資源簡介

(共23張PPT)
5.2.2同角三角函數的基本關系
單元主題：三角函數的概念與性質
高中數學/人教A版/必修/第一冊
學習目標
2.會利用同角三角函數的基本關系進行三角函數的求值、化簡與證明。
4.通過對同角三角函數的基本關系的應用，體驗分類討論、數形結合和方程的數學思想，學會理性思維分析問題。
3.通過合作探究、交流討論、小組展示等環節，養成團結協作、樂學善學、勇于探究的習慣。
1.會推導并理解同角三角函數的基本關系式，掌握同角三角函數之間的聯系。
三角函數值的符號
正弦、余弦、正切函數值在各象限內的符號如圖所示：
一、創設情境 引入新知
正弦一二切一三，余弦一四緊相連
成立條件：顯然，當的終邊與坐標軸重合時，這個公式也成立.
根據三角函數的定義，當時，有：
語言表述：同一個角的正弦與余弦的商等于該角的正切.
同角三角形函數的基本關系------商數關系
作用：弦切的轉化
三、合作探究 再探新知
·
？
回到概念
α的終邊
P(x，y)
O
x
y
·
三角函數的概念
同角三角函數的基本關系--------平方關系
如圖，設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P，那么，點P的橫、縱坐標之間有什么內在聯系？由此能得到什么結論？
P(x，y)
O
x
y
x
1
α
x2+y2=1
同角三角形函數的基本關系
上述關系反映了角α的正弦和余弦之間的內在聯系，根據等式的特點，將它稱為平方關系.
O
x
y
P
P
思考：當角α的終邊在坐標軸上時，上述關系成立嗎？語言表述 作用？
新知探索
平方關系
商數關系
同一個角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于這個角的正切.
同角三角函數的基本關系
思考：“同角”一詞的含義是什么？
(1)注意“同角”，這里“同角”有兩層含義，一是“角相同”，二是對“任意”一個角(在使函數有意義的前提下)關系式都成立，即與角的表達形式無關，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立.
(2)注意同角三角函數的基本關系式都是對于使它們有意義的角而言的，sin2α＋cos2α＝1對一切α∈R恒成立，而tan α＝僅對α≠＋kπ(k∈Z)成立.

