資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
新人教版七年級數學上名師點撥與訓練
第6章 幾何圖形 小結與復習
一、知識結構
二、知識點梳理
知識點一 立體圖形
立體圖形概念：有些幾何圖形的各部分不都在同一個平面內。
常見的立體圖形：棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球等。
平面圖形概念：有些幾何圖形的各部分都在同一個平面內。
常見的平面圖形：線段、角、三角形、長方形、圓等
【立體圖形和平面圖形的區別】
1、所含平面數量不同。
平面圖形是存在一個平面上的圖形。立體圖形是由一個或者多個平面形成的圖形，各部分不在同一平面內，且不同的立體圖形所含的平面數量不一定相同。
2、性質不同。
根據“點動成線，線動成面，面動成體”的原理可知，平面圖形是由不同的點組成的，而立體圖形是由不同的平面圖形構成的。由構成原理可知平面圖形是構成立體圖形的基礎。
3、觀察角度不同。
平面圖形只能從一個角度觀察，而立體圖形可從不同的角度觀察，如左視圖，正視圖、俯視圖等，且觀察結果不同。
4、具有屬性不同。
平面圖形只有長寬屬性，沒有高度；而立體圖形具有長寬高的屬性。
三視圖及展開圖
三視圖：從正面，左面，上面觀察立體圖形，并畫出觀察界面。
考察點：
（1）會判斷簡單物體（直棱柱、圓柱、圓錐、球）的三視圖。
（2）能根據三視圖描述基本幾何體或實物原型。
展開圖：正方體展開圖（難點）。
正方體展開圖口訣：
“一四一”“一三二”，“一”在同層可任意,
“三個二”成階梯,
“二個三”“日”相連,
異層必有“日”，“凹”“田”不能有，掌握此規律，運用定自如。
點、線、面、體
（1）幾何圖形的組成
點：線和線相交的地方是點，它是幾何圖形最基本的圖形。
線：面和面相交的地方是線，分為直線和曲線。
面：包圍著體的是面，分為平面和曲面。
體：幾何體也簡稱體。
（2）點動成線，線動成面，面動成體。
知識點二 直線、射線、線段
直線、射線、線段的區別與聯系：
【射線的表示方法】表示射線時端點一定在左邊。
經過若干點畫直線數量：
1.經過兩點有一條直線，并且只有一條直線。
2.過三個已知點不一定能畫出直線。
當三個已知點在一條直線上時，可以畫出一條直線；
當三個已知點不在一條直線上時，不能畫出直線。
比較線段長短
畫線段的方法：（1）度量法；（2）用尺規作圖法
線段的大小比較方法：
方法一 ：度量法
分別用刻度尺測量線段AB、線段CD的長度，再進行比較
方法二 ：疊加法
讓線段某一段端點重合，比較另一邊兩端點的位置。
線段中點：把一條線段分成兩條相等的線段的點叫線段中點；
實際問題
依據：線段公理：兩點之間線段最短。
兩點距離的定義：連接兩點間的線段的長度，叫做這兩點的距離。
知識點三 角
角的概念：由公共端點的兩條射線所組成的圖形叫做角。
角也可以看做由一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖。
角的分類：
∠β 銳角 直角 鈍角 平角 周角
范圍 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°＜∠β＜180° ∠β=180° ∠β=360°
角的表示法（四種）：
(1)角可以用三個大寫字母表示,但表示頂點的字母一定要寫在中間.
(2)用一個字母表示角, 必須是以這個字母為頂點的角，而且只有一個.
(3)用一個數字表示角,在靠近頂點處畫上弧線,寫上數字.
(4)用一個希臘字母表示,在靠近頂點處畫上弧線,寫上希臘字母.
角的度量：1°=60′；1′=60″；
1直角=90°；1平角=180 °；1周角=360°　
角的大小的比較：
（1）疊合法，使兩個角的頂點及一邊重合，另一邊在重合邊的同旁進行比較；
（2）度量法，分別用量角器測量兩個角的大小，再進行比較。
角的平分線：從一個角的頂點出發，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線。
時針和分針所成的角度：鐘表一周為360°，每一個大格為30°，每一個小格為6°.（每小時，時針轉過30°，即一個大格，分針轉過360°，即一周；每分鐘，分針轉過6°即一個小格）
互余與互補：
余角概念：如果兩個角的和等于直角，就說這兩個角互為余角，即其中一個是另一個的余角；
補角概念：如果兩個角的和等于平角，就說這兩個角互為補角，即其中一個是另一個的補角；
性質：等角的余角相等，等角的補角相等。
三、高頻考點
考點1，幾何圖形分類
1． 十八世紀瑞士數學家歐拉證明了簡單多面體中頂點數（V）、面數（F）、棱數（E）之間存在的一個有趣的關系式，被稱為歐拉公式。請你觀察圖中幾種簡單多面體的模型，解答下列問題。
（1）根據上面的多面體模型，得到如下表格：
多面體 頂點數（V） 面數（F） 棱數（E）
四面體 4 4 6
正方體 8 6 12
八面體 6 8 12
十二面體 20 12 30
你發現頂點數（V）、面數（F）、棱數（E）之間存在的關系式為　 　。
（2）若一個多面體的面數比頂點數大8，且有30條棱，則這個多面體的面數是　 　。
（3）某個玻璃飾品的外形是簡單多面體，它的外表面由三角形和八邊形兩種多邊形拼接而成，且有24個頂點，每個頂點處都有3條棱.設該多面體外表面三角形的個數是x，八邊形的個數是 y，求x+y的值。
2． 下列幾何體中，含有曲面的有（　?。?br/>A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
3．將下列幾何體分類（均填序號）：
（1）按“柱”“錐”“球”來分，柱體有　 　，錐體有　 　，球體有　 　.
（2） 按“有無曲面”來分，有曲面的有　 　，無曲面的有　 　.
（3） 按“有 無 頂點”來分，有頂 點 的有　 　，無頂點的有　 　.
4．下列圖形中屬于柱體的有（　?。?br/>A．5個 B．4個 C．3個 D．2個
考點2 從不同方向看立體圖形
5．如圖是某幾何體的三視圖，該幾何體是（　?。?br/>A．長方體 B．三棱錐 C．三棱柱 D．正方體
6．用12個大小相同的小正方體搭成如圖所示的幾何體，其中，小正方體的棱長為．
（1）請利用上面的網格畫出從正面看和從上面看該幾何體的形狀圖；
（2）圖中12個小正方體搭成的幾何體的表面積（包括與地面接觸的部分）是　 　；
（3）小明用若干個相同的小正方體搭成了另一個幾何體，結果發現從正面看和從上面看的形狀圖與剛才的完全一致，則小明所用的小正方體最多有　 　塊．
7．如圖是一個幾何體的三視圖，這個幾何體是（　　）
A．四棱柱 B．三棱柱 C．三棱錐 D．圓錐
8．如圖所示，是由6個大小相同的小立方體搭建而成的幾何體，其中每個小正方體的棱長都是1cm．
（1）請按要求在方格內分別畫出從這個幾何體的三個不同方向看到的形狀圖；
（2）求這個幾何體的表面積（包含底面）．
考點3 立體圖形的展開與折疊
9．下列是正方體展開圖的是（　?。?br/>A． B．
C． D．
10． 某班綜合實踐小組開展“制作長方體形紙盒”的實踐活動.
