資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
新人教版七年級數學上名師點撥與訓練
第6章 幾何圖形
6.3.1 角
學習目標：
1.理解角的兩種定義和相關概念，掌握角的表示方法.
2.會正確使用量角器測量角的大小.
3.認識角的單位，會進行度、分、秒之間的換算.
重點：角的兩種定義以及三種表示方法.
難點：度、分、秒及其換算.
老師告訴你
角的表示方法
知識點撥
知識點1、角的概念
角的定義：
（1）定義一：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊．如圖1所示，角的頂點是點O，邊是射線OA、OB．
（2）定義二：一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形，射線旋轉時經過的平面部分是角的內部．如圖2所示，射線OA繞它的端點O旋轉到OB的位置時，形成的圖形叫做角，起始位置OA是角的始邊，終止位置OB是角的終邊．
2.注意：
（1）兩條射線有公共端點，即角的頂點；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長短無關．
（2）平角與周角：如圖1所示射線OA繞點O旋轉，當終止位置OB和起始位置OA成一條直線時，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續旋轉，OB和OA重合時，所形成的角叫做周角．
【新知導學】
例1-1．圖中以OC為邊的角有幾個？請把它們表示出來.
【對應導練】
1．下列關于角的說法正確的個數是( )
①角是由兩條射線組成的圖形；②角的邊越長，角越大；③在角一邊延長線上取一點D；④角可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形.
A.1 B.2 C.3 D.4
2．下列關于平角、周角的說法正確的是( )
A.平角是一條直線 B.周角是一條射線
C.反向延長射線OA，就形成一個平角 D.兩個銳角的和不一定小于平角
知識點2 、角的表示
角的幾何符號用“∠”表示，角的表示法通常有以下四種：
注意：
用數字或小寫希臘字母表示角時，要在靠近角的頂點處加上弧線，且注上阿拉伯數字或小寫希臘字母．
【新知導學】
例2-1．下列圖形中能用、、三種方法表示同一個角且角表示正確的圖形是( )
A. B.
C. D.
例2-2．下列圖形中,能用和表示同一個角的是( )
A. B.
C. D.
【對應導練】
1．如圖，下列說法錯誤的是( )
A.可用表示 B.也可用表示
C.也可用表示 D.也可用表示
2．如圖，給出下列說法：①和是同一個角；②和是同一個角；③和是同一個角；④和不是同一個角.其中正確的有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
3．圖中以OC為邊的角有幾個？請把它們表示出來.
知識點3 、角的度量與換算
角的度量
可類比時鐘上的時、分、秒來說明角的度量單位度、分、秒之間也是60進制，將高級單位化為低級單位時，乘以60，反之，將低級單位轉化為高級單位時除以60. 同時，在進行度、分、秒的運算時也應注意借位和進位的方法.
1°＝60′ ，1′＝60″，1周角＝360°，1平角＝180°
以度分秒為單位的角的度量制，叫做角度制，以弧度為基本度量單位叫弧度制.在軍事上常常使用密位制；角的測量工具有： 量角器、經緯儀。
【新知導學】
例3-1．計算：______°______′.
例3-2．比較大小：________.(填“>”“<”或“=”)
【對應導練】
1．把一個平角16等分，則每份（用度、分、秒表示）為_________.
2．將用度、分、秒的形式為( )
A. B. C. D.
3．等于 分，等于 　　秒，等于 　　度．
二、題型訓練
1.畫一個角等于已知角
1．畫幾個不同的四邊形，使每個四邊形中都有，，的角.量一量這些四邊形中另一個角的度數，你能發現什么規律？
2．同時使用如圖所示的一副三角尺能畫出哪些角度（小于的角）？至少畫出3個表示不同角度的圖形，說明理由.
2.角的表示及計數
3．如圖，寫出：
（1）以C為頂點的所有角；
（2）以AB為一邊的所有角；
（3）以F為頂點，FB為一邊的所有角.
4．觀察圖，完成下列問題：
（1）如圖①，內部有一條射線，則圖中有個角；
（2）如圖②，內部有兩條射線，，則圖中有________個角；
（3）如果內部有10條射線，那么圖中有_________個角.
5．根據給出的圖形解答下列問題：
（1）表示成，這樣的表示方法是否正確？如果不正確，應該怎樣改正？
（2）圖中哪個角可以用一個大寫字母表示？
（3）以A為頂點的角有幾個？請表示出來.
（4）與是同一個角嗎？請說明理由.
3.角度的換算
6．計算：
（1）把3.38°化為度、分、秒的形式.
（2）把化成度的形式.
