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階段自測(四)
第二十四章　圓
B
A
3．(2020·海南)如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是弦，若∠BCD＝36°，則∠ABD等于( )
A．54° B．56° C．64° D．66°
A
B
A
A
7．(2020·黃石)如圖，點A，B，C在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D，E，若∠DCE＝40°，則∠ACB的度數為( )
C
A．140° B．70° C．110° D．80°
8．(樂山中考)如圖是“明清影視城”的一扇圓弧形門，小紅到影視城游玩，他了解到這扇門的相關數據：這扇圓弧形門所在的圓與水平地面是相切的，AB＝CD＝0.25米，BD＝1.5米，且AB，CD與水平地面都是垂直的．根據以上數據，請你幫小紅計算出這扇圓弧形門的最高點離地面的距離是( )
A．2米 B．2.5米 C．2.4米 D．2.1米
B
二、填空題(每題4分，共24分)
9．如圖所示，在⊙O中，弦AB垂直平分半徑OC，垂足為D.若⊙O的半徑為2，則弦AB的長為 _______________________
10．(2020·隨州)如圖，點A，B，C在⊙O上，AD是∠BAC的角平分線，若∠BOC＝120°，則∠CAD的度數為_______________．
30°
11．(連云港中考)如圖，點A，B，C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，則⊙O的半徑為____．
6
60°
155
三、解答題(共44分)
15．(8分)(南京中考)如圖，⊙O的弦AB，CD的延長線相交于點P，且AB＝CD.求證：PA＝PC.
16．(10分)如圖，D是等腰三角形ABC底邊的中點，過點A，B，D作⊙O.
(1)求證：AB是⊙O的直徑；
(2)延長CB交⊙O于點E，連接DE，求證：DC＝DE.
17．(12分)某市新建了一座圓形人工湖，為測量該湖的半徑，小杰和小麗沿湖邊選取A，B，C三根木柱，使得A，B之間的距離與A，C之間的距離相等，并測得BC的長為120米，A到BC的距離為4米，如圖所示(示意圖).
(1)請你幫他們求出該湖的半徑；
(2)如果在圓周上再另取一點P，建造一座連接B，C，P三點的三角形藝術橋，且△BCP為直角三角形，則這樣的P點有幾處？如何找到？
解：(共19張PPT)
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第二十四章　圓
24．1　圓的有關性質
24．1.3　弧、弦、圓心角
知識點1：圓心角及其計算
1．下列圖形中的∠1是圓心角的是( )
B
2．如圖，A，B，C是⊙O上的三點，∠CAO＝25°，∠BCO＝35°，則∠AOB＝_____________度．
120
3．如圖，已知⊙O的半徑OA＝5 cm，弦CD＝5 cm，則弦CD所對的圓心角的度數為_____________．
60°
知識點2：弧、弦、圓心角之間的關系
4．下列四個命題：①圓心角是頂點在圓心的角；②兩個圓心角相等，它們所對的弦也相等；③兩條弦相等，它們所對的弧也相等；④等弧所對的圓心角相等．其中正確的命題有( )
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
B
5．(原創題)如圖，觀察下列圖形及相應推理，其中正確的是( )
C
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
D
相等
8．(畢節中考)如圖，AB是⊙O的直徑，C，D為半圓的三等分點，CE⊥AB于點E，∠ACE的度數為_________________．
30°
D
C
A
14．如圖，A，B，C為圓O上的三等分點．
(1)求∠BOC的度數；
(2)若AB＝3，求圓O的半徑長及S△ABC.(共26張PPT)
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24.2.2 直線和圓的位置關系
第二十四章 　 圓
第3課時　切線長定理
知識點1：切線長定理
1．(杭州中考)如圖，P為圓O外一點，PA，PB分別切圓O于A，B兩點，若PA＝3，則PB＝( )
A．2 B．3 C．4 D．5
B
2．如圖，PA切⊙O于點A，PB切⊙O于點B，OP交⊙O于點C，下列結論中，錯誤的是( )
A．∠1＝∠2 B．PA＝PB
C．AB⊥OP D．點C是OP的中點
D
3．(邵陽中考)如圖，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O外一點，CA，CD是⊙O的切線，A，D為切點，連接BD，AD.若∠ACD＝30°，則∠DBA的大小是( )
A.15°
B．30°
C．60°
D．75°
D
4．為了測量一個圓形鐵環的半徑，某同學采用了如下辦法：將鐵環平放在水平桌面上，用一個銳角為30°的三角板和一個刻度尺，按如圖所示的方法得到相關數據，進而可求得鐵環的半徑，若刻度尺，三角板都與圓相切且測得PA＝5 cm(點P為切點)，求鐵環的半徑．
知識點2：三角形的內切圓
5．(廣州中考)如圖，⊙O是△ABC的內切圓，則點O是△ABC的( )
A．三條邊的垂直平分線的交點
B.三條角平分線的交點
C．三條中線的交點
D．三條高的交點
B
A
7．(湖州中考)如圖，已知△ABC的內切圓⊙O與BC邊相切于點D，連接OB，OD.若∠ABC＝40°，則∠BOD的度數是_____．
70°
8．如圖，△ABC的內切圓⊙O與BC，CA，AB分別相切于點D，E，F，且AB＝18 cm，BC＝28 cm，CA＝26 cm，求AF，BD，CE的長．
解：根據切線長定理得AE＝AF，BF＝BD，
CE＝CD.設AF＝AE＝x cm，則CE＝CD＝
(26－x)cm，BF＝BD＝(18－x)cm.
∵BC＝28 cm，∴(18－x)＋(26－x)＝28，
解得x＝8，∴AF＝8 cm，BD＝10 cm，
CE＝18 cm
9．如圖，四邊形ABCD的各邊分別與⊙O相切于點E，F，G，H，且AB＝16，CD＝10，則此四邊形ABCD的周長為( )
A．50 B．52 C．54 D．56
B
10．如圖，O是△ABC的內心，過點O作EF∥AB，與AC，BC分別交于點E，F，則( )
A．EF>AE＋BF B．EFC．EF＝AE＋BF D．EF≤AE＋BF
C
11．(2020·永州)如圖，已知PA，PB是⊙O的兩條切線，A，B為切點，線段OP交⊙O于點M.給出下列四種說法：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四邊形OAPB有外接圓；④M是△AOP外接圓的圓心．其中正確說法的個數是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C
12．(2020·青海)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，則△ABC的內切圓半徑r＝____．
1
13．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分別與⊙O相切于E，F，G三點，過點D作⊙O的切線交BC于點M，切點為N，則DM的長為____.
14．如圖，PA，PB是⊙O的切線，CD切⊙O于點E，△PCD的周長為12，∠APB＝60°.
(1)求PA的長；
(2)求∠COD的度數．
解：(1)由切線長定理可得CA＝CE，同理DE＝DB，PA＝PB，∴C△PCD＝PD＋CD＋PC＝PD＋PC＋CA＋BD＝PA＋PB＝12，則PA的長為6　
15．(黃石中考)如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BC為⊙O的直徑，點E為△ABC的內心，連接AE并延長交⊙O于D點，連接BD并延長至F，使得BD＝DF，連接CF，BE.
(1)求證：DB＝DE；
(2)求證：直線CF為⊙O的切線．
解：(1)∵E是△ABC的內心，∴∠BAE＝∠CAE，∠EBA＝∠EBC，∵∠BED＝∠BAE＋∠EBA，∠DBE＝∠EBC＋∠DBC，∠DBC＝∠EAC，∴∠DBE＝∠DEB，∴DB＝DE
16．如圖，AB是⊙O的直徑，AM，BN分別切⊙O于點A，B，CD交AM，BN于點D，C，DO平分∠ADC.
