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中學物理解題研究
第二專題 剛體運動學初步
解題知識與方法研究
一、剛體作平面運動時，剛體上任意
兩點的速度、加速度在兩點連線方向
垂直投影
二、兩始終相互接觸的剛體作平面運動
時，兩剛體上的兩接觸點的速度、加速
度在接觸點處的法線方向的垂直投影
如圖，設某時刻剛體繞A的角速度為 ，
一、剛體作平面運動時，某剛體平面上任意兩點
的速度、加速度在連線方向上垂直投影的關系
兩端點乘以 ，
得
即
證明：
如圖,
則
解題知識與方法研究
1、速度投影的關系
兩點的加速度在兩點連線方向的垂直投影并不總是相等！
A 、 B 兩點的加速度在
A 、 B連線方向的投影
相等嗎？
2、加速度投影的關系
如下圖：
剛體上A、B兩點的加速度在AB
方向的垂直投影不相等.
A、B兩點在連線方向上的速度分量
的大小的變化率總是相等.
研究問題
什么情況下A、B兩點的加速度在兩點
連線方向的垂直投影相等？
如圖兩條位于同一豎直平面的水平軌道，相距h，兩個物體通過繞過小定滑
輪O的不可伸長的輕繩相連，A在下軌道以勻速率v運動，在繩子與軌道成30°角的瞬時，
繩BO段的中點處有一掛在繩上的小水滴P（與繩相對靜止）脫離繩子. 設繩長遠大于滑
輪的直徑. 求：
（1）水滴P脫離繩子時速度的大小和方向；
（2）水滴落至下軌道時所需的時間.
300
B
P
v
P
O
A
解
第（1）問解決了，就知道了水滴
做拋體運動的初速度，第（2）問
就容易解決了！
水滴脫離繩子的速度就是此時繩上P點速度.
vP
由于拉緊的繩上各點的速度沿繩長方向的投影都相等，
所以
①
又有
②
（1）
vP⊥
vP∥
vB
vB⊥
vB||
③
你能不能大致估計P點的
速度方向 ！
例1
300
A
B
P
v
vB
P
O
A
vP
vP⊥
vP∥
vB⊥
vB||
所以
（2）
水滴作斜下拋運動.
取正解
于是
而
進而得到P點速度大小為
題后總結
關鍵在于應用了平面運動的
剛體上兩點速度在連線方向
投影相等的性質！
其速度的豎直向下
的分量為
②
③
①
原解
如圖，
A點的速度
因為
長為L的桿AO用鉸鏈固定在O點，以角速度 圍繞O點勻速轉動，在O點的正上方有一個定滑輪B，一輕繩繞過B滑輪一端固定在桿的A端，另一端懸掛一個的重物M（圖1）, O 、B之間的距離為h.求當AB繩與豎直方向成 角時：
（1）重物M的運動速度；
（2）重物M的加速度.
所以
于是
（1）
OAB有
對三角形
例2
將此加速度分解成沿BA方向和垂直于BA方向兩個
分量.
沿BA方向的分量是
這就是M上升的加速度.
表面錯誤在于認為繩總不伸長，所以繩上各
點沿繩方向的速度、加速度垂直投影均相等！
根本錯誤在于認為 僅僅反映的是A點離開
滑輪（即繩伸長）的速率的變化快慢！
（2）
因為桿作勻角速度轉動，所以A點相對于O點
只有向心的加速度
新解
考慮以B為原點，BO為極軸的極坐標系.
A點的總加速度即為 .
其徑向分量為
而
所以
對△ABO，由余弦定理得
①
式中：
②
由此解出
③
②,③代入①化簡整理后即得
題后思考
對（1）得到的vM：
求導數確定aM，驗證上述新解的結果.
二、兩始終相互接觸的剛體作平面運動時，
兩剛體上的同一平面上的兩接觸點的速度、
加速度在接觸點處的法線方向的垂直投影
1、速度的投影
簡單證明：
如果兩剛體
上述分速度
不相等
兩剛體的接觸點經
過小量時間后沿法
向將有不同的位移
在法向上兩剛體壓縮
（與剛體概念不符）
在法向上兩剛體分離
(與始終接觸假定不符)
上述兩接觸點的速度在法向的投影相等.
2、加速度的投影
如圖1：
兩剛體上的A、B兩接觸點的
加速度在法向的垂直投影不相等.
