資源簡介

第五章 一元一次方程
5.1 等式與方程
第1課時
《等式與方程》是冀教版初中數(shù)學七年級上冊第五章第一節(jié)的內容.通過天平實驗，學生觀察、操作、猜想、歸納出等式的基本性質，并在天平實驗過程中抽象出一些等式，分析其特點，建立方程的概念.等式的基本性質將為較復雜的一元一次方程的解法提供理論依據(jù)，也為學習其他方程（組）、不等式、函數(shù)等的意義和運算打下良好的基礎.
從算式到方程，實現(xiàn)由從算術思維到代數(shù)思維的轉變，提升了學生的思維品質，通過本節(jié)課的學習，培養(yǎng)了學生的模型觀念，發(fā)展了抽象能力、運算能力、代數(shù)推理能力，奠定了方程思想和化歸思想等.
《等式與方程》這個單元是在學生學生已經(jīng)有了一定的符號意識，理解了字母可以表示數(shù)量和數(shù)量關系，但在學習方程之前，學生更多接觸的是算術思維，知道等號的意義是表示一個運算的結果，但是這種理解是單向的，一般都是從左到右，不夠明確等號兩邊的對稱性和互換性，而且兩邊可以同時做出改變仍使等式成立.
本課立足于學生的“學”，要求學生多觀察，感受生活情境中的數(shù)學——天平平衡實驗，從而可以幫助學生形成數(shù)學來源于生活，有應用于生活的理念，培養(yǎng)“三會”的數(shù)學核心素養(yǎng).因此課堂采用自主探究和合作交流的方法組織教學，使每位學生都參與到課堂當中，體會到數(shù)學的樂趣!
1.借助天平平衡的實驗，通過觀察、操作、猜想、歸納的過程增強學生的合作意識，探究出等式的基本性質.
2.理解并掌握等式的基本性質，了解方程的概念，培養(yǎng)抽象能力，建立模型觀念.
3.能運用等式的基本性質解較簡單的方程，感悟代數(shù)推理，提升運算能力.
重點：理解并掌握等式的基本性質，了解方程的概念.
難點：能運用等式的基本性質解較簡單的方程.
情境導入
方程的發(fā)展史：
師生活動：師通過課件引導學生了解方程的發(fā)展史，激起學生的學習方程的興趣.
設計意圖：通過介紹兩位在方程方面的著名數(shù)學家，讓學生了解方程的發(fā)展史，感受方程的歷史.從而引出課題.
一起探究
活動一 建立等式
問題1：天平處于平衡狀態(tài)表示兩邊物體的質量相等.
如圖，已知一個砝碼的質量為1 g，一個小球的質量為x g.
（1）用代數(shù)式表示天平左托盤的質量為 .
（2）用代數(shù)式表示天平右托盤的質量為 .
（3）天平處于平衡狀態(tài)，可列出等式為 .
（4）你能說出一個小球的質量嗎？
答：（1）(3x+1)g；（2）(x+5)g ；（3）3x+1=x+5 ;
（4）x=2.
師生活動：學生回答.
設計意圖：在學生已有的生活經(jīng)驗的基礎上提出問題，吸引學生注意力，激發(fā)學生自主學習的興趣和積極性，并引發(fā)學生的思考，為學習新課做鋪墊.
活動二 探究等式的基本性質
師：如何求出小球的質量呢？讓我們通過天平進行驗證.
1.
師追問：(1)天平的兩個托盤進行了怎樣的操作？
(2)天平的平衡狀態(tài)有變化嗎？
(3)請你用數(shù)學方式來表達上圖的情況.
(4)請用語言描述一下你的發(fā)現(xiàn).
課件展示：
2.
追問：(1)天平的兩個托盤進行了怎樣的操作？
(2)天平的平衡狀態(tài)有變化嗎？
(3)請你用數(shù)學方式來表達上圖的情況.
(4)請用語言描述一下你的發(fā)現(xiàn).
課件展示：
3.
追問：(1)天平的兩個托盤進行了怎樣的操作？
(2)天平的平衡狀態(tài)有變化嗎？
(3)請你用數(shù)學方式來表達上圖的情況.
(4)請用語言描述一下你的發(fā)現(xiàn).
課件展示：
師生活動：學生先獨立思考，再以小組形式匯報展示．
設計意圖：通過天平演示實驗達到學科融合目的，學生經(jīng)歷操作、觀察、比較、分析的探究過程，發(fā)現(xiàn)變中不變的規(guī)律，從平衡現(xiàn)象中歸納出等式的性質，積累了數(shù)學探究的基本活動經(jīng)驗， 提升學生合作意識.
