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正態(tài)分布
圖上的錢幣是德國的馬克，錢幣上的頭像是德國有“數(shù)學(xué)王子”之稱的高斯。和高斯頭像一起出現(xiàn)在錢幣上的，還有一段優(yōu)美的曲線。如此重要的一條曲線是什么曲線呢？它是怎樣得到的呢？這就是我們本節(jié)課需要探究的問題。
新課引入
問題1：自動流水線包裝的食鹽，每袋標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為400g. 由于各種不可控制的因素，任意抽取一袋食鹽，它的質(zhì)量與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量之間或多或少會存在一定的誤差(實(shí)際質(zhì)量減去標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量). 用隨機(jī)變量X表示這種誤差，則X是離散型隨機(jī)變量嗎？如果不是，請說明理由.
連續(xù)型隨機(jī)變量：它們的取值充滿某個(gè)區(qū)間甚至整個(gè)實(shí)軸，但是取某一點(diǎn)的概率為0
2、生活中還有哪些隨機(jī)變量也是連續(xù)型隨機(jī)變量
1、連續(xù)型隨機(jī)變量和離散型隨機(jī)變量有何區(qū)別
離散型隨機(jī)變量的所有可能的取值都能一一列舉;連續(xù)型隨機(jī)變量可以在某個(gè)實(shí)數(shù)范圍內(nèi)連續(xù)取值。
某人在站臺等車的時(shí)間X是連續(xù)型隨機(jī)變量;某種無線電元件的壽命;某地區(qū)同齡人群的身高、體重、肺活量等都是連續(xù)型隨機(jī)變量.
問題2：隨機(jī)抽取了100袋食鹽，獲得誤差X (單位: g) 的觀測值如下:
-0.6 -1.4 -0.7 3.3 -2.9 -5.2 1.4 0.1 4.4 0.9
-2.6 -3.4 -0.7 -3.2 -1.7 2.9 0.6 1.7 2.9 1.2
0.5 -3.7 2.7 1.1 -3.0 -2.6 -1.9 1.7 2.6 0.4
2.6 -2.0 -0.2 1.8 -0.7 -1.3 -0.5 -1.3 0.2 -2.1
2.4 -1.5 -0.4 3.8 -0.1 1.5 0.3 -1.8 0.0 2.5
3.5 -4.2 -1.0 -0.2 0.1 0.9 1.1 2.2 0.9 -0.6
-4.4 -1.1 3.9 -1.0 -0.6 1.7 0.3 -2.4 -0.1 -1.7
-0.5 -0.8 1.7 1.4 4.4 1.2 -1.8 -3.1 -2.1 -1.6
2.2 0.3 4.8 -0.8 -3.5 -2.7 3.8 1.4 -3.5 -0.9
-2.2 -0.7 -1.3 1.5 -1.5 -2.2 1.0 1.3 1.7 -0.9
（1）：如何描述這100個(gè)樣本誤差數(shù)據(jù)？
（1）：如何描述這100個(gè)樣本誤差數(shù)據(jù)？
可研究誤差X的最大值、最小值、均值、方差等。
也可以繪制頻率分布直方圖分析數(shù)據(jù)
（2）：頻率分布直方圖的步驟如何？
第二步:確定組距和組數(shù);
本問題中不妨令組距為2,將數(shù)據(jù)分為6組.
第一步:求極差;
極差指一組數(shù)據(jù)中的最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差.4.8-(-5.2)=10
第三步:確定區(qū)間分點(diǎn)，將數(shù)據(jù)分組：
[-6,-4),[-4,-2),[-2,0),[0,2),[2,4),[4,6]
第四步:列出頻率分布表：
分組 頻數(shù) 頻率 頻率/組距
[-6,-4) 3 0.03 0.015
[-4,-2) 16 0.16 0.08
[-2,0) 34 0.34 0.17
[0,2) 30 0.3 0.15
[2,4) 14 0.14 0.07
[4,6] 3 0.03 0.015
第五步:畫出頻率分布直方圖：
觀察圖形可知：誤差觀測值有正有負(fù)，并大致對稱地分布在X=0的兩側(cè)，而且小誤差比大誤差出現(xiàn)得更頻繁.
其中每個(gè)小矩形的面積表示誤差落在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的頻率
所有小矩形的面積之和為1.
第五步:畫出頻率分布直方圖：
（3）隨著樣本數(shù)據(jù)量越來越大，讓分組越來越多，組距越來越小，頻率分布直方圖的輪廓如何？
頻率分布直方圖的輪廓就越來越穩(wěn)定，接近一條光滑的鐘形曲線.
用鐘形曲線來描述食鹽質(zhì)量誤差的概率分布.
面積即為概率！
由頻率分布直方圖得到鐘形曲線，鐘形曲線下可以看成無數(shù)個(gè)小矩形，所以鐘形曲線與x軸圍成的面積為1
（4）根據(jù)頻率與概率的關(guān)系，如何用鐘形曲線描述食鹽質(zhì)量誤差的概率分布？
任意抽取一袋食鹽，誤差落在區(qū)間[-2,-1]上的概率可用鐘形曲線陰影部分的面積表示
問題3：圖中的鐘形曲線是一個(gè)函數(shù)圖像嗎？如果是，這個(gè)函數(shù)是否存在解析式？
其中μ∈R，σ>0為參數(shù).