兩物兩接觸點的加速度在
法向的投影并非總是相等！
圖1
如圖2：
兩剛體上的A、B兩接觸點的
加速度在法向的垂直投影相等.
兩物兩接觸點在法向的速度分
量的大小的變化率總是相等.
研究問題
什么情況下A、B兩接觸點的加速度在
法向的垂直投影相等？
如圖所示，AB桿的A端以勻速v沿水平地面向右運動，在運動時桿恒與一固定
的半圓柱相切，半圓柱的半徑為R，當桿與水平線的交角為θ 時，求：（1）桿上的與半
圓柱接觸的點C的速度及桿的角速度ω ；（2）桿與半圓柱的切點C′的速度大小.
解
桿上的C點的速度在圓半徑R方向的投
影為零，
C點速度沿桿長方向.
如圖，正交分解A點速度：
則C點速度大小為
以C為基點，則A點繞C點以速度v2轉動.
角速度為
C′是不是前面說的“兩平
面光滑曲線的交點”？
能不能直接判斷在地面參照
系中C點速度的方向？
（1）
（2）
例3
嘗試讓桿轉動一角度
由如圖的幾何關系可知，當桿
轉動時，圓周上C′點轉過的角度等于等
于桿轉過的角度.
所以C′轉動的角速度為
進而
（2）
注意到圖中
于是
或者：
求C、C′的加速度，并比較其在半徑R
方向的投影的大小.
題后思考
1、平面運動剛體的瞬心可能在剛體內也可能在剛體外（或者說在剛體擴展部位上）
純滾動的輪子：
滑動的桿：
三、速度瞬心（簡稱瞬心、又稱瞬時轉動中心）的運動性質
瞬心在剛體上.
瞬心在剛體外.
定義：平面運動剛體上的瞬時速度為零的點.
2、速度瞬心位置（瞬心在定系中瞬時所占據的“座位”）一般會變動
剛體作定軸轉動的平面運動時，瞬心即固定軸, 瞬心位置不動.
上圖滾動的輪子，瞬心不斷變更位置，軌跡為平行斜面的直線.
3、瞬心速度為零但加速度不一定為零
上圖滑動桿的各時刻瞬心的位置變更的跡線為四分之一圓周(自己證明) .
瞬心位置變動的速度不是瞬心的速度.
滑動的桿
純滾動的輪子
瞬心的加速度不是瞬心位置變動的加速度.
上圖中純滾動的輪子瞬心加速度
上圖中滑桿的瞬心加速度
x
y
證明
（1）
（2）
即得
所以
瞬心M相對圓心轉動的向心加速度為
式中，
（此即為圓周上任一點繞圓心轉動的切線加速度）
對任何在靜止參考系K′中于平面上作變速純滾動的圓柱體（設其半徑為R, 某時
刻其圓心速度為vo、加速度為ao）. 證明：（1）圓周上的點繞圓心轉動的切向加速度為
ao ；（2）瞬心相對圓心轉動的總加速度等于 （3）瞬心在靜止參照系K′
中的加速度大小為 ,方向指向圓心.
例5
（3）
瞬心在靜止參照系K′中的加速度
所以
半徑為r的圓環A沿著半徑為R的固定圓環B的外側作純滾動，A的環心o繞著B
的環心作圓周運動的角速度記為 , 角加速度記為 . 試求：
（1）A環繞著環心o轉動的角速度 ;
（2）A環瞬心M對地的加速度a′M .
解
（1）
由此便得
（2）
A環環心o對地及瞬心M相對o的加速度情
況如圖(b) .
圖(b)
圖(a)
環心o的角速度、速度情況如圖(a) .
o對環B的中心，
有
o對瞬心M，
又有
于是
例6
方向：
大小：
方向：
大小：
方向：
大小：
方向：
大小：
最終得到
方向：向上.
圖(b)
向下.
向上.
向右.
向左.
方向：
即得
向上.
題后總結思考
兩題不難，須概念清楚；
比較此兩例的異同之處.
位矢長度的
變化率
位矢轉動的
角速度
類似向心加速度
類似切向
加速度
位矢長度變化率
的變化引起
科里奧利加速度：位矢長度
變化，結合旋轉因素造成橫
向速度變化所引起
極坐標系中的加速度：
在極坐標系中描述運動
極坐標系中的速度：

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