歸納總結：
等式的基本性質
1.等式的兩邊加上(或減去)同一個數(shù)或同一個整式,結果仍是等式,
即如果a=b,那么a±c=b±c.
2.等式的兩邊乘(或除以)同一個數(shù)(除數(shù)不等于0),結果仍是等式,
即如果a=b,那么ac=bc.
追問：等式的兩邊除以同一個數(shù)，這個數(shù)為什么不能等于0？
答：0不能作為除數(shù).
師生活動：老師提問學生舉手回答問題．
設計意圖：由文字語言進一步抽象出符號語言，發(fā)展抽象能力和數(shù)學語言表達能力.為下一環(huán)節(jié)“將方程化為x =a的形式”提供了思路和方向.
活動三 方程的概念
觀察下面等式，這些等式具有什么特點？
3x+1=x+5，3x=x+4，2x=4，x=2.
問題5：這些等式具有什么特點？
答：含有未知數(shù)的等式
總結歸納：把含有未知數(shù)的等式叫作方程.
追問：等式與方程具有怎樣的關系？
答：等式不一定都是方程，等式中包含著方程；但方程一定是等式.
師生活動：老師提問學生舉手回答問題．
設計意圖：通過一系列問題，讓學生歸納方程的特點，進而讓學生更好理解方程的概念，發(fā)展抽象能力和數(shù)學語言表達能力.
應用舉例
例 請利用等式的基本性質,把下列方程化為x=a的形式：
x+3=8；(2) 6x－4= 5x+7 .
解：(1)兩邊都減去3，得
x+33=83.
所以
x=5.
(2)兩邊都加上4，得
6x4+4 = 5x+7+4.
所以
6x= 5x+11，
兩邊都減去5x ，得
6x5x = 5x+11 5x，
即
x=11.
師生活動：學生先獨立思考再作答.
設計意圖：這些問題是這節(jié)課的主要知識，教師要清楚地向學生說明，并且要注意語言的準確與規(guī)范，要舍得花時間讓學生充分發(fā)表想法，讓學生熟練掌握利用等式的基本性質把方程化為x=a的形式的方法，學生在此過程中體會每一步的依據(jù).
課堂練習
1.已知等式a=b,請判斷下列等式是否成立：
(1)a+2=b； (2)a2=b2; (3)a+2=b+2; (4)a+2=b+3;
(5)2a=2b; (6)2a=2b;a= b; (8) a= b.
2.請在下列各題的橫線上填上適當?shù)氖阶?
(1) 如果3x2=8, 那么3x= .
(2) 如果4x+3=5x, 那么4x= .
(3) 如果m3n=6, 那么m= .
(4) 如果5b=3, 那么b= .
3．請利用等式的基本性質,把下列方程化為x=a的形式：
答案：
（2），（3），（5），（7）等式成立.
（1）10 （2）5x3 （3）6+3n （4）
(1)解：方程兩邊同乘2，得
3x-2=8x.
方程兩邊同時加2，得
3x-2+2=8x+2，即3x=8x+2.
方程兩邊同時減去8x，得
3x-8x=8x+2-8x，即-5x=2.
方程兩邊同時除以-5，得x= .
（2）解：方程兩邊同時乘20，得
35x=40-12x.
方程兩邊同時加上12x，得
35x+12x=40-12x+12x，即47x=40.
方程兩邊同時除以47，得x=.
師生活動：學生先獨立作答，再隨機選擇學生回答.
設計意圖：整合教材練習題進行示范，通過辨析，針對性質中的關鍵點進行強化，指明易錯點，提升學生糾錯能力，培養(yǎng)辯證思維能力.通過追問激發(fā)思考，明確變形的本質是緊扣左右兩邊都進行同一個變換，化繁為簡，從具體運算階段向形式運算階段過渡，為后續(xù)解方程和恒等變形做準備.
課堂檢測
1.下列等式變形中，錯誤的是（ ）
A.由a=b，得a+4=b+4 B.由a=b，得a3=b3
C.由x+1=y+1，得x=y D.由2x=2y，得x=y
答案：D
2.下列方程的變形，符合等式的基本性質的是( )
A.由2x3=7，得2x=73 B.由3x2=x+1，得3xx=12
C.由2x=5，得x=5+2 D.由0.5x=1，得x=2
3. 將等式x－3=5的兩邊都_____得到x =8 ，這是根據(jù)等式的基本性質_____；
答案：加3 1
4. 將等式的兩邊都乘以___或除以___得到x =－2，這是根據(jù)等式的基本性質___;
答案：2 2
5.將等式x + y =0的兩邊都_____得到x =－y，這是根據(jù)等式的基本性質___；
答案：減y 1
6.將等式 xy =1的兩邊都______得到，這是根據(jù)等式的性質___．
答案：除以x 2
7. 如果等式7(x+2)=13(x+2)成立，那么x+2= ，即x= ；
答案：0 2
8. 若x1=2023y，則x+y= ；
答案：2024
9. 如果ac=ab，那么下列等式中一定成立的是 .