（1） 【知識準備】
如圖①~⑥圖形中，是正方體的表面展開圖的有 　 　(只填寫序號).
（2）【制作紙盒】
綜合實踐小組利用邊長為20cm的正方形紙板，按以上兩種方式制作長方體形盒子. 如圖⑦，先在紙板四角剪去四個同樣大小且邊長為3cm的小正方形，再沿虛線折合起來，可制作一個無蓋長方體形盒子.如圖⑧，先在紙板四角剪去兩個同樣大小邊長為3cm的小正方形和兩個同樣大小的小長方形，再沿虛線折合起來，可制作一個有蓋的長方體形盒子. 則制作成的有蓋盒子的體積是無蓋盒子體積的 　 　.
（3）【拓展探究】
若有蓋長方體形盒子的長、寬、高分別為2.5，2，1.5，將它的表面沿某些棱剪開，展成一個平面圖形.
①請直接寫出你剪開 　 　條棱；
②當該長方體形盒子表面展開圖的外圍的周長最小時，求此時該長方體形盒子表面展開圖的外圍的最小周長　 　.
11．如圖是一個正方體紙盒的外表面展開圖，則這個正方體是（　?。?br/>A． B．
C． D．
12．下列各圖形中，能折疊成棱柱的有（　?。﹤€
A．1 B．2 C．3 D．4
13．按照如圖所示的平面展開圖折疊成正方體后，相對面上的兩個數都互為相反數，那么　 ?。?br/>考點4 直線、射線、線段
14．下列語句準確規范的是（　　）
A．直線a，b相交于點m B．反向延長線至點C
C．延長射線 D．延長線段至點C，使得
15．如圖，下列說法正確的是 （　?。?br/>A．圖中有兩條線段 B．圖中共有6條射線
C．射線與射線是同一射線 D．直線與直線不同
16．下列各圖形中，有交點的是 （　　）
A． B．
C． D．
17． 如圖，已知點A，B，C，D，按要求畫圖：
⑴畫線段AB，射線AD，直線AC：
⑵連接BD與直線AC交于點E；
⑶連接BC，并延長線段BC與射線AD交于點F；
⑷連接CD，并延長CD與線段AB的反向延長線交于點G.
18． 尺規作圖：已知線段 a，b，c(b>c)，如圖所示.
求作：一條線段，使它等于a+b-c.
解：作法：⑴如圖，畫射線AE；
⑵在射線AE上順次截取AC，CD，使 AC=　 　，CD=　 ??；
⑶在線段AD上截取線段DB，使DB =　 　.
線段　 　為所求作的線段.
19． 如圖，把直角三角形 MON 的直角頂點 O 放在直線AB 上，射線OC平分∠AON.
（1）△MON 的位置如圖1所示.
①若∠MOC=28°，求∠BON 的度數.
②若∠MOC=m°，求∠BON 的度數(用含 m的式子表示).
（2）若將圖1 中三角形 MON 繞點O 旋轉到如圖 2 所示的位置，試問∠MOC 和∠BON 之間的數量關系是否發生變化 請說明理由.
考點5 線段的計算
20．如圖，點C 在線段AB 上，AC=2BC，點 D在點E 的左側。已知AB=18，DE=8，線段DE 在線段AB 上移動。
（1）當 E 為BC 的中點時，求AD 的長。
（2）若點 F(異于點A，B，C)在線段AB 上，AF=3AD，CE+EF=3，求AD 的長。
21．如圖，已知A，B，C 是數軸上的三點，O是原點，點C 表示的數為6，BC=4，AB=12。
（1）寫出數軸上點 A，B表示的數。
（2）動點 P，Q分別從點A，C同時出發，點P 以每秒6個單位長度的速度沿數軸向右勻速運動，點Q 以每秒3個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，M為AP 的中點，點 N 在線段CQ 上，且 設運動時間為t(s)(t>0)。
①求數軸上點 M，N表示的數(用含 t 的式子表示)。
②當t 為何值時，原點O 恰為線段PQ 的中點
22．一根繩子AB 的長為20cm，C，D 是繩子AB 上任意兩點(點C在點D 的左側)。將AC，BD分別沿C，D兩點翻折(翻折處長度不計)，A，B兩點分別落在CD 上的點E，F 處。
（1）當CD=12cm時，E，F 兩點間的距離為　 　 cm。
（2）當E，F 兩點間的距離為2cm時，CD的長為　 　 cm。
23．
（1）【問題探究】
如圖，點C，D 均在線段AB 上且點C 在點 D 左側，若AC=BD，CD=6 cm，AB=9 cm，則線段AC 的長為　 　 cm。
（2）【方法遷移】
已知點C，D 均在線段AB 上且點C 在點D 左側，若AC=BD，CD=a( cm)，AB=b( cm)(b>a)，則線段AC 的長為　 　 cm(用含a，b 的代數式表示)。
（3）【學以致用】
已知七年級某班共有m人，在本班參加拓展課報名統計時發現，選擇圍棋課的人數是n(n考點6 角的有關計算
24．如圖，OC在∠AOB的內部，∠BOC：∠AOC＝1：2．∠AOB＝63°，則∠AOC＝（　?。?br/>A．52° B．42° C．39° D．21°
25． 已知，OD平分∠AOC，求∠BOD的大小.
26． 如圖，∠BOC=70°，∠AOC=50°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.
（1）求出∠AOB及其補角的度數；
（2）求出∠DOC和∠AOE的度數，并判斷∠DOE與∠AOB是否互補；
（3）若，則∠DOE與∠AOB是否互補 請說明理由.
27．如圖①，∠AOB=120°，在∠AOB 內作兩條射線OC 和OD，且OM 平分∠AOD，ON 平分∠BOC。
（1）若∠AOC：∠COD：∠DOB=5：3：4，求∠MON 的度數。
（2）若將圖①中的∠COD 繞點O 按順時針旋轉一個小于 70°的角α，如圖②，其他條件不變，請直接寫出∠MON 的度數。
考點7 余角和補角
28．如圖，點在直線上，射線，在直線的同一側（其中，），射線平分，射線平分．若和互補，則（　?。?br/>A． B． C． D．
29． 已知一個角的補角比它的余角的4倍還多15°，求這個角的補角.
