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新人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)上名師點(diǎn)撥與訓(xùn)練
第6章 幾何圖形
6.3.3余角和補(bǔ)角
學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1.了解余角、補(bǔ)角的概念.
2.掌握余角和補(bǔ)角的性質(zhì)，并能利用余角、補(bǔ)角的知識(shí)解決相關(guān)問(wèn)題.
3.了解方位角的概念，初步掌握方位角的判別；并能用方位角知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.
重點(diǎn)：認(rèn)識(shí)角的互余、互補(bǔ)關(guān)系及其性質(zhì).
難點(diǎn)：通過(guò)簡(jiǎn)單的推理，歸納出余角、補(bǔ)角的性質(zhì)，并能用規(guī)范的語(yǔ)言描述性質(zhì).
老師告訴你
余角和補(bǔ)角的性質(zhì)：
同角或等角的余角相等；同角或等角的補(bǔ)角相等；這個(gè)性質(zhì)也為說(shuō)明兩個(gè)角相等提供了思路，認(rèn)真觀察、分析圖形，挖掘圖形中隱含的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵。
2.方位角：方位角是以南北方向?yàn)槠鹗挤较颍话闶且员逼珫|，南偏西等加上角度來(lái)表示的。
一、知識(shí)點(diǎn)撥
知識(shí)點(diǎn)1 、余角與補(bǔ)角
定義：一般地，如果兩個(gè)角的和等于90°(直角)，就說(shuō)這兩個(gè)角互為余角，即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角．
類(lèi)似地，如果兩個(gè)角的和等于180°(平角)，就說(shuō)這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角．
【新知導(dǎo)學(xué)】
例1-1． 下列圖形中，∠1 和∠2一定互為余角的是（　　）
A． B．
C． D．
例1-2．關(guān)于補(bǔ)角有下列四個(gè)敘述：①銳角的補(bǔ)角是鈍角；②只有銳角才有補(bǔ)角；③互為補(bǔ)角的兩個(gè)角不可能相等；④同角或等角的補(bǔ)角一定相等．其中正確的有（　　）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【對(duì)應(yīng)導(dǎo)練】
1．下列說(shuō)法中正確的是（　　）
A．一個(gè)角的補(bǔ)角一定大于這個(gè)角
B．銳角和鈍角互補(bǔ)
C．如果互補(bǔ)的兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角都是90°
D．若∠1+∠2+∠3= 180°，則∠1，∠2，∠3互補(bǔ)
2．有下列說(shuō)法：
①若∠A+∠B+∠C=180°，則∠A，∠B，∠C互補(bǔ)；
②若∠1是∠2的余角，則∠2是∠1的余角；
③一個(gè)銳角的補(bǔ)角一定比它的余角大90°；
④互補(bǔ)的兩個(gè)角中，一定是一個(gè)鈍角與一個(gè)銳角．
其中正確的有（　　）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
知識(shí)點(diǎn)2 、余角與補(bǔ)角的性質(zhì)
性質(zhì)：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的補(bǔ)角相等．
注意：
互余互補(bǔ)指的是兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系，互余、互補(bǔ)的兩個(gè)角只與它們的和有關(guān)，而與它們的位置無(wú)關(guān)．
一般地，銳角α的余角可以表示為(90°-α)，一個(gè)角α的補(bǔ)角可以表示為(180°-α) ．顯然一個(gè)銳角的補(bǔ)角比它的余角大90°．
【新知導(dǎo)學(xué)】
例2-1．若∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，則∠1與∠3的關(guān)系是　 　，理由是　 　．
例2-2．如圖，∠1=35°，∠AOC=90°，點(diǎn)B，O，D在同一條直線上，則∠2等于（　　）
A．125° B．115° C．105° D．95°
例2-3．
（1）若一個(gè)銳角為α，則它的余角為　 　，補(bǔ)角為　 　，它的補(bǔ)角與余角的差為　 　
（2）若一個(gè)角的余角是54°38'，則這個(gè)角的補(bǔ)角是　 　
【對(duì)應(yīng)導(dǎo)練】
1． 如圖，將一副三角尺按不同位置擺放，在哪種擺放方式中∠α與∠β互余 在哪種擺放方式中∠α與∠β互補(bǔ) 在哪種擺放方式中∠α與∠β相等
2．如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)F，EF⊥AB于點(diǎn)F．
（1）圖中與∠1相等的角是 　 　，與∠1互余的角是 　 　；
（2）若∠AFD＝155°，求∠DFE的度數(shù)．
3．如圖，直線 AB，CD 相交于點(diǎn) O，OE 平分∠AOD，OF⊥OC，
（1）圖中∠AOF 的余角是　 　（把符合條件的角都填出來(lái)）；
（2）如果∠AOC=160°，那么根據(jù)　 　，可得∠BOD=　 　度；
（3）如果∠1=32°，求∠2 和∠3 的度數(shù)．
4．若與互補(bǔ)，與互補(bǔ)，則與的關(guān)系為（　　）
A．互余 B．互補(bǔ) C．相等 D．以上都不對(duì)
知識(shí)點(diǎn)3 、方位角
從某點(diǎn)的指北（或指南）方向線起與方向到目標(biāo)方向線之間的水平夾的銳角,叫方位角。
【新知導(dǎo)學(xué)】
例3-1．如圖，下列結(jié)論中正確的有（　　）
①射線OB的方向是北偏西50°；
②射線OC的方向是東南方向；
③射線OA的方向是北偏東15°；
④∠AOC和∠AOB互為補(bǔ)角．
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
例3-2．如圖， 是北偏東 方向的一條射線， ，則 的方位角是　 　.
【對(duì)應(yīng)導(dǎo)練】
1．某測(cè)繪裝置上一枚指針原來(lái)指向南偏西50°，把這枚指針按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，則結(jié)果指針的指向是　 　．（指向用方位角表示）
2．如圖，點(diǎn)A，B，O分別表示手繪地圖中廈門(mén)鼓浪嶼風(fēng)景區(qū)內(nèi)鄭成功紀(jì)念館、鄭成功水操臺(tái)遺址，日光巖三個(gè)景點(diǎn).經(jīng)測(cè)量，鄭成功水操臺(tái)遺址在日光巖的北偏東28°方向，則鄭成功紀(jì)念館在日光巖的（　　）
A．北偏東38°方向 B．北偏西28°方向
C．北偏西38°方向 D．北偏東52°方向
.