7．計算并寫出簡單的過程：
（1）將用度、分、秒表示；
（2）將用度來表示.
8．填空：
（1）_________°_________'_________"；
（2）_________°；
（3）_________'=_________°；
（4）_________'=_________".
4.鐘表上的角度問題
9．（1）時鐘的時針旋轉多少度？
（2）時鐘的分針旋轉多少度？
（3）3時25分，時鐘的時針與分針所成的角是多少度？
.
10．如圖，在圓形鐘面上，點O為鐘面的圓心，以點O為頂點按要求畫出符合下列要求的角（角的兩邊不經過鐘面上的數字）：
（1）在圖（1）中畫一個銳角，使銳角的內部含有2個數字，且數字之差的絕對值最大；
（2）在圖（2）中畫一個直角，使直角的內部含有3個數字，且所含3個數字之積等于這3個數字之和；
（3）在圖（3）中畫一個鈍角，使鈍角的內部含有4個數字，且數字之和最小；
（4）在圖（4）中畫一個平角，使平角的內部與外部的數字之和相等；
（5）在圖（5）中畫兩個直角，使這兩個直角的內部含有的3個數字之和相等.（畫出一種即可）
三、課堂達標
一、單選題（每小題4分，共32分）
1．將用度、分、秒的形式為( )
A. B. C. D.
2．圖中角的表示方法正確的有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
3．把化為用度表示的形式，下列正確的是( )
A. B. C. D.
.
4．下列圖形中，能用，，三種方法表示同一個角的是( )
A. B.
C. D.
5．下列各角中，是銳角的是( )
A.周角 B.平角 C.平角 D.周角
6．下列說法與如圖所示的幾何圖形相符的是( )
A.點D在線段的延長線上 B.可以表示成
C.射線與射線表示同一條射線 D.
7．時針從上午8時開始沿順時針方向旋轉，此時是( ).
A.9時 B.9時30分 C.10時 D.10時30分
8．如圖，下列說法錯誤的是( )
A.可用表示 B.也可用表示
C.也可用表示 D.也可用表示
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．__________°，__________'__________".
11．如圖，當7時30分時，時鐘上的時針與分針的夾角為__________°.
12．如圖，在的內部從O引出3條射線，那么圖中共有__________個角；引出5條射線，共有__________個角；引出n條射線，共有__________個角.
13．已知，，則_______（填“>”，“<”或“=”）.
三、解答題（每小題4分，共20分）
14．圖中以OC為邊的角有幾個？請把它們表示出來.
15．請將圖中的角用不同方法表示出來，并填寫下表：
16．已知如圖,在同一平面內,有任意四點A、B、C、D.
(1)畫出直線,射線,連接；
(2)小紅測量,,求的度數；
(3)直接寫出圖中共有幾個角(平角除外).
18．請根據圖回答下列問題.
（1）表示成，表示成，表示成，這樣的表示方法對不對？如果不對，應該怎樣改正？
（2）圖中哪個角可以用一個字母來表示？
（3）圖中共有幾個小于平角的角？請列舉出來.
19．如圖4-3-1-6
（1）以點B為頂點的角有幾個？分別表示出來；
（2）請分別指出以射線BA為邊的角；
（3）以D為頂點，DC為一邊的小于平角的角有幾個？
分別寫出來.
新人教版七年級數學上名師點撥與訓練
第6章 幾何圖形
6.3.1 角
學習目標：
1.理解角的兩種定義和相關概念，掌握角的表示方法.
2.會正確使用量角器測量角的大小.
3.認識角的單位，會進行度、分、秒之間的換算.
重點：角的兩種定義以及三種表示方法.
難點：度、分、秒及其換算.
老師告訴你
角的表示方法
知識點撥
知識點1、角的概念
角的定義：
（1）定義一：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊．如圖1所示，角的頂點是點O，邊是射線OA、OB．
（2）定義二：一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形，射線旋轉時經過的平面部分是角的內部．如圖2所示，射線OA繞它的端點O旋轉到OB的位置時，形成的圖形叫做角，起始位置OA是角的始邊，終止位置OB是角的終邊．
2.注意：
（1）兩條射線有公共端點，即角的頂點；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長短無關．
（2）平角與周角：如圖1所示射線OA繞點O旋轉，當終止位置OB和起始位置OA成一條直線時，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續旋轉，OB和OA重合時，所形成的角叫做周角．
【新知導學】
例1-1．圖中以OC為邊的角有幾個？請把它們表示出來.
答案：見解析
解析：以OC為邊的角有3個，分別為，，.
