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第一章
集合與常用邏輯用語
1.1 集合的概念
匯報人：快樂星貓喵
情景導(dǎo)入
集合論是德國著名數(shù)學(xué)家康托爾于19世紀(jì)末創(chuàng)立的。十七世紀(jì)數(shù)學(xué)中出現(xiàn)了一門新的分支：微積分。在之后的一二百年中這一嶄新學(xué)科獲得了飛速發(fā)展并結(jié)出了豐碩成果。其推進(jìn)速度之快使人來不及檢查和鞏固它的理論基礎(chǔ)。十九世紀(jì)初，許多迫切問題得到解決后，出現(xiàn)了一場重建數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的運(yùn)動。正是在這場運(yùn)動中，康托爾開始探討了前人從未碰過的實(shí)數(shù)點(diǎn)集，這是集合論研究的開端。到1874年康托爾開始一般地提出“集合”的概念。人們把康托爾于1873年12月7日給戴德金的信中最早提出集合論思想的那一天定為集合論誕生日。
觀察以下實(shí)例：
（1）1~10以內(nèi)的所有偶數(shù)；
（2）立德中學(xué)今年入學(xué)的全體高一新生；
（3）所有的正方形； （4）到直線的距離等于定長的點(diǎn)；
（5）方程的所有實(shí)數(shù)根；
（6）地球上的四大洋。
上述例子有什么共同特征？每個例子中的事物都能構(gòu)成集合嗎？構(gòu)成它們的事物分別是什么？
情景導(dǎo)入
一、集合的概念
集合的定義：
一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素（element）；
把一些元素組成的總體叫做集合（set）（簡稱集）
我們通常用大寫拉丁字母表示集合，
用小寫拉丁字母表示集合中的元素
一、集合的概念
（1）“我們班中高個子同學(xué)”、“年輕人”、“接近0的數(shù)”是否可以構(gòu)成一個集合？
（2）由1，3，0，5，|-3| 這些數(shù)組成的集合中有幾個元素？
（3）我們班的全體同學(xué)可不可以構(gòu)成集合？調(diào)整座位后這個集合有沒有變化？
一個給定的集合當(dāng)中的元素是互不相同的，即集合中的元素不會重復(fù)出現(xiàn)
集合中的元素排列沒有順序之分，只要某兩個集合當(dāng)中的元素相同，
那么它們就是相等的集合。｛1，2，3｝和｛3，2，1｝是同樣的集合
對于一個給定的集合，它的元素必須是確定的。也就是說，給定一個集合，那么一個元素在或不在這個集合中就確定了
確定性
互異性
確定性
一、集合的概念
集合中元素的性質(zhì)：
（1）確定性：一個給定集合中的元素必須是 ；
（2）互異性：一個給定集合中的元素是 ；
（3）無序性：一個給定集合中的元素是 。
確定的
互不相同的
沒有先后順序的
集合相等：只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個集合相等，記作：“A = B”
注：即使排列順序不同，但只要兩個集合元素相同，也應(yīng)看作兩個集合相等
二、集合與元素之間的關(guān)系
考察下面兩個實(shí)例：
（1）用表示高一（2）班全體學(xué)生組成的集合；
（2）用表示高一（2）班一位同學(xué)，表示高一（3）班的一位同學(xué)。
思考：與集合分別有什么關(guān)系？
是集合中的元素，就說屬于集合，記作“”，讀作“屬于”,
不是是集合中的元素，就說不屬于集合，記作“”，讀作“不屬于”.