(1)求證：CD是⊙O的切線；
(2)若AD＝4，BC＝9，求⊙O的半徑R.
解：(1)過O點作OE⊥CD于點E，∵AM切⊙O于點A，∴OA⊥AD，又∵DO平分∠ADC，∴OE＝OA，∵OA為⊙O的半徑，∴OE是⊙O的半徑，且OE⊥DC，∴CD是⊙O的切線　(共24張PPT)
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24.2　點和圓、直線和圓的位置關系
第二十四章　圓
24．2.1　點和圓的位置關系
知識點1：點和圓的位置關系
1．⊙O的半徑為5 cm，點A到圓心O的距離OA＝3 cm，則點A與⊙O的位置關系為( )
A．點A在圓上 B．點A在圓內
C．點A在圓外 D．無法確定
B
2．已知⊙P的半徑為5，點P的坐標為(2，1)，點Q的坐標為(0，6)，則點Q與⊙P的位置關系是( )
A．點Q在⊙P外 B．點Q在⊙P上
C．點Q在⊙P內 D．不能確定
A
3．如圖，邊長為1的正方形ABCD的對角線相交于點O，以點A為圓心，以1為半徑畫圓，則點____在圓內，點__________在圓上，點____在圓外.
O
B，D
C
4．在同一平面內，⊙O外一點P到⊙O上一點的距離最長為6 cm，最短為2 cm，則⊙O的半徑為____cm.
2
知識點2：過已知點作圓
5．過一點可以作________個圓；過兩點可以作_________個圓，這些圓的圓心在兩點連線的________________上；過不在同一條直線上的三點可以作____個圓．
6．下列關于確定一個圓的說法中，正確的是( )
A．三個點一定能確定一個圓
B．以已知線段為半徑能確定一個圓
C．以已知線段為直徑能確定一個圓
D．菱形的四個頂點能確定一個圓
無數
無數
垂直平分線
一
C
知識點3：三角形的外接圓與外接圓的圓心
7．下列命題中，錯誤的有( )
①三角形只有一個外接圓；②三角形的外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點；③等邊三角形的外心也是其三邊的垂直平分線、高及角平分線的交點；④任何三角形都有外心．
A．3個 B．2個 C．1個 D．0個
D
8．如圖，在5×5的正方形網格中，一條圓弧經過A，B，C三點，那么這條圓弧所在圓的圓心是( )
B
9．直角三角形的外心是______________的中點，銳角三角形的外心在三角形的_____________，鈍角三角形的外心在三角形的____________．
10．如圖，一只貓觀察到一老鼠洞的三個洞口A，B，C，這三個洞口不在同一條直線上，請問這只貓應該在什么地方才能最省力地同時顧及三個洞口？作出這個位置．
斜邊
內部
外部
知識點4：反證法
11．(嘉興中考)用反證法證明時，假設結論“點在圓外”不成立，那么點與圓的位置關系只能是( )
A．點在圓內 B．點在圓上
C．點在圓心上 D．點在圓上或圓內
D
12．(通遼中考)在數軸上，點A所表示的實數為3，點B所表示的實數為a，⊙A的半徑為2，當點B在⊙A內時，實數a的取值范圍在數軸上表示正確的是( )
D
13．在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，則這個三角形的外接圓的直徑為( )
A．5 B．10
C．5或4 D．10或8
D
B
15．(鹽城中考)如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以頂點D為圓心作半徑為r的圓，若要求另外三個頂點A，B，C中至少有一個點在圓內，且至少有一個點在圓外，則r的取值范圍是____________________．
316．已知⊙O的半徑為1，點P與圓心O的距離為d，且方程x2－2x＋d＝0沒有實數根，則點P與⊙O的位置關系是__________________________．
點P在⊙O外
17．已知⊙O1過坐標原點O，點O1的坐標為(1，1)，試判斷點P(－1，1)，Q(1，0)，R(2，2)與⊙O1的位置關系，并說明理由．
18．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，CD⊥AB于點D，O為AB的中點．
(1)以點C為圓心，6為半徑作⊙C，試判斷點A，D，B與⊙C的位置關系；
(2)⊙C的半徑為多少時，點O在⊙C上？
(3)⊙C的半徑為多少時，點D在⊙C上？
19．如圖，AD為△ABC外接圓的直徑，AD⊥BC，垂足為點F，∠ABC的平分線交AD于點E，連接BD，CD.
(1)求證：BD＝CD；
(2)請判斷B，E，C三點是否在以D為圓心，DB長為半徑的圓上，并說明理由．(共24張PPT)
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24．3　正多邊形和圓
第二十四章 　 圓
知識點1：正多邊形的有關概念
1．下列說法：①各角相等的多邊形是正多邊形；②各邊相等的多邊形是正多邊形；③各角相等的圓內接多邊形是正多邊形；④各頂點等分圓周的多邊形是正多邊形．其中正確的有( )
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
A
2．下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的有( )
①正三角形；②正方形；③正五邊形；④正六邊形；⑤線段；⑥圓；⑦菱形；⑧平行四邊形．
A．3個 B．4個 C．5個 D．6個
C
3．如果一個四邊形的外接圓與內切圓是同心圓，那么這個四邊形一定是( )
A．矩形 B．菱形
C．正方形 D．不能確定
C
4．如圖，已知⊙O的內接等腰△ABC，AB＝AC，弦BD，CE分別平分∠ABC，∠ACB，BE＝BC，求證：五邊形AEBCD是正五邊形．
知識點2：正多邊形的有關計算
5．如果一個正多邊形的中心角為72°，那么這個正多邊形的邊數是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
B
C
7．(湖州中考)如圖，已知正五邊形ABCDE內接于⊙O，連接BD，則∠ABD的度數是( )
A．60° B．70° C．72° D．144°
C
8．如圖，木工師傅從一塊邊長為60 cm的正三角形木板上鋸出一塊正六邊形木板，那么這塊正六邊形木板的邊長為_____．
20cm
9．如圖，正△ABC內接于⊙O，⊙O的半徑為R，試分別計算△ABC的邊長、邊心距及面積．
A
C
12．如圖，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，則下列結論錯誤的是( )
A．△OAB是等邊三角形
B．弦AC的長等于圓內接正十二邊形的邊長
C．OC平分弦AB
D．∠BAC＝30°
D
54
15
15．如圖是由7個形狀、大小完全相同的正六邊形組成的網格，正六邊形的頂點稱為格點．已知每個正六邊形的邊長為1，△ABC的頂點都在格點上，求△ABC的面積．
16．如圖，點M，N分別是正五邊形ABCDE的邊BC，CD上的點，且BM＝CN，AM交BN于點P.
(1)求證：△ABM≌△BCN；
(2)求∠APN的度數．
17．如圖1，圖2，圖3……圖n，M，N分別是⊙O的內接正三角形ABC，正方形ABCD，正五邊形ABCDE……正n邊形ABCDEFG……的邊AB，BC上的點，且BM＝CN，連接OM，ON.