二、題型訓(xùn)練
1.找出余角、補(bǔ)角
1．小明將一副三角板擺成如圖形狀，下列結(jié)論不一定正確的是（　　）
A． B．與互余
C． D．與互補(bǔ)
2．如圖， 是直線 上一點(diǎn)， 為任一射線， 平分 ， 平分 ，
（1）分別寫(xiě)出圖中 與 的補(bǔ)角；
（2） 與 有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由.
3 .O是直線AB上一點(diǎn)在同一平面內(nèi)直線，AB的同側(cè)有∠AOD＝∠DOB＝∠COE＝90°．
(1)請(qǐng)畫(huà)出題設(shè)的圖形，并分別寫(xiě)出∠COD的余角，∠AOC的補(bǔ)角；
(2)寫(xiě)出圖中相等的銳角，并說(shuō)明理由
2.求一個(gè)角的余角、補(bǔ)角
4．一個(gè)角是它的補(bǔ)角的五分之一，則這個(gè)角的余角是　 　度．
5．一個(gè)角的補(bǔ)角比這個(gè)角的余角3倍還多 ，求這個(gè)角的度數(shù)．
6．如果一個(gè)角的補(bǔ)角是130°，那么這個(gè)角的余角的度數(shù)是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．90°
3.方位角的作圖
7．如圖，貨輪O在航行過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)燈塔A在它南偏東60°的方向上，同時(shí)，在它北偏東30°、西北（即北偏西45°）方向上又分別發(fā)現(xiàn)了客輪B和海島C．
（1）仿照表示燈塔方位的方法，分別畫(huà)出表示客輪B和海島C方向的射線OB，OC（不寫(xiě)作法）；
（2）若圖中有一艘漁船D，且∠AOD的補(bǔ)角是它的余角的3倍，畫(huà)出表示漁船D方向的射線OD，則漁船D在貨輪O的方位角
8．如圖，直線與直線相交于點(diǎn)，射線表示正北方向，射線表示正東方向．已知射線的方向是南偏東，射線的方向是北偏東，且的角與的角互余．
（1）①若，則射線的方向是　 　；
②圖中與互余的角有　 　，與互補(bǔ)的角有　 　．
（2）若射線是的平分線，則　 　用含的代數(shù)式表示
9． 如圖，射線的方向是北偏東，射線的方向是北偏西，是的平分線，射線是的反向延長(zhǎng)線．
（1）射線的方向是　 　；
（2）在圖中畫(huà)出表示南偏東的射線；
（3）在的條件下，求的度數(shù)．
課堂達(dá)標(biāo)
一、選擇題（每小題4分，共32分）
1．已知，若與互余，則（　　）
A． B． C． D．
2．若∠1與∠2互為補(bǔ)角，且∠1<∠2，則∠1 的余角是(　　)
A．∠2-∠1 B．∠1+∠2 C． D．
3． 如圖，O為直線 AB 上的一點(diǎn)，ON 平分∠BOC，OM平分∠AOC，那么圖中互余的角共有 (　　)
A．2對(duì) B．3對(duì) C．4對(duì) D．6對(duì)
4．下列說(shuō)法中，正確的是（　　）
A．一個(gè)銳角的補(bǔ)角大于這個(gè)角的余角
B．一對(duì)互補(bǔ)的角中，一定有一個(gè)角是銳角
C．銳角的余角一定是鈍角
D．銳角的補(bǔ)角一定是銳角
5．下列說(shuō)法中，正確的是（　　）
A．兩點(diǎn)之間直線最短
B．如果∠α＝53°38'，那么∠α余角的度數(shù)為36.22°
C．如果一個(gè)角的余角和補(bǔ)角都存在，那么這個(gè)角的余角比這個(gè)角的補(bǔ)角小
D．相等的角是對(duì)頂角
6． 如圖，將一副三角板按不同位置擺放，其中和不一定相等的是（　　）
A． B．
C． D．
7．下列說(shuō)法中，正確的是（　　）
A．如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的補(bǔ)角，那么它們相等
B．如果AC＝BC，那么C是線段AB的中點(diǎn)
C．如果兩個(gè)角互補(bǔ)，那么它們的角平分線所在直線的夾角為90°
D．射線AB和射線BA是同一條射線
8． 下列圖形中，∠1 和∠2 互為余角的是 (　　)
A． B．
C． D．
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．已知，則的補(bǔ)角的度數(shù)是　 　．
.
10． 如圖，在同一平面內(nèi)，∠AOB=∠COD=90°，在∠AOD 內(nèi)部引一條射線 OF，在∠AOD外部引一條射線OE，使得 F，O，E三點(diǎn)在同一條直線上，∠COE=∠BOE（圖中所有角均指小于 180°的角）。下列結(jié)論：
①∠AOE=∠DOE；
②∠AOD+∠COB=180°；
③∠COB-∠AOD=90°；
④∠COE+∠BOF=180°。
其中正確的結(jié)論有　 　。（填上你認(rèn)為所有正確結(jié)論的序號(hào)）
11． 如圖，點(diǎn)O在直線AB 上，射線 OC，OD 在直線 AB 的同側(cè)，若∠AOD=156°，∠BOC=42°，則∠COD 的度數(shù)為　 　.
12．一個(gè)角的補(bǔ)角比這個(gè)角的余角的4倍少60°，這個(gè)角的度數(shù)是　 　（度）．
13．如圖，點(diǎn)O在直線AB上，從點(diǎn)O引出射線OC，其中射線OD平分∠AOC，射線OE平分∠BOC，下列結(jié)論：
①∠DOE＝90°；
②∠COE與∠AOE互補(bǔ)；
③若OC平分∠BOD，別∠AOE＝150°；
④∠BOE的余角可表示為．
其中正確的是 　 　．（只填序號(hào)）
三、解答題（每小題8分，共48分）
14．如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，，，則∠1=∠2．請(qǐng)說(shuō)明理由（補(bǔ)全解答過(guò)程）．
解：∵，
∴∠AOE= ▲ （　　）．
∴．
∵ ▲ （　　），
∴，
∴ ▲ （　　）．
15．若一個(gè)角的補(bǔ)角等于這個(gè)角的余角的6倍，求這個(gè)角的度數(shù)以及它的余角和補(bǔ)角的度數(shù)．
16．如圖，以直線AB上的點(diǎn)O為端點(diǎn)作射線OC、OD，滿(mǎn)足∠AOC＝54°，∠BOD＝ ∠BOC，求∠BOD的度數(shù)．
17． 如圖，∠BOC=70°，∠AOC=50°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.
