，左邊=_______，左邊_______右邊；
當t=1.25時，左邊=_______，左邊_______右邊.
答案：15 ＜ 27 ＞ 18 ＝
歸納總結：
把能使方程兩邊相等的未知數的值叫作方程的解.
例如: t=1.25是一元一次方程12t+3=18的解.
追問：如何判斷一個數是不是方程的解？
判斷一個數是否為方程的解的步驟：
（1）代值：將未知數的值分別帶入方程的左、右兩邊；
（2）計算：分別計算方程左、右兩邊的值；
（3）判斷：判斷方程左邊的值是否等于右邊的值，相等就是方
程的解，否則不是.
師生活動:學生先自己找出答案,教師點名回答.
設計意圖：通過問題，讓學生自己發現、理解方程的解的概念，真正參與到學習過程當中充分發揮學生的主體性.
觀察下列式子：①1 = ,②2x+18, ③4x 3=1, ④x2+1=10x, ⑤6-x＞3，⑥y=xy+9.
1.判斷哪些式子是方程，哪些不是方程，為什么？
2.請思考每個方程所含未知數的個數與所含未知數的項的次數分別是多少.
答案：
1.解:是方程的有③，④，⑥；不是方程的有，②，⑤.
理由：①是等式，但不含未知數；②和⑤雖含未知數，但不是等式； ③，④，⑥都是方程，它們不但含有未知數，而且是等式.
2.解：③中所含未知數的個數與所含未知數的項的次數都是1.
④中所含未知數的個數為1，所含未知數的項的次數分別是2和1.
⑥中所含未知數的個數為2，所含未知數的項的次數分別是1和2.
歸納總結：
概念：像x+3=8, 12t+3=18,4x3=1等這樣的方程，在這些方程中，只含有一個未知數（也稱元），并且未知數的次數是1，我們把這樣的方程叫作一元一次方程.
能使一元一次方程兩邊相等的未知數的值，叫做一元一次方程的解.
例如:x=5是一元一次方程x+3=8的解.
師生活動:學生先自己找出答案,教師點名回答.
設計意圖：通過一系列問題，讓學生自己發現、理解一元一方程和一元一次方程的解的概念，真正參與到學習過程當中充分發揮學生的主體性.
應用舉例
例題：已知方程:
5x=x+6 ,②2x-5y=-3, ③1-2x=3④2x2 -5x=0 , ⑤1= , ⑥xy=12.
1.上述方程中，哪些是一元一次方程
2.x=-1是哪個一元一次方程的解？
答案：解：1.①③是一元一次方程;
2. x=-1是一元一次方程③的解.
師生活動:學生先自己找出答案,教師點名回答.
設計意圖：通過練例題，強化學生對一元一次方程和一元一次方程的解的理解，提升學生解決問題得能力.
課堂練習
1.下列式子中，哪些是一元一次方程？
(1)x+y=1； (2)2x+4=0； (3)x-1=3； (4)2x2=1；
(5)xy=10； (6)+1=x； (7)6 x＞3.
答:(2),(3)是一元一次方程.
x=2是下列哪個一元一次方程的解？
(1)5x 4=1； (2)2x+1= 1； (3)x=2； (4)2x 4=0.
答:x=2是一元一次方程2x 4=0的解.
3.請利用等式的基本性質，將下列方程化成 x=a的形式.
(1)10+3x=x； (2)2x=x+3.
答案：解：(1)兩邊都減去10，
得10+3x-10=x-10,即3x=x-10，
兩邊都減去x，得
3x-x=x-10-x,即2x=-10，
兩邊都除以2，得x=-5.
(2)兩邊都減去x，得
2x-x=x+3-x,即x=3.
師生活動:學生自己完成，同組內交流分享，小組代表進行展示.
設計意圖：通過練習，強化學生對對方程的解、一元一次方程、一元一次方程的解的以及等式的基本性質的理解，提升學生解決問題得能力.
課堂檢測
1.給出下列各式:①4x-3=1；②2x>3③x2+x-2=0；④3+4=7；⑤3x-2；⑥x- y=0；⑦xy=4．其中是一元一次方程的有( )
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
答案：A
2.下列選項中，是一元一次方程-1+3x=x-5的解的是 (　　)
A.x= 2 B.x=1 C.x=-2 D.x= -1
答案：C
3.《孫子算經》中有這樣一道題，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不盡，又三家共一鹿，適盡. 問：城中家幾何？大意為：今有100頭鹿進城，每家取一頭鹿，沒有取完，剩下的鹿每3家共取一頭，恰好取完.設城中有x戶人家，可列方程為（ ）
A.x+3x=100 B.x+3（100-x）=100 C.x+=100 D.x+=100
答案：D
4.寫出一個解為x=3的一元一次方程 ．答案：2x+1= 7（答案不唯一）
5.已知x=2是關于x的一元一次方程2x－1=m的解,求m的值.
解:因為x=2是關于x的一元一次方程2x－1=m的解.所以2×2－1=m.所以m=3.
師生活動:學生自己完成，教師核對答案,學生糾正,小組幫助.
設計意圖：為學生提供自我檢測的機會，教師針對學生的學習情況，及時調整授課，查缺補漏.
課堂小結
1.通過本節課的學習，你有哪些收獲？
2.如何判斷一個數是不是一元一次方程的解呢？
本次課通過引入豐富的生活場景，學生們迅速理解了方程的實用性，激發了他們的學習熱情.在講解方程的解、一元一次方程的概念時，運用了多種教學方法，這使得大部分學生能夠較好地理解一元一次方程的基本解法，并且在課堂練習環節中可以熟練運用.
