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(共36張PPT)
曲線運動發生的條件
合外力方向與速度方向不在一直線
ΣF
v
ΣFn
ΣFt
切向力改變速度大小
法向力改變速度方向
求解曲線運動的動力學方法
物體運動情況分析
物體受力情況分析
X
Y
如圖所示，滑塊A質量為M，因繩子的牽引而沿水平導軌滑動，繩子的另一端纏在半徑為r的鼓輪O上，鼓輪以等角速度ω轉動．不計導軌摩擦，求繩子的拉力FT與距離x之間的關系．
專題10-例1
B
x
A
r
ω
O
分析滑塊A受力：
A
Mg
FN
FT
v
vt
vn
重力Mg、導軌支持力FN，繩子拉力FT
分析滑塊A運動：
A沿導軌的運動可視做沿繩向繩與輪切點B的平動及以切點B為中心的轉動的合成
由牛頓第二定律:
A實際運動沿水平
由幾何關系
B
A
ω
　　　　　 如圖所示，套管A質量為M，因受繩子牽引沿豎直桿向上滑動．繩子另一端繞過離桿距離為L的滑輪B而纏在鼓輪上．當鼓輪轉動時，其邊緣上各點的速度大小為v0．求繩子拉力和距離x之間的關系．
X
Y
分析滑塊A受力：
Mg
FN
FT
重力Mg、繩子拉力FT、導軌支持力FN
分析滑塊A運動：
vA
v0
vt
滑塊沿導軌向上的運動速度vA可視作沿繩向滑輪B的法向速度v0及以B為中心轉動的切向速度vt的合成！
x
L
由牛頓第二定律:
A實際運動沿豎直，在水平方向滿足
　　　　　 如圖所示，長度為l的不可伸長的線系在豎直軸的頂端，在線的下端懸掛質量為m的一重物．再在這重物上系同樣長度的另一根線，線的下端懸掛質量也為m的另一個重物．軸以恒定角速度ω轉動．試證明第一根線與豎直線所成角度小于第二根線與豎直線所成角度．
ω
mg
mg
設第一根線上拉力為FT1，第二根線上拉力為FT2
FT2
FT1
在豎直方向
在水平方向
　　　　　 如圖所示，小物塊質量為m，在半徑為r的圓柱面上沿螺旋線形的滑槽滑動，運動的切向加速度大小為at=gsinα，式中α為螺旋線的切線與水平面的夾角，求：由于小物塊沿槽滑下而使圓柱面繞其中心軸轉動的力矩大小．
r
A
B
C
D
小物塊切向加速度的水平分量為 ：
gsinα
產生這個加速度的切向水平力大小：
此力反作用力為圓柱面所受沿柱面且方向水平之力，其對軸產生的力矩即為使柱面繞中心軸轉動的力矩：
v
v
　　　　　 如圖所示，質量為m，半徑為r的圓木擱在兩個高度相同的支架上，右支架固定不動，而左支架以速度v從圓木下面向外滑．求當兩個支點距離
時，圓木對固定支架的壓力FN．（兩支架開始彼此靠得很近，圓木與支架之間的摩擦不計）
B
r
O
A
r
由幾何關系知
分析圓木受力
mg
FNA
FNB
重力mg、支架A、B支持力FNA、 FNB
分析圓木運動：
圓木質心O繞A點轉動
v
圓木與B接觸,故接觸點具有相同的法向速度
O對A點轉動的線速度
圓木的運動方程
vO
FN
否則圓木已與固定支架脫離
　　　　　 如圖所示，用手握著一繩端在水平桌面上做半徑為r的勻速圓周運動，圓心為O，繩長為L，質量可以忽略，繩的另一端系著一個質量為m的小球，恰好也沿著一個以O點為圓心的大圓在桌面上運動，小球和桌面之間有摩擦，求：⑴手對細繩做功的功率P；⑵小球與桌面之間的動摩擦因數μ．
V
r
L
f
小球圓運動的半徑設為R
R
分析小球受力
T
繩拉力T；桌面摩擦力 f
∵小球圓周運動，在法向有
手拉端速度
ω
∵小球勻速圓周運動，在切向有
　　　　　 有兩個相同的單擺，把一個拴在另一個的下面，使它們各在一個水平面內做勻速圓周運動，設兩條擺線(長Ｌ)與豎直線所成的夾角都很小．已知在運動過程中兩條擺線一直保持在同一平面內，求此平面轉動的角速度，以及兩質點軌道半徑之比．
兩線兩球在豎直面內的態勢可以有左、右圖示兩種可能
R
mg
F1
F2
F1
mg
F2
R
分析各球受力及運動軌跡
r
r
mg
mg
在α、β小角度的條件下
等號兩邊相除得
由幾何關系得
水平直徑以上各點的臨界速度