（1）求出∠AOB及其補(bǔ)角的度數(shù)；
（2）求出∠DOC和∠AOE的度數(shù)，并判斷∠DOE與∠AOB是否互補(bǔ)；
（3）若，則∠DOE與∠AOB是否互補(bǔ) 請(qǐng)說(shuō)明理由.
18．如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，∠BOM=∠DON=90°.
（1）如圖1，若∠COM=35°，則∠BON的度數(shù)為　 　°.
（2）如圖1，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖中所有互余的角.
（3）如圖2，若射線 OE 在∠MOB 的內(nèi)部，且 請(qǐng)比較∠MOE 與∠DOE的大小，并說(shuō)明理由.
19．【數(shù)學(xué)之美】三角尺中的數(shù)學(xué)．
（1）如圖1．將兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)疊放在一起，．若，則　 　；若，則　 　；請(qǐng)直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系　 　．
（2）如圖2．若兩個(gè)同樣的直角三角尺頂點(diǎn)重合如圖放置，，則請(qǐng)猜想與的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．
（3）如圖3，已知點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，在直線上方，，三角尺（其中）繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，寫(xiě)出與可能存在的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
新人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)上名師點(diǎn)撥與訓(xùn)練
第6章 幾何圖形
6.3.3余角和補(bǔ)角
學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1.了解余角、補(bǔ)角的概念.
2.掌握余角和補(bǔ)角的性質(zhì)，并能利用余角、補(bǔ)角的知識(shí)解決相關(guān)問(wèn)題.
3.了解方位角的概念，初步掌握方位角的判別；并能用方位角知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.
重點(diǎn)：認(rèn)識(shí)角的互余、互補(bǔ)關(guān)系及其性質(zhì).
難點(diǎn)：通過(guò)簡(jiǎn)單的推理，歸納出余角、補(bǔ)角的性質(zhì)，并能用規(guī)范的語(yǔ)言描述性質(zhì).
老師告訴你
余角和補(bǔ)角的性質(zhì)：
同角或等角的余角相等；同角或等角的補(bǔ)角相等；這個(gè)性質(zhì)也為說(shuō)明兩個(gè)角相等提供了思路，認(rèn)真觀察、分析圖形，挖掘圖形中隱含的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵。
2.方位角：方位角是以南北方向?yàn)槠鹗挤较颍话闶且员逼珫|，南偏西等加上角度來(lái)表示的。
知識(shí)點(diǎn)撥
知識(shí)點(diǎn)1 、余角與補(bǔ)角
定義：一般地，如果兩個(gè)角的和等于90°(直角)，就說(shuō)這兩個(gè)角互為余角，即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角．
類(lèi)似地，如果兩個(gè)角的和等于180°(平角)，就說(shuō)這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角．
【新知導(dǎo)學(xué)】
例1-1． 下列圖形中，∠1 和∠2一定互為余角的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】余角
【解析】【解答】解：∵∠1+∠2=90°
∴∠1和∠2一定互余
故答案為：D.
【分析】 若兩角之和為90°，則稱(chēng)這兩個(gè)角“互為余角”，簡(jiǎn)稱(chēng)“互余”.
例1-2．關(guān)于補(bǔ)角有下列四個(gè)敘述：①銳角的補(bǔ)角是鈍角；②只有銳角才有補(bǔ)角；③互為補(bǔ)角的兩個(gè)角不可能相等；④同角或等角的補(bǔ)角一定相等．其中正確的有（　　）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】余角、補(bǔ)角及其性質(zhì)
【解析】【解答】解：①銳角的補(bǔ)角一定是鈍角，故①正確；
②∵90°的補(bǔ)角是90°，∴只有銳角才有補(bǔ)角是錯(cuò)誤的，故②錯(cuò)誤；
③∵90°的補(bǔ)角是90°，∴互為補(bǔ)角的兩個(gè)角可能相等； 故③錯(cuò)誤；
④同角或等角的補(bǔ)角一定相等，故④正確.
∴正確的有2個(gè)，
故答案為：A.
【分析】根據(jù)和為180°的兩個(gè)角互為補(bǔ)角，即可逐項(xiàng)進(jìn)行判斷，得出答案.
【對(duì)應(yīng)導(dǎo)練】
1．下列說(shuō)法中正確的是（　　）
A．一個(gè)角的補(bǔ)角一定大于這個(gè)角
B．銳角和鈍角互補(bǔ)
C．如果互補(bǔ)的兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角都是90°
D．若∠1+∠2+∠3= 180°，則∠1，∠2，∠3互補(bǔ)
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】余角、補(bǔ)角及其性質(zhì)
【解析】【解答】解：A、一個(gè)角的補(bǔ)角不一定大于這個(gè)角，如160°的角大于補(bǔ)角20°，故A不符合題意；
B、銳角和鈍角不一定互補(bǔ)，如30°的角與130°的角不互為補(bǔ)角，故B不符合題意；
C、如果互補(bǔ)的兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角都是90°，故C符合題意；
D、若∠1+∠2+∠3=180°，則∠1，∠2，∠3不互補(bǔ)，故D不符合題意.
故答案為：C.
【分析】根據(jù)和為180°的兩個(gè)角互為補(bǔ)角，逐項(xiàng)進(jìn)行判斷，即可得出答案.
2．有下列說(shuō)法：
①若∠A+∠B+∠C=180°，則∠A，∠B，∠C互補(bǔ)；
②若∠1是∠2的余角，則∠2是∠1的余角；
③一個(gè)銳角的補(bǔ)角一定比它的余角大90°；
④互補(bǔ)的兩個(gè)角中，一定是一個(gè)鈍角與一個(gè)銳角．
其中正確的有（　　）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】余角、補(bǔ)角及其性質(zhì)
【解析】【解答】解：①補(bǔ)角指的是兩個(gè)角之間的關(guān)系，錯(cuò)誤．
②若∠1是∠2的余角，則∠2是∠1的余角，正確．
③同一個(gè)銳角的補(bǔ)角一定比它的余角大90°，180°-α-(90°-a)=90°，正確．
④互補(bǔ)的兩個(gè)角中，一定是一個(gè)鈍角與一個(gè)銳角，可以都是直角，錯(cuò)誤．
故答案為：B.