30． 如圖，以直線AB上的一點O 為端點，在直線 AB的上方作射線OP，使∠BOP=70°，將一塊直角三角尺的直角頂點放在點 O處，且直角三角尺（∠MON=90°）在直線AB的上方。設
（1）當n=32時，求∠PON 的大小。
（2）若031．如圖，直線AB，CD相交于點O，∠BOM=∠DON=90°.
（1）如圖1，若∠COM=35°，則∠BON的度數為　 　°.
（2）如圖1，請直接寫出圖中所有互余的角.
（3）如圖2，若射線 OE 在∠MOB 的內部，且 請比較∠MOE 與∠DOE的大小，并說明理由.
32． 如圖，O為直線 AB 上的一點，ON 平分∠BOC，OM平分∠AOC，那么圖中互余的角共有 (　　)
A．2對 B．3對 C．4對 D．6對
新人教版七年級數學上名師點撥與訓練
第6章 幾何圖形 小結與復習（解析版）
一、知識結構
二、知識點梳理
知識點一 立體圖形
立體圖形概念：有些幾何圖形的各部分不都在同一個平面內。
常見的立體圖形：棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球等。
平面圖形概念：有些幾何圖形的各部分都在同一個平面內。
常見的平面圖形：線段、角、三角形、長方形、圓等
【立體圖形和平面圖形的區別】
1、所含平面數量不同。
平面圖形是存在一個平面上的圖形。立體圖形是由一個或者多個平面形成的圖形，各部分不在同一平面內，且不同的立體圖形所含的平面數量不一定相同。
2、性質不同。
根據“點動成線，線動成面，面動成體”的原理可知，平面圖形是由不同的點組成的，而立體圖形是由不同的平面圖形構成的。由構成原理可知平面圖形是構成立體圖形的基礎。
3、觀察角度不同。
平面圖形只能從一個角度觀察，而立體圖形可從不同的角度觀察，如左視圖，正視圖、俯視圖等，且觀察結果不同。
4、具有屬性不同。
平面圖形只有長寬屬性，沒有高度；而立體圖形具有長寬高的屬性。
三視圖及展開圖
三視圖：從正面，左面，上面觀察立體圖形，并畫出觀察界面。
考察點：
（1）會判斷簡單物體（直棱柱、圓柱、圓錐、球）的三視圖。
（2）能根據三視圖描述基本幾何體或實物原型。
展開圖：正方體展開圖（難點）。
正方體展開圖口訣：
“一四一”“一三二”，“一”在同層可任意,
“三個二”成階梯,
“二個三”“日”相連,
異層必有“日”，“凹”“田”不能有，掌握此規律，運用定自如。
點、線、面、體
（1）幾何圖形的組成
點：線和線相交的地方是點，它是幾何圖形最基本的圖形。
線：面和面相交的地方是線，分為直線和曲線。
面：包圍著體的是面，分為平面和曲面。
體：幾何體也簡稱體。
（2）點動成線，線動成面，面動成體。
知識點二 直線、射線、線段
直線、射線、線段的區別與聯系：
【射線的表示方法】表示射線時端點一定在左邊。
經過若干點畫直線數量：
1.經過兩點有一條直線，并且只有一條直線。
2.過三個已知點不一定能畫出直線。
當三個已知點在一條直線上時，可以畫出一條直線；
當三個已知點不在一條直線上時，不能畫出直線。
比較線段長短
畫線段的方法：（1）度量法；（2）用尺規作圖法
線段的大小比較方法：
方法一 ：度量法
分別用刻度尺測量線段AB、線段CD的長度，再進行比較
方法二 ：疊加法
讓線段某一段端點重合，比較另一邊兩端點的位置。
線段中點：把一條線段分成兩條相等的線段的點叫線段中點；
實際問題
依據：線段公理：兩點之間線段最短。
兩點距離的定義：連接兩點間的線段的長度，叫做這兩點的距離。
知識點三 角
角的概念：由公共端點的兩條射線所組成的圖形叫做角。
角也可以看做由一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖。
角的分類：
∠β 銳角 直角 鈍角 平角 周角
范圍 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°＜∠β＜180° ∠β=180° ∠β=360°
角的表示法（四種）：
(1)角可以用三個大寫字母表示,但表示頂點的字母一定要寫在中間.
(2)用一個字母表示角, 必須是以這個字母為頂點的角，而且只有一個.
(3)用一個數字表示角,在靠近頂點處畫上弧線,寫上數字.
(4)用一個希臘字母表示,在靠近頂點處畫上弧線,寫上希臘字母.
角的度量：1°=60′；1′=60″；
1直角=90°；1平角=180 °；1周角=360°　
角的大小的比較：
（1）疊合法，使兩個角的頂點及一邊重合，另一邊在重合邊的同旁進行比較；
（2）度量法，分別用量角器測量兩個角的大小，再進行比較。
角的平分線：從一個角的頂點出發，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線。
時針和分針所成的角度：鐘表一周為360°，每一個大格為30°，每一個小格為6°.（每小時，時針轉過30°，即一個大格，分針轉過360°，即一周；每分鐘，分針轉過6°即一個小格）
互余與互補：
余角概念：如果兩個角的和等于直角，就說這兩個角互為余角，即其中一個是另一個的余角；
補角概念：如果兩個角的和等于平角，就說這兩個角互為補角，即其中一個是另一個的補角；
性質：等角的余角相等，等角的補角相等。
三、高頻考點
考點1，幾何圖形分類
1． 十八世紀瑞士數學家歐拉證明了簡單多面體中頂點數（V）、面數（F）、棱數（E）之間存在的一個有趣的關系式，被稱為歐拉公式。請你觀察圖中幾種簡單多面體的模型，解答下列問題。
（1）根據上面的多面體模型，得到如下表格：
多面體 頂點數（V） 面數（F） 棱數（E）
四面體 4 4 6
正方體 8 6 12
八面體 6 8 12
十二面體 20 12 30
你發現頂點數（V）、面數（F）、棱數（E）之間存在的關系式為　 　。
（2）若一個多面體的面數比頂點數大8，且有30條棱，則這個多面體的面數是　 　。
（3）某個玻璃飾品的外形是簡單多面體，它的外表面由三角形和八邊形兩種多邊形拼接而成，且有24個頂點，每個頂點處都有3條棱.設該多面體外表面三角形的個數是x，八邊形的個數是 y，求x+y的值。
【答案】（1）V+F-E=2
（2）20
（3）解：這個多面體的面數是x+y，棱數是 ，根據V+F-E=2，可得24+(x+y)-36=2，所以.x+y=14.