注：屬于和不屬于符號具有方向性，開口方向指向集合
三、常用的數(shù)集及其記法
常用數(shù)集 意義 記作
自然數(shù)集
全體非負(fù)整數(shù)組成的集合
正整數(shù)集
全體正整數(shù)組成的集合
整數(shù)集
全體整數(shù)組成的集合
有理數(shù)集
全體有理數(shù)組成的集合
實(shí)數(shù)集
全體實(shí)數(shù)組成的集合
以上數(shù)集之間的關(guān)系如圖所示：
N*
N
Z
Q
R
練一練：
例1：判斷下列元素是否可以組成集合？并說明理由。
（1）大于3小于11的偶數(shù)；
（2）我國的小河流。
是
否
例2：用符號“”或“”填空。
（1）2 ； （2）
（3）0 （4）
四、集合的表示
常用的數(shù)集有其約定的表示方法，比如自然數(shù)集，正整數(shù)集等；從上面的例子看到，我們也可以用自然語言表示一個集合，比如所有的正方形等。除此之外，我們還可以用什么方法表示集合呢？
思考：“地球上的四大洋”組成的集合怎么表示？“1~10之間的所有偶數(shù)”組成的集合呢？
{ 太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋 }
{ 2，4，6，8，10 }
像這樣把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“{ }”括起來表示集合的方法就做列舉法。
列舉法
大括號不能缺失；
元素中間用逗號隔開
解：（1）設(shè)小于10的所有自然數(shù)組成的集合為 A，那么
A={ 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 }
問題（3）應(yīng)該怎么表示呢？
（2）設(shè)方程的所有實(shí)數(shù)根組成的集合為 B，那么
B={ 0，1 }
例2：用列舉法表示下列集合：
（1）小于10的所有自然數(shù)組成的集合；
（2）方程的所有實(shí)數(shù)根組成的集合；
（3）不等式的所有解組成的集合（解集）。
四、集合的表示
集合的相等與元素的列舉順序無關(guān)，所以一個集合有多種列舉方法
四、集合的表示
觀察：這個集合中的元素具有什么性質(zhì)？
（1）集合中的元素都小于10；
（2）集合中的元素都是實(shí)數(shù)。
那么，我們可以通過描述其元素性質(zhì)的方法來表示，寫作：
一般地，設(shè)是一個集合，我們把集合中所具有的共同特征的元素所組成的集合表示為，這種表示集合的方法稱為描述法.
四、集合的表示
注意：用描述法表示集合需要注意什么問題？
（1）豎線前面表示的是集合的元素，，，分別是三個不同的集合；
（2）豎線后面寫清元素滿足的條件，一般是方程或不等式；
（3）不能出現(xiàn)未說明的字母，如未說明的取值情況，故集合中的元素不確定；
（4）所有描述內(nèi)容都要寫在花括號里面，如寫法不符合要求，應(yīng)該改為；
（5）多層描述時，要準(zhǔn)確適用“或”“且”等表示元素關(guān)系的詞語，如.
四、集合的表示
自然語言是最基本的語言形式，使用范圍廣，但是具有多義性，有時難于表達(dá)。
列舉法直觀地體現(xiàn)了元素的個體，但是有局限性，多適用于元素個數(shù)較少的有限集。
描述法具有抽象概括、普遍性的特點(diǎn)，適用于元素共同特征明顯的集合，有些集合元素沒有明顯的共同特征，則不能用描述法。
方程的解集
你能說出列舉法和描述法的優(yōu)缺點(diǎn)及實(shí)用范圍嗎？
牛刀小試
【①元素與集合關(guān)系的判斷】
下列選項(xiàng)中是集合中的元素的是（ ）
A. B. C. D.
對于A，當(dāng)時，，則；，則，不滿足題意；
對于B，當(dāng)時，，則；，則，不滿足題意；
對于C，當(dāng)時，，則；，則，不滿足題意；
對于A，當(dāng)時，，則；，則，滿足題意；
牛刀小試
【②已知元素與集合的關(guān)系求參數(shù)】
若集合中含有三個元素，且，求的值.
若，則，此時，滿足題意；
若，則，此時，不滿足題意；
若，則，時，，滿足題意；
時，由上述討論，不滿足題意.
牛刀小試
【③由集合相等求參數(shù)】
含有3個實(shí)數(shù)的集合既可以表示為，又可以表示為，則的值是多少？
由題意，易知且，
則有且或，
若，則由得，經(jīng)驗(yàn)證符合題意；
若，則，由得，不符合題意；
綜上，.

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