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21．2　解一元二次方程
第二十一章　一元二次方程
21．2.1　配方法
第2課時　配方法
1．(金華中考)用配方法解方程x2－6x－8＝0時，配方結果正確的是( )
A．(x－3)2＝17 B．(x－3)2＝14
C．(x－6)2＝44 D．(x－3)2＝1
2．(2020·泰安)將一元二次方程x2－8x－5＝0化成(x＋a)2＝b(a，b為常數)的形式，則a，b的值分別是( )
A．－4，21 B．－4，11
C．4，21 D．－8，69
A
A
±6x
±3
4．用配方法解方程x2＋10x＋16＝0.
解：移項，得__________________．
兩邊同時加52，得____________＋52＝____＋52.
左邊寫成完全平方的形式，得________________．
直接開平方，得_______________．
解得_______________________．
x2＋10x＝－16
x2＋10x
－16
(x＋5)2＝9
x＋5＝±3
x1＝－2，x2＝－8
5．(例題1變式)用配方法解方程：
(1)(無錫中考)x2－2x－5＝0；
(2)(齊齊哈爾中考)x2＋6x＝－7.
A
C
2或－6
10．用配方法解下列方程，其中應在等號左右兩邊同時加上9的方程是( )
A．3x2－3x＝8 B．x2＋6x＝－3
C．2x2－6x＝10 D．2x2＋3x＝3
11．(泰安中考)一元二次方程(x＋1)(x－3)＝2x－5根的情況是( )
A．無實數根
B．有一個正根，一個負根
C．有兩個正根，且都小于3
D．有兩個正根，且有一根大于3
B
D
B
13．(益陽中考)規定：a b＝(a＋b)b，如：2 3＝(2＋3)×3＝15，
若2 x＝3，則x＝______________．
14．(青海中考)已知等腰三角形的腰和底的長分別是一元二次方程
x2－6x＋8＝0的根，則該三角形的周長為____．
1或－3
10
(2)2x2－3x＋3＝0.
解：無實數根
四
17．用配方法說明代數式x2－8x＋17的值恒大于0.再指出當x取何值時，
這個代數式的值最小，并求出這個最小值．
解：∵x2－8x＋17＝(x－4)2＋1>0，∴不論x取何值，這個代數式的值恒大于0.當(x－4)2＝0，即當x＝4時，這個代數式的值最小，最小值是1(共18張PPT)
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單元復習(一)　一元二次方程
第二十一章　一元二次方程
1．若關于x的方程a(x－1)2＝2x2－2是一元二次方程，則a的值( )
A．等于2 B．等于－2
C．等于0 D．不等于2
2．(2020·棗莊)已知關于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋a2－1＝0
有一個根為x＝0，則a＝____．
D
－1
B
A
C
6．(呼和浩特中考)用配方法求一元二次方程(2x＋3)(x－6)＝16的實數根．
7．(1)(泰州中考)解方程：2x2－4x－1＝0；
(2)(廣州中考)已知多項式A＝(x＋2)2＋(1－x)(2＋x)－3.
①化簡多項式A；
②若(x＋1)2＝6，求A的值．
D
A
C
A
12．(通遼中考)若關于x的一元二次方程(k＋1)x2＋2(k＋1)x＋k－2＝0
有實數根，則k的取值范圍在數軸上表示正確的是( )
A
－1
15．(2020·黔東南州)若菱形ABCD的一條對角線長為8，邊CD的長是方程x2－10x＋24＝0的一個根，則該菱形ABCD的周長為( )
A．16 B．24 C．16或24 D．48
16．(2020·山西)如圖是一張長12 cm，寬10 cm的矩形鐵皮，將其剪去兩個全等的正方形和兩個全等的矩形，剩余部分(陰影部分)可制成底面積是24 cm2的有蓋的長方體鐵盒．則剪去的正方形的邊長為_____cm.
B
2
17．(大連中考)某村2016年的人均收入為20000元，
2018年的人均收入為24200元．
(1)求2016年到2018年該村人均收入的年平均增長率；
(2)假設2019年該村人均收入的增長率與前兩年的年平均增長率相同，
請你預測2019年該村的人均收入是多少元？
解：(1)設2016年到2018年該村人均收入的年平均增長率為x，根據題意得20000(1＋x)2＝24200，解得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(不合題意，舍去).答：2016年到2018年該村人均收入的年平均增長率為10%　(2)24200×(1＋10%)＝26620(元).答：預測2019年該村的人均收入是26620元
18．(宜昌中考)某市創建“綠色發展模范城市”，針對境內長江段兩種主要污染源：生活污水和沿江工廠污染物排放，分別用“生活污水集中處理”(下稱甲方案)和“沿江工廠轉型升級”(下稱乙方案)進行治理，若江水污染指數記為Q，沿江工廠用乙方案進行一次性治理(當年完工)，從當年開始，所治理的每家工廠一年降低的Q值都以平均值n計算．第一年有40家工廠用乙方案治理，共使Q值降低了12.經過三年治理，境內長江水質明顯改善．
(1)求n的值；
(2)從第二年起，每年用乙方案新治理的工廠數量比上一年都增加相同的百分數m，三年來用乙方案治理的工廠數量共190家，求m的值，并計算第二年用乙方案新治理的工廠數量；
(3)該市生活污水用甲方案治理，從第二年起，每年因此降低的Q值比上一年都增加一個相同的數值a.在(2)的情況下，第二年，用乙方案所治理的工廠合計降低的Q值與當年因甲方案治理降低的Q值相等，第三年，用甲方案使Q值降低了39.5.求第一年用甲方案治理降低的Q值及a的值．(共20張PPT)
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21．3　實際問題與一元二次方程
第二十一章　一元二次方程
第1課時　傳播問題
1．某種疾病，傳染性很強，曾有2人同時患上這種疾病，
在一天內，一人可傳染x人，
兩天后共有128人患上這種疾病，則x的值為( )
A．10 B．9 C．8 D．7
2．(2020·通遼)有一個人患了新冠肺炎，經過兩輪傳染后共有169人患了新冠肺炎，每輪傳染中平均一個人傳染了____個人．
D
12
3．(雞西中考改編)(教材P22習題4變式)某?！把袑W”活動小組在一次野外實踐時，發現一種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數目的小分支，主干、支干和小分支的總數是43，則這種植物每個支干長出多少個小分支？
解：設每個支干長出x個小分支，則1＋x＋x·x＝43，即x2＋x－42＝0，解得x1＝6，x2＝－7(不合題意，舍去)，故每個支干長出6個小分支
4．生物興趣小組的學生，將自己收集的標本向本組其他成員各贈送一件，全組共互贈了182件．如果全組有x名同學，
則根據題意列出的方程是( )
A.x(x＋1)＝182 B．x(x－1)＝182
C．2x(x＋1)＝182 D．x(x－1)＝182×2
B
B
6．在一次商品交易會上，參加交易會的每兩家公司之間都簽訂了一份合同，會議結束后統計簽訂了78份合同，問有多少家公司出席了這次交易會？
7．若兩個連續整數的積是56，則它們的和為( )
A．11 B．15
C．－15 D．±15
8．兩個數的和是14，積是33，則這兩個數分別為________.