【分析】根據(jù)若兩角之和滿(mǎn)足180°，那么這兩個(gè)角互為補(bǔ)角；其中一個(gè)角叫做另一個(gè)角的補(bǔ)角；可判斷①說(shuō)法錯(cuò)誤；根據(jù)如果兩個(gè)角的和是直角，那么稱(chēng)這兩個(gè)角“互為余角”可判斷②說(shuō)法正確；根據(jù)補(bǔ)角和余角的定義即可計(jì)算得出③說(shuō)法正確；根據(jù)若兩角之和滿(mǎn)足180°，那么這兩個(gè)角互為補(bǔ)角即可判斷④說(shuō)法錯(cuò)誤，即可得出答案.
知識(shí)點(diǎn)2 、余角與補(bǔ)角的性質(zhì)
性質(zhì)：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的補(bǔ)角相等．
注意：
互余互補(bǔ)指的是兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系，互余、互補(bǔ)的兩個(gè)角只與它們的和有關(guān)，而與它們的位置無(wú)關(guān)．
一般地，銳角α的余角可以表示為(90°-α)，一個(gè)角α的補(bǔ)角可以表示為(180°-α) ．顯然一個(gè)銳角的補(bǔ)角比它的余角大90°．
【新知導(dǎo)學(xué)】
例2-1．若∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，則∠1與∠3的關(guān)系是　 　，理由是　 　．
【答案】∠1=∠3；等角的余角相等
【知識(shí)點(diǎn)】余角、補(bǔ)角及其性質(zhì)
【解析】【解答】若∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，則∠1與∠3的關(guān)系是∠1=∠3，理由是等角的余角相等．故答案為：∠1=∠3；等角的余角相等
【分析】根據(jù)同角的余角相等，得到∠1和∠3的關(guān)系.
例2-2．如圖，∠1=35°，∠AOC=90°，點(diǎn)B，O，D在同一條直線上，則∠2等于（　　）
A．125° B．115° C．105° D．95°
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】余角、補(bǔ)角及其性質(zhì)
【解析】【解答】解：∵∠AOC=90°，
∴∠1＋∠BOC=90°，
∴∠BOC=90°-∠1=90°-35°=55°，
∵點(diǎn)B，O，D在同一條直線上，
∴∠BOC＋∠2=180°，
∴∠2=180°-∠BOC=180°-55°=125°.
故選：A.
【分析】先根據(jù) ∠1=35°，∠AOC=90° 求出∠BOC的度數(shù)，再根據(jù)點(diǎn)B，O，D在同一條直線上得出∠BOC＋∠2=180°，最后即可求出∠2的度數(shù).
例2-3．
（1）若一個(gè)銳角為α，則它的余角為　 　，補(bǔ)角為　 　，它的補(bǔ)角與余角的差為　 　
（2）若一個(gè)角的余角是54°38'，則這個(gè)角的補(bǔ)角是　 　
【答案】（1）90°-α；180°-α；90°
（2）144°38'
【知識(shí)點(diǎn)】余角、補(bǔ)角及其性質(zhì)
【解析】【解答】解：（1）若一個(gè)銳角為α，則它的余角為90°-α，補(bǔ)角為180°-α，
（180°-α）-（90°-α）=90°，
∴它的補(bǔ)角與余角的差為90°，
故答案為：90°-α；180°-α；90°；
（2）∵一個(gè)角的余角是54°38'，
∴這個(gè)角的補(bǔ)角=90°+54°38'=144°38'.
故答案為：144°38'.
【分析】（1）根據(jù)和為90°的兩個(gè)角互為余角，和為180°的兩個(gè)角互為補(bǔ)角，分別算出α的補(bǔ)角及余角，進(jìn)而再求出二者的差即可得出答案；
（2）由（1）的結(jié)論“一個(gè)角的補(bǔ)角與余角的差為90°”列式計(jì)算即可.
【對(duì)應(yīng)導(dǎo)練】
1． 如圖，將一副三角尺按不同位置擺放，在哪種擺放方式中∠α與∠β互余 在哪種擺放方式中∠α與∠β互補(bǔ) 在哪種擺放方式中∠α與∠β相等
【答案】解：圖（1）中，∠α+∠ACB+∠β=180°，
∴∠α+∠β=90°，
故 與 互余；
圖（2）中，∠AOB=∠COD，
∴∠α+∠DOB=∠β+∠DOB，
∴∠α=∠β.
圖（3）中，∠β+∠CAB=180°，∠α+∠CBA=180°，∠CAB=∠CAB=45°，
∴∠α=∠β.
圖（4）中，∠α+∠β=180°，
故 與 互補(bǔ)；
故在(1) 中 與 互余，在（4）中 與 互補(bǔ)，在(2)(3) 中 與 相等.
【知識(shí)點(diǎn)】角的運(yùn)算；余角、補(bǔ)角及其性質(zhì)
【解析】【分析】圖（1）中，由平角定義和∠ACB=90°，可得∠α+∠β=90°；圖（2）中根據(jù)等式的性質(zhì)和∠AOB=∠COD可得結(jié)論：∠α=∠β；圖（3）中由鄰補(bǔ)角的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠α=∠β；圖（4）中看圖可得∠α+∠β=180°；再由“互補(bǔ)兩個(gè)角和為180°”，“互余的兩個(gè)角和為90°”，即可對(duì)結(jié)論進(jìn)行判斷并作答.
2．如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)F，EF⊥AB于點(diǎn)F．
（1）圖中與∠1相等的角是 　 　，與∠1互余的角是 　 　；
（2）若∠AFD＝155°，求∠DFE的度數(shù)．
【答案】（1）∠2；∠3
（2）解：∵∠AFD＝155°，
∴∠BFD＝180°﹣∠AFD＝180°﹣155°＝25°，
∵EF⊥AB，
∴∠BFE＝90°，
∴∠DFE＝∠BFD+∠BFE＝25°+90°＝115°．
【知識(shí)點(diǎn)】角的運(yùn)算；余角、補(bǔ)角及其性質(zhì)；對(duì)頂角及其性質(zhì)
【解析】【解答】解：如圖所示
對(duì)頂角相等
故填：
與∠1互余的角是
故填：
【分析】（1）根據(jù)對(duì)頂角相等定理可找到與∠1相等的角，根據(jù)余角、平角的定義可以找到與∠1互余的角；（2）∠1 是已知角的鄰補(bǔ)角，可求，再加上90°，即為∠DFE的度數(shù)。
3．如圖，直線 AB，CD 相交于點(diǎn) O，OE 平分∠AOD，OF⊥OC，
（1）圖中∠AOF 的余角是　 　（把符合條件的角都填出來(lái)）；
（2）如果∠AOC=160°，那么根據(jù)　 　，可得∠BOD=　 　度；
（3）如果∠1=32°，求∠2 和∠3 的度數(shù)．
【答案】（1）∠BOC或∠AOD
（2）對(duì)頂角相等；160
（3）解：∵OE平分∠AOD，∠1=32°∴∠AOD=2∠1=64°，
∴∠2=∠AOD=64°，
又∵OF⊥OC，
∠3=90°﹣64°=26°.