自然對數(shù)的底數(shù)e
圓周率
最小質(zhì)數(shù)的算術(shù)平方根
我們稱f(x)為正態(tài)密度函數(shù)，稱它的圖象為正態(tài)密度曲線，簡稱正態(tài)曲線. 若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為X~N(μ, σ2).
特別地，當(dāng)μ=0, σ=1時(shí)，稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.記為X~N(0, 1).
正態(tài)分布的定義
學(xué)習(xí)新知
求概率即求面積！
而P(a≤X≤b)為區(qū)域B的面積.
f (x)
x
μ
a
A
圖 (4)
B
x
b
O
抽象概念，內(nèi)涵辨析
若X~N(μ，σ2)，則如右圖所示，曲線與x軸圍成的面積為
X取值不超過x的概率P(X≤x)為圖中區(qū)域A的面積，
1
追問1：可以從哪些方面研究正態(tài)密度函數(shù)的性質(zhì)？
定義域，值域，單調(diào)性，最值，奇偶性，對稱性
追問2：觀察正態(tài)曲線，你能發(fā)現(xiàn)正態(tài)曲線的哪些特點(diǎn)？
（1）曲線在x軸的上方，與x軸不相交.（非負(fù)性）
（2）曲線是單峰的,它關(guān)于直線x=μ對稱.（對稱性）
（3）曲線在x=μ處達(dá)到峰值 (最高點(diǎn))
（4）當(dāng)|x|無限增大時(shí)，曲線無限接近x軸(漸近線）
追問3：觀察正態(tài)密度函數(shù)，證明正態(tài)曲線的特點(diǎn)？
（1）曲線在x軸的上方，與x軸不相交.（非負(fù)性）
（2）曲線是單峰的,它關(guān)于直線x=μ對稱.（對稱性）
（3）曲線在x=μ處達(dá)到峰值 (最高點(diǎn))
（4）當(dāng)|x|無限增大時(shí)，曲線無限接近x軸(漸近線）
追問3：觀察正態(tài)密度函數(shù)，證明正態(tài)曲線的特點(diǎn)？
（4）當(dāng)|x|無限增大時(shí)，
曲線無限接近x軸(漸近線）
（3）曲線在x=μ處
達(dá)到峰值(最高點(diǎn))
0
1
2
-1
-2
x
y
-3
3
4
μ=1
0.5
1-a
a
1-a
1-2a
1.若X～N(1, σ2)，且P(X<0)=a，則
(1) P(X>1)=_______；
(2) P(X>0)=______；
(3) P(X>2)=______；
(4) P(X<2)=______；
(5) P(0(6) P(00.5-a
快問快答，檢驗(yàn)效果
問題4：一個(gè)正態(tài)分布由參數(shù)μ和 完全確定，這兩個(gè)參數(shù)對正態(tài)曲線的形狀有何影響？
當(dāng)參數(shù) 固定時(shí)，正態(tài)曲線的位置由μ確定，且隨著μ的變化而沿x軸平移
問題4：一個(gè)正態(tài)分布由參數(shù)μ和 σ 完全確定，這兩個(gè)參數(shù)對正態(tài)曲線的形狀有何影響？
若X~N(μ, σ )則E(X) =μ、D(X)=σ .
μ反映了正態(tài)分布的集中位置,可以用均值來估計(jì);
σ反映了隨機(jī)變量的分布相對于均值μ的離散程度,可以用標(biāo)準(zhǔn)差來估計(jì).
1. 若X～N(2, 32)，則E(X)=______，D(X)=_______.
2
9
2. X～N(μ, σ2)，若E(X)=3， D(X)=2，則μ=______， σ=_____.
3
快問快答，檢驗(yàn)效果
在氣象中,某地每年七月的平均氣溫、平均濕度、降雨量等…
正態(tài)分布在概率和統(tǒng)計(jì)中占有重要地位,廣泛存在于自然界，生產(chǎn)及生活實(shí)踐中,很多隨機(jī)變量都服從或近似服從正態(tài)分布.
在生產(chǎn)中,在正常生產(chǎn)條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo);
在生物學(xué)中,同一群體的某一特征(身高、體重等);
例1：給出下列兩個(gè)正態(tài)分布的函數(shù)表達(dá)式，請找出其μ和σ
探究一、正態(tài)密度函數(shù)及其圖像特點(diǎn)
訓(xùn)練1.已知三個(gè)正態(tài)分布密度函數(shù)
的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ ）
B
例2.在某次數(shù)學(xué)考試中,考生的成績X服從正態(tài)分布X～N(90,100).
(1).求考試成績X位于區(qū)間(70,110)上的概率是多少
(2).若此次考試共有2000名考生,試估計(jì)考試成績在(80,100)間的考生大約有多少人
探究二、利用正態(tài)曲線求概率
訓(xùn)練2.若X～N(5,1),求P(61、正態(tài)密度曲線及正態(tài)密度函數(shù)
2、正態(tài)曲線的特點(diǎn)
（1）曲線在x軸的上方，與x軸不相交.
（2）曲線是單峰的,它關(guān)于直線x=μ對稱.
（3）曲線在x=μ處達(dá)到峰值
（4）當(dāng)|x|無限增大時(shí)，曲線無限接近x軸
3、正態(tài)分布的3σ原則
正態(tài)分布的奇妙之處,就是許多看似隨機(jī)的事件竟然服從一個(gè)表達(dá)式就能表達(dá)的分布,如同上帝之手特意為之.
--《創(chuàng)世紀(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)·正態(tài)分布的前世今生》

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