D
3，11
9．一個兩位數，個位數字比十位數字大3，
且個位數字的平方剛好等于這個兩位數，求這個兩位數．
解：設這個兩位數的個位數字為x，則十位數字為(x－3)，
由題意得x2＝10(x－3)＋x，解得x1＝6，x2＝5，當x＝6時，x－3＝3；
當x＝5時，x－3＝2，則這個兩位數是36或25
10．某航空公司有若干個飛機場，每兩個飛機場之間都開辟一條航線，
一共開辟了10條航線，則這個航空公司共有飛機場( )
A．4個 B．5個 C．6個 D．7個
B
11．(新疆中考)周口體育局要組織一次籃球賽，賽制為單循環形式(每兩隊之間都賽一場)，計劃安排28場比賽，應邀請多少支球隊參加比賽？
12．有一個人收到短信后，再用手機轉發該短信，每人只轉發一次，
經過兩輪轉發后共有133人收到該短信，
問每輪轉發中平均一個人轉發給幾個人？
解：設每輪轉發中平均一個人轉發給x個人，由題意得1＋x＋x2＝133，
解得x1＝11，x2＝－12(不合題意，舍去)，
則每輪轉發中平均一個人轉發給11個人
13．(襄陽中考)有一人患了流感，經過兩輪傳染后共有64人患了流感．
(1)求每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？
(2)如果不及時控制，第三輪將又有多少人被傳染？
解：(1)設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，則1＋x＋x(x＋1)＝64，
解得x1＝7，x2＝－9(舍去)，則每輪傳染中平均一個人傳染了7個人　
(2)64×7＝448(人)，即第三輪將又有448人被傳染
14．一個兩位數，十位上的數字比個位上的數字的平方小2，如果把這個數的個位數字與十位數字交換，那么所得到的兩位數比原來的數小36，求原來的兩位數．
解：設個位數字為x，則十位數字為x2－2，
由題意得10(x2－2)＋x－(10x＋x2－2)＝36，整理得x2－x－6＝0，
解得x1＝3，x2＝－2(不合題意，舍去)，∴十位數字為32－2＝7，
則原來的兩位數為73
15．(1)n邊形(n＞3)中一個頂點的對角線有________條；
(2)一個凸多邊形共有14條對角線，它是幾邊形？
(3)是否存在有21條對角線的凸多邊形？
如果存在，它是幾邊形？如果不存在，說明理由．
(n－3)(共22張PPT)
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21．2　解一元二次方程
第二十一章　一元二次方程
21．2.3　因式分解法
1．方程x(x＋2)＝0的根是( )
A．x＝2 B．x＝0
C．x1＝0，x2＝－2 D．x1＝0，x2＝2
2．(河南中考)方程(x－2)(x＋3)＝0的解是( )
A．x＝2 B．x＝－3
C．x1＝－2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝－3
C
D
C
C
5．用因式分解法解下列方程：
(1)x(x－2)＝x；
解：x1＝0，x2＝3
(2)5x2＋20x＋20＝0；
解：x1＝x2＝－2
(3)(2＋x)2－9＝0；
解：x1＝－5，x2＝1
(4)(巴中中考)3x(x－2)＝x－2.
6．解方程(x＋4)2＝3(4＋x)，最適當的解法是( )
A.直接開平方法 B．配方法
C．公式法 D．因式分解法
D
7．請選擇你認為適當的方法解下列方程．
(1)(x－1)2＝3；
(2)x2＝2x＋4；
(3)(徐州中考)2x2－x－1＝0；
(4)3(2x－5)＝2x(2x－5).
8．方程3x(x＋1)＝3x＋3的解為( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x1＝0，x2＝－1 D．x1＝1，x2＝－1
9．已知關于x的方程x2＋px＋q＝0的兩根為x1＝3，x2＝－4，
則二次三項式x2＋px＋q可分解為( )
A．(x＋3)(x＋4) B．(x－3)(x＋4)
C．(x＋3)(x－4) D．(x－3)(x－4)
D
B
10．若一元二次方程式x2－8x－3×11＝0的兩根為a，b，且a＞b，
則a－2b的值為( )
A．－25 B．－19 C．5 D．17
11．方程x2＝4|x|的解為( )
A．±4 B．0或4
C．4 D．±4或0
D
D
12．請你寫出一個以x為未知數的一元二次方程，
使它的兩根為－1，5：____________________．
x2－4x－5＝0
13．(教材P17習題6變式)用因式分解法解方程：
(1)(麗水中考)(x－3)(x－1)＝3；
解：x1＝0，x2＝4
(2)(3x＋2)2－4x2＝0；
(3)(齊齊哈爾中考)2(x－3)＝3x(x－3)；
(4)(2x－1)2＝x2－6x＋9.
14．用適當的方法解下列方程：
(1)(2020·徐州)2x2－5x＋3＝0；
(2)x2＋6x－8＝0；
(3)x(2x－5)＝4x－10.
