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(共18張PPT)
三角函數(shù)的概念
自然界的周期現(xiàn)象
函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要模型
學習目標
1、掌握任意角的三角函數(shù)的定義
2、已知角α終邊上一點，會求角α的各三角函數(shù)值
3、體會數(shù)學建模，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學運算的基本核心素養(yǎng)
A
建立數(shù)學模型
單位圓上的點 P 以 A 為起點做逆時針方向旋轉(zhuǎn)運動，能否建立一個數(shù)學模型，描述點P的位置變化情況？
O
P
A
思考1: 在點P的運動過程中，有哪些量也是變化的？
建立數(shù)學模型
單位圓上的點 P 以 A 為起點做逆時針方向旋轉(zhuǎn)運動，能否建立一個數(shù)學模型，描述點P的位置變化情況？
思考1:在點P的運動過程中，有哪些量也是變化的？
O
P
A
思考2: 當 確定時，它的終邊與單位圓的交點P確定嗎？P的坐標確定嗎？
X
y
(1,0)
(x,y)
終邊唯一確定
終邊與單位圓的交點唯一
確定
思考3: 這種對應(yīng)關(guān)系滿足函數(shù)定義嗎 若滿足，自變量是誰？
終邊唯一確定
P點橫坐標X唯一確定
終邊唯一確定
P點縱坐標y唯一確定
函數(shù)的定義：
設(shè)A、B是非空的實數(shù)集，如果對于A中的任意一個數(shù)X，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)。
終邊唯一確定
終邊與單位圓的交點唯一
確定
思考3: 這種對應(yīng)關(guān)系滿足函數(shù)定義嗎 若滿足，自變量是誰？
終邊唯一確定
P點橫坐標X唯一確定
終邊唯一確定
P點縱坐標y唯一確定
三角函數(shù)的概念
正弦，余弦，正切函數(shù)都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù).
設(shè)α是任意角，α終邊與單位圓交于點P（x,y）
(1)P的縱坐標y叫ɑ的正弦函數(shù)，記作sinɑ. 即
y= sinɑ
(2)P的橫坐標x叫ɑ的余弦函數(shù)，記作cosɑ. 即 x= cosɑ
(3)P的縱坐標與橫坐標的比值叫ɑ的正切函數(shù)，記作tanɑ.即 =tanɑ (x 0)
我們將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)，通常將它們記為：
正弦函數(shù) y=sinX
余弦函數(shù) y=cosX
正切函數(shù) y=tanX
思考5：三個函數(shù)的定義域分別是什么
R
R
P
A
作者：湛江市第五中學鐘景榮
例1:求 的正弦、余弦和正切值.
x
y
o
思考6:在本例中，角終邊上任意找一點，三個三角函數(shù)值會發(fā)生改變嗎？
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分析：觀察圖5.2-5, 由▲OMP∽▲OM0P0,
例2: 如圖5.2-4, 設(shè)α是一個任意角, 它的終邊上任意一點P(不與原點O重合)的坐標為(x, y), 點P與原點的距離為r,
求證：sinα= , cosα= , tanα= .
根據(jù)三角函數(shù)的定義可證明.
O
圖5.2-4
r=1
x
y
A(1,0)
P
P0
M
M0
作者：湛江市第五中學鐘景榮
α
(5)
證明：如圖5.2-5, 設(shè)角α的終邊與單位圓
交于點P0(x0, y0). 分別過點P, P0作x軸的
垂線PM, P0M0,垂足分別為M, M0,
則| P0M0 |=| y0 |, | PM|=|y|,
則| OM0 |=| x0 |, | OM|=|x|,
▲OMP∽▲OM0P0,
∴,
即,
∵y0與y同號, ∴ y0,
即sinα= ,
同理可得 cosα= , tanα= .
(其中r=).
任意角α的三角函數(shù)值僅與 α 有關(guān)，而與點P 在角的終邊上的位置無關(guān).
單擊此處
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設(shè)角α是一個任意角，P(x,y)是終邊上的任意一點，點P與原點的距離r= >0.
那么① 叫做α的正弦，即sinα= ,
② 叫做α的余弦，即cosα= ,
③ 叫做α的正切，即tanα= (x ≠ 0).
概念推廣：
O
P(x,y)
x
y
作者：湛江市第五中學鐘景榮
α
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作者：湛江市第五中學鐘景榮
2. 已知角θ 的終邊過點P(-12, 5), 求θ的三個三角函數(shù)值.
r = .
sinθ =
cosθ =
tanθ =
于是，
解：由已知可得：
= ,
= ,
= .
O
r
x
y
P(-12, 5)
M
θ
練習
課堂小結(jié)
1、本節(jié)課你收獲了哪些新知識？
任意角三角函數(shù)的定義
會用兩種方法求三角函數(shù)值
2、本節(jié)課用到了哪些數(shù)學思想？
數(shù)形結(jié)合、數(shù)學建模、由特殊到一般
1.利用三角函數(shù)定義，求 的三個三角函數(shù)值
2.已知角θ 的終邊過點P(3,4 ), 求θ的三個三角函數(shù)值
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課堂檢測

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