【知識點】立體圖形的初步認識
【解析】【解答】（1）關系式為：V+F-E=2；
故答案為：V+F-E=2.
（2）∵一個多面體的面數比頂點數大8，
∴F=V+8，
∵V+F-E=2，E=30，
∴V+8+V-30=2，
解得V = 12.
∴F = 20.
【分析】(1)觀察可得頂點數+面數-棱數=2；
(2)代入(1)中的式子即可得到面數；
(3)得到多面體的棱數，求得面數即為x+y的值.
2． 下列幾何體中，含有曲面的有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【知識點】立體圖形的初步認識
【解析】【解答】解：含有曲面的有球，圓柱，共2個，
故答案為：B.
【分析】根據平面分類：曲面和平面進行解答即可.
3．將下列幾何體分類（均填序號）：
（1）按“柱”“錐”“球”來分，柱體有　 　，錐體有　 　，球體有　 　.
（2） 按“有無曲面”來分，有曲面的有　 　，無曲面的有　 　.
（3） 按“有 無 頂點”來分，有頂 點 的有　 　，無頂點的有　 　.
【答案】（1）①②⑥；③⑤；④
（2）②③④；①⑤⑥
（3）①③⑤⑥；②④
【知識點】立體圖形的初步認識
【解析】【解答】解：（1）①長方體②圓柱③圓錐④球體⑤三棱錐⑥五棱柱
∴柱體有：①②⑥
椎體有：③⑤
球體有：④
（2）由（1）可得
有曲面的有：②③④ 無曲面的有 ：①⑤⑥
（3）由（1）可得
有頂點的有：①③⑤⑥ 無頂點的有 ：②④
故答案為：①②⑥；③⑤；④；②③④；①⑤⑥；①③⑤⑥；②④.
【分析】（1）根據①長方體②圓柱③圓錐④球體⑤三棱錐⑥五棱柱可得結果；
（2）根據①長方體②圓柱③圓錐④球體⑤三棱錐⑥五棱柱可得結果；
（3）根據①長方體②圓柱③圓錐④球體⑤三棱錐⑥五棱柱可得結果.
4．下列圖形中屬于柱體的有（　?。?br/>A．5個 B．4個 C．3個 D．2個
【答案】A
【知識點】立體圖形的初步認識
【解析】【解答】解：第一個幾何體為正方體，是柱體，滿足條件；
第二個幾何體為長方體，是柱體，滿足條件；
第三個幾何體為球體，不屬于柱體，不滿足條件；
第四個幾何體為圓柱體，是柱體，滿足條件；
第五個幾何體為圓錐，不屬于柱體，不滿足條件；
第六個幾何體為四棱柱，屬于柱體，滿足條件；
第七個幾何體為三棱柱，屬于柱體，滿足條件；
則屬于柱體的一共有5個，
故選：A．
【分析】本題主要考查了立體圖形的認識，根據柱體的定義：兩個互相平行且全等的面（通常稱為底面和頂面），以及側面之間的平行關系，根據底面和側面的形狀，柱體可以分為不同的類型，如圓柱、棱柱等；圓柱的底面是圓形，側面是曲面；棱柱的底面是多邊形，側面由矩形或平行四邊形組成，據此逐個幾何體進行分析判斷，即可得到答案.
考點2 從不同方向看立體圖形
5．如圖是某幾何體的三視圖，該幾何體是（　?。?br/>A．長方體 B．三棱錐 C．三棱柱 D．正方體
【答案】C
【知識點】由三視圖判斷幾何體
【解析】【解答】解：∵俯視圖是一個三角形，
∴AD不符合題意，
∵主視圖和左視圖都是長方形，
∴D不符合題意，C符合題意，
故答案為：C．
【分析】本題考查了由三視圖判斷幾何體，根據幾何體的俯視圖可排除AD選項，然后再由主視圖和俯視圖即可排除D選項，從而得到答案.
6．用12個大小相同的小正方體搭成如圖所示的幾何體，其中，小正方體的棱長為．
（1）請利用上面的網格畫出從正面看和從上面看該幾何體的形狀圖；
（2）圖中12個小正方體搭成的幾何體的表面積（包括與地面接觸的部分）是　 ?。?br/>（3）小明用若干個相同的小正方體搭成了另一個幾何體，結果發現從正面看和從上面看的形狀圖與剛才的完全一致，則小明所用的小正方體最多有　 　塊．
【答案】（1）解：如圖所示，即為所求；
（2）40
（3）16
【知識點】小正方體組合體的三視圖
【解析】【解答】解：（2）∴圖中12個小正方體搭成的幾何體的表面積（包括與地面接觸的部分）是；
（3）如圖所示，每個位置最多的情形如下，
∴小明所用的小正方體最多有塊．
故答案為：40；16
【分析】（1）根據幾何體的三視圖的規則，主左一樣高，主俯一樣寬，俯左一樣長，利用從正面看和上面的畫法在網格中畫圖，即可得到答案；
（2）根據幾何體的三視圖的規則，分前后、左右、上下統計正方形的個數，即可得到答案；
（3）根據幾何體的視圖還原幾何體，再確定能夠添加的位置和數量，即可得到答案．
（1）解：如圖所示，即為所求；
（2）解：
∴圖中12個小正方體搭成的幾何體的表面積（包括與地面接觸的部分）是；
（3）解：如圖所示，每個位置最多的情形如下，
∴小明所用的小正方體最多有塊．
7．如圖是一個幾何體的三視圖，這個幾何體是（　?。?br/>A．四棱柱 B．三棱柱 C．三棱錐 D．圓錐
【答案】B
【知識點】簡單幾何體的三視圖；由三視圖判斷幾何體
【解析】【解答】解：由于主視圖和俯視圖為長方形可得此幾何體為柱體，由左視圖為三角形可得為三棱柱．
故選：B．
【分析】本題主要考查了由幾何體的三視圖換元空間幾何體，其中主視圖與俯視圖長度方向對正，即主視圖和俯視圖的長度要相等；主視圖與左視圖高度方向平齊，即主視圖和左視圖的高度要相等；俯視圖與左視圖寬度方向相等，即左視圖和俯視圖的寬度要相等，據此分析判斷，即可求解.