①ac1=ab1 ②ac+a=ab+a ③3ac=3ab ④c=b
答案：①②③
課堂總結
1.等式的基本性質是什么？方程的概念是什么？
2.等式的基本性質有什么用處？
設計意圖：自主理清知識脈絡，理解其本質，領悟其蘊涵的思想，掌握代數(shù)法則研究的一般思路和方法.構建更完整的知識體系，使得看問題的角度和高度更優(yōu)化，培養(yǎng)學生理性思維和科學精神，達到新的育人高度.
本節(jié)課是第五章《一元一次方程》的第一課時，從本節(jié)知識在整個初中數(shù)學的地位來看，等式的基本性質是中學生從小學階段的數(shù)學認識到初中數(shù)學學習過渡的關鍵所在，它為后面一元一次方程的解法提供了理論依據(jù)，甚至為二元一次方程組的解法、一次函數(shù)的表達式提供了間接的幫助，同時也為一元一次不等式的解法提供了借鑒和對比.可以說，學好本節(jié)知識是順利學習一元一次方程關鍵所在.
本節(jié)課重視學生多元智能的開發(fā)，設計一個個問題，把學生的思維激發(fā)起來，從而使學生主動、有效地參與到學習中來.學生充分地進行操作、觀察、歸納、表達、應用，對發(fā)現(xiàn)的結論用自己的語言、文字語言、字母表達式表示出來.本節(jié)課突出對等式性質的理解和應用，在對等式的變形過程中，要求學生說明每一步變形的依據(jù)，解題后及時地進行小結.所有這些都圍繞本節(jié)課的重點，也為后續(xù)的學習打下了基礎.
本節(jié)課教學設計突出了數(shù)學與實際生活的緊密聯(lián)系，使學生體會到數(shù)學的應用價值，體現(xiàn)了學生自主學習、合作交流的教學理念，以學生熟悉的天平為直觀形象載體探究等式的基本性質，有助于學生同時考慮等號兩邊的情況，教學過程中，教師可以指導讓學生自己看書、學習、討論交流.(共22張PPT)
5.1 等式與方程
一元一次方程
冀教版2024七年級上冊
1.借助天平平衡的實驗，通過觀察、操作、猜想、歸納的過程增強學生的合作意識，探究出等式的基本性質.
2.理解并掌握等式的基本性質，了解方程的概念，培養(yǎng)抽象能力，建立模型觀念.
3.能運用等式的基本性質解較簡單的方程，感悟代數(shù)推理，提升運算能力.
時間：公元前1世紀（東漢初年）
地點：中國
《九章算術----方程》
方程的含義
方：并（并在一起）
程：根據(jù)數(shù)量關系列出等式
方程
劉徽我國歷史上最偉大的數(shù)學家之一,中國傳統(tǒng)數(shù)學理論的奠基人.
方程的發(fā)展史
勒內·笛卡爾
Rene Descartes
1596~1650
法國哲學家
數(shù)學家
理學家
一切問題將迎刃而解.
一切問題都可以轉化為數(shù)學問題，
一切數(shù)學問題都可以轉化為代數(shù)問題，
而一切代數(shù)問題又都可以轉化為方程.
因此，一旦解決了方程問題，
法國數(shù)學家笛卡兒最早提出了用x、y、z這樣的字母表示未知數(shù)，方程就演變成現(xiàn)在的表達形式了！
方程的發(fā)展史
操作
天平處于平衡狀態(tài)表示兩邊物體的質量相等.如圖，已知一個砝碼的質量為1 g，一個小球的質量為x g.
（1）用代數(shù)式表示天平左托盤的質量為 .
（2）用代數(shù)式表示天平右托盤的質量為 .
(3x+1)g
(x+5)g
3x+1=x+5
x =2
（3）天平處于平衡狀態(tài)，可列出等式為 .
（4）你能說出一個小球的質量嗎？
如何求出小球的質量呢？讓我們通過天平進行驗證.