【知識(shí)點(diǎn)】余角、補(bǔ)角及其性質(zhì)；垂線的概念；對(duì)頂角及其性質(zhì)；角平分線的概念
【解析】解：（1）圖中∠AOF的余角是∠BOC、∠AOD（把符合條件的角都填出來(lái)）；
（2）如果∠AOC=160°，那么根據(jù)對(duì)頂角相等可得∠BOD=160度；
【分析】（1）根據(jù)互余兩角和為90°，結(jié)合圖形找出即可；
（2）從圖形中可知∠AOC和∠DOB為對(duì)頂角，直接可求解；
（3）根據(jù)角平分線可求∠AOD的度數(shù)，然后根據(jù)對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角可求解.
4．若與互補(bǔ)，與互補(bǔ)，則與的關(guān)系為（　　）
A．互余 B．互補(bǔ) C．相等 D．以上都不對(duì)
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】余角、補(bǔ)角及其性質(zhì)
【解析】【解答】解：∵與互補(bǔ)，與互補(bǔ)，∴與相等．
故選：C．
【分析】本題考查了補(bǔ)角的性質(zhì)，根據(jù)同角或等角的補(bǔ)角相等，即可求解.
知識(shí)點(diǎn)3 、方位角
從某點(diǎn)的指北（或指南）方向線起與方向到目標(biāo)方向線之間的水平夾的銳角,叫方位角。
【新知導(dǎo)學(xué)】
例3-1．如圖，下列結(jié)論中正確的有（　　）
①射線OB的方向是北偏西50°；
②射線OC的方向是東南方向；
③射線OA的方向是北偏東15°；
④∠AOC和∠AOB互為補(bǔ)角．
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】鐘面角、方位角；余角、補(bǔ)角及其性質(zhì)
【解析】【解答】解：①射線OB的方向是北偏西40°，故①不正確；
②射線OC的方向是東南方向，故②正確；
③射線OA的方向是北偏東25°，故③不正確；
④∠AOC+∠AOB=175°≠180°，故④不正確.
故正確的有1個(gè).
故答案為：A.
【分析】方向角一般是以觀測(cè)者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)至目標(biāo)的方向線所形成的小于90°的角；和為180°的兩個(gè)角互為補(bǔ)角，據(jù)此進(jìn)行判斷，即可得出答案.
例3-2．如圖， 是北偏東 方向的一條射線， ，則 的方位角是　 　.
【答案】北偏西60°
【知識(shí)點(diǎn)】鐘面角、方位角；角的運(yùn)算
【解析】【解答】如圖所示： 是北偏東 方向的一條射線， ，
，
的方位角是北偏西 .
故答案為：北偏西 .
【分析】先求出∠1=60°，再計(jì)算求解即可。
【對(duì)應(yīng)導(dǎo)練】
1．某測(cè)繪裝置上一枚指針原來(lái)指向南偏西50°，把這枚指針按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，則結(jié)果指針的指向是　 　．（指向用方位角表示）
【答案】南偏東40°
【知識(shí)點(diǎn)】鐘面角、方位角；角的運(yùn)算
【解析】【解答】解：一枚指針原來(lái)指向南偏西50°，把這枚指針按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，則結(jié)果指針的指向是南偏東40°，
故答案為：南偏東40°．
【分析】先確定指針與正南方向的夾角在旋轉(zhuǎn)后為：90°-50°=40°，即可得到其方位角.
2．如圖，點(diǎn)A，B，O分別表示手繪地圖中廈門(mén)鼓浪嶼風(fēng)景區(qū)內(nèi)鄭成功紀(jì)念館、鄭成功水操臺(tái)遺址，日光巖三個(gè)景點(diǎn).經(jīng)測(cè)量，鄭成功水操臺(tái)遺址在日光巖的北偏東28°方向，則鄭成功紀(jì)念館在日光巖的（　　）
A．北偏東38°方向 B．北偏西28°方向
C．北偏西38°方向 D．北偏東52°方向
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】鐘面角、方位角；角的運(yùn)算
【解析】【解答】解：∵∠AOB=66°，∠BOC=28°，
∴∠AOC=66°-28°=38°，
∴鄭成功紀(jì)念館在日光巖的北偏西38°方向，
故答案為：C.
【分析】根據(jù)方位角可得∠BOC=28°，結(jié)合角度之間的和差關(guān)系即可求解.
二、題型訓(xùn)練
1.找出余角、補(bǔ)角
1．小明將一副三角板擺成如圖形狀，下列結(jié)論不一定正確的是（　　）
A． B．與互余
C． D．與互補(bǔ)
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】余角、補(bǔ)角及其性質(zhì)
【解析】【解答】解：A、∵ ∠COD=∠AOB=90°，，∴ ，A不符合題意；
B、∵ ∠COD=90°，∴，與互余，B不符合題意；
C、隨著擺放的方式不同，∠AOD也不太同，∴ 無(wú)法判斷，C符合題意；
D、、∴與互補(bǔ)，D不符合題意；
故答案為：C.
【分析】根據(jù)等角的余角相等，互余的定義，互補(bǔ)的定義，逐一判定即可.