(1)求圖1中∠MON的度數；
(2)圖2中∠MON的度數是_____；圖3中∠MON的度數是_____；
(3)試探究∠MON的度數與正n邊形邊數n的關系．(直接寫出答案)
90°
72°(共12張PPT)
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專題課堂(十二)　圓中的最值問題
第二十四章 　 圓
D
D
B
類型三：利用直徑是圓中最長的弦求最值
6．(鄂州中考)如圖，在平面直角坐標系中，已知C(3，4)，以點C為圓心的圓與y軸相切．點A，B在x軸上，且OA＝OB.點P為⊙C上的動點，∠APB＝90°，則AB長度的最大值為____．
16
7．如圖，定長弦CD在以AB為直徑的⊙O上滑動(點C，D與點A，B不重合)，M是CD的中點，過點C作CP⊥AB于點P，若CD＝3，AB＝8，則PM的最大值是____．
4
C(共22張PPT)
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專題課堂(九)　與圓的切線有關的計算與證明
第二十四章 　 圓
1．(2020·沈陽)如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點O為BC邊上一點，以點O為圓心，OB長為半徑的圓與邊AB相交于點D，連接DC，當DC為⊙O的切線時．
(1)求證：DC＝AC；
(2)若DC＝DB，⊙O的半徑為1，請直接寫出DC的長為________．
解：(1)如圖，連接OD，∵CD是⊙O的切線，∴CD⊥OD，∴∠ODC＝90°，∴∠BDO＋∠ADC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠A＝∠ADC，∴DC＝AC　
2．(河南中考)如圖，CD是⊙O的直徑，且CD＝2 cm，點P為CD的延長線上一點，過點P作⊙O的切線PA，PB，切點分別為點A，B.
(1)連接AC，若∠APO＝30°，試證明△ACP是等腰三角形；
(2)填空：
①當DP＝____cm時，四邊形AOBD是菱形；
②當DP＝_________cm時，四邊形AOBP是正方形．
1
解：(1)如圖，連接AC，∵PA是⊙O的切線，∴OA⊥PA，在Rt△AOP中，∠AOP＝90°－∠APO＝90°－30°＝60°，∴∠ACP＝30°，∵∠APO＝30°∴∠ACP＝∠APO，∴AC＝AP，∴△ACP是等腰三角形　
3．(2020·威海)如圖，△ABC的外角∠BAM的平分線與它的外接圓相交于點E，連接BE，CE，過點E作EF∥BC，交CM于點D.
求證：(1)BE＝CE；
(2)EF為⊙O的切線．
證明：(1)∵四邊形ACBE是圓內接四邊形，∴∠EAM＝∠EBC，∵AE平分∠BAM，∴∠BAE＝∠EAM，∵∠BAE＝∠BCE，∴∠BCE＝∠EAM，∴∠BCE＝∠EBC，∴BE＝CE　
(2)如圖，連接EO并延長交BC于點H，連接OB，OC，∵OB＝OC，EB＝EC，∴直線EO垂直平分BC，∴EH⊥BC，∵EF∥BC，∴EH⊥EF，∵OE是⊙O的半徑，∴EF為⊙O的切線
4．(淮安中考)如圖，AB是⊙O的直徑，AC與⊙O交于點F，弦AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足為E.
(1)試判斷直線DE與⊙O的位置關系，并說明理由；
(2)若⊙O的半徑為2，∠BAC＝60°，求線段EF的長.
解：(1)直線DE與⊙O相切，如圖，連接OD.
∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠CAD，
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，即∠AED＝90°，
∴∠ODE＝90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切線　
5.(2020·鹽城)如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，∠DCA＝∠B.
(1)求證：CD是⊙O的切線；
(2)若DE⊥AB，垂足為E，DE交AC于點F，求證：△DCF是等腰三角形．
證明：(1)連接OC，∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠A，∵AB是⊙O的直徑，∴∠BCA＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∵∠DCA＝∠B，∴∠OCA＋∠DCA＝∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切線
(2)∵∠OCA＋∠DCA＝90°，∠OCA＝∠A，∴∠A＋∠DCA＝90°，∵DE⊥AB，∴∠A＋∠EFA＝90°，∴∠DCA＝∠EFA，∵∠EFA＝∠DFC，∴∠DCA＝∠DFC，∴△DCF是等腰三角形
6．(貴陽中考)如圖，已知AB是⊙O的直徑，點P是⊙O上一點，連接OP，點A關于OP的對稱點C恰好落在⊙O上．
(1)求證：OP∥BC；
(2)過點C作⊙O的切線CD，交AP的延長線于點D.如果∠D＝90°，DP＝1，求⊙O的直徑．
(2)如圖，連接PC，∵CD為⊙O的切線，∴OC⊥CD，又AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠APO＝∠COP，∵∠AOP＝∠COP，∴∠APO＝∠AOP，∴OA＝AP，∵OA＝OP，∴△APO為等邊三角形，∴∠AOP＝60°，又∵OP∥BC，∴∠OBC＝∠AOP＝60°，又OC＝OB，∴△BCO為等邊三角形，∴∠COB＝60°，
7．如圖，AB是⊙O的直徑，AM和BN是它的兩條切線，DE切⊙O于點E，交AM于點D，交BN于點C，F是CD的中點，連接OF.
(1)求證：OD∥BE；
(2)猜想：OF與CD有何數量關系？并說明理由．
8．(河南中考)如圖，AB是⊙O的直徑，DO⊥AB于點O，連接DA交⊙O于點C，過點C作⊙O的切線交DO于點E，連接BC交DO于點F.
(1)求證：CE＝EF；
(2)連接AF并延長，交⊙O于點G.填空：
①當∠D的度數為_____時，四邊形ECFG為菱形；
②當∠D的度數為______時，四邊形ECOG為正方形．
30°
22.5°
解：(1)連接OC，如圖，∵CE為切線，∴OC⊥CE，∴∠OCE＝90°，即∠1＋∠4＝90°，∵DO⊥AB，∴∠3＋∠B＝90°，而∠2＝∠3，∴∠2＋∠B＝90°，而OB＝OC，∴∠4＝∠B，∴∠1＝∠2，∴CE＝EF
(2)如圖，連接OG，EG，①當∠D＝30°時，∠DAO＝60°，而AB為直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝30°，∴∠3＝∠2＝60°，而CE＝FE，∴△CEF為等邊三角形，∴CE＝CF＝EF，同理可得∠GFE＝60°，利用對稱得FG＝FC，∴FG＝EF，∴△FEG為等邊三角形，∴EG＝FG，∴EF＝FG＝GE＝CE，∴四邊形ECFG為菱形　
②當∠D＝22.5°時，∠DAO＝67.5°，而OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝67.5°，∴∠AOC＝180°－67.5°－67.5°＝45°，∴∠COE＝45°，利用對稱得∠EOG＝45°，∴∠COG＝90°，易得△OEC≌△OEG，∴∠OGE＝∠OCE＝90°，∴四邊形ECOG為矩形，而OC＝OG，∴四邊形ECOG為正方形．故答案為：①30°；②22.5°(共15張PPT)
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易錯課堂(四)　圓中的多解問題
第二十四章 　 圓
一、忽略點與圓的位置關系，造成漏解
1．點P到⊙O上的最近距離為4 cm，最遠距離為9 cm，求⊙O的半徑．
解：①如圖1，當點P在圓內時，則2R＝4＋9＝13，所以⊙O的半徑為6.5 cm；②如圖2，當點P在圓外時，則2R＝9－4＝5，所以⊙O的半徑為2.5 cm.綜上所述，⊙O的半徑為6.5 cm或2.5 cm
二、忽略圓的對稱性，造成漏解
2．在半徑為5 cm的⊙O中，如果弦CD＝8 cm，直徑AB⊥CD，垂足為E，則AE的長為______cm.