【對應導練】
1．下列關于角的說法正確的個數是( )
①角是由兩條射線組成的圖形；②角的邊越長，角越大；③在角一邊延長線上取一點D；④角可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形.
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：A
解析：角是由兩條具有公共端點的射線組成的圖形，①錯誤；
角的大小與邊的長短無關，②錯誤；
角的邊是射線，不能延長，③錯誤.
④角可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形.，④正確。
故選A
2．下列關于平角、周角的說法正確的是( )
A.平角是一條直線 B.周角是一條射線
C.反向延長射線OA，就形成一個平角 D.兩個銳角的和不一定小于平角
答案：C
解析：平角的兩邊在一直線上，但一條直線構不成平角，A錯誤
周角的兩邊在一條射線上，但一條射線構不成周角，B錯誤
反向延長射線OA構成有公共端點的兩條射線，構成角，C正確。
每個銳角都小于90°，它們的和小于180度，小于平角，D錯誤，
故選C
知識點2 、角的表示
角的幾何符號用“∠”表示，角的表示法通常有以下四種：
注意：
用數字或小寫希臘字母表示角時，要在靠近角的頂點處加上弧線，且注上阿拉伯數字或小寫希臘字母．
【新知導學】
例2-1．下列圖形中能用、、三種方法表示同一個角且角表示正確的圖形是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：A.該圖可用、表示,不能用表示,故不符合題意；
B.該圖可用、表示,不能用表示,故符合題意；
C.該圖可用、表示,不能用表示,故不符合題意；
D.該圖可用、表示,不能用表示,故不符合題意.
故選B.
例2-2．下列圖形中,能用和表示同一個角的是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解析：A、因為頂點O處只有一個角,所以這個角能用和,符合題意；
B、因為頂點O處不止一個角,所以這里的所有角均不能用表示,不符合題意；
C、因為頂點O處不止一個角,所以這里的所有角均不能用表示,不符合題意；
D、因為頂點O處不止一個角,所以這里的所有角均不能用表示,不符合題意；
故選A.
【對應導練】
1．如圖，下列說法錯誤的是( )
A.可用表示 B.也可用表示
C.也可用表示 D.也可用表示
答案：B
解析：
2．如圖，給出下列說法：①和是同一個角；②和是同一個角；③和是同一個角；④和不是同一個角.其中正確的有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
答案：C
解析：根據角的定義及表示方法，可知①與滿足頂點相同，兩邊所在的射線相同，所以和是同一個角，正確；
②與滿足頂點相同，兩邊所在的射線相同，所以和是同一個角，正確；
③與的頂點相同，兩邊所在的射線不同，所以和不是同一個角，錯誤；
④與的頂點不同，兩邊所在的射線也不同，所以和不是同一個角，正確.
綜上，說法正確的有3個.
3．圖中以OC為邊的角有幾個？請把它們表示出來.
答案：見解析
解析：以OC為邊的角有3個，分別為，，.
知識點3 、角的度量與換算
角的度量
可類比時鐘上的時、分、秒來說明角的度量單位度、分、秒之間也是60進制，將高級單位化為低級單位時，乘以60，反之，將低級單位轉化為高級單位時除以60. 同時，在進行度、分、秒的運算時也應注意借位和進位的方法.
1°＝60′ ，1′＝60″，1周角＝360°，1平角＝180°
以度分秒為單位的角的度量制，叫做角度制，以弧度為基本度量單位叫弧度制.在軍事上常常使用密位制；角的測量工具有： 量角器、經緯儀。
【新知導學】
例3-1．計算：______°______′.
答案：;
解析：
∵
∴
故答案為：;.
例3-2．比較大小：________.(填“>”“<”或“=”)
答案：>
解析：；
故答案為：>.
【對應導練】
1．把一個平角16等分，則每份（用度、分、秒表示）為_________.
答案：
解析：
.因為，
所以，
故答案為.
2．將用度、分、秒的形式為( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：，
.
∴.
故選C.
3．等于 分，等于 　　秒，等于 　　度．
【解析】解：因為，
所以；
因為，
所以；
因為，
所以；
故答案為：24；75；1.5．
二、題型訓練
1.畫一個角等于已知角
1．畫幾個不同的四邊形，使每個四邊形中都有，，的角.量一量這些四邊形中另一個角的度數，你能發現什么規律？
答案：第四個角都是，發現四邊形的四個內角和為
解析：圖略，通過畫出不同的四邊形且圖中有，，的角，經過測量，這些四邊形中第四個角都是，發現四邊形的四個內角和為.
2．同時使用如圖所示的一副三角尺能畫出哪些角度（小于的角）？至少畫出3個表示不同角度的圖形，說明理由.