2．如圖， 是直線 上一點(diǎn)， 為任一射線， 平分 ， 平分 ，
（1）分別寫(xiě)出圖中 與 的補(bǔ)角；
（2） 與 有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】（1）解：∵ 平分 ，
∴∠FOB=∠EOF，
∵∠AOF+∠FOB=180°，
∴∠AOF的補(bǔ)角是∠BOF和∠EOF；
∵ 平分 ，
∴∠AOG=∠EOG，
∵∠BOG+∠AOG=180°，
∴∠BOG的補(bǔ)角是∠AOG和∠EOG
（2）解： 與 互余，
理由是：∵ 平分 ， 平分 ，
∴∠EOF = ，∠EOG=
∴∠EOF+∠EOG= （ + ）
∵ + =180°，
∴∠EOF+∠EOG= =90°，
∴ 與 互余
【知識(shí)點(diǎn)】角的運(yùn)算；余角、補(bǔ)角及其性質(zhì)；角平分線的概念
【解析】【分析】（1）根據(jù)角平分線定義得出∠FOB=∠EOF，∠AOG=∠EOG，根據(jù)補(bǔ)角定義和鄰補(bǔ)角定義求出即可．（2）根據(jù)角平分線定義得出∠EOF= ∠BOE，∠GOE= ∠AOE，根據(jù)∠AOE+∠BOE =180°，根據(jù)余角的定義得出即可．
3 .O是直線AB上一點(diǎn)在同一平面內(nèi)直線，AB的同側(cè)有∠AOD＝∠DOB＝∠COE＝90°．
(1)請(qǐng)畫(huà)出題設(shè)的圖形，并分別寫(xiě)出∠COD的余角，∠AOC的補(bǔ)角；
(2)寫(xiě)出圖中相等的銳角，并說(shuō)明理由
【答案】(1)圖見(jiàn)分析，∠COD的余角為∠AOC，∠DOE；∠AOC的補(bǔ)角為∠BOC；
(2)∠AOC＝∠DOE；∠COD＝∠BOE，理由見(jiàn)分析．
【分析】（1）根據(jù)題目的條件畫(huà)出對(duì)應(yīng)的幾何圖形，然后利用余角和補(bǔ)角的定義寫(xiě)出∠COD的余角，∠AOC的補(bǔ)角；
（2）根據(jù)等角的余角相等可判斷∠AOC＝∠DOE；∠COD＝∠BOE．
(1)解：如圖，
∠COD的余角為∠AOC，∠DOE；∠AOC的補(bǔ)角為∠BOC；
(2)解：圖中相等的銳角有：∠AOC＝∠DOE；∠COD＝∠BOE．
理由如下：
∵∠AOD＝∠DOB＝∠COE＝90°，
∴∠AOC+∠COD＝90°，∠COD+∠DOE＝90°，
∴∠AOC＝∠DOE；
∵∠BOE+∠DOE＝90°，∠COD+∠DOE＝90°，
∴∠BOE＝∠COD．
【點(diǎn)撥】本題考查了求一個(gè)角的余角和補(bǔ)角，解決本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出符合條件的圖形，熟記余角和補(bǔ)角的定義.
2.求一個(gè)角的余角、補(bǔ)角
4．一個(gè)角是它的補(bǔ)角的五分之一，則這個(gè)角的余角是　 　度．
【答案】60
【知識(shí)點(diǎn)】余角、補(bǔ)角及其性質(zhì)
【解析】【解答】解：設(shè)這個(gè)角為x，補(bǔ)角為（180°-x），則
，
解得：x=30°，
則這個(gè)角為30°．
所以，它的余角=90°-30°=60°
故答案為：60．
【分析】根據(jù)題意求出 ，再解方程求出x=30°，最后求解即可。
5．一個(gè)角的補(bǔ)角比這個(gè)角的余角3倍還多 ，求這個(gè)角的度數(shù)．
【答案】解：設(shè)這個(gè)角的度數(shù)是 ，則
答：這個(gè)角的度數(shù)為
【知識(shí)點(diǎn)】余角、補(bǔ)角及其性質(zhì)
【解析】【分析】根據(jù)互為余角的兩個(gè)角的和等于90°，互為補(bǔ)角的兩個(gè)角的和等于180°，列出方程，然后解方程即可．
6．如果一個(gè)角的補(bǔ)角是130°，那么這個(gè)角的余角的度數(shù)是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．90°
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】余角、補(bǔ)角及其性質(zhì)
【解析】【解答】解：∵一個(gè)角的補(bǔ)角是130 ，
∴這個(gè)角為50 ，
∴這個(gè)角的余角的度數(shù)是40 .
故答案為：B.
【分析】直接利用互補(bǔ)的定義得出這個(gè)角的度數(shù)，進(jìn)而利用互余的定義得出答案.
3.方位角的作圖
7．如圖，貨輪O在航行過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)燈塔A在它南偏東60°的方向上，同時(shí)，在它北偏東30°、西北（即北偏西45°）方向上又分別發(fā)現(xiàn)了客輪B和海島C．
（1）仿照表示燈塔方位的方法，分別畫(huà)出表示客輪B和海島C方向的射線OB，OC（不寫(xiě)作法）；
（2）若圖中有一艘漁船D，且∠AOD的補(bǔ)角是它的余角的3倍，畫(huà)出表示漁船D方向的射線OD，則漁船D在貨輪O的方位角
【答案】解：（1）如圖1：
，
（2）如圖2：
，
由∠AOD的補(bǔ)角是它的余角的3倍，得
180°﹣∠AOD=3（180°﹣∠AOD）．
解得∠AOD=45°．
故D在O南偏東15°或北偏東75°．
故答案為：D在O南偏東15°或北偏東75°．
【知識(shí)點(diǎn)】鐘面角、方位角；余角、補(bǔ)角及其性質(zhì)
【解析】【分析】（1）根據(jù)方向角的度數(shù)，可得答案；
（2）根據(jù)余角與補(bǔ)角的關(guān)系，可得∠AOD的度數(shù)，根據(jù)角的和差，可得方向角．
8．如圖，直線與直線相交于點(diǎn)，射線表示正北方向，射線表示正東方向．已知射線的方向是南偏東，射線的方向是北偏東，且的角與的角互余．
（1）①若，則射線的方向是　 　；
②圖中與互余的角有　 　，與互補(bǔ)的角有　 　．
（2）若射線是的平分線，則　 　用含的代數(shù)式表示
【答案】（1）北偏東；和；
（2）
【知識(shí)點(diǎn)】鐘面角、方位角；余角、補(bǔ)角及其性質(zhì)；角平分線的概念
【解析】【解答】（1）解： 根據(jù)題意可得，
，
，
射線的方向是北偏東．
，，，
，
圖中與互余的角有和，與互補(bǔ)的角有．
（2）解：，平分，
，
．
【分析】（1）①利用方向角的計(jì)算方法求解即可；
②根據(jù)余角和補(bǔ)角的定義求解即可；
（2）利用角平分線的定義及角的運(yùn)算求解即可。
9． 如圖，射線的方向是北偏東，射線的方向是北偏西，是的平分線，射線是的反向延長(zhǎng)線．
（1）射線的方向是　 　；
（2）在圖中畫(huà)出表示南偏東的射線；
（3）在的條件下，求的度數(shù)．
【答案】（1）南偏東°
（2）解：如圖射線即為所求作的射線；
（3）解：由已知得，
射線的方向是南偏東，
．
【知識(shí)點(diǎn)】鐘面角、方位角；角的運(yùn)算；角平分線的概念
【解析】【解答】解：（1）∵射線OD是OB的反向延長(zhǎng)線，射線OB的方向是北偏西40°，
∴射線OD的方向是南偏東40°，
故答案為：南偏東40°.