8．如圖所示，是由6個大小相同的小立方體搭建而成的幾何體，其中每個小正方體的棱長都是1cm．
（1）請按要求在方格內分別畫出從這個幾何體的三個不同方向看到的形狀圖；
（2）求這個幾何體的表面積（包含底面）．
【答案】（1）解：幾何體的三個不同方向看到的形狀圖如圖所示：
（2）解：由圖形可知，共有6個小正方體，36個面，其中有5個面重合，∴該幾何體的表面積為（），
∴這個幾何體的表面積是26．
【知識點】作圖﹣三視圖；小正方體組合體的表面積
【解析】【分析】（1）根據從不同角度觀察得到的圖形作圖即可；
（2）共有6個小正方體，36個面，由組合體可知，其中5個面是重合的，所以用36個正方形面減去2×5個面即可求解.
（1）解：幾何體的三個不同方向看到的形狀圖如圖所示：
（2）解：由圖形可知，共有6個小正方體，36個面，其中有5個面重合，
∴該幾何體的表面積為（），
∴這個幾何體的表面積是26．
考點3 立體圖形的展開與折疊
9．下列是正方體展開圖的是（　?。?br/>A． B．
C． D．
【答案】D
【知識點】正方體的幾種展開圖的識別
【解析】【解答】解：A、∵選項的圖形，通過空間想象或者實際折疊嘗試，會發現無法折成正方體，存在相對的面相鄰的情況，∴A不符合題意；
B．∵選項的圖形經過分析和嘗試折疊，也不能折成正方體，存在面的位置關系不符合正方體展開圖的規則，∴B不符合題意；
C．∵選項的圖形無法折成正方體，存在面的位置沖突，∴C不符合題意；
D．∵選項的圖形可以通過空間想象或者實際折疊，能夠折成一個正方體，其面的位置關系符合正方體展開圖的要求，∴D符合題意；
故答案為：D.
【分析】利用正方體展開圖的特征逐項分析判斷即可.
10． 某班綜合實踐小組開展“制作長方體形紙盒”的實踐活動.
（1） 【知識準備】
如圖①~⑥圖形中，是正方體的表面展開圖的有 　 　(只填寫序號).
（2）【制作紙盒】
綜合實踐小組利用邊長為20cm的正方形紙板，按以上兩種方式制作長方體形盒子. 如圖⑦，先在紙板四角剪去四個同樣大小且邊長為3cm的小正方形，再沿虛線折合起來，可制作一個無蓋長方體形盒子.如圖⑧，先在紙板四角剪去兩個同樣大小邊長為3cm的小正方形和兩個同樣大小的小長方形，再沿虛線折合起來，可制作一個有蓋的長方體形盒子. 則制作成的有蓋盒子的體積是無蓋盒子體積的 　 　.
（3）【拓展探究】
若有蓋長方體形盒子的長、寬、高分別為2.5，2，1.5，將它的表面沿某些棱剪開，展成一個平面圖形.
①請直接寫出你剪開 　 　條棱；
②當該長方體形盒子表面展開圖的外圍的周長最小時，求此時該長方體形盒子表面展開圖的外圍的最小周長　 　.
【答案】（1）①⑤⑥
（2）
（3）4；26
【知識點】幾何體的展開圖；正方體的幾種展開圖的識別；已知展開圖進行幾何體的相關的計算
【解析】【解答】解：（1）①符合正方體表面展開圖的“2 3 1型”特征，因此①是正方體的表面展開圖；
②正方體有6個面，但圖中卻有7個正方形，因此②不是正方體的表面展開圖；
③正方體的表面展開圖缺失上底面或下底面，側面有一個面重合，因此③不是正方體的表面展開圖；
④正方體有6個面，但圖中卻有7個正方形，因此④不是正方體的表面展開圖；
⑤符合正方體表面展開圖的“3 3型”特征，因此⑤是正方體的表面展開圖；
⑥符合正方體表面展開圖的“2 2 2型”特征，因此⑥是正方體的表面展開圖；
綜上所述，是正方體表面展開圖的是①⑤⑥，
故答案為：①⑤⑥；
（2）根據題意可知，無蓋盒子的底面長為20 3×2＝14（cm），寬為20 3×2＝14（cm），高為3cm，
所以無蓋盒子的體積為：（20 3×2）×（20 3×2）×3＝588（cm3），
有蓋盒子的長：20 3×2＝14（cm），寬為：20÷2 3＝7（cm），高為：3cm，
因此有蓋盒子的體積為：14×7×3＝294（cm3），
∴制作成的有蓋盒子的體積是無蓋盒子體積的，
故答案為：；
（3）①要沿表面某些棱剪開，展成一個平面圖形，只需要剪一條側棱和下底的三條棱即可展開，
即1＋3＝4（條）
故答案為：4；
②設長方體長為a，寬為b，高為c，則長方體形盒子展開圖的周長C＝（2a＋2c＋b＋2c）×2＝4a＋8c＋2b，
想要周長最大，只需要c最大，b最小，此時a＝2.5，b＝2，c＝1.5，
則C＝4a＋8c＋2b＝4×2.5＋8×1.5＋2×2＝26，
∴該長方體形盒子表面展開圖的外圍的最大周長26．
故答案為：4；26.
【分析】（1）利用正方體展開圖的特征分析求解即可；
（2）先分別求出有蓋和無蓋的長方體的體積，再計算即可；
（3）①根據實際情況和正方體展開的特征分析求解即可；
②利用長方體周長公式的計算方法列出算式求解即可.
11．如圖是一個正方體紙盒的外表面展開圖，則這個正方體是（　?。?br/>A． B．
C． D．
【答案】D
【知識點】含圖案的正方體的展開圖
【解析】【解答】解：根據正方體紙盒的外表展開圖，得空心圓與一個實心圓的面是相對的，且空心圓只與一個實心圓面相鄰，
∴A、B、C都不符合題意，D符合題意，
故答案為：D．
【分析】觀察正方體的展開圖，得空心圓與實心圓之間的位置關系，從而進行判斷即可．
12．下列各圖形中，能折疊成棱柱的有（　?。﹤€
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知識點】幾何體的展開圖；棱柱及其特點；由展開圖判斷幾何體
【解析】【解答】解：根據棱柱展開圖的形狀，第一個圖無法折疊成棱柱；
第二圖可折疊成三棱柱；
第三個圖可折疊成長方體，即四棱柱；
第四個圖無法折疊成棱柱；所以能折疊成棱柱的有2個，
∴只有B選項正確，符合題意．
故答案為：B.
【分析】利用棱柱的特征及展開圖的特征逐項分析判斷即可.
13．按照如圖所示的平面展開圖折疊成正方體后，相對面上的兩個數都互為相反數，那么　 ?。?br/>【答案】4
【知識點】求有理數的相反數的方法；求代數式的值-直接代入求值；正方體的幾種展開圖的識別
【解析】【解答】解：根據正方體展開圖的特征可得：c與2是相對面，-3與b是相對面，a與-1是相對面，
∵相對面上的兩個數都互為相反數，
∴a=1，b=3，c=-2，
∴a+b=1+3=4，
故答案為：4.