左右兩邊同時
取走一個砝碼
3x+1=x+5
3x+1－1=x+5－1
3x=x+4
等式的兩邊都
減去1
左右兩邊同時
放入一個砝碼
等式的兩邊都
加上1
左右兩邊同時
取走一個小球
3x－x=x+4－x
3x=x+4
等式的兩邊都
減去x
2x=4
左右兩邊同時
放入一個小球
等式的兩邊都
加上x
左右兩邊同時
取走一半的小球
和一半的砝碼
2x÷2=4÷2
2x=4
等式的兩邊都
除以2
x=2
左右兩邊同時
放入2倍的小球
和2倍的砝碼
等式的兩邊都
乘2
天平兩邊同時
天平仍然平衡
放入
取走
相同質量的砝碼或小球
同一個數(shù) (整式)
等式的兩邊
加上
減去
結果仍是等式
3x+1=x+5
3x=x+4
2x=4
天平兩邊同時
天平仍然平衡
放入
取走
相同倍數(shù)質量的砝碼或小球
同一個數(shù) (除數(shù)不等于0)
等式的兩邊
乘
除以
結果仍是等式
x=2
2x=4
總結
圖片替換區(qū)
1.等式的兩邊加上(或減去)同一個數(shù)或同一個整式,結果仍是等式,即
如果a=b,那么a±c=b±c.
2.等式的兩邊乘(或除以)同一個數(shù)(除數(shù)不等于0),結果仍是等式,即
等式的基本性質
觀察下面的等式，這些等式具有什么特點？
3x+1=x+5，3x=x+4，2x=4，x=2.
等式不一定是方程，等式中含著方程；
但方程一定是等式.
等式
方程
含有未知數(shù)的等式.
總結
含有未知數(shù)的等式叫作方程.
等式與方程具有怎樣的關系？
圖片替換區(qū)
規(guī)則：
1.先獨立思考再作答，正確回答 +2分
2.補充質疑 +2分
例題
請利用等式的基本性質,把下列方程化為x=a的形式：
(1) x+3=8；
例題
請利用等式的基本性質,把下列方程化為x=a的形式：
(1) x+3=8；
解：(1)兩邊都減去3，
得x+3-3=8-3.
所以x=5.
(2) 兩邊都加上4，得6x-4+4=5x+7+4.
所以6x=5x+11，
兩邊都減去5x ，得6x-5x=5x+11-5x，
即x=11.
1.已知等式a=b，請判斷下列等式是否成立：
（1）a+2=b； （2）a-2=b-2；
（3）a+2=b+2； （4）a+2=b+3；
（5）2a=2b； （6）-2a=2b；
（7）a= b； （8）a= b.
解：(2),(3),(5),(7)等式成立.
練 習
2.請在下列各題的橫線上填上適當?shù)氖阶?
(1) 如果3x-2=8, 那么3x= .
(2) 如果4x+3=5x, 那么4x= .
(3) 如果m-3n=6, 那么m= .
(4) 如果5b=3, 那么b= .
10
5x-3
6+3n
練 習
3.請利用等式的基本性質,把下列方程化為x=a的形式：
(1) x-1 = 4x ; (2) = 2-
解：（1）方程兩邊同乘2，
得3x-2=8x.
方程兩邊同時加2，得
3x-2+2=8x+2，即3x=8x+2.
方程兩邊同時減去8x，
得3x-8x=8x+2-8x，即-5x=2.
方程兩邊同時除以-5，得x=-
（2）方程兩邊同時乘20，
得35x=40-12x.
方程兩邊同時加上12x，
得35x+12x=40-12x+12x，即47x=40.
方程兩邊同時除以47，得x=.
練 習
1.下列等式變形中，錯誤的是（ ）
A.由a=b，得a+4=b+4 B.由a=b，得a-3=b-3
C.由x+1=y+1，得x=y D.由-2x=-2y，得x=-y
2.下列方程的變形，符合等式的基本性質的是( )
A.由2x-3=7，得2x=7-3 B.由3x-2=x+1，得3x-x=1-2
C.由-2x=5，得x=5+2 D.由-0.5x=1，得x=-2
D
D
加3
2
減y
除以x
3.等式x-3=5的兩邊都 得到x=8，是根據(jù)等式的基本性質1；
4.等式x=-1的兩邊都乘以 或除以 ，得到x=-2，這是根據(jù)等式的基本性質 2；
5，等式x+y=0的兩邊都 得到x=-y，是根據(jù)等式的基本性質1；
6，等式y(tǒng)=1的兩邊都 得到y(tǒng)=，是根據(jù)等式性質2.
練 習
7. 如果等式7(x+2)=13(x+2)成立，那x+2= ，即x= ；
8. 若x-1=2023-y，則x+y= ；
2024
0
-2
9. 如果ac=ab，那么下列等式中一定成立的是 .
①ac-1=ab-1； ②ac+a=ab+a；
③-3ac=-3ab； ④c=b.
①②③
1.等式的基本性質是什么？方程的概念是什么？
2.等式的基本性質有什么用處？

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