【分析】（1）利用角的運(yùn)算和方向角的定義分析求解即可；
（2）根據(jù)題干中的要求作出射線OE即可；
（3）先利用角的運(yùn)算求出，再結(jié)合，求出∠COE的度數(shù)即可.
課堂達(dá)標(biāo)
一、選擇題（每小題4分，共32分）
1．已知，若與互余，則（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】常用角的度量單位及換算；余角
【解析】【解答】解：∵，若與互余，
∴．
故選：B．
【分析】本題考查了余角的定義，如果兩個(gè)角的和是一個(gè)直角，稱(chēng)這兩個(gè)角互為余角，據(jù)此計(jì)算，即可求解.
2．若∠1與∠2互為補(bǔ)角，且∠1<∠2，則∠1 的余角是(　　)
A．∠2-∠1 B．∠1+∠2 C． D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】余角；補(bǔ)角
【解析】【解答】解：∵∠1與∠2互為補(bǔ)角，
∴∠1+∠2=180°.
∴∠1的余角為：.
故答案為：D.
【分析】根據(jù)余角的定義即可得出結(jié)果．
3． 如圖，O為直線 AB 上的一點(diǎn)，ON 平分∠BOC，OM平分∠AOC，那么圖中互余的角共有 (　　)
A．2對(duì) B．3對(duì) C．4對(duì) D．6對(duì)
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】余角
【解析】【解答】解：∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴，
∴，
∴∠MOC與∠NOC互余，∠MOA與∠NOC互余，∠MOC與∠NOB互余，∠MOA與∠NOB互余，
互余的角共有4對(duì)，
故答案選：C.
【分析】根據(jù)角平分線的定義和平角的概念求出∠MOC+∠NOC =90°，根據(jù)余角的概念判斷即可.
4．下列說(shuō)法中，正確的是（　　）
A．一個(gè)銳角的補(bǔ)角大于這個(gè)角的余角
B．一對(duì)互補(bǔ)的角中，一定有一個(gè)角是銳角
C．銳角的余角一定是鈍角
D．銳角的補(bǔ)角一定是銳角
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】余角、補(bǔ)角及其性質(zhì)
【解析】【解答】解：A：一個(gè)銳角的補(bǔ)角為鈍角，它的余角為銳角，故其補(bǔ)角大于其余角，選項(xiàng)A符合題意；
B：一對(duì)互補(bǔ)的角中，也可以?xún)蓚€(gè)角是直角，故B不符合題意；
C：銳角的余角一定是銳角，故C不符合題意；
D：銳角的補(bǔ)角一定是鈍角，故D不符合題意．
故答案為：A．
【分析】根據(jù)余角的定義及補(bǔ)角的定義逐項(xiàng)判斷即可。
5．下列說(shuō)法中，正確的是（　　）
A．兩點(diǎn)之間直線最短
B．如果∠α＝53°38'，那么∠α余角的度數(shù)為36.22°
C．如果一個(gè)角的余角和補(bǔ)角都存在，那么這個(gè)角的余角比這個(gè)角的補(bǔ)角小
D．相等的角是對(duì)頂角
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短；余角、補(bǔ)角及其性質(zhì)；對(duì)頂角及其性質(zhì)
【解析】【解答】解：A、兩點(diǎn)之間線段最短，故A不符合題意；
B、∵90°-53°38'＝36°22'，∴∠α余角的度數(shù)為36.22°，故B不符合題意；
C、如果一個(gè)角的余角和補(bǔ)角都存在，那么這個(gè)角的余角比這個(gè)角的補(bǔ)角小，故C符合題意；
D、相等的角不是對(duì)頂角，故D不符合題意；
故答案為：C.
【分析】根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可判斷A；根據(jù)和為90°的兩個(gè)角互為余角可判斷B；和為90°的兩個(gè)角互為余角，和為180°的兩個(gè)角互為補(bǔ)角，故一個(gè)角的補(bǔ)角比其余角大90°，據(jù)此可判斷C；對(duì)頂角是相等的，但相等的角不一定是對(duì)頂角，據(jù)此判斷D.
6． 如圖，將一副三角板按不同位置擺放，其中和不一定相等的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】余角、補(bǔ)角及其性質(zhì)；對(duì)頂角及其性質(zhì)
【解析】【解答】解：A、∠α+∠β=180°-90°=90°，所以∠α與∠β不一定相等，故此選項(xiàng)符合題意；
B、由圖可知，∠α與∠β是同一個(gè)角的余角，肯定相等，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、由圖可知，∠α與∠β是都是45°角的補(bǔ)角，肯定相等，故此選項(xiàng)不符合題意；
D、由圖可知，∠α與∠β是一對(duì)對(duì)頂角，肯定相等，故此選項(xiàng)不符合題意.
故答案為：A.
【分析】根據(jù)角的構(gòu)成和"同角的余角（或補(bǔ)角）相等"及對(duì)頂角相等可求解.
7．下列說(shuō)法中，正確的是（　　）
A．如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的補(bǔ)角，那么它們相等
B．如果AC＝BC，那么C是線段AB的中點(diǎn)
C．如果兩個(gè)角互補(bǔ)，那么它們的角平分線所在直線的夾角為90°
D．射線AB和射線BA是同一條射線
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】直線、射線、線段；余角、補(bǔ)角及其性質(zhì)；線段的中點(diǎn)；角平分線的概念
【解析】【解答】解：A、如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的補(bǔ)角，那么它們相等，A符合題意；
B、在同一條線段中，如果AC=BC，則C是線段AB的中點(diǎn)，B不符合題意；
C、在一平角中，如果一條直線把平角分成兩個(gè)角，則這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，其角平分線所在直線的夾角為90°，C不符合題意；
D、射線AB和射線BA不是同一射線，其端點(diǎn)及延長(zhǎng)的方向不一樣，D不符合題意；
故答案為：A.