⑴在水平直徑以上各點彈力方向是指向圓心的情況，例如系在繩端的小球，過山車……
線繩
v
mg
FT
當FT =0時，v 臨界=
v
軌道
mg
FN
在水平直徑以上各點不脫離軌道因而可做完整的圓運動的條件是 ：
⑵在水平直徑以上各點彈力方向是背離圓心的情況，例如車過拱形橋……
軌道
v
mg
FN
當FN =0時，v 臨界=
在水平直徑以上各點不脫離軌道的條件是 ：
機械能守恒
最高點與最低點的彈力差
能到達最高點的最低點速度
恰能到達最高點，最低點加速度
v上
mg
FN上
v下
mg
FN下
豎直面內的勻速圓周運動
mg
FN
Ff
v
mg
FN
v
Ff
如圖所示，一長為a的細線系著一小球懸掛在O點靜止不動．若使小球獲得一個水平初速度 ，略去空氣阻力，證明：小球的運動軌跡經過懸點O．
專題10-例2
小球運動軌跡會通過懸點O，是因為線繩在水平直徑上方與水平成某一角度α時，繩恰不再張緊，小球開始脫離圓軌道而做斜上拋運動
O
v
v0
y
x
0
繩上張力為零時小球達臨界速度
該過程機械能守恒:
圖示
h
小球做斜上拋運動設當y方向位移為-h時歷時t,有
續解
這段時間內小球完成的水平位移為
查閱
O
y
x
0
說明小球做斜拋運動過程中，通過了坐標為
的懸點O!
圖中，A是一帶有豎直立柱的木塊，總質量為M，位于水平地面上．B是一質量為m的小球，通過一不可伸長的輕繩掛于立柱的頂端．現拉動小球，使繩伸直并處于水平位置.然后讓小球從靜止狀態下擺．如在小球與立柱發生碰撞前，木塊A始終未發生移動，則木塊與地面之間的靜摩擦因數至少為多大？
專題10-例3
B
A
mg
v
分析小球B下擺時受力：
L
小球動力學方程
小球機械能守恒
分析木塊A受力：
A
Mg
FN
木塊靜止須滿足
由基本不等式性質：
FT
如圖所示，有一個質量均勻的大球殼，正好靜止在桌邊上，球殼與桌子無摩擦，對球殼輕輕一推，使其滾下桌子，計算球殼不再接觸到桌子的瞬間，球殼中心的速率．
專題10-例4
mg
FN
C
O
球殼靜止時，與桌邊接觸的一點O為其支點，球殼二力平衡!
輕推球殼，即給球殼一微擾，球殼的質心C將以支點O為軸，以球半徑R為半徑在豎直面內從初速度為零開始做圓周運動，其間重力勢能減少，動能增加；當球殼質心做圓運動所需向心力僅由重力來提供時，球與桌支持點間無擠壓，即開始脫離桌子．
設球殼“不再接觸桌子的瞬時”球心速度為v
mg
v
球殼動力學方程
球殼機械能守恒
EC
質心對O的轉動動能
球殼對質心C的轉動動能
例5
x
y
用微元法計算球殼對質心的轉動動能EC
ω
C
將球殼面分割成寬
的一條條極細的環帶
第i條環帶的質量
第i條環帶的速率
整個球殼對過C而垂直于豎直面的軸的轉動動能為
返回
筑路工人為了提高工作效率，把從山上挖出來的土石，盛在一個籮筐里，沿一條鋼索道滑至山下．如索道形狀為 的拋物線，且籮筐及它所盛的土石可以看作質量為m的質點，求籮筐自x=2a處自由滑至拋物線頂點時的速度，并求此時籮筐對鋼索的壓力.
專題10-例5
在以豎直向上方向為y軸正方向建立的坐標系中，鋼索呈頂點為坐標原點、開口向上的拋物線．
0
y
x
a
2a
v
v
g
由質點機械能守恒
質點在拋物線頂點的動力學方程
FN
mg
其中拋物線頂點的曲率半徑由
　　　　　 如圖所示，一輕繩跨越一固定水平光滑細桿，其兩端各系一小球，球a置于地面，球b從水平位置由靜止向下擺動，設兩球質量相同．求a球恰要離開地面時跨越細桿的兩繩之間的夾角．
b
a
l
L
設a球恰要離地時兩繩夾角為θ，此時a球與地面無擠壓,繩上張力恰與a球重力相等
mg
mg
FT
FT
b球機械能守恒
b球動力學方程
　　　　　 如圖所示，長為l的輕桿上端有一個質量為m的小重物，桿用鉸鏈固接在A點，并處于豎直位置，同時與質量為M的物體互相接觸．由于微小擾動使系統發生運動．試問質量之比 M/m為多少情況下，桿在脫離物體時刻與水平面成角α＝π/6，這時物體的速度u為多少？
M
m
l
A
小重物與物體恰要脫離時兩者接觸而無擠壓, 故物體的加速度為零!