15．已知三角形的兩邊長分別為3和7，
第三邊長是方程x(x－7)－10(x－7)＝0的一個根，求這個三角形的周長．
解：解方程得x1＝7，x2＝10，當x＝10時，3＋7＝10，不合題意，舍去；
當x＝7時，符合題意，∴這個三角形的周長為3＋7＋7＝17
16．(原創)先閱讀下列材料，然后解決后面的問題：
材料：∵二次三項式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)，
∴方程x2＋(a＋b)x＋ab＝0可以這樣解：
(x＋a)(x＋b)＝0，x＋a＝0或x＋b＝0，
∴x1＝－a，x2＝－b.
問題：
(1)方程x2－3x＋2＝0的兩個根是( )
A．x1＝－1，x2＝1 B．x1＝x2＝－1
C．x1＝1，x2＝2 D．x1＝x2＝2
C
(2)(2020·張家界)已知等腰三角形的兩邊長分別是一元二次方程
x2－6x＋8＝0的兩根，則該等腰三角形的底邊長為( )
A．2 　　B．4 　　C．8　 　　D．2或4
A
3或－3
(4)用因式分解法解方程x2－kx－16＝0時，得到的兩根均為整數，
則k的值可以為_______________________；
(5)如果x2－x－1＝(x＋1)0，那么x的值為____．
－15，－6，0，6，15
2(共12張PPT)
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專題課堂(二)　一元二次方程的實際應用
第二十一章　一元二次方程
1．某市體育局要組織一次籃球賽，賽制為單循環形式(每兩隊之間都賽一場)，計劃安排36場比賽，應邀請多少支球隊參加比賽？
2．某商品的進價為每件30元，現在的售價為每件40元，每星期可賣出150件，如果每件漲價1元(售價不能高于45元)，那么每星期少賣出10件，設每件漲價x元，每星期銷量為y件．
(1)求y關于x的函數關系式；(不要求寫出自變量x的取值范圍)
(2)如何定價才能使每星期的利潤為1560元？每星期的銷量是多少？
解：(1)y＝150－10x　(2)依題意得(10＋x)(150－10x)＝1560，解得x1＝2，x2＝3，∵售價不高于45元，∴x1＝2，x2＝3均符合題意，當漲價2元時，每星期的銷量是150－10×2＝130(件)；當漲價3元時，每星期的銷量是150－10×3＝120(件)，則該商品每件定價為42元或43元才能使每星期的利潤為1560元，此時每星期的銷量是130件或120件
3．(廣州中考)隨著粵港澳大灣區建設的加速推進，廣東省正加速布局以5G等為代表的戰略性新興產業，據統計，目前廣東5G基站的數量約1.5萬座，計劃到2020年底，全省5G基站數是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站數量將達到17.34萬座．
(1)計劃到2020年底，全省5G基站的數量是多少萬座？
(2)按照計劃，求2020年底到2022年底，全省5G基站數量的年平均增長率．
解：(1)1.5×4＝6(萬座).答：計劃到2020年底，全省5G基站的數量是6萬座　(2)設2020年底到2022年底，全省5G基站數量的年平均增長率為x，依題意，得6(1＋x)2＝17.34，解得x1＝0.7＝70%，x2＝－2.7(舍去).答：2020年底到2022年底，全省5G基站數量的年平均增長率為70%
5．如圖，若要建一個矩形雞場，雞場的一邊靠墻，墻對面有一個2 m寬的門，另三邊用竹籬笆圍成，籬笆總長33 m，圍成矩形的雞場除門之外四周不能有空隙．
(1)若墻長為18 m，要圍成雞場的面積為150 m2，則雞場的長和寬各為多少米？
(2)圍成雞場的面積可能達到200 m2嗎？
(3)若墻長為a m，對建150 m2面積的雞場有何影響？
解：(1)設養雞場的寬為x m，根據題意得x(33－2x＋2)＝150，解得x1＝10，x2＝7.5，當寬為10 m時，33－2x＋2＝15＜18；當寬為7.5 m時，33－2x＋2＝20＞18，不合題意，應舍去，則養雞場的寬為10 m，長為15 m　(2)設養雞場的寬為x m，根據題意，得x(33－2x＋2)＝200，整理得2x2－35x＋200＝0，Δ＝(－35)2－4×2×200＝1225－1600＝－375＜0，因為方程沒有實數根，所以圍成養雞場的面積不能達到200 m2　(3)當0＜a＜15時，問題無解；當15≤a<20時，問題有一解，即長為15 m，寬為10 m；當a≥20時，問題有兩解，即長為20 m，寬為7.5 m或長為15 m，寬為10 m(共21張PPT)
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21．3　實際問題與一元二次方程
第二十一章　一元二次方程
第3課時　幾何圖形問題
1．綠苑小區在規劃設計時，準備在兩幢樓房之間，
設置一塊面積為900平方米的矩形綠地，并且長比寬多10米，
設綠地的寬為x米，根據題意，可列方程為( )
A．x(x－10)＝900 B．x(x＋10)＝900
C．10(x＋10)＝900 D．2[x＋(x＋10)]＝900
B
2．(蘭州中考)王叔叔從市場上買了一塊長80 cm，寬70 cm的矩形鐵皮，準備制作一個工具箱．如圖，他將矩形鐵皮的四個角各剪掉一個邊長x cm的正方形后，剩余的部分剛好能圍成一個底面積為3000 cm2的無蓋矩形工具箱，
根據題意列方程為( )
A.(80－x)(70－x)＝3000
B．80×70－4x2＝3000
C．(80－2x)(70－2x)＝3000
D．80×70－4x2－(70＋80)x＝3000
C
3．從一塊正方形的木板上鋸掉2 dm寬的矩形木條，
剩下的面積是48 dm2，則原來這塊木板的面積是( )
A.100 dm2 B．64 dm2　
C．121 dm2 D．144 dm2
B
4．(深圳中考)一個矩形周長為56厘米．
(1)當矩形面積為180平方厘米時，長，寬分別為多少？
(2)能圍成面積為200平方厘米的矩形嗎？請說明理由.