答案：、、、、、、、、、、，圖見解析，
解析：用三角板畫出角，是用角度加減法.比如：畫個的角，先將角在紙上畫出來，再將角疊加就畫出了角.如圖：
用一副三角板可以畫出：、、、、、、、、、、.
2.角的表示及計數
3．如圖，寫出：
（1）以C為頂點的所有角；
（2）以AB為一邊的所有角；
（3）以F為頂點，FB為一邊的所有角.
答案：（1），，，，，
（2），，
（3），，
解析：（1）由圖可知：以C為公共端點的射線分別為：射線CB，射線CE，射線CF，射線CD，兩兩組合可形成：，，，，，；
以C為頂點的角：，，，，，；
（2）如圖可知：以射線BA的端點B為公共端點的射線為：射線BF，射線BC，可組成：，；
以射線AB的端點A為公共端點的射線為：射線AD，可組成：，
故以AB為一邊的角：，，.
（3）以射線FB的端點F為公共端點的射線為：FA，FC，FD，可組成：，，.
故以F為頂點，FB為一邊的角：，，.
4．觀察圖，完成下列問題：
（1）如圖①，內部有一條射線，則圖中有個角；
（2）如圖②，內部有兩條射線，，則圖中有________個角；
（3）如果內部有10條射線，那么圖中有_________個角.
答案：（1）3
（2）6
（3）66
解析：（1）圖①中有，，共3個，
故答案為：3.
（2）在內部畫2條射線，，則圖中有、、、、、，
共個不同的角；
故答案為：6.
（3）按逆時針方向，以射線為角的始邊，
則題圖①中分別以射線，為角的終邊共有兩個角：，；
以射線為始邊，射線為終邊有一個角：，
所以題圖①中角的個數是；
同理，題圖②中角的個數是；
經過觀察，可以發現角內部射線的條數總比第一個加數小1，
當內部有10條射線時，角的個數是：
.
5．根據給出的圖形解答下列問題：
（1）表示成，這樣的表示方法是否正確？如果不正確，應該怎樣改正？
（2）圖中哪個角可以用一個大寫字母表示？
（3）以A為頂點的角有幾個？請表示出來.
（4）與是同一個角嗎？請說明理由.
答案：解：（1）不正確，以A為頂點的角有3個，故不能用表示，可表示為.
（2）題圖中可以用一個大寫字母表示.
（3）以A為頂點的角有3個，分別是、、.
（4）不是同一個角.理由：這兩個角的頂點不同.
解析：
3.角度的換算
6．計算：
（1）把3.38°化為度、分、秒的形式.
（2）把化成度的形式.
答案：解：（1）；
（2）.
解析：
7．計算并寫出簡單的過程：
（1）將用度、分、秒表示；
（2）將用度來表示.
答案：（1），
，
所以.
（2），.
.
所以.
解析：
8．填空：
（1）_________°_________'_________"；
（2）_________°；
（3）_________'=_________°；
（4）_________'=_________".
答案：（1）8；45；36；
（2）4.23；
（3）600；10；
（4）9；540
解析：
4.鐘表上的角度問題
9．（1）時鐘的時針旋轉多少度？
（2）時鐘的分針旋轉多少度？
（3）3時25分，時鐘的時針與分針所成的角是多少度？
答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）時鐘的時針旋轉.
（2）時鐘的時針旋轉.
（3）.
10．如圖，在圓形鐘面上，點O為鐘面的圓心，以點O為頂點按要求畫出符合下列要求的角（角的兩邊不經過鐘面上的數字）：
（1）在圖（1）中畫一個銳角，使銳角的內部含有2個數字，且數字之差的絕對值最大；
（2）在圖（2）中畫一個直角，使直角的內部含有3個數字，且所含3個數字之積等于這3個數字之和；
（3）在圖（3）中畫一個鈍角，使鈍角的內部含有4個數字，且數字之和最小；
（4）在圖（4）中畫一個平角，使平角的內部與外部的數字之和相等；
（5）在圖（5）中畫兩個直角，使這兩個直角的內部含有的3個數字之和相等.（畫出一種即可）
答案：（1）見解析
（2）見解析
（3）見解析
（4）見解析
（5）見解析
解析：（1）~（4）如圖（1）~圖（4）所示.
（5）如圖（5）所示，答案不唯一.
三、課堂達標
一、單選題（每小題4分，共32分）
1．將用度、分、秒的形式為( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：，
.
∴.
故選C.