小重物只受重力，小重物與物體水平速度相同
mg
v
u
過程中系統機械能守恒
小重物動力學方程
　　　　　 如圖所示，質量均為m的兩個小球固定在長度為l的輕桿兩端，直立在相互垂直的光滑墻壁和地板交界處．突然發生微小的擾動使桿無初速倒下，求當桿與豎直方向成角α時，A球對墻的作用力．
B
A
當A球對墻恰無作用力時，桿與豎直所成臨界角為φ
當桿與墻夾角α≥ φ 時
A球對墻無作用力
當桿與墻夾角α＜ φ 時
mg
v
FN
過程中B球機械能守恒
此時B球動力學方程
A球對墻的作用力
題14
R
一質點在光滑的固定半球面上距球心高度為H的任意點P，在重力作用下由靜止開始往下滑，從Q點離開球面，求PQ兩點的高度差h.
設球半徑為R
P
Q
H
mg
v
由機械能守恒:
Q點動力學方程為:
由幾何關系:
若質點從球頂部無初速滑下，則可沿球面滑下R/3的高度，釋放高度H越小，沿球面滑下的高度越短．這是一個有趣又有用的模型．
返回
x
O
m
y
R
　　　　　 質量為M、半徑為R的光滑勻質半球，靜止在光滑水平面上，在球頂有一質量為m的質點，由靜止沿球面下滑，求m離開M以前的軌跡方程和m繞球心O的角速度．
先確定m沿球面下滑的軌跡：
xM
M
在圖示坐標系中，沿x 方向系統動量守恒
則m的坐標
x
y
消去參數θ即得m在M上運動時的軌跡方程
設對應于θ角,m繞球心O的角速度為ω,M速度為VM
則m的速度
由x 方向系統動量守恒
續解
由系統機械能守恒
查閱
ω
m
l
相對做勻角速度轉動的非慣性參考系靜止的物體
小球受繩拉力而勻速轉動
小球受繩拉力而靜止
在相對于慣性參考系具有向心加速度的參考系中所引入的使牛頓定律仍能適用的力就是慣性離心力!
牛頓運動定律仍可適用
相對做勻角速度轉動的非慣性參考系運動的物體
A
O
u
r
Ff
FN
Fk
科里奧利力是轉動參考系中引入的假想的慣性力，其大小等于引起科里奧利加速度的真實力，方向相反．物體在轉動平面上沿任何方向運動時，都將受到一個與運動方向垂直的科里奧利力 :
如圖所示，在以角速度ω繞中心軸O勻速轉動的太空實驗室里，一長為l的細線，一端固定在中心軸O，另一端系一質量為m的小球，小球相對實驗室以速度v勻速轉動，轉動方向與ω相反，求細線上的拉力FT 的大小．
專題10-例6
O
ω
l
取太空實驗室為參考系,小球受線繩拉力FT和慣性離心力Fi和科里奧利力Fk
小球對太空實驗室的轉動速度為v
FT
Fi
Fk
由牛頓第二定律
其中
　　　　　 如圖所示，一對繞固定水平軸O和O'同步轉動的凸輪，使傳送裝置的水平平板發生運動．問凸輪以多大角速度轉動時，放在平板上的零件開始移動？當凸輪按順時針方向轉動情況下，零件將往什么方向移動？零件與平板之間的動摩擦因數為μ．凸輪半徑為r．
O
以具有加速度的板為參考系，零件處于平衡!
分析零件受力：
重力mg 板約束力（摩擦力與支持力合力）及慣性力mrω2
當靜摩擦力達最大時，板約束力方向與豎直成摩擦角φ=tan-1μ，三力應構成閉合三角形如示！
mg
mrω2r
tan-1μ
零件開始滑動ω的臨界值
續解
a
b
c
d
讀題
tan-1μ
mrω2r
若凸輪順時針轉動、角速度大于
mg
tan-1μ
矢量端點從a到b時，重力,約束力與慣性力不可能構成閉合三角形,且約束力水平分量向右!
以大虛線圓矢徑表示大于
的慣性力，所受慣性力方向變化如示:
零件向右滑
矢量端點從c到d時，重力,約束力與慣性力也不可能構成閉合三角形,且約束力水平分量向左 !