3．已知⊙O的半徑為5，點P在⊙O內，且PO＝3，則過點P且弦長為整數的弦有( )
A．3條 B．4條 C．5條 D．6條
2或8
B
4．已知在半徑為10 cm的⊙O中，弦AB∥CD，且AB＝16 cm，CD＝12 cm，求AB與CD之間的距離．
解：過O作OE⊥AB于點E，交CD于點F，①當弦AB和CD在圓心同側時，如圖1，
∵AB＝16 cm，CD＝12 cm，∴AE＝8 cm，CF＝6 cm，∵OA＝OC＝10 cm，∴EO＝6 cm，OF＝8 cm，∴EF＝OF－OE＝2 cm；②當弦AB和CD在圓心異側時，如圖2，同理可得OF＝6 cm，OE＝8 cm，∴EF＝OF＋OE＝14 cm.綜上所述，AB與CD之間的距離為14 cm或2 cm
5．已知△ABC內接于⊙O，AB＝AC，半徑OB＝5 cm，圓心O到BC的距離為3 cm，求AB的長．
解：①如圖1，當三角形的外心在三角形的內部時，連接AO并延長交BC于點D，∵AB＝AC，O為外心，∴AD⊥BC，在Rt△BOD中，根據勾股定理，得BD＝4，
三、忽略一弦對二弧，造成漏解
6．△ABC為⊙O的內接三角形，若∠AOC＝160°，則∠ABC的度數是_____________．
80°或100°
7．如圖，在⊙O中，弦AB的長等于⊙O的半徑，求弦AB所對的圓心角和圓周角的度數．
(1)求⊙O的直徑；
(2)求四邊形PQCD的面積y關于P，Q運動時間t的函數解析式，并求t為何值時，四邊形PQCD為平行四邊形？
(3)是否存在某一時刻t，使直線PQ與⊙O相切？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．(共20張PPT)
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第二十四章　圓
24.2　點和圓、直線和圓的位置關系
24．2.2　直線和圓的位置關系
第1課時　直線和圓的位置關系
知識點1：直線和圓的位置關系的判定
1．(湘西州中考)已知⊙O的半徑為5 cm，圓心O到直線l的距離為5 cm，則直線l與⊙O的位置關系為( )
A．相交 B．相切
C．相離 D．無法確定
B
2．已知⊙O的半徑為5，圓心O到直線l的距離為3，則反映直線l與⊙O的位置關系的圖形是( )
B
3．在平面直角坐標系xOy中，以點(－3，4)為圓心，4為半徑的圓( )
A．與x軸相交，與y軸相切
B．與x軸相離，與y軸相交
C．與x軸相切，與y軸相交
D．與x軸相切，與y軸相離
C
A
5．(教材P96練習變式)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4 cm，BC＝2 cm，以C為圓心，r為半徑的圓與AB有何種位置關系？
知識點2：直線與圓的位置關系的應用
6．已知⊙O的直徑等于12 cm，圓心O到直線l的距離為5 cm，則直線l與⊙O的交點個數為( )
A．0個 B．1個
C．2個 D．無法確定
C
7．直線l與半徑為r的⊙O相交，且點O到直線l的距離為6，則r的取值范圍是( )
A．r<6 B．r＝6 C．r>6 D．r≥6
C
8．如圖，在平面直角坐標系xOy中，半徑為2的⊙P的圓心P的坐標為(－3，0)，將⊙P沿x軸正方向平移，使⊙P與y軸相切，則平移的距離為( )
A．1 B．1或5
C．3 D．5
B
9．如圖，兩個同心圓，大圓的半徑為5，小圓的半徑為3，若大圓的弦AB與小圓有公共點，則弦AB的取值范圍是( )
A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10
C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5
A
B
11．(西寧中考)⊙O的半徑為R，點O到直線l的距離為d，R，d是方程x2－4x＋m＝0的兩根，當直線l與⊙O相切時，m的值為____．
12．已知⊙O的半徑為2，直線l上有一點P滿足PO＝2，則直線l與⊙O的位置關系是____________________．
4
相切或相交
15．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠D＝60°，以AB為直徑作⊙O，已知AB＝10，AD＝m.
(1)求O到CD的距離；(用含m的代數式表示)
(2)若m＝6，通過計算判斷⊙O與CD的位置關系；
(3)若⊙O與線段CD有兩個公共點，求m的取值范圍．
16．已知∠MAN＝30°，O為邊AN上一點，以O為圓心，2為半徑作⊙O，交AN于D，E兩點，設AD＝x.(共23張PPT)
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24．1　圓的有關性質
第二十四章　圓
24．1.4　圓周角
知識點1：圓周角
1．下列四個圖中，∠α是圓周角的是( )
C
知識點2：圓周角定理及推論
2．(2020·柳州)如圖，點A，B，C在⊙O上，若∠BOC＝70°，則∠A的度數為( )
A．35° B．40° C．55° D．70°
A
3．(2020·長春)如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D在⊙O上，∠BDC＝20°，則∠AOC的大小為( )
A．40° B．140° C．160° D．170°
B
4．(2020·荊門)如圖，⊙O中，OC⊥AB，∠APC＝28°，則∠BOC的度數為( )
A．14° B．28° C．42° D．56°
D
5．(濱州中考)如圖，AB為⊙O的直徑，C，D為⊙O上兩點，若∠BCD＝40°，則∠ABD的大小為( )
A．60° B．50° C．40° D．20°
B
6．(2020·陜西)如圖，點A，B，C在⊙O上，BC∥OA，連接BO并延長，交⊙O于點D，連接AC，DC.若∠A＝25°，則∠D的大小為( )
A．25° B．30° C．40° D．50°
C
知識點3：圓內接四邊形及其性質
7．(2020·吉林)如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，若∠B＝108°，則∠D的大小為( )
A．54° B．62° C．72° D．82°
C
8．(廣東中考)如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，則∠DAC的大小為( )
A．130° B．100° C．65° D．50°
C
9．圓內接四邊形ABCD中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶5，則∠D的度數為_______________．
120°
10．(教材P87例題4變式)如圖，在圓內接四邊形ABCD中，CD為△BCA的外角的平分線，求證：△ABD為等腰三角形．
B
B
13．(臺州中考)如圖，AC是圓內接四邊形ABCD的一條對角線，點D關于AC的對稱點E在邊BC上，連接AE.若∠ABC＝64°，則∠BAE的度數為___________．
52°
2
15．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，交AC于點E.
(1)求∠EBC的度數；
(2)求證：BD＝CD.
16．(2020·南京)如圖，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一點，⊙O經過點A，C，D，交BC于點E，過點D作DF∥BC，交⊙O于點F.
求證：(1)四邊形DBCF是平行四邊形；
(2)AF＝EF.
17．如圖，等邊△ABC內接于⊙O，P是弧AB上任意一點(點P不與點A，B重合)，連接PA，PB，PC，過點C作CM∥BP交PA的延長線于點M.