解：(1)設矩形的長為x厘米，則另一邊長為(28－x)厘米，依題意有x(28－x)＝180，解得x1＝10(舍去)，x2＝18，28－x＝28－18＝10.故長為18厘米，寬為10厘米　(2)設矩形的長為x厘米，則寬為(28－x)厘米，依題意有x(28－x)＝200，即x2－28x＋200＝0，則Δ＝282－4×200＝784－800＜0，原方程無解，故不能圍成一個面積為200平方厘米的矩形
5．(2020·衡陽)如圖，學校課外生物小組的試驗園地的形狀是長35米、寬20米的矩形．為便于管理，要在中間開辟一橫兩縱共三條等寬的小道，使種植面積為600平方米，則小道的寬為多少米？若設小道的寬為x米，則根據題意，列方程為( )
A．35×20－35x－20x＋2x2＝600
B．35×20－35x－2×20x＝600
C．(35－2x)(20－x)＝600
D．(35－x)(20－2x)＝600
C
6．(2020·濟南)如圖，在一塊長15 m，寬10 m的矩形空地上，修建兩條同樣寬的相互垂直的道路，剩余部分栽種花草，要使綠化面積為126 m2，則修建的路寬應為____米．
1
7．(襄陽中考)改善小區環境，爭創文明家園．如圖所示，某社區決定在一塊長(AD)16 m，寬(AB)9 m的矩形場地ABCD上修建三條同樣寬的小路，其中兩條與AB平行，另一條與AD平行，其余部分種草．要使草坪部分的總面積為112 m2，則小路的寬應為多少？
解：設小路的寬應為x m，根據題意得(16－2x)(9－x)＝112，
解得x1＝1，x2＝16.∵16＞9，∴x＝16不符合題意，應舍去，∴x＝1.
答：小路的寬應為1 m
8．(2020·西藏)列方程(組)解應用題
某駐村工作隊，為帶動群眾增收致富，鞏固脫貧攻堅成效，決定在該村山腳下，圍一塊面積為600 m2的矩形試驗茶園，便于成功后大面積推廣．如圖所示，茶園一面靠墻，墻長35 m，另外三面用69 m長的籬笆圍成，其中一邊開有一扇1 m寬的門(不包括籬笆).求這個茶園的長和寬．
解：設茶園垂直于墻的一邊長為x m，則另一邊的長度為(69＋1－2x)m，
根據題意，得x(69＋1－2x)＝600，整理，得x2－35x＋300＝0，解得x1＝15，x2＝20，當x＝15時，70－2x＝40＞35，不符合題意，舍去；當x＝20時，70－2x＝30，符合題意．答：這個茶園的長和寬分別為30 m，20 m
9．如圖，在△ABC中，∠B＝90°，點P從點A開始，沿AB邊向點B以1 cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2 cm/s的速度移動．如果點P，Q分別從點A，B同時出發，經過幾秒鐘，使△PBQ的面積等于8 cm2
10．(徐州中考)如圖，有一塊矩形硬紙板，長30 cm，寬20 cm.在其四角各剪去一個同樣的正方形，然后將四周突出部分折起，可制成一個無蓋長方體盒子．當剪去正方形的邊長取何值時，所得長方體盒子的側面積為200 cm2
11．李明準備進行如下操作實驗，把一根長40 cm的鐵絲剪成兩段，
并把每段首尾相連各圍成一個正方形．
(1)要使這兩個正方形的面積之和等于58 cm2，李明應該怎么剪這根鐵絲？
(2)李明認為這兩個正方形的面積之和不可能等于48 cm2，你認為他的說法正確嗎？請說明理由．
12．(常州中考)閱讀材料：各類方程的解法
求解一元一次方程，根據等式的基本性質，把方程轉化為x＝a的形式．求解二元一次方程組，把它轉化為一元一次方程來解；類似的，求解三元一次方程組，把它轉化為解二元一次方程組．求解一元二次方程，把它轉化為兩個一元一次方程來解．求解分式方程，把它轉化為整式方程來解，由于“去分母”可能產生增根，所以解分式方程必須檢驗．各類方程的解法不盡相同，但是它們有一個共同的基本數學思想轉化，把未知轉化為已知．
用“轉化”的數學思想，我們還可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3＋x2－2x＝0，可以通過因式分解把它轉化為x(x2＋x－2)＝0，解方程x＝0和x2＋x－2＝0，可得方程x3＋x2－2x＝0的解．
－2
1(共20張PPT)
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21．2　解一元二次方程
第二十一章　一元二次方程
21．2.1　配方法
第1課時　直接開平方法
D
C
3．若代數式3x2＋1的值等于28，則x的值為__________．
4．對于方程x2＝m－1，若方程有兩個不相等的實數根，則m____；
若方程有兩個相等的實數根，則m____；
若方程無實數根，則m____．
3或－3
>1
＝1
<1
5．用直接開平方法解方程：
(1)9x2＝25；
(2)x2－144＝0.
解：x1＝12，x2＝－12
D
C
8．(南京中考)若方程(x－5)2＝19的兩根為a和b，且a＞b，
則下列結論中正確的是( )
A．a是19的算術平方根
B．b是19的平方根
C．a－5是19的算術平方根
D．b＋5是19的平方根
C
5
x1＝1，x2＝－3
解：x1＝3，x2＝－1
12．(棗莊中考)x1，x2是一元二次方程3(x－1)2＝15的兩個解，且x1下列說法正確的是( )
A．x1小于－1，x2大于3
B．x1小于－2，x2大于3
C．x1，x2在－1和3之間
D．x1，x2都小于3
A
B
4
3
16．用直接開平方法解方程：
(1)4(x－2)2－3＝0；
(2)x2＋6x＋9＝7；
(3)4(3x－1)2－9(3x＋1)2＝0.
17．已知方程(x－1)2＝k2＋2的一個根是x＝3，
求k的值和方程的另一個根．
20．(教材P5問題1變式)如圖，在邊長為a的正方形紙片的四個角
都剪去一個長為m，寬為n的矩形．
(1)用含a，m，n的式子表示紙片剩余部分的面積；
(2)當m＝3，n＝5，且剩余部分的面積等于229時，求正方形的邊長a的值．
解：(1)a2－4mn　
(2)由題意得a2－4×3×5＝229，則a2＝289，解得a＝±17，
∵a＞0，∴a＝17，∴正方形的邊長a的值是17(共12張PPT)
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易錯課堂(一)　一元二次方程
第二十一章　一元二次方程
－4
C
3．已知關于x的方程kx2－4kx＋k－5＝0有兩個相等的實數根，求k的值．
4．用公式法解方程：2x2＋5x＝3.