零件向左滑
　　　　　 輪船以等速率v沿赤道向東航行，試計算由此使船上物體重量產生的相對誤差，地球自轉角速度為ω．
設地球半徑為R，自轉角速度為ω，赤道上重力加速度為g
對地球參考系，船靜止在赤道上時貨物重即支持面支持力
科里奧利力
當船以速率v沿赤道向東航行時，貨物受：
地心引力F引
地面支持力F支
慣性離心力 F i=mRω2
對地球參考系，船以v沿赤道圓做勻速圓運動，有
相對誤差為
　　　　　 半徑為R＝0.5 m的空心球繞本身的豎直直徑旋轉，如圖所示，角速度為ω＝5 rad/s．在空心球內高度為R/2處有一小木塊同球一起旋轉，g取10 m/s2． ⒈實現這一情況所需的最小摩擦系數為多少？ ⒉求ω＝8 rad/s時實現這一情況的條件．
ω
⒈以球為參考系，小木塊靜止
mg
Fi
F
分析小木塊受力情況
重力mg
導軌約束力F
慣性離心力Fi
其中
R
代入數據解得
⒉若角速度增大，Fi增大
Fi0
當Fi=Fi時,摩擦力為零
FN
此時角速度
Fiω
F
將ω=8rad/s代入
O
　　　　　 如圖所示，橡皮圈掛在釘子上，這時它的長度為2h．然后使橡皮圈在水平面上旋轉起來，到轉動角速度達到ω時，它的長度也為2h．求橡皮圈轉動的角速度．
R
ω
h
橡皮圈豎直懸掛時，橡皮圈的張力從上到下線性變化!
TA
最上端的張力
最下端的張力
平均張力
水平面上
橡皮圈水平旋轉時，在圈上取一微元B
B
兩種情況下橡皮圈形變量相同
　　　　　 如圖所示，一個半徑為r＝10 cm的小環，從高度h＝20 cm處掉到桌上，此小圓環在空氣中繞其中心軸旋轉，軸在豎直方向，角速度ω0＝21 rad/s．圓環與桌面的碰撞為非彈性的，且碰撞時間很短．小環與桌面間摩擦系數為μ＝0.3，求小環停止時所轉的圈數．
ω0
小環剛著地時豎直速度為
繞軸轉動線速度為
落在桌面后，由于桌面彈力及摩擦力作用,先在極短時間Δt內使豎直速度變為零,同時繞軸轉動速度減為ω,而后變為μmg的摩擦力,使轉動速度亦減為零!
在碰撞短瞬由動量定理
設此后小環轉n圈停止，由動能定理
　　　　　 如圖所示，半徑為R的水平圓臺，可繞通過圓心O的豎直光滑細軸CC'轉動，圓臺上沿相互垂直的兩個半徑方向刻有槽，質量為mA的物體A放在一個槽內，A與槽底間的靜摩擦因數為μ0 ，質量為mB的物體B放在另一槽內，此槽是光滑的．AB間用一長為l（l＜R）且不可伸長的輕繩繞過細軸相連．試求當圓臺做勻角速轉動且A、B兩物體對圓臺不動時，轉動角速度ω和A到圓心的距離x所應滿足的條件（設此時A與槽的側面之間沒有作用力）
C′
C
A
B
O
A
B
O
x
F
當兩物體相對于轉盤靜止且A恰無摩擦時
F
AB的動力學方程
當兩物體相對于轉盤靜止且A恰未做遠離軸心移動時
AB的動力學方程
當兩物體相對于轉盤靜止且A恰未做移近軸心運動時
AB的動力學方程
結論
ω取任意值
　　　　　 如圖所示，一根不可伸長的輕繩，穿上一粒質量為m的小珠子，繩的一端固定在A點，另一端系在輕環上，環可以沿水平桿自由滑動．開始珠子被維持在環旁邊．此時繩是直的，但未被拉緊，繩子長度為L0 ，A點到桿的距離為h，繩能承受最大張力為T0．試求珠子被釋放后沿繩滑動到繩子被拉斷時的速度．（摩擦不計）
m
A
L0
h
v
Y
X
0
在圖示坐標中珠子運動軌方程為
這是開口向上、頂點為
的拋物線
設當珠子坐標為( x,y)時繩上張力達到T0
此時珠子速度
分析珠子受力
mg
T0
珠子下落過程只有重力功,機械能守恒
珠子的動力學方程
計算曲率半徑ρ
將珠子的運動等效為從高
處水平拋出、
、初速度為
射程為
的平拋運動
y
v
對軌跡上的P點:
查閱
則珠子速度

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