(1)填空：∠APC＝_________度，∠BPC＝________度；
(2)求證：△ACM≌△BCP；
(3)若PA＝1，PB＝2，求四邊形PBCM的面積．
60
60(共25張PPT)
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階段自測(五)
第二十四章 　 圓
檢測內容：24.2
一、選擇題(每小題4分，共24分)
1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4 cm，D是AB的中點，以C為圓心，4 cm長為半徑作圓，則A，B，C，D四點中，在圓內的有( )
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
C
2．(2020·雅安)如圖，△ABC內接于圓，∠ACB＝90°，過點C的切線交AB的延長線于點P，∠P＝28°.則∠CAB＝( )
A．62° B．31° C．28° D．56°
B
3．小明不慎把家里的圓形玻璃打碎了，其中四塊碎片如圖所示，為配到與原來大小一樣的圓形玻璃，小明帶到商店去的一塊玻璃碎片應該是( )
A．第①塊 B．第②塊
C．第③塊 D．第④塊
B
4．(哈爾濱中考)如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點，點C為⊙O上一點，連接AC，BC，若∠P＝50°，則∠ACB的度數為( )
A．60° B．75° C．70° D．65°
D
C
6．(2020·泰安)如圖，點A，B的坐標分別為A(2，0)，B(0，2)，點C為坐標平面內一點，BC＝1，點M為線段AC的中點，連接OM，則OM的最大值為( )
B
二、填空題(每小題4分，共24分)
7．正方形ABCD的邊長為2 cm，以A為圓心，3 cm為半徑作⊙A，點C在圓____．
內
8．(2020·黑龍江)如圖，AD是△ABC的外接圓⊙O的直徑，若∠BAD＝40°，則∠ACB＝_____．
50°
9．如圖，AB，AC，BD是⊙O的切線，P，C，D為切點，如果AB＝5，AC＝3，則BD的長為____．
2
10．(安徽中考)如圖，△ABC內接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于點D，若⊙O的半徑為2，則CD的長為____．
115
三、解答題(共52分)
13．(12分)(2020·湘潭)如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，過點D作DE⊥AC，垂足為點E.
(1)求證：△ABD≌△ACD；
(2)判斷直線DE與⊙O的位置關系，并說明理由．
(2)直線DE與⊙O相切，理由如下：連接OD，如圖所示：由△ABD≌△ACD知BD＝DC，又∵OA＝OB，∴OD為△ABC的中位線，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD為⊙O的半徑，∴DE與⊙O相切
15．(14分)(賀州中考)如圖，BD是⊙O的直徑，弦BC與OA相交于點E，AF與⊙O相切于點A，交DB的延長線于點F，∠F＝30°，∠BAC＝120°，BC＝8.
(1)求∠ADB的度數；
(2)求AC的長度．
16．(14分)(2020·咸寧)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點O在AC上，以OA為半徑的半圓O交AB于點D，交AC于點E，過點D作半圓O的切線DF，交BC于點F.
(1)求證：BF＝DF；
(2)若AC＝4，BC＝3，CF＝1，求半圓O的半徑長．
解：(1)連接OD，如圖1，由題意知，∠ODF＝90°，∴∠ADO＋∠BDF＝90°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠OAD＋∠BDF＝90°，∵∠C＝90°，∴∠OAD＋∠B＝90°，∴∠B＝∠BDF，∴BF＝DF(共23張PPT)
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第二十四章　圓
24．1　圓的有關性質
24．1.1　圓
知識點1：圓的定義
1．平面內已知點P，以點P為圓心，3 cm為半徑作圓，這樣的圓可以作( )
A．1個 B．2個 C．3個 D．無數個
A
2．如圖，以坐標原點O為圓心的圓與y軸交于點A，B，且OA＝1，則點B的坐標是( )
B
3．(教材P80例題1變式)下列圖形中，四個頂點一定在同一個圓上的是( )
A．平行四邊形、菱形 B．矩形、正方形
C．菱形、正方形 D．矩形、平行四邊形
B
知識點2：與圓有關的概念
4．下列結論正確的是( )
A．長度相等的兩條弧是等弧
B．半圓是弧
C．半徑是弦
D．弧是半圓
B
5．下列命題中是真命題的有( )
①兩個端點能夠重合的弧是等弧；②圓的任意一條弦把圓分成優弧和劣弧兩部分；③半徑相等的圓是等圓；④直徑是圓中最長的弦．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
B
6．如圖，點A，B，C在⊙O上，點O在線段AC上，點D在線段AB上，下列說法正確的是( )
A．線段AB，AC，CD，OB都是弦
B．與線段OB相等的線段有OA，OC，CD
C．圖中的優弧有2條
D．AC是弦，AC又是⊙O的直徑，所以弦是直徑
C
7．如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，若∠C＝16°，則∠BOC的度數是_______________．
32°
8．若圓的半徑為3，則圓中的弦AB長度的取值范圍是______________．
0＜AB≤6
9．如圖，AB，AC為⊙O的弦，連接CO，BO并延長，分別交弦AB，AC于點E，F，∠B＝∠C，求證：CE＝BF.
10．如圖，在△ABC中，AB為⊙O的直徑，∠B＝60°，∠BOD＝100°，則∠C的度數為( )
A．50° B．60° C．70° D．80°
C
B
12．如圖，矩形PAOB的頂點P在弧MN上，且不與M，N重合．頂點A，B分別在線段OM，ON上．當P點在弧MN上移動時，PA2＋PB2的值( )
A．逐漸變大 B．逐漸變小
C．不變 D．不能確定
C
13．(隨州中考)如圖，點A，B，C在⊙O上，∠A＝40°，∠C＝20°，則∠B＝____°.
60
14．(教材P81練習3變式)如圖，已知BD，CE是△ABC的高，試說明：B，C，D，E四點在同一個圓上．
15．如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB，CD的延長線相交于點E，已知AB＝2DE，∠E＝18°，試求∠AOC的度數．
16．如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC，OD分別交AB于點E，F，且AE＝BF，請你找出線段OE與OF的數量關系，并給予證明．
17．如圖，在⊙O中，直徑MN＝10，正方形ABCD的四個頂點分別在半徑OM，OP以及⊙O上，并且∠POM＝45°，求AB的長．(共22張PPT)
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專題課堂(十)　巧求與圓有關的面積問題
第二十四章 　 圓
C
D
A
A
A
6．(青海中考)如圖，在正方形ABCD中，點E是以AB為直徑的半圓與對角線AC的交點，若圓的半徑等于1，則圖中陰影部分的面積為____．
1
8．(2020·郴州)如圖，△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑．直線l與⊙O相切于點A，在l上取一點D使得DA＝DC，線段DC，AB的延長線交于點E.
(1)求證：直線DC是⊙O的切線；
(2)若BC＝2，∠CAB＝30°，求圖中陰影部分的面積(結果保留π).
(1)證明：連接OC，∵AB是⊙O的直徑．直線l與⊙O相切于點A，∴∠DAB＝90°，∵DA＝DC，OA＝OC，∴∠DAC＝∠DCA，∠OAC＝∠OCA，∴∠DCA＋∠ACO＝∠DAC＋∠CAO，即∠DCO＝∠DAO＝90°，∴OC⊥CD，∴直線DC是⊙O的切線　
A
10．(2020·朝陽)如圖，點A，B，C是⊙O上的點，連接AB，AC，BC，且∠ACB＝15°，過點O作OD∥AB交⊙O于點D，連接AD，BD，已知⊙O半徑為2，則圖中陰影面積為____．
類型三：利用“平移法”求面積
11．如圖，兩個半圓，長為24的弦AB與直徑CD平行且與小半圓相切，那么圖中陰影部分面積等于多少？
D
13．(貴港中考)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，BC＝2，將△ABC繞點B順時針方向旋轉到△A′BC′的位置，此時點A′恰好在CB的延長線上，則圖中陰影部分的面積為_____．(結果保留π)
4π
A
16．如圖，半徑為2 cm，圓心角為90°的扇形OAB中，分別以OA，OB為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為________cm2.(共27張PPT)
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第二十四章　圓
24.2　點和圓、直線和圓的位置關系
24．2.2　直線和圓的位置關系
第2課時　切線的判定與性質
知識點1：切線的判定
1．下列說法中，正確的是( )
A．與圓有公共點的直線是圓的切線
B．經過半徑外端的直線是圓的切線
C．經過切點的直線是圓的切線
D．圓心到直線的距離等于半徑的直線是圓的切線
D
2．如圖，在⊙O中，弦AB＝OA，P是半徑OB的延長線上一點，且PB＝OB，則PA與⊙O的位置關系是_____________.