【分析】先利用正方體展開圖的特征及相反數定義求出a、b、c的值，再將其代入a+b計算即可.
考點4 直線、射線、線段
14．下列語句準確規范的是（　　）
A．直線a，b相交于點m B．反向延長線至點C
C．延長射線 D．延長線段至點C，使得
【答案】D
【知識點】尺規作圖-直線、射線、線段
【解析】【解答】A中，直線的交點用大寫字母表示，故直線a、b相交于一點m，說法錯誤，所以A不合題意；
B中，直線向兩個方向無限延伸，故延長直線至點C，說法錯誤，所以B不合題意；
C中，射線向一個方向無限延伸，故延長射線，說法錯誤，所以C不合題意；
D中，延長線段至點C，使得，說法正確，所以D符合題意.
故選：D．
【分析】本題主要考查了直線、射線和線段的概念，依據直線、射線和線段的概念，結合選項，逐項分析判斷，即可得出結論．
15．如圖，下列說法正確的是 （　?。?br/>A．圖中有兩條線段 B．圖中共有6條射線
C．射線與射線是同一射線 D．直線與直線不同
【答案】B
【知識點】直線、射線、線段
【解析】【解答】解：A. 圖中有三條線段，故錯誤；
B. 圖中共有6條射線，故正確；
C. 射線與射線，端點本同，不是同一射線，故錯誤；
D. 直線與直線相同，故錯誤；
故答案為：B
【分析】根據直線、射線、線段的定義即可求出答案.
16．下列各圖形中，有交點的是 （　?。?br/>A． B．
C． D．
【答案】B
【知識點】直線、射線、線段
【解析】【解答】解：結合圖形，根據直線、射線和線段的延伸性，可判斷：
A、直線AB和射線CD不相交，沒有交點，本選項錯誤；
B、直線AB和射線CD一定能夠相交，本選項正確；
C、射線AB與線段CD不相交，沒有交點，本選項錯誤；
D、直線AB與線段CD不相交，沒有交點，本選項錯誤.
故答案為：B.
【分析】延伸性：直線向兩個方向無限延伸；射線向一個方向無限延伸；線段向兩個方向都無法延伸，據此一一判斷得出答案.
17． 如圖，已知點A，B，C，D，按要求畫圖：
⑴畫線段AB，射線AD，直線AC：
⑵連接BD與直線AC交于點E；
⑶連接BC，并延長線段BC與射線AD交于點F；
⑷連接CD，并延長CD與線段AB的反向延長線交于點G.
【答案】解：如圖所示：
【知識點】尺規作圖-直線、射線、線段
【解析】【分析】根據線段、射線和直線的定義及作出方法和題干中的要求作出圖形即可.
18． 尺規作圖：已知線段 a，b，c(b>c)，如圖所示.
求作：一條線段，使它等于a+b-c.
解：作法：⑴如圖，畫射線AE；
⑵在射線AE上順次截取AC，CD，使 AC=　 　，CD=　 　；
⑶在線段AD上截取線段DB，使DB =　 　.
線段　 　為所求作的線段.
【答案】a；b；c；AB
【知識點】尺規作圖-線段的和差
【解析】【解答】解：作法：⑴如圖，畫射線AE；
⑵在射線AE上順次截取AC，CD，使 AC=a，CD=b，
⑶在線段AD上截取線段DB，使DB =c，
線段AB為所求作的線段.
故答案為：a，b，c，AB.
【分析】利用線段定義及作圖方法作出圖形即可.
19． 如圖，把直角三角形 MON 的直角頂點 O 放在直線AB 上，射線OC平分∠AON.
（1）△MON 的位置如圖1所示.
①若∠MOC=28°，求∠BON 的度數.
②若∠MOC=m°，求∠BON 的度數(用含 m的式子表示).
（2）若將圖1 中三角形 MON 繞點O 旋轉到如圖 2 所示的位置，試問∠MOC 和∠BON 之間的數量關系是否發生變化 請說明理由.
【答案】（1）解：①∵∠MOC=28°，∴∠CON=90°-28°=62°，∵射線OC平分∠AON，∴∠AOC=∠CON=62°，∴∠AOM=∠AOC-∠MOC=34°，∵∠AOM+∠BON=180°-90°=90°，∴∠BON=90°-34°=56°.
②∵∠MOC=m°，∴∠CON=90°-m°，∵射線 OC 平分∠AON，∴∠AOC=∠CON=90°-m°，∴∠AOM=∠AOC-∠MOC=90°-2m°，∵∠AOM+∠BON=180°-90°=90°，∴∠BON=90°-(90°-2m°)=2m°.
（2）解：不變，∠BON=2∠MOC.理由如下：∵OC平分∠AON，∴設∠AOC=∠NOC=x，∵∠MON=90°，∴∠MOC=90°-x，∴∠BON=180°-2∠NOC=180°-2x，即∠BON=2∠MOC.
【知識點】角的運算；角平分線的概念；余角
【解析】【分析】(1)①根據直角求出∠CON，再由角平分線的定義可得∠AOC=∠CON，進一步可得∠AOM，根據∠AOM+∠BON=90°即可求解；
②由①的解析過程即可求解；
(2)設∠AOC=∠NOC =x，根據∠BON=180°-2∠NOC即可求解.