在實際問題與方程的結合教學上，通過小組討論和案例分析，學生們學會了如何從復雜的實際
情境中提取關鍵信息，建立方程模型，有效地提高了他們的數學建模能力和解決問題的能力，為后續更復雜的數學學習打下了堅實的基礎.同時，多樣化的教學活動也提升了課堂的活躍程度，增強了學生的參與度.(共19張PPT)
5.2一元一次方程
一元一次方程
冀教版2024七年級上冊
1.借助由特殊到一般的的研究思路,歸納出一元一次方程及方程的解的概念，掌握其特征，并且能從現實情境中提煉等量關系.
2.通過對多種實際問題的分析，感受方程作為刻畫現實世界的有效模型的意義.
3.通過經歷“建立數學模型”這一數學化的過程，提高學生的抽象概括能力.
情境
小明騎自行車從甲村出發去乙村.已知甲村到乙村的路程是18 km，小明行駛的速度是12 km/h.當小明騎行的時間為t h時，距乙村的路程還有3 km. 根據題意如何列方程呢？
解:等量關系：小明騎行的路程+距乙村的路程=甲、乙兩村的距離
12t+3=18
題目中等量關系是什么呢？如何用含t的式子表示呢？
操作
分析
1.一張長方形紙片的周長為20 cm,面積為24 cm2.設長方形的長為
x cm,請根據題意列出方程.
解: x(10－x)=24.
本題的等量關系是什么？
(長+寬)×2=20
長×寬=24
操作
2.某市為創建優美宜居城市,計劃經過若干年使城區綠化總面積增加360萬平方米.自2020年初開始實施計劃后,實際每年新增綠化面積是原計劃的1.25倍,這樣可提前2年完成任務.設原計劃每年新增綠化面積為x萬平方米,請根據題意列出方程.
分析
本題的等量關系是什么？
原計劃完成任務的時間=實際完成任務的時間+2
實際每年新增綠化面積=原計劃每年新增綠化面積×1.25
總結
(1)審題；
(2)理清問題中的關系,找出等量關系；
(3)設出未知數,并用含有未知數的代數式表示等量關系中的量,
將實際問題轉化為方程的步驟
操作
對于方程12t+3=18，當t=1時，左邊=_______，左邊_______右邊；
當t=2時，左邊=_______，左邊_______右邊；
當t=1.25時，左邊=_______，左邊_______右邊.
15
＜
27
＞
18
＝
總結
把能使方程兩邊相等的未知數的值叫作方程的解.
例如: t=1.25是方程12t+3=18的解.
總結
判斷一個數是否為方程的解的方法步驟：
（3）判斷：判斷方程左邊的值是否等于右邊的值，相等就是方
程的解，否則不是.
（1）代值：將未知數的值分別帶入方程的左、右兩邊；
（2）計算：分別計算方程左、右兩邊的值；
操作
觀察下列式子：
①1-=，②2x+18，③4x-3=1，④x2+1=10x，⑤6-x>3，⑥y=xy+9.
1.判斷哪些式子是方程，哪些不是方程，為什么？
解：是方程的有③，④，⑥；不是方程的有①，②，⑤.
理由：①是等式，但不含未知數；②和⑤雖含未知數，但不是等式；
③，④，⑥都是方程，它們不但含有未知數，而且是等式.
解：③中所含未知數的個數與所含未知數的項的次數都是1.
④中所含未知數的個數為1，所含未知數的項的次數分別是2和1.
⑥中所含未知數的個數為2，所含未知數的項的次數分別是1和2.
操作
總結
能使一元一次方程兩邊相等的未知數的值，叫作一元一次方程的解.
例如:x=5是一元一次方程x+3=8的解.
像x+3=8，12t+3=18，4x-3=1等這樣的方程，在這些方程中，只含有一個未知數（也稱元），并且未知數的次數是1，我們把這樣的方程叫作一元一次方程.
例題
已知方程:
1.上述方程中，哪些是一元一次方程
2.x=-1是哪個一元一次方程的解？
解：1.①③是一元一次方程;
2. x=-1是一元一次方程③的解.
練 習
1.下列式子中，哪些是一元一次方程？
2.x=2是下列哪個一元一次方程的解？
(1)5x-4=1; (2)2x+1=-1; (3)x=2; (4)2x-4=0.
（2）（3）
（4）
練 習
(1)10+3x=x； (2)2x=x+3.
3.請利用等式的基本性質，將下列方程化成x=a的形式.
解：(1)兩邊都減去10，
得10+3x -10=x -10,即3x=x -10，
兩邊都減去x，得
3x- x=x-10-x,即2x=-10，
兩邊都除以2，得x=-5.
(2)兩邊都減去x，得
2x-x=x+3-x,即x=3.
練 習
1.給出下列各式:①4x-3=1；②2x>3；③x2+x-2=0；④3+4=7；⑤3x-2；⑥x-y=0；⑦xy=4．其中是一元一次方程的有 (　　)
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
2.下列選項中，是一元一次方程-1+3x=x-5的解的是 (　　)
A. x = 2 B. x =1 C. x =-2 D. x = -1
A
C
練 習
3.《孫子算經》中有這樣一道題，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不盡，又三家共一鹿，適盡. 問：城中家幾何？大意為：今有100頭鹿進城，每家取一頭鹿，沒有取完，剩下的鹿每3家共取一頭，恰好取完.設城中有x戶人家，可列方程為（ ）
D
練 習
5.已知x=2是關于x的一元一次方程2x－1=m的解,求m的值.
解:因為x=2是關于x的一元一次方程2x－1=m的解.
所以2×2－1=m.所以m=3.
4.寫出一個解為x=3的一元一次方程 ．
2x+1= 7 （答案不唯一）
1.通過本節課的學習，你有哪些收獲？
2.如何判斷一個數是不是一元一次方程的解呢？

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