相切
3．如圖，△ABC的一邊AB是⊙O的直徑，請你添加一個條件，使BC是⊙O的切線，你所添加的條件為_______________________.
∠ABC＝90°
4．(邵陽中考)如圖所示，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，過點B作BD⊥CD，垂足為點D，連接BC.BC平分∠ABD.求證：CD為⊙O的切線．
知識點2：切線的性質
5．(2020·桂林)如圖，AB是⊙O的弦，AC與⊙O相切于點A，連接OA，OB，若∠O＝130°，則∠BAC的度數是( )
A．60° B．65° C．70° D．75°
B
6．如圖，線段AB是⊙O的直徑，點C，D為⊙O上的點，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點E，若∠E＝50°，則∠CDB等于( )
A．20° B．25° C．30° D．40°
A
7．(2020·通遼)如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點，∠P＝72°，則∠C＝( )
A．108° B．72° C．54° D．36°
C
8．(2020·棗莊)如圖，AB是⊙O的直徑，PA切⊙O于點A，線段PO交⊙O于點C.連接BC，若∠P＝36°，則∠B＝_________________．
27°
9．(河南中考)如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交AC邊于點D，過點C作CF∥AB，與過點B的切線交于點F，連接BD.
(1)求證：BD＝BF；
(2)若AB＝10，CD＝4，求BC的長．
D
11．(連云港中考)如圖，AB是⊙O的弦，點C在過點B的切線上，且OC⊥OA，OC交AB于點P，∠OAB＝22°，則∠OCB＝__________．
44°
12．(2020·泰州)如圖，直線a⊥b，垂足為H，點P在直線b上，PH＝4 cm，O為直線b上一動點，若以1 cm為半徑的⊙O與直線a相切，則OP的長為____________________．
3_cm或5_cm
13．(2020·東營)如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O交AC于點M，弦MN∥BC交AB于點E，且ME＝3，AE＝4，AM＝5.
(1)求證：BC是⊙O的切線；
(2)求⊙O的直徑AB的長度．
(1)證明：∵在△AME中，ME＝3，AE＝4，AM＝5，∴AM2＝ME2＋AE2，∴△AME是直角三角形，∴∠AEM＝90°，又∵MN∥BC，∴∠ABC＝∠AEM＝90°，∴AB⊥BC，∵AB為直徑，∴BC是⊙O的切線　
14．(2020·深圳)如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，AD與過點C的切線互相垂直，垂足為D.連接BC并延長，交AD的延長線于點E.
(1)證明：連接AC，OC，如圖，∵CD為切線，∴OC⊥CD，∴CD⊥AD，∴OC∥AD，∴∠OCB＝∠E，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B，∴∠B＝∠E，∴AE＝AB　(2)解：∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，
15．已知△ABC內接于⊙O，過點A作直線EF.
(1)如圖①，若AB為⊙O的直徑，要使EF成為⊙O的切線，還需要添加的一個條件是(至少說出兩種)：_____________________________或者________________________________；
(2)如圖②，如果AB是不過圓心O的弦，且∠CAE＝∠B，那么EF是⊙O的切線嗎？試證明你的判斷．
∠BAE＝90°
∠EAC＝∠ABC
解：(2)EF是⊙O的切線．證明：作直徑AM，連接CM，則∠ACM＝90°，∠M＝∠B，∴∠M＋∠CAM＝∠B＋∠CAM＝90°，∵∠CAE＝∠B，∴∠CAM＋∠CAE＝90°，∴AE⊥AM，∵AM為直徑，∴EF是⊙O的切線
16．如圖，已知直線PA交⊙O于A，B兩點，AE是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，且AC平分∠PAE，過點C作CD⊥PA，垂足為D.
(1)求證：CD為⊙O的切線；
(2)若DC＋DA＝6，⊙O的直徑為10，求AB的長.
解：(1)連接OC，證∠DAC＝∠CAO＝∠ACO，∴PA∥CO，又∵CD⊥PA，∴CO⊥CD，∴CD為⊙O的切線　(2)過O作OF⊥AB，垂足為F，∴四邊形OCDF為矩形．∵DC＋DA＝6，設AD＝x，則OF＝CD＝6－x，AF＝5－x，在Rt△AOF中，有AF2＋OF2＝OA2，即(5－x)2＋(6－x)2＝25，解得x1＝2，x2＝9，由AD＜DF知0＜x＜5，故x＝2，從而AD＝2，AF＝5－2＝3，由垂徑定理得AB＝2AF＝6(共21張PPT)
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第二十四章　圓
24．1　圓的有關性質
24．1.2　垂直于弦的直徑
知識點1：圓的對稱性
1．下列說法正確的是( )
A．直徑是圓的對稱軸
B．經過圓心的直線是圓的對稱軸
C．與圓相交的直線是圓的對稱軸
D．與半徑垂直的直線是圓的對稱軸
B
B
3．(牡丹江中考)如圖，在半徑為5的⊙O中，弦AB＝6，OP⊥AB，垂足為P，則OP的長為( )
A．3 B．2.5 C．4 D．3.5
C
B
C
6．(2020·甘孜州)如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點H，若AB＝10，CD＝8，則OH的長度為____．
3
7．如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC＝42°，點D是弦AC的中點，則∠DOC的度數是______________度．
48
知識點3：垂徑定理的應用
8．(樂山中考)《九章算術》是我國古代第一部自成體系的數學專著，代表了東方數學的最高成就．它的算法體系至今仍在推動著計算機的發展和應用．書中記載：“今有圓材埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”譯為：“今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸去鋸這木材，鋸口深1寸(ED＝1寸)，鋸道長1尺(AB＝1尺＝10寸)，問這塊圓形木材的直徑是多少？”如圖所示，請根據所學知識計算：圓形木材的直徑AC是( )
A.13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸
C
B
11．如圖，點A，B是⊙O上兩點，AB＝10，點P是⊙O上的動點(P與A，B不重合)，連接AP，PB，過點O分別作OC⊥AP于點C，OD⊥PB于點D，則CD＝____．
5
13．(海南中考)如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是(20，0)，點B的坐標是(16，0)，點C，D在以OA為直徑的半圓M上，且四邊形OCDB是平行四邊形，則點C的坐標為_________________．
(2，6)
14．(綏化中考)如圖，一下水管道橫截面為圓形，直徑為100 cm，下雨前水面寬為60 cm，一場大雨過后，水面寬為80 cm，則水位上升____________cm.
10或70
16．如圖，⊙O的半徑為17 cm，弦AB∥CD，AB＝30 cm，CD＝16 cm，圓心O位于AB，CD的上方，求AB和CD的距離．
17．如圖，某地有一座圓弧形的拱橋，圓弧所在圓的圓心為O，半徑為OC，橋下水面寬AB為7.2 m，拱頂C高出水面2.4 m(CD＝2.4 m)，現有一艘寬3 m，船艙頂部為正方形并高出水面2 m的貨船要經過這里，此時貨船能順利通過這座拱橋嗎？請說明理由．(共24張PPT)
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專題課堂(十一)　圓中常見的輔助線歸類
第二十四章 　 圓
類型一：遇弦添加弦心距或半徑
1．(2020·鞍山)如圖，⊙O是△ABC的外接圓，半徑為2 cm，若BC＝2 cm，則∠A的度數為( )
A．30° B．25°
C．15° D．10°
A
B
3．如圖是一個古代車輪的碎片，小明為求其外圓半徑，連接外圓上的兩點A，B，并使AB與車輪內圓相切于點D，作CD⊥AB交外圓于點C.測得CD＝10 cm，AB＝60 cm，則這個車輪的外圓半徑為____cm.