考點5 線段的計算
20．如圖，點C 在線段AB 上，AC=2BC，點 D在點E 的左側。已知AB=18，DE=8，線段DE 在線段AB 上移動。
（1）當 E 為BC 的中點時，求AD 的長。
（2）若點 F(異于點A，B，C)在線段AB 上，AF=3AD，CE+EF=3，求AD 的長。
【答案】（1）解：∵，，，
∴，，
如圖，
∵E為BC中點，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由題意，得AF=3AD，AE=AD+DE=AD+8，
分類討論：
①如圖，當點E在點F的左側時，
∵，，
∴，，
∵，，
∴點F是BC的中點，
∴，
∴，
∴；
②如圖，當點E在點F的右側，
∵，，
∴，
∴，
∴．
綜上所述：AD的長為3或5；
【知識點】線段的中點；線段的和、差、倍、分的簡單計算
【解析】【分析】（1）由，，可求出，．再根據E為BC中點，即得出，從而可求出CD的長，進而可求出AD的長；
（2）分類討論：當點E在點F的左側時和當點E在點F的右側時，畫出圖形，根據線段的倍數關系和和差關系，利用數形結合的思想即可解題．
21．如圖，已知A，B，C 是數軸上的三點，O是原點，點C 表示的數為6，BC=4，AB=12。
（1）寫出數軸上點 A，B表示的數。
（2）動點 P，Q分別從點A，C同時出發，點P 以每秒6個單位長度的速度沿數軸向右勻速運動，點Q 以每秒3個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，M為AP 的中點，點 N 在線段CQ 上，且 設運動時間為t(s)(t>0)。
①求數軸上點 M，N表示的數(用含 t 的式子表示)。
②當t 為何值時，原點O 恰為線段PQ 的中點
【答案】（1）解：∵點C 表示的數為6，BC=4，
∴OB=6-4=2，
∴點 B 表示的數為2。
∵AB=12，
∴AO=12-2=10，
∴點A 表示的數為-10
（2）解：①由題意可知：AP=6t，CQ=3t。
∵M 為AP 的中點，
∴在數軸上點 M 表示的數是-10+3t。
∵點 N 在CQ上，
∴在數軸上點 N 表示的數是6-t。
②分兩種情況討論：
i.如解圖①，當點 P 在點O 的左側，點Q 在點O的右側時，。
∵O為PQ 的中點，∴OP=OQ，
∴10-6t=6-3t，解得
ii.如解圖②，當點 P 在點O 的右側，點 Q 在點O 的左側時，。
∵O為PQ 的中點，∴，
∴，解得 (此時AP=8<10，不合題意，舍去)。
綜上所述，當 時，原點O恰為線段PQ 的中點
【知識點】一元一次方程的其他應用；線段的中點；線段的和、差、倍、分的簡單計算
【解析】【分析】（1）根據數軸上兩點間的距離即可求出A、B表示的數；
（2）①根據距離=速度×時間可得AP=6t，CQ=3t，根據中點性質可得AM=3t，根據 可得CN=t，根據線段的和差關系即可得答案；②根據中點定義可得，分兩種情況，當點 P 在點O 的左側，點Q 在點O的右側時或者當點 P 在點O 的右側，點 Q 在點O 的左側時，再根據數軸的性質解答即可.
22．一根繩子AB 的長為20cm，C，D 是繩子AB 上任意兩點(點C在點D 的左側)。將AC，BD分別沿C，D兩點翻折(翻折處長度不計)，A，B兩點分別落在CD 上的點E，F 處。
（1）當CD=12cm時，E，F 兩點間的距離為　 　 cm。
（2）當E，F 兩點間的距離為2cm時，CD的長為　 　 cm。
【答案】（1）4
（2）11或9
【知識點】兩點之間線段最短；線段的和、差、倍、分的簡單計算
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
由于翻折，如圖，則，
∴，
∴，兩點間的距離為；
故答案為：；
（2）當時，如圖，
由于翻折，則，
由圖知，，即，
∴，
∴；
當時，如圖，
則，即，
∴，
∴；
綜上，的長為或．
故答案為：或．
【分析】（1）由已知，翻折后，則，兩點間的距離為，由此即可求解；
（2）分兩種情況：及，畫出圖形，即可求解．
23．
（1）【問題探究】
如圖，點C，D 均在線段AB 上且點C 在點 D 左側，若AC=BD，CD=6 cm，AB=9 cm，則線段AC 的長為　 　 cm。
（2）【方法遷移】
已知點C，D 均在線段AB 上且點C 在點D 左側，若AC=BD，CD=a( cm)，AB=b( cm)(b>a)，則線段AC 的長為　 　 cm(用含a，b 的代數式表示)。
（3）【學以致用】
已知七年級某班共有m人，在本班參加拓展課報名統計時發現，選擇圍棋課的人數是n(n【答案】（1）1.5
（2）
（3）解：如圖，
表示七年級某班人數，
表示七年級某班男生人數，
表示七年級某班女生人數，
表示參加圍棋課的男生，
表示未參加圍棋課的男生，
表示未參加圍棋課的女生，
表示參加圍棋課的女生，
設，，則，，
∵選擇圍棋課的人數有人，
∴，即，解得：，
∵，
∴．
【知識點】線段的中點；線段的和、差、倍、分的簡單計算
【解析】【解答】（1）解：∵，，，
∴，
故答案為：；
（）解：∵，，，
∴，
故答案為：；
【分析】（）利用線段和差可得，，即可求解；
（）利用線段和差，即可求解；
（）根據題意畫出線段圖，設，，則，，根據題意，表示出m，n，即可求解；
考點6 角的有關計算
24．如圖，OC在∠AOB的內部，∠BOC：∠AOC＝1：2．∠AOB＝63°，則∠AOC＝（　?。?br/>A．52° B．42° C．39° D．21°
【答案】B
【知識點】角的運算
【解析】【解答】∵∠BOC：∠AOC＝1：2且∠AOB＝63°
∴
故答案為：B．
【分析】根據∠BOC：∠AOC=1：2，分析出∠AOC與∠AOB的倍分關系即可解決問題．
25． 已知，OD平分∠AOC，求∠BOD的大小.
【答案】解：∵∠AOB＝75°，∠AOC=∠AOB，
∴∠AOC=×75°＝50°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠COD＝25°，
①如圖1，
∴∠BOD＝75°＋25°＝100°，
②如圖2，
∴∠BOD＝75° 25°＝50°，
綜上，∠BOD的度數為100°或50°.
【知識點】角的運算；角平分線的概念
【解析】【分析】先利用角的運算求出∠AOC的度數，再利用角平分線的定義可得∠AOD＝∠COD＝25°，再分別畫出圖形并利用角的運算求出∠BOD的度數即可.
26． 如圖，∠BOC=70°，∠AOC=50°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.
（1）求出∠AOB及其補角的度數；
（2）求出∠DOC和∠AOE的度數，并判斷∠DOE與∠AOB是否互補；
（3）若，則∠DOE與∠AOB是否互補 請說明理由.
【答案】（1）解：（1）∠AOB＝∠BOC＋∠AOC＝70°＋50°＝120°，
其補角為180° ∠AOB＝180° 120°＝60°.