2．圖中角的表示方法正確的有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
答案：B
解析：題圖①應表示為或或；
題圖②，是平角，正確；
題圖③，射線與周角是兩個概念；
題圖④可以表示為，正確.
綜上所述，正確的有2個.
故選B.
3．把化為用度表示的形式，下列正確的是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：因為，所以，
因為，所以，
所以.
4．下列圖形中，能用，，三種方法表示同一個角的是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解析：A選項中，可用，，三種方法表示同一個角；
B選項中，能用表示，不能用表示；
C選項中，點A、O、B在一條直線上，
能用表示，不能用表示；
D選項中，能用表示，不能用表示；
故選：A.
5．下列各角中，是銳角的是( )
A.周角 B.平角 C.平角 D.周角
答案：D
解析：周角為，平角為，
所以周角，平角，
周角.
故選D.
6．下列說法與如圖所示的幾何圖形相符的是( )
A.點D在線段的延長線上 B.可以表示成
C.射線與射線表示同一條射線 D.
答案：D
解析：A、點在線段的延長線上，原說法錯誤，不符合題意；
B、不可以表示成（點C處不止一個角），原說法錯誤，不符合題意；
C、射線與射線表示不同的射線，原說法錯誤，不符合題意；
D、，原說法正確，符合題意；
故選：D.
7．時針從上午8時開始沿順時針方向旋轉，此時是( ).
A.9時 B.9時30分 C.10時 D.10時30分
答案：C
解析：由題意得：時針從上午8時開始沿順時針方向旋轉，旋轉角為，
時鐘一大格一小時是，
，
時鐘的時針旋轉了兩大格即2小時，從上午的8時到上午10時，
故選：C.
8．如圖，下列說法錯誤的是( )
A.可用表示 B.也可用表示
C.也可用表示 D.也可用表示
答案：B
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．__________°，__________'__________".
答案：49.5225；21；36
解析：因為，所以.因為，所以，所以.因為，，所以.
10．比較大小：___________(填“>”“<”或“=”).
答案：>
解析：因為，
所以，
故答案為：>.
11．如圖，當7時30分時，時鐘上的時針與分針的夾角為__________°.
答案：45
解析：
12．如圖，在的內部從O引出3條射線，那么圖中共有__________個角；引出5條射線，共有__________個角；引出n條射線，共有__________個角.
答案：10；21；
解析：如果引出3條射線，那么題圖中共有10個角；引出5條射線，共有21個角；引出n條射線，共有個角.
13．已知，，則_______（填“>”，“<”或“=”）.
答案：>
解析：，
，
，
故答案為：>.
三、解答題（每小題4分，共20分）
14．圖中以OC為邊的角有幾個？請把它們表示出來.
答案：見解析
解析：以OC為邊的角有3個，分別為，，.
15．請將圖中的角用不同方法表示出來，并填寫下表：
答案：見解析
解析：（填表略）由題圖可知，，（或），（或），.
16．已知如圖,在同一平面內,有任意四點A、B、C、D.
(1)畫出直線,射線,連接；
(2)小紅測量,,求的度數；
(3)直接寫出圖中共有幾個角(平角除外).
答案：(1)見解析
(2)
(3)5
解析：(1)如圖,
(2)∵,,
∴；
(3)圖中的角有：,,,,,共5個.
17．說出圖中共有幾個角,并分別寫出它們.
答案：逆時針方向數,
以為始邊的角有、、 ,
以為始邊的角有、,
以為始邊的角有,
所以題圖中共有個角,
它們分別是,,,,,.
解析：
18．請根據圖回答下列問題.
（1）表示成，表示成，表示成，這樣的表示方法對不對？如果不對，應該怎樣改正？
（2）圖中哪個角可以用一個字母來表示？
（3）圖中共有幾個小于平角的角？請列舉出來.
（1）答案：表示方法不對，表示成，表示成，表示成
解析：表示成，表示成，表示成，
這樣的表示方法不對，
正確的表示方法為表示成，表示成，表示成.
（2）答案：
解析：圖中可以用一個字母表示的角為.
（3）答案：11個，列舉見解析
解析：圖中小于平角的角有、、、、、、、、、，.
一共有11個角小于平角.
19．如圖4-3-1-6
（1）以點B為頂點的角有幾個？分別表示出來；
（2）請分別指出以射線BA為邊的角；
（3）以D為頂點，DC為一邊的小于平角的角有幾個？
分別寫出來.
答案：（1）以點B為頂點的角有，共3個.
（2）以射線BA為邊的角有.
（3）以D為頂點，DC為一邊的小于平角的角有，共2個.
解析：
圖2
圖1
圖2
圖1
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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