5．小華在解一元二次方程x2＝4x時，只得出一個根是x＝4，
則被他漏掉的一個根是x＝____．
6．用配方法解方程：4x2－12x－1＝0.
0
7．(廣州中考)關于x的一元二次方程x2－(k－1)x－k＋2＝0有兩個實數根x1，x2，若(x1－x2＋2)(x1－x2－2)＋2x1x2＝－3，則k的值( )
A．0或2 B．－2或2
C．－2 D．2
D
8．若x1，x2是關于x的方程x2＋mx－3m＝0的兩個根，且x12＋x22＝7，
那么m的值是____．
1
9．(2020·十堰)已知關于x的一元二次方程x2－4x－2k＋8＝0有兩個實數根x1，x2.
(1)求k的取值范圍；
(2)若x13x2＋x1x23＝24，求k的值．
解：(1)由題意可知，Δ＝(－4)2－4×1×(－2k＋8)≥0，整理得16＋8k－32≥0，解得k≥2，∴k的取值范圍是k≥2　(2)由題意得x13x2＋x1x23＝x1x2[(x1＋x2)2－2x1x2]＝24，∵x1＋x2＝4，x1x2＝－2k＋8，故有(－2k＋8)[42－2(－2k＋8)]＝24，整理得k2－4k＋3＝0，解得k1＝3，k2＝1，由(1)中可知k≥2，∴k的值為3
10．有一塊長為80 cm，寬為60 cm的薄鐵片，在四個角截去四個相同的小正方形，然后做成一個底面積為1500 cm2的沒有蓋的長方體盒子，求截去的小正方形的邊長．
解：設截去的小正方形的邊長為x cm，由題意得(80－2x)(60－2x)＝1500，整理得x2－70x＋825＝0，解得x1＝55，x2＝15.當x＝55時，80－2x＜0，60－2x＜0，不符合題意，應舍去；當x＝15時，80－2x＞0，60－2x＞0，符合題意，所以x＝15，所以截去的小正方形的邊長為15 cm(共18張PPT)
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21．2　解一元二次方程
第二十一章　一元二次方程
21．2.2　公式法
1．以下是方程3x2－2x＝－1的解的情況，其中正確的是( )
A．∵b2－4ac＝－8<0，∴方程有實數根
B．∵b2－4ac＝－8<0，∴方程無實數根
C．∵b2－4ac＝8>0，∴方程有實數根
D．∵b2－4ac＝8>0，∴方程無實數根
2．(2020·河南)定義運算：m☆n＝mn2－mn－1.
例如：4☆2＝4×22－4×2－1＝7.則方程1☆x＝0的根的情況為( )
A．有兩個不相等的實數根
B．有兩個相等的實數根
C．無實數根
D．只有一個實數根
B
A
3．(2020·安徽)下列方程中，有兩個相等實數根的是( )
A．x2＋1＝2x B．x2＋1＝0
C．x2－2x＝3 D．x2－2x＝0
A
C
6．不解方程，判斷下列一元二次方程根的情況：
(1)9x2＋6x＋1＝0; 　(2)16x2＋8x＝－3.
解：(1)∵a＝9，b＝6，c＝1，∴Δ＝b2－4ac＝36－36＝0，∴此方程有兩個相等的實數根　(2)化為16x2＋8x＋3＝0，∵a＝16，b＝8，c＝3，∴Δ＝b2－4ac＝64－4×16×3＝－128<0，∴此方程沒有實數根
C
B
5
－5
1
5
11．(河北中考)小剛在解關于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)時，只抄對了a＝1，b＝4，解出其中一個根是x＝－1.他核對時發現所抄的c比原方程的c值小2.則原方程的根的情況是( )
A．不存在實數根 B．有兩個不相等的實數根
C．有一個根是x＝－1 D．有兩個相等的實數根
12．(2020·廣州)直線y＝x＋a不經過第二象限，
則關于x的方程ax2＋2x＋1＝0實數解的個數是( )
A．0個 B．1個 C．2個 D．1個或2個
A
D
2
2
15．用適當的方法解方程：
(1)(x－5)(x＋3)＝1；
(2)2x2＝3x＋1；
(3)(x＋2)(x－2)＋4(x＋3)＝13.
解：x1＝－5，x2＝1
16．(洛陽模擬)關于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0.
(1)當b＝a＋2時，利用根的判別式判斷方程根的情況；
(2)若方程有兩個相等的實數根，寫出一組滿足條件的a，b的值，
并求此時方程的根．
解：(1)a≠0，Δ＝b2－4a＝(a＋2)2－4a＝a2＋4a＋4－4a＝a2＋4，∵a2＞0，∴Δ＞0，∴方程有兩個不相等的實數根　(2)∵方程有兩個相等的實數根，∴Δ＝b2－4a＝0，若b＝2，a＝1，則方程變形為x2＋2x＋1＝0，解得x1＝x2＝－1
17．已知關于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，
其中a，b，c分別為△ABC三邊的長．
(1)如果x＝－1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
(2)如果方程有兩個相等的實數根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
(3)如果△ABC是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根．
解：(1)△ABC是等腰三角形．理由：∵x＝－1是方程的根，∴(a＋c)×(－1)2－2b＋(a－c)＝0，∴a＋c－2b＋a－c＝0，∴a－b＝0，∴a＝b，∴△ABC是等腰三角形　(2)△ABC是直角三角形．理由：∵方程有兩個相等的實數根，∴(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，∴4b2－4a2＋4c2＝0，∴a2＝b2＋c2，∴△ABC是直角三角形　(3)∵△ABC是等邊三角形，∴(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0可整理為2ax2＋2ax＝0，∴x2＋x＝0，解得x1＝0，x2＝－1(共18張PPT)
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21.2.4　一元二次方程的根與系數的關系
第二十一章　一元二次方程
A
A
3．(玉林中考)若一元二次方程x2－x－2＝0的兩根為x1，x2，
則(1＋x1)＋x2(1－x1)的值是( )
A．4 B．2 C．1 D．－2
4．(2020·江西)若關于x的一元二次方程x2－kx－2＝0的一個根為x＝1，
則這個一元二次方程的另一個根為____．
A
－2
5．(2020·瀘州)已知x1，x2是一元二次方程x2－4x－7＝0的兩個實數根，
則x12＋4x1x2＋x22的值是____．
2
6．(教材P16例題4變式)不解方程，求下列方程的兩根的和與積：
(1)x2－2x－5＝0；
解：和為2，積為－5
(2)3x2＋2x－1＝0；
B
B
A
A
12．(煙臺中考)已知關于x的一元二次方程x2－4x＋m－1＝0的實數根x1，x2，
滿足3x1x2－x1－x2＞2，則m的取值范圍是______________．
3＜m≤5
13．已知實數x1，x2滿足x1＋x2＝7，x1x2＝12，
則以x1，x2為根的一元二次方程是( )
A．x2－7x＋12＝0 B．x2＋7x＋12＝0
C．x2＋7x－12＝0 D．x2－7x－12＝0
14．(廣東中考)已知x1，x2是一元二次方程x2－2x＝0的兩個實數根，
下列結論錯誤的是( )
A．x1≠x2 B．x12－2x1＝0
C．x1＋x2＝2 D．x1·x2＝2
A
D
15．(2020·青海)在解一元二次方程x2＋bx＋c＝0時，
小明看錯了一次項系數b，得到的解為x1＝2，x2＝3；
小剛看錯了常數項c，得到的解為x1＝1，
x2＝5.請你寫出正確的一元二次方程_________________．
16．(2020·南通)若x1，x2是方程x2－4x－2020＝0的兩個實數根，
則代數式x12－2x1＋2x2的值等于_____.