（2）解：∠DOE與∠AOB互補，理由如下：
∵∠DOC=∠BOC=×70°＝35°，∠COE=∠AOC=×50°＝25°．
∴∠DOE＝∠DOC＋∠COE＝35°＋25°＝60°．
∴∠DOE＋∠AOB＝60°＋70°＋50°＝180°，
∴∠DOE與∠AOB互補．
（3）解：∠DOE與∠AOB不一定互補，理由如下：
∵∠DOC=∠BOC=α，∠COE=∠AOC=β，
∴∠DOE＝∠DOC＋∠COE=α＋β=（α＋β），
∴∠DOE＋∠AOB=（α＋β）＋（α＋β）=（α＋β），
∵α＋β的度數不確定
∴∠DOE與∠AOB不一定互補．
【知識點】角的運算；角平分線的概念；補角
【解析】【分析】（1）利用角的運算求出∠AOB的度數，再利用補角的定義及角的運算求出補角即可；
（2）先利用角平分線的定義求出∠DOC=∠BOC=×70°＝35°，∠COE=∠AOC=×50°＝25°，再利用角的運算求出∠DOE的度數，最后利用補角的定義分析求解即可；
（3）先利用角平分線的定義及角的運算和等量代換求出∠DOE＋∠AOB=（α＋β）＋（α＋β）=（α＋β），再結合α＋β的度數不確定，從而可得∠DOE與∠AOB不一定互補．
27．如圖①，∠AOB=120°，在∠AOB 內作兩條射線OC 和OD，且OM 平分∠AOD，ON 平分∠BOC。
（1）若∠AOC：∠COD：∠DOB=5：3：4，求∠MON 的度數。
（2）若將圖①中的∠COD 繞點O 按順時針旋轉一個小于 70°的角α，如圖②，其他條件不變，請直接寫出∠MON 的度數。
【答案】（1）解： 設∠AOC=5x，則∠COD=3x，∠DOB=4x。
∵∠AOB=120°，
∴∠AOC+∠COD+∠DOB=120°，
∴5x+3x+4x=120°，解得x=10°，
∴∠AOC=50°，∠COD=30°，∠DOB=40°。
∵OM 平分∠AOD，ON 平分∠BOC，
∴∠MON=∠DOM+∠CON-∠COD=40°+35°--30°=45°
（2） ∠MON =45°
【知識點】角的運算；角平分線的概念
【解析】【解答】（2）解： ∵OM 平分∠AOD，ON 平分∠BOC，
【分析】（1）先根據，設，，，再根據，列出方程，求得的值后，得出，，，再根據進行計算，即可的度數；
（2）先根據平分，平分，得出，，再根據（）（）進行計算，即可得出的度數．
考點7 余角和補角
28．如圖，點在直線上，射線，在直線的同一側（其中，），射線平分，射線平分．若和互補，則（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】角的運算；余角、補角及其性質；角平分線的概念
【解析】【解答】解：∵∠EOD和∠COF互補，
∴∠EOD+∠COF＝180°，
∴∠EOF+∠COD＝180°，
∵∠EOF+∠AOE+∠BOF＝180°，
∴∠COD＝∠AOE+∠BOF，
∵射線OE平分∠AOC，射線OF平分∠BOD，
∴∠AOE＝∠COE，∠BOF＝∠DOF，
∴∠COE+∠DOF＝∠COD，
∴∠COD＝180°÷3＝60°.
故答案為：C.
【分析】由互補兩角之和為180°可得∠EOD+∠COF＝180°，即∠EOF+∠COD＝180°，結合平角的概念可得∠COD＝∠AOE+∠BOF，由角平分線的概念可得∠AOE＝∠COE，∠BOF＝∠DOF，則∠COE+∠DOF＝∠COD，據此求解.
29． 已知一個角的補角比它的余角的4倍還多15°，求這個角的補角.
【答案】解：設這個角的度數為x.
根據題意得：180° x＝4（90° x）＋15°．
解得：x＝65°．
∴這個角的補角為180° x＝180° 65°＝115°．
【知識點】一元一次方程的其他應用；角的運算；余角；補角
【解析】【分析】設這個角的度數為x，根據“一個角的補角比它的余角的4倍還多15°”列出方程180° x＝4（90° x）＋15°，再求解即可.
30． 如圖，以直線AB上的一點O 為端點，在直線 AB的上方作射線OP，使∠BOP=70°，將一塊直角三角尺的直角頂點放在點 O處，且直角三角尺（∠MON=90°）在直線AB的上方。設
（1）當n=32時，求∠PON 的大小。
（2）若0【答案】（1）解：因為∠BOM=32°，∠BOP=70°，
所以∠POM=∠BOP-∠BOM=70°-32°=38°。
因為∠MON=90°，
所以∠PON=90°-38°=52°
（2）解：因為∠BOM=n°，∠BOP=70°，
所以∠POM=∠BOP-∠BOM=70°-n°。
因為∠MON=90°，
所以∠AON+∠BOM=90°，
所以∠AON=90°-n°，
所以∠AON-∠POM=90°-n°-(70°-n°)=20°
【知識點】角的運算；余角
【解析】【分析】（1）根據角的加減即可計算出 ∠PON 的大小 ；
（2）根據角的加減可得∠POM=∠BOP-∠BOM=70°-n°，再根據∠AON和∠BOM互余，可得∠AON=90°-n°，即可得到所以∠AON-∠POM=90°-n°-(70°-n°)=20°.
31．如圖，直線AB，CD相交于點O，∠BOM=∠DON=90°.
（1）如圖1，若∠COM=35°，則∠BON的度數為　 　°.
（2）如圖1，請直接寫出圖中所有互余的角.
（3）如圖2，若射線 OE 在∠MOB 的內部，且 請比較∠MOE 與∠DOE的大小，并說明理由.
【答案】（1）145
（2）解：∵∠AOC+∠COM =90°，
∴∠AOC與∠COM互余，
∵∠AOC+∠AON =90°，
∴∠AOC與∠AON互余，
∵∠BOD =∠AOC，
∴∠BOD與∠COM互余， ∠BOD與∠AON互余
（3）解：∠MOE=∠DOE，
∵∠BOM =∠DON =90°，
設 則
【知識點】角的運算；余角
【解析】【解答】(1)∵BOM =90°，
∴∠AOM=90°，
∵∠COM=35°，
∴∠AOC=55°，
∴∠BOD=55°，
∵∠DON=90°，
∴∠BON =∠BOD+∠DON =55°+90°=145°；
故答案為：145；
【分析】(1)根據題意，得∠AOC=55°，再求出∠BOD，即可得.
(2)根據互余的定義，利用角之間的關系進行計算即可得.
(3)設∠MOC=x，根據 得 進而可得結論.
32． 如圖，O為直線 AB 上的一點，ON 平分∠BOC，OM平分∠AOC，那么圖中互余的角共有 (　　)
A．2對 B．3對 C．4對 D．6對
【答案】C
【知識點】余角
【解析】【解答】解：∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴，
∴，
∴∠MOC與∠NOC互余，∠MOA與∠NOC互余，∠MOC與∠NOB互余，∠MOA與∠NOB互余，
互余的角共有4對，
故答案選：C.
【分析】根據角平分線的定義和平角的概念求出∠MOC+∠NOC =90°，根據余角的概念判斷即可.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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