50
4．如圖，已知點O為兩個同心圓的公共圓心，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點．
(1)求證：AC＝BD；
(2)若AB＝8，CD＝4，求圓環的面積．
解：(1)過點O作OE⊥AB于點E，∴AE＝BE，CE＝DE，∴AE－CE＝BE－DE，∴AC＝BD　
(2)連接OA，OC，在Rt△AOE與Rt△OCE中，OE2＝OA2－AE2，OE2＝OC2－CE2，∴OA2－AE2＝OC2－CE2，∴OA2－OC2＝AE2－CE2，∵AB＝8，CD＝4，∴AE＝4，CE＝2，∴OA2－OC2＝12，∴圓環的面積為πOA2－πOC2＝π(OA2－OC2)＝12π
類型二：遇直徑添加直徑所對的圓周角
5．(2020·阜新)如圖，AB為⊙O的直徑，C，D是圓周上的兩點，若∠ABC＝38°，則銳角∠BDC的度數為( )
A．57° B．52° C．38° D．26°
B
65°
B
9．(2020·山西)如圖，四邊形OABC是平行四邊形，以點O為圓心，OC為半徑的⊙O與AB相切于點B，與AO相交于點D，AO的延長線交⊙O于點E，連接EB交OC于點F.求∠C和∠E的度數．
10．(2020·菏澤)如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點D，過點D作⊙O的切線交AC于點E.
(1)求證：DE⊥AC；
(2)若⊙O的半徑為5，BC＝16，求DE的長．
(1)證明：連接AD，OD.∵AB是圓O的直徑，∴∠ADB＝90°.∴∠ADO＋∠ODB＝90°.∵DE是圓O的切線，∴OD⊥DE.∴∠EDA＋∠ADO＝90°.∴∠EDA＝∠ODB.∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD.∴∠EDA＝∠OBD.∵AC＝AB，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD.∵∠ABD＋∠BAD＝90°，∴∠EDA＋∠EAD＝90°，∴∠DEA＝90°.∴DE⊥AC　
B
C
13．(2020·淮安)如圖，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一點，OC⊥OA，CO交AB于點P，交⊙O于點D，且CP＝CB.
(1)判斷直線BC與⊙O的位置關系，并說明理由；
(2)若∠A＝30°，OP＝1，求圖中陰影部分的面積．
解：(1)CB與⊙O相切，理由：連接OB，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵CP＝CB，∴∠CPB＝∠CBP＝∠APO，在Rt△AOP中，∵∠A＋∠APO＝90°，∴∠OBA＋∠CBP＝90°，即∠OBC＝90°，∴OB⊥CB，又∵OB是半徑，∴直線BC與⊙O相切(共24張PPT)
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單元復習(四)　圓
第二十四章 　 圓
知識點一　垂徑定理及其推論
1．(2020·濱州)在⊙O中，直徑AB＝15，弦DE⊥AB于點C，若OC∶OB＝3∶5，則DE的長為( )
A．6 B．9 C．12 D．15
C
2．(2020·陜西)如圖，△ABC內接于⊙O，∠A＝50°，E是邊BC的中點，連接OE并延長，交⊙O于點D，連接BD，則∠D的大小為( )
A．55° B．65°
C．60° D．75°
B
知識點二　圓心角與圓周角
4．(2020·貴港)如圖，點A，B，C均在⊙O上，若∠ACB＝130°，則∠α的度數為( )
A．100° B．110° C．120° D．130°
A
5．(2020·攀枝花)如圖，已知銳角三角形ABC內接于半徑為2的⊙O，OD⊥BC于點D，∠BAC＝60°，則OD＝____．
1
知識點三　與圓有關的計算
7．(2020·山西)中國美食講究色香味美，優雅的擺盤造型也會讓美食錦上添花．圖①中的擺盤，其形狀是扇形的一部分，圖②是其幾何示意圖(陰影部分為擺盤)，通過測量得到AC＝BD＝12 cm，C，D兩點之間的距離為4 cm，圓心角為60°，則圖中擺盤的面積是( )
A．80π cm2 B．40π cm2
C．24π cm2 D．2π cm2
B
B
9．(資陽中考)如圖，AC是⊙O的直徑，PA切⊙O于點A，PB切⊙O于點B，且∠APB＝60°.
(1)求∠BAC的度數；
(2)若PA＝1，求點O到弦AB的距離．
解：(1)∵PA切⊙O于點A，PB切⊙O于點B，∴PA＝PB，∠PAC＝90°，∵∠APB＝60°，∴△APB是等邊三角形，∴∠BAP＝60°，∴∠BAC＝90°－∠BAP＝30°
知識點四　點、直線與圓的位置關系
10．(廣州中考)平面內，⊙O的半徑為1，點P到O的距離為2，過點P可作⊙O的切線條數為( )
A．0條 B．1條 C．2條 D．無數條
11．(黔東南州中考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，以點C為圓心，r為半徑作圓，若⊙C與直線AB相切，則r的值為( )
A．2 cm B．2.4 cm C．3 cm D．4 cm
C
B
12．(2020·廣東)有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠，等待與老鼠距離最小時撲捉．把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內的線或點，模型如圖，∠ABC＝90°，點M，N分別在射線BA，BC上，MN長度始終保持不變，MN＝4，E為MN的中點，點D到BA，BC的距離分別為4和2.在此滑動過程中，貓與老鼠的距離DE的最小值為_________．
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，以點C為圓心，2.4 cm為半徑畫圓．求：
(1)AB的中點D與⊙C的位置關系；
(2)直線AB與⊙C的位置關系．
解：(1)點D在⊙C的外部　(2)直線AB與⊙C相切
知識點五　切線的判定與性質
14．(2020·湘西州)如圖，PA，PB為圓O的切線，切點分別為A，B，PO交AB于點C，PO的延長線交圓O于點D.下列結論不一定成立的是( )
A.△BPA為等腰三角形
B．AB與PD相互垂直平分
C．點A，B都在以PO為直徑的圓上
D．PC為△BPA的邊AB上的中線
B
16．如圖所示，AB是半圓O的直徑，點M是半徑OA的中點，點P在線段AM上運動(不與點M重合)，點Q在半圓O上運動，且總保持PQ＝PO，過點Q作⊙O的切線交BA的延長線于點C.
(1)當∠QPA＝60°時，請你對△QCP的形狀做出猜想，并給予證明；
(2)若QP⊥AB，則△QCP是_________三角形；
(3)由(1)，(2)得出的結論，請進一步猜想當點P在線段AM上運動到任何位置時，△QCP一定是______三角形．
等腰直角
等腰
解：(1)猜想：△QCP是等邊三角形．證明：連接OQ.∵CQ為⊙O的切線，∴CQ⊥OQ，∴∠CQO＝90°.∵PQ＝PO，∠QPC＝60°，∴∠POQ＝∠PQO＝30°，∴∠C＝90°－30°＝60°，∴∠CQP＝∠C＝∠QPC＝60°，∴△QPC是等邊三角形(共22張PPT)
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專題課堂(八)　與圓的基本性質
有關的計算與證明
第二十四章　圓
A
2．(赤峰中考)如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于點C，點D是⊙O上一點，∠ADC＝30°，則∠BOC的度數為( )
A．30° B．40° C．50° D．60°
D
C
4．(2020·蘭州)如圖，AB是⊙O的直徑，若∠BAC＝20°，則∠ADC＝( )
A．40° B．60° C．70° D．80°
C
5．(2020·眉山)如圖，四邊形ABCD的外接圓為⊙O，BC＝CD，∠DAC＝35°，∠ACD＝45°，則∠ADB的度數為( )
A．55° B．60° C．65° D．70°
C
D
7．把一張圓形紙片按如圖所示方式折疊兩次后展開，圖中的虛線表示折痕，則∠BOC的度數是( )
C
A.120° B．135° C．150° D．165°
8．(2020·湖州)如圖，已知AB是半圓O的直徑，弦CD∥AB，CD＝8，AB＝10，則CD與AB之間的距離是____．
3
9．(杭州中考)如圖，AB是⊙O的直徑，點C是半徑OA的中點，過點C作DE⊥AB，交⊙O于D，E兩點，過點D作直徑DF，連接AF，則∠DFA＝_____________________．
30°
10．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，以AB為直徑的⊙O與BC交于點D，與AC交于點E，連接OD交BE于點M，且MD＝2，則BE長為____．
8
11．(婁底中考)如圖，四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，已知∠C＝∠D，則AB與CD的位置關系是______________________.