x2－6x＋6＝0
2028
1
19．(2020·隨州)已知關于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m－2＝0.
(1)求證：無論m取何值，此方程總有兩個不相等的實數根；
(2)若方程有兩個實數根x1，x2，且x1＋x2＋3x1x2＝1，求m的值．(共22張PPT)
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21．1　一元二次方程
第二十一章　一元二次方程
C
D
3．將一元二次方程3x2＝－2x＋5化為一般形式，
其一次項系數與常數項的和為____．
－3
4．(教材P3例題變式)將下列一元二次方程化為一般形式，
并寫出其中的二次項系數、一次項系數和常數項．
(1)4x2＋2＝5x；
解：一般形式為4x2－5x＋2＝0，二次項系數是4，
一次項系數是－5，常數項是2
(2)y(2y－3)＝(y＋2)(y－2).
解：一般形式為y2－3y＋4＝0，二次項系數是1，
一次項系數是－3，常數項是4
5．下表是某同學求代數式x2＋x的值的情況，
根據表格可知方程x2＋x＝2的解是( )
A.x＝－2 B．x＝1
C．x＝－2和x＝1 D．x＝－1和x＝0
C
x … －3 －2 －1 0 1 2 …
x2＋x … 6 2 0 0 2 6 …
6．(鹽城中考)已知一元二次方程x2＋kx－3＝0有一個根為1，
則k的值為( )
A．－2 B．2 C．－4 D．4
7．(2020·常州)若關于x的方程x2＋ax－2＝0有一個根是1，則a＝____．
B
1
8．(2020·遵義)如圖，把一塊長為40 cm，寬為30 cm的矩形硬紙板的四角剪去四個相同小正方形，然后把紙板的四邊沿虛線折起，并用膠帶粘好，即可做成一個無蓋紙盒．若該無蓋紙盒的底面積為600 cm2，設剪去小正方形的邊長為x cm，則可列方程為( )
A．(30－2x)(40－x)＝600
B．(30－x)(40－x)＝600
C．(30－x)(40－2x)＝600
D．(30－2x)(40－2x)＝600
D
D
(x＋1)2－1＝24
B
B
m≥0且m≠2
15．小明用30厘米的鐵絲圍成一個斜邊長等于13厘米的直角三角形，
設該直角三角形的一條直角邊長為x厘米，則另一條直角邊長
為__________厘米，可列出方程：_______________________.
(17－x)
x2＋(17－x)2＝132
16．(教材P4習題2變式)根據下列問題列出一元二次方程，并將其化成一般形式．
(1)某市2018年平均房價為每平方米8000元，2020年平均房價降到每平方米7000元，求這兩年平均房價年平均降低率；
(2)如圖，在一塊長為22米，寬為17米的矩形地面上，要修建同樣寬的兩條互相垂直的道路(兩條道路各與矩形的一邊平行)，剩余部分種上草坪，使草坪面積為300平方米，求道路的寬；
(3)某種服裝平均每天可銷售20件，每件盈利30元，若單價每件降價1元，則每天可多銷售5件，如果每天要盈利1445元，求每件服裝應降價多少元．
解：(1)設這兩年平均房價年平均降低率為x，
根據題意得8000(1－x)2＝7000，化成一般形式為8x2－16x＋1＝0　
(2)設道路的寬為x米，則由題意得(22－x)(17－x)＝300，
化成一般形式為x2－39x＋74＝0　
(3)設每件應降價x元，則由題意得(20＋5x)(30－x)＝1445，
化成一般形式為x2－26x＋169＝0
17．已知m是方程x2＋x－1＝0的一個根，
求代數式(m＋1)2＋(m＋1)(m－1)的值．
解：把x＝m代入方程，得m2＋m－1＝0，即m2＋m＝1，
則原式＝m2＋2m＋1＋m2－1＝2(m2＋m)＝2
18．已知關于x的方程(k2－9)x2＋(k＋3)x＝0.
(1)當k為何值時，此方程是一元一次方程？
(2)當k為何值時，此方程是一元二次方程？
并寫出這個一元二次方程的二次項系數、一次項系數和常數項．
你認為上述兩位同學的解法是否正確？為什么？
如果都不正確，請給出正確的解法．(共19張PPT)
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專題課堂(一)　一元二次方程的解法
第二十一章　一元二次方程
1．用直接開平方法解下列一元二次方程，其中無解的方程為( )
A．x2－5x＝6 B．－4x2＝0
C．x2＋3＝0 D．(x＋2)2＝0
2．(南通中考)用配方法解方程x2＋8x＋9＝0，變形后的結果正確的是( )
A．(x＋4)2＝－9 B．(x＋4)2＝－7
C．(x＋4)2＝25 D．(x＋4)2＝7
C
D
3．解下列方程：
(1)x2＋x－1＝0(公式法)；
(2)(山西中考)2(x－3)2＝x2－9(因式分解法)；
解：x1＝3，x2＝9
(3)x2＋4x－1＝0(配方法)；
(4)x(2x＋3)－2x－3＝0(因式分解法).