四、小題快練 小試牛刀
判斷正誤.
(1)對任意角，都成立.( )
(2)對任意角，都成立.( )
(3)因為，所以成立，其中、為任意角.( )
(4)對任意角，都成立.( )
√
×
×
×
五、應用新知 三角求值
∴
∴
4
3
tan
5
4
sin
1
cos
4
3
tan
5
4
sin
1
cos
2
2
=
=
-
=
-
=
-
=
-
-
=
a
a
a
a
a
a
a
a
在第四象限時，
當
在第三象限時，
當
在第三象限時，
a
在第三象限時，
當
a
在第三象限時，
cos
當
a
在第三象限時，
a
cos
當
a
在第三象限時，
=
a
cos
當
a
在第三象限時，
-
=
a
cos
當
a
在第三象限時，
-
=
a
cos
當
a
在第三象限時，
1
-
=
a
cos
當
a
在第三象限時，
-
1
-
=
a
cos
當
a
在第三象限時，
sin
-
1
-
=
a
cos
當
a
在第三象限時，
2
sin
-
1
-
=
a
cos
當
a
在第三象限時，
a
2
sin
-
1
-
=
a
cos
當
a
在第三象限時，
=
a
2
sin
-
1
-
=
a
cos
當
a
在第三象限時，
-
=
a
2
sin
-
1
-
=
a
cos
當
a
在第三象限時，
5
-
=
a
2
sin
-
1
-
=
a
cos
當
a
在第三象限時，
5
-
=
a
2
sin
-
1
-
=
a
cos
當
a
在第三象限時，
tan
5
-
=
a
2
sin
-
1
-
=
a
cos
當
a
在第三象限時，
a
tan
5
-
=
a
2
sin
-
1
-
=
a
cos
當
a
在第三象限時，
=
a
tan
5
-
=
a
2
sin
-
1
-
=
a
cos
當
a
在第三象限時，
-
=
a
tan
5
-
=
a
2
sin
-
1
-
=
a
cos
當
a
在第三象限時，
4
-
=
a
tan
5
-
=
a
2
sin
-
1
-
=
a
cos
當
a
在第三象限時，
∴
4
=
a
tan
5
-
=
a
2
sin
-
1
-
=
a
cos
當
a
在第三象限時，
a
∴
4
=
a
tan
5
-
=
a
2
sin
-
1
-
=
a
cos
當
a
在第三象限時，
當
a
∴
4
=
a
tan
5
-
=
a
2
sin
-
1
-
=
a
cos
當
a
在第三象限時，
cos
在第四象限時，
當
a
∴
4
=
a
tan
5
-
=
a
2
sin
-
1
-
=
a
cos
當
a
在第三象限時，
a
cos
在第四象限時，
當
a
∴
4
=
a
tan
5
-
=
a
2
sin
-
1
-
=
a
cos
當
a
在第三象限時，
=
a
cos
在第四象限時，
當
a
∴
4
=
a
tan
5
-
=
a
2
sin
-
1
-
=
a
cos
當
a
在第三象限時，
1
=
a
cos
在第四象限時，
當
a
∴
4
=
a
tan
5
-
=
a
2
sin
-
1
-
=
a
cos
當
a
在第三象限時，
1
=
a
cos
在第四象限時，
當
a
∴
4
=
a
tan
5
-
=
a
2
sin
-
1
-
=
a
cos
當
a
在第三象限時，
-
1
=
a
cos
在第四象限時，
當
a
∴
4
=
a
tan
5
-
=
a
2
sin
-
1
-
=
a
cos
當
a
在第三象限時，
sin
-
1
=
a
cos
在第四象限時，
當
a
∴
4
=
a
tan
5
-
=
a
2
sin
-
1
-
=
a
cos
當
a
在第三象限時，
2
a
sin
-
1
=
a
cos
在第四象限時，
當
a
∴
4
=
a
tan
5
-
=
a
2
sin
-
1
-
=
a
cos
當
a
在第三象限時，
4
=
2
a
sin
-
1
=
a
cos
在第四象限時，
當
a
∴
4
=
a
tan
5
-
=
a
2
sin
-
1
-
=
a
cos
當
a
在第三象限時，
4
=
2
a
sin
-
1
=
a
cos
在第四象限時，
當
a
∴
4
=
a
tan
5
-
=
a
2
sin
-
1
-
=
a
cos
當
a
在第三象限時，
5
4
=
2
a
sin
-
1
=
a
cos
在第四象限時，
當
a
∴
4
=
a
tan
5
-
=
a
2
sin
-
1
-
=
a
cos
當
a
在第三象限時，
4
五、應用新知 三角求值
方程(組)思想
這兩個關系是不是很給力？可以做到知一求二！
思想升華
思考問題
思考：能否總結出求同角三角函數值的一般步驟？
求同角三角函數值的一般步驟：
1.根據已知三角函數值的符號，確定角所在象限；
2.對角所在象限進行分類討論；
3.利用兩個基本關系式求出其他三角函數值；
4.根據角所在象限確定由平方關系開方后的符號，進而求出其三角函數值.
所以原式成立.
六、等式證明 再用新知
例2.求證：
所以原式成立.
證法二：
例2.求證：
六、等式證明 再用新知
例2.求證：.
=0
.
六、等式證明 再用新知
方法總結
還有沒有其它方法
？
問題思考
思考：恒等式證明常用方法
基本思路:
1.從一邊開始證明它的另一邊，一般由繁到簡，通過恒等式變形得到另一個式子。
2.考慮選取與原式等價的式子，通過等價轉化推出原式。
3.作差比較大小。
七、歸納小結 升華新知
《同角三角函數的基本關系》小結思維導圖
等式證明（一題多解）
三角函數的定義
應
用
三角求值（分類討論的思想、數形結合的思想、方程思想）
核心素養
提 升
邏輯推理的素養
數學運算的素養
數學抽象的素養
（知識生成）
（方法構建）
（素養提升）
八、作業布置 反饋新知
作業設計：
必做題：課本習題5.2 復習鞏固 第6題（1）（2）（3）題
選做題：課本習題5.2 綜合運用 第11題 第12題
九、課堂自我評價
學生課堂自我評價表
評價內容 評價等級 評價目的
我能認真聽老師講課，聽同學發言。 能否認真專注
遇到我會回答的問題都主動舉手了。 能否主動參與
發言時聲音響亮 能否自由表達
我能積極參與小組討論活動，能與他人合作？ 能否善于合作
善于思考，并能有條理地表達自己不同的看法。 能否勤于反思
我會指出同學錯誤的解答 是否敢于質疑
我能常得到老師的表揚、同學的贊賞。 能否自我認同
注：本評價表是學生對自己課堂表現用 ★ 作出評價，五顆星表示滿意或很滿意，四顆星表示基本滿意，三顆星或三顆星以下星表示不滿意。

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