AB∥CD
12．如圖是一個半圓形橋洞截面示意圖，圓心為O，直徑AB是河底線，弦CD是水位線，CD∥AB，且AB＝26 m，OE⊥CD于點E.水位正常時測得OE∶CD＝5∶24.
(1)求CD的長；
(2)現汛期來臨，水面要以每小時4 m的速度上升，則經過多長時間橋洞會剛剛被灌滿？
13．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點，以DC為直徑的⊙O交△ABC三邊于點G，E，F.
(1)求證：F是BC的中點；
(2)判定∠A與∠GEF的大小關系，并說明理由．
解：(1)連接DF，∵∠ACB＝90°，∴△ACB是直角三角形，又∵D是AB的中點，∴BD＝CD＝AD，又∵CD是⊙O的直徑，∴DF⊥BC，∴BF＝CF，即F是BC的中點　(2)∠A＝∠GEF.理由：∵D，F是AB，BC的中點，∴DF∥AC，∴∠A＝∠BDF，又∵∠BDF＝∠GEF，∴∠A＝∠GEF
14．(河南中考)如圖，AB是半圓O的直徑，點P是半圓上不與點A，B重合的一個動點，延長BP到點C，使PC＝PB，D是AC的中點，連接PD，PO.
(1)求證：△CDP≌△POB；
(2)填空：
①若AB＝4，則四邊形AOPD的最大面積為____；
②連接OD，當∠PBA的度數為____時，四邊形BPDO是菱形．
4
60°
(2)①當四邊形AOPD的AO邊上的高等于半徑時有最大面積為(4÷2)×(4÷2)＝2×2＝4　(共22張PPT)
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24．4　弧長和扇形面積
第二十四章 　 圓
第2課時　圓錐的側面積和全面積
知識點：圓錐的側面積以及全面積
1．(湖州中考)已知圓錐的底面半徑為5 cm，母線長為13 cm，則這個圓錐的側面積是( )
A．60π cm2 B．65π cm2
C．120π cm2 D．130π cm2
B
2．已知圓錐底面圓的半徑為3，母線長為5，則它的全面積為( )
A．9π B．15π C．24π D．39π
C
C
A
6．若設圓錐的母線長為4，底面圓的半徑為2，那么圓錐的側面展開圖(扇形)的弧長是____，圓錐的側面積S側＝____，圓錐的全面積S全＝____．
7．(2020·宿遷)用半徑為4，圓心角為90°的扇形紙片圍成一個圓錐的側面，則這個圓錐的底面圓半徑為____．
4π
8π
12π
1
8．(赤峰中考)半徑為10 cm的半圓圍成一個圓錐，則這個圓錐的高是_____cm.
9．(呼倫貝爾中考)小楊用一個半徑為36 cm，面積為324π cm2的扇形紙板制作一個圓錐形的玩具帽(接縫的重合部分忽略不計)，則帽子的底面半徑為____cm.
9
10．(教材P114例題3變式)一個幾何體由圓錐和圓柱組成，其尺寸如圖所示，求該幾何體的全面積(即表面積)是多少？(結果保留π)
C
12．(徐州中考)如圖，沿一條母線將圓錐側面剪開并展平，得到一個扇形，若圓錐的底面圓的半徑r＝2 cm，扇形的圓心角θ＝120°，則該圓錐的母線長l為____ cm.
6
13．(2020·婁底)如圖，四邊形ABDC中，AB＝AC＝3，BD＝CD＝2，則將它以AD為軸旋轉180°后所得分別以AB，BD為母線的上下兩個圓錐的側面積之比為_____．
3∶2
14．(煙臺中考)如圖，點O為正六邊形ABCDEF的中心，點M為AF中點，以點O為圓心，以OM的長為半徑畫弧得到扇形MON，點N在BC上；以點E為圓心，以DE的長為半徑畫弧得到扇形DEF，把扇形MON的兩條半徑OM，ON重合，圍成圓錐，將此圓錐的底面圓半徑記為r1，將扇形DEF以同樣方法圍成的圓錐的底面圓半徑記為r2，則r1∶r2＝_______．
15．如果圓錐底面圓的周長是20π，側面展開后所得扇形的圓心角為120°，求該圓錐的側面積和全面積．
18．如圖是一個紙杯，它的母線AC和EF延長后形成的立體圖形是圓錐，該圓錐的側面展開圖是扇形OAB.經測量，紙杯上開口圓的直徑為6 cm，下底面圓的直徑為4 cm，母線長EF＝8 cm，求扇形OAB的圓心角及這個紙杯的表面積．(面積計算結果用π表示)(共20張PPT)
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24．4　弧長和扇形面積
第二十四章 　 圓
第1課時　弧長和扇形面積
C
A
2π
知識點2：扇形面積的有關計算
5．(長沙中考)一個扇形的半徑為6，圓心角為120°，則該扇形的面積是( )
A．2π B．4π C．12π D．24π
6．(新疆中考)一個扇形的圓心角是120°，面積為3π cm2，那么這個扇形的半徑是( )
A．1 cm B．3 cm C．6 cm D．9 cm
7．(2020·哈爾濱)一個扇形的面積是13π cm2，半徑是6 cm，則此扇形的圓心角是_____度．
C
B
130
8．如圖，在邊長為1的小正方形組成的網格紙上，將△ABC繞著點A順時針旋轉90°.
(1)畫出旋轉后的△AB′C′；
(2)求線段AC在旋轉過程中所掃過的扇形的面積．
C
B
B
12．(2020·恩施州)如圖，已知半圓的直徑AB＝4，點C在半圓上，以點A為圓心，AC為半徑畫弧交AB于點D，連接BC.若∠ABC＝60°，則圖中陰影部分的面積為________．(結果不取近似值)
13．(內江中考)如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＜AD，∠A＝150°，CD＝4，以CD為直徑的⊙O交AD于點E，則圖中陰影部分的面積為___________.
15．(赤峰中考)如圖，AB為⊙O的直徑，C，D是半圓AB的三等分點，過點C作AD延長線的垂線CE，垂足為E.
(1)求證：CE是⊙O的切線；
(2)若⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．
解：(1)如圖，連接BC，OC，OE，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，在Rt△BDC中，∵BE＝ED，∴DE＝EC＝BE，∵OC＝OB，OE＝OE，∴△OCE≌△OBE(SSS)，∴∠OCE＝∠OBE，∵BD是⊙O的切線，∴∠ABD＝90°，∴∠OCE＝∠ABD＝90°，∵OC為半徑，∴EC是⊙O的切線　

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