B
D
x1＝－2，x2＝4
8．解下列方程：
(1)x2－1＝2(x＋1)；
解：x1＝－1，x2＝3
(2)2x2－4x－5＝0；
(3)(梧州中考)2x2－4x－30＝0；
解：x1＝5，x2＝－3
(4)9(2a－5)2＝16(3a－1)2.
9．選用適當的方法解一元二次方程：
(1)x2－6x－1＝0；
(2)2x2－5x－1＝0；
(3)4x(2x－1)＝3(2x－1).
10．若方程(a2＋b2)2－2(a2＋b2)－8＝0，則a2＋b2的值為( )
A．4 B．－2
C．4或－2 D．－4或2
A
x2－x－1＝0
13．解下列方程：
(1)(x－2)2－5(x－2)－6＝0；
解：x1＝8，x2＝1
(2)(2x－3)2－2(2x－3)－3＝0.
解：x1＝3，x2＝1
根據上面的解答，解決下面的問題：
(1)填空：在由原方程得到方程①的過程中，利用____法達到了降次的目的，體現了____的數學思想；
(2)解方程：x4－x2－12＝0.
解：(2)令a＝x2，則原方程可化為a2－a－12＝0，解得a＝－3或a＝4，當a＝－3時，x2＝－3，方程無解；當a＝4時，x2＝4，解得x1＝2，x2＝－2，故原方程的解是x1＝2，x2＝－2
換元
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階段自測(一)
第二十一章　一元二次方程
1．把一元二次方程(x＋2)(x－3)＝4化成一般形式，得( )
A．x2＋x－10＝0 B．x2－x－6＝4
C．x2－x－10＝0 D．x2－x－6＝0
2．(蘭州中考)x＝1是關于x的一元二次方程x2＋ax＋2b＝0的解，
則2a＋4b＝( )
A．－2 B．－3 C．－1 D．－6
C
A
3．(山西中考)一元二次方程x2－4x－1＝0配方后可化為( )
A．(x＋2)2＝3 B．( x＋2)2＝5
C．(x－2)2＝3 D．( x－2)2＝5
4．一元二次方程4x2－4x＋1＝0的根的情況是( )
A．有兩個不等的實數根 B．有兩個相等的實數根
C．無實數根 D．無法確定
D
B
5．(泰州中考)已知x1，x2是關于x的方程x2－ax－2＝0的兩根，
下列結論一定正確的是( )
A．x1≠x2 B．x1＋x2＞0
C．x1·x2＞0 D．x1＜0，x2＜0
6．(2020·銅仁)已知m，n，4分別是等腰三角形(非等邊三角形)三邊的長，且m，n是關于x的一元二次方程x2－6x＋k＋2＝0的兩個根，則k的值等于( )
A．7 B．7或6
C．6或－7 D．6
A
B
7．(2020·鎮江)一元二次方程x2－2x＝0的兩根分別為_____________．
8．(2020·東營)如果關于x的一元二次方程x2－6x＋m＝0有實數根，
那么m的取值范圍是____．
9．若關于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的兩根分別為－2和6，
則多項式x2＋bx＋c因式分解的結果是__________________．
10．菱形的兩條對角線長分別是方程x2－14x＋48＝0的兩實數根，
則菱形的面積為____．
x1＝0，x2＝2
m≤9
(x＋2)(x－6)
24
0
13．(16分)解方程：
(1)x2－4x＝1；
(2)2x2－7x＋5＝0；
(3)9(x－1)2－4(2－3x)2＝0；
(4)(2y＋1)2＋3(2y＋1)＋2＝0.
16．(10分)(孝感中考)已知關于x的一元二次方程x2－2(a－1)x＋a2－a－2＝0有兩個不相等的實數根x1，x2.
(1)若a為正整數，求a的值；
(2)若x1，x2滿足x12＋x22－x1x2＝16，求a的值．
解：(1)∵關于x的一元二次方程x2－2(a－1)x＋a2－a－2＝0有兩個不相等的實數根，∴Δ＝[－2(a－1)]2－4(a2－a－2)＞0，解得a＜3，∵a為正整數，∴a＝1，2　(2)∵x1＋x2＝2(a－1)，x1x2＝a2－a－2，∵x12＋x22－x1x2＝16，∴(x1＋x2)2－3x1x2＝16，∴[－2(a－1)]2－3(a2－a－2)＝16，解得a1＝－1，a2＝6，∵a＜3，∴a＝－1(共19張PPT)
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21．3　實際問題與一元二次方程
第二十一章　一元二次方程
第2課時　增長率及商品利潤問題
1．(2020·河南)國家統計局統計數據顯示，我國快遞業務收入逐年增加.2017年至2019年我國快遞業務收入由5000億元增加到7500億元．設我國2017年至2019年快遞業務收入的年平均增長率為x，則可列方程為( )
A．500(1＋2x)＝7500
B．5000×2(1＋x)＝7500
C．5000(1＋x)2＝7500
D．5000＋5000(1＋x)＋5000(1＋x)2＝7500
C
2．(衡陽中考)國家實施“精準扶貧”政策以來，很多貧困人口走向了致富的道路．某地區2016年底有貧困人口9萬人，通過社會各界的努力，2018年底貧困人口減少至1萬人．設2016年底至2018年底該地區貧困人口的年平均下降率為x，根據題意列方程得( )
A．9(1－2x)＝1 B．9(1－x)2＝1
C．9(1＋2x)＝1 D．9(1＋x)2＝1
3．(青海中考)某種藥品原價每盒60元，由于醫療政策改革，價格經過兩次下調后現在售價每盒48.6元，則平均每次下調的百分率為____．
B
10%
4．(邵陽中考)2019年1月14日，國新辦舉行新聞發布會，海關總署新聞發言人李魁文在會上指出：在2018年，我國進出口規模創歷史新高，全年外貿進出口總值為30萬億元人民幣．有望繼續保持全球貨物貿易第一大國地位．預計2020年我國外貿進出口總值將達36.3萬億元人民幣．求這兩年我國外貿進出口總值的年平均增長率．
解：設年平均增長率為x，根據題意列方程得30(1＋x)2＝36.3，解得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(舍去).答：我國外貿進出口總值的年平均增長率為10%
5．某種花卉每盆的盈利與每盆的株數有一定的關系，每盆植3株時，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利減少0.5元，要使每盆的盈利達到15元，每盆應多植多少株？設每盆多植x株，則可以列出的方程是( )
A.(3＋x)(4－0.5x)＝15 B．(x＋3)(4＋0.5x)＝15
C．(x＋4)(3－0.5x)＝15 D．(x＋1)(4－0.5x)＝15
6．某種文化衫，平均每天銷售40件，每件盈利20元，若每件降價1元，則每天可多銷售10件，如果每天要盈利1080元，則每件應降價_________元．
A
2或14
7．(鹽城中考)一商店銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．為了擴大銷售、增加盈利，該店采取了降價措施，在每件盈利不少于25元的前提下，經過一段時間銷售，發現銷售單價每降低1元，平均每天可多售出2件．
(1)若降價3元，則平均每天銷售數量為____件；
(2)當每件商品降價多少元時，該商店每天銷售利潤為1200元？
解：(1)若降價3元，則平均每天銷售數量為20＋2×3＝26(件).故答案為26　(2)設每件商品應降價x元時，該商店每天銷售利潤為1200元．根據題意，得(40－x)(20＋2x)＝1200，整理，得x2－30x＋200＝0，解得x1＝10，x2＝20.∵要求每件盈利不少于25元，∴x2＝20應舍去，故x＝10.答：每件商品應降價10元時，該商店每天銷售利潤為1200元
26
8．(日照中考)某省加快新舊動能轉換，促進企業創新發展．某企業一月份的營業額是1000萬元，月平均增長率相同，第一季度的總營業額是3990萬元．若設月平均增長率是x，那么可列出的方程是( )
A．1000(1＋x)2＝3990
B．1000＋1000(1＋x)＋1000(1＋x)2＝3990
C．1000(1＋2x)＝3990
D．1000＋1000(1＋x)＋1000(1＋2x)＝3990
B
9．(烏魯木齊中考)賓館有50間房供游客居住，當每間房每天定價為180元時，賓館會住滿；當每間房每天的定價每增加10元時，就會空閑一間房．如果有游客居住，賓館需對居住的每間房每天支出20元的費用．當房價定為多少元時，賓館當天的利潤為10890元？設房價定為x元．則有( )
B
10．(2020·上海)去年某商店十一黃金周進行促銷活動期間，前六天的總營業額為450萬元，第七天的營業額是前六天總營業額的12%.
(1)求該商店去年十一黃金周這七天的總營業額；
(2)去年，該商店7月份的營業額為350萬元，8，9月份營業額的月增長率相同，十一黃金周這七天的總營業額與9月份的營業額相等．求該商店去年8，9月份營業額的月增長率．
解：(1)450＋450×12%＝504(萬元).答：該商店去年十一黃金周這七天的總營業額為504萬元　(2)設該商店去年8，9月份營業額的月增長率為x，依題意，得350(1＋x)2＝504，解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合題意，舍去).答：該商店去年8，9月份營業額的月增長率為20%
11．(鄭州模擬)為積極響應新舊動能轉換，提高公司經濟效益，某科技公司近期研發出一種新型高科技設備，每臺設備成本價為30萬元，經過市場調研發現，每臺售價為40萬元時，年銷售量為600臺；每臺售價為45萬元時，年銷售量為550臺．假定該設備的年銷售量y(單位：臺)和銷售單價x(單位：萬元)成一次函數關系．
(1)求年銷售量y與銷售單價x的函數關系式；
(2)根據相關規定，此設備的銷售單價不得高于70萬元，如果該公司想獲得10000萬元的年利潤，則該設備的銷售單價應是多少萬元？
(2)設此設備的銷售單價為x萬元/臺，則每臺設備的利潤為(x－30)萬元，銷售數量為(－10x＋1000)臺，根據題意得(x－30)(－10x＋1000)＝10000，整理，得x2－130x＋4000＝0，解得x1＝50，x2＝80.∵此設備的銷售單價不得高于70萬元，∴x＝50.答：該設備的銷售單價應是50萬元/臺
12．(重慶中考)某地大力發展經濟作物，其中果樹種植已初具規模，今年受氣候、雨水等因素的影響，櫻桃較去年有小幅度的減產，而枇杷有所增產．
(1)該地某果農今年收獲櫻桃和枇杷共400千克，其中枇杷的產量不超過櫻桃產量的7倍，求該果農今年收獲櫻桃至少多少千克？
(2)該果農把今年收獲的櫻桃、枇杷兩種水果的一部分運往市場銷售，該果農去年櫻桃的市場銷售量為100千克，銷售均價為30元/千克，今年櫻桃的市場銷售量比去年減少了m%，銷售均價與去年相同，該果農去年枇杷的市場銷售量為200千克，銷售均價為20元/千克，今年枇杷的市場銷售量比去年增加了2m%，但銷售均價比去年減少了m%，該果農今年運往市場銷售的這部分櫻桃和枇杷的銷售總金額與他去年櫻桃和枇杷的市場銷售總金額相同，求m的值．
解：(1)設該果農今年收獲櫻桃x千克，根據題意得400－x≤7x，解得x≥50，答：該果農今年收獲櫻桃至少50千克　(2)由題意，得100(1－m%)×30＋200×(1＋2m%)×20(1－m%)＝100×30＋200×20，令m%＝y，原方程可化為：3000(1－y)＋4000(1＋2y)(1－y)＝7000，整理可得8y2－y＝0，解得y1＝0，y2＝0.125，∴m1＝0(舍去)，m2＝12.5，答：m的值為12.5

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