【分析】根據(jù)射線用兩個(gè)大寫(xiě)字母表示，端點(diǎn)在前、如果兩個(gè)角的和等于180°，就說(shuō)這兩個(gè)角互為補(bǔ)角、從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線叫做這個(gè)角的平分線，等角的補(bǔ)角相等，逐項(xiàng)分析即可求解.
8． 下列圖形中，∠1 和∠2 互為余角的是 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】余角
【解析】【解答】A、∠1+∠2＞90°，不是互為余角關(guān)系，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、∠1與∠2互為余角關(guān)系，故本選項(xiàng)正確；
C、∠1=∠2，是對(duì)頂角，不是互為余角關(guān)系，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、∠1與∠2互為補(bǔ)角關(guān)系，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故答案選：B.
【分析】根據(jù)互為余角的兩個(gè)角的和等于90°對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得.
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．已知，則的補(bǔ)角的度數(shù)是　 　．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】余角、補(bǔ)角及其性質(zhì)
【解析】【解答】解：∵∠=38°25'，
∴∠的補(bǔ)角=180°-38°25'=141°35'.
故答案為：141°35'.
【分析】如果兩個(gè)角的和等于180°，那么這兩個(gè)角叫做互為補(bǔ)角，從而知道了其中一個(gè)角，求另一個(gè)角，可用180°減去已知角，再根據(jù)度分秒的換算進(jìn)行計(jì)算即可.
10． 如圖，在同一平面內(nèi)，∠AOB=∠COD=90°，在∠AOD 內(nèi)部引一條射線 OF，在∠AOD外部引一條射線OE，使得 F，O，E三點(diǎn)在同一條直線上，∠COE=∠BOE（圖中所有角均指小于 180°的角）。下列結(jié)論：
①∠AOE=∠DOE；
②∠AOD+∠COB=180°；
③∠COB-∠AOD=90°；
④∠COE+∠BOF=180°。
其中正確的結(jié)論有　 　。（填上你認(rèn)為所有正確結(jié)論的序號(hào)）
【答案】①②④
【知識(shí)點(diǎn)】余角；補(bǔ)角
【解析】【解答】解： ①∵ ∠AOB=∠COD
即 ∠AOC+∠AOD=∠AOD+∠BOD
∴∠AOC=∠BOD
∵∠COE=∠BOE
∴∠AOC+∠COE=∠BOD+∠BOE
即 ∠AOE=∠DOE
① 正確
②∵ ∠AOB=∠COD=90°
∴ ∠AOB+∠COD=180°
∴∠AOB+∠AOC+∠AOD=180°
∴ ∠AOD+∠COB=180°
② 正確
③∵ ∠COB-∠BOD= ∠COD =90°
∵ ∠COD ≠ ∠AOD
∴ ∠COB-∠AOD≠90°
③錯(cuò)誤
④∵ ∠COE=∠BOE
∵ ∠ BOE+ ∠ BOF=180°
∴ ∠COE+∠BOF=180°
④正確
故答案為：①②④.
【分析】根據(jù)領(lǐng)補(bǔ)角和為180°即可得到答案.
11． 如圖，點(diǎn)O在直線AB 上，射線 OC，OD 在直線 AB 的同側(cè)，若∠AOD=156°，∠BOC=42°，則∠COD 的度數(shù)為　 　.
【答案】18°
【知識(shí)點(diǎn)】角的運(yùn)算；補(bǔ)角
【解析】【解答】解：∵∠AOD =156°，
∴∠BOD=180°-∠AOD=24°，
∵∠BOC =42°，
∴∠COD=∠BOC-∠BOD=18°，
故答案為：18°.
【分析】先利用平角定義求出∠BOD =24°，然后再利用角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答.
12．一個(gè)角的補(bǔ)角比這個(gè)角的余角的4倍少60°，這個(gè)角的度數(shù)是　 　（度）．
【答案】40
【知識(shí)點(diǎn)】角的運(yùn)算；余角、補(bǔ)角及其性質(zhì)
【解析】【解答】解：設(shè)這個(gè)角為x，
由題意得， ，
解得 ．
故答案為：40．
【分析】這個(gè)角為x，則余角為（90°-x），補(bǔ)角為（180°-x），根據(jù)題意可列方程求解即可。
13．如圖，點(diǎn)O在直線AB上，從點(diǎn)O引出射線OC，其中射線OD平分∠AOC，射線OE平分∠BOC，下列結(jié)論：
①∠DOE＝90°；
②∠COE與∠AOE互補(bǔ)；
③若OC平分∠BOD，別∠AOE＝150°；
④∠BOE的余角可表示為．
其中正確的是 　 　．（只填序號(hào)）
【答案】①②③④
【知識(shí)點(diǎn)】角的運(yùn)算；余角、補(bǔ)角及其性質(zhì)；角平分線的概念
【解析】【解答】解：∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠COD＝∠AOC，∠COE＝∠BOE＝∠BOC，
∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝（∠AOC+∠BOC），
∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠DOE＝90°，故①結(jié)論正確；
∵∠AOE+∠BOE＝180°，
∴∠AOE+∠COE＝180°，
即∠AOE與∠COE互補(bǔ)，故②結(jié)論正確；
∵OC平分∠BOD，
∴∠COD＝∠BOD，
∵∠BOD＝180°﹣∠AOD，
∴∠COD＝90°﹣∠AOD，
∴∠AOD＝90°﹣∠AOD，
解得：∠AOD＝60°，
∴∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝60°+90°＝150°，故③結(jié)論正確；
∵∠DOE＝90°，
∴∠COE＝90°﹣∠COD，
∴∠BOE＝90°﹣∠COD，
∵∠BOE的余角為：90°﹣∠BOE，
∴∠BOE的余角為：∠COD，
∵∠COD＝∠AOC，∠AOC＝∠AOE﹣∠COE，
∴∠COD＝（∠AOE﹣∠COE），
即∠BOE的余角可表示為：（∠AOE﹣∠COE），故④結(jié)論正確，
綜上所述，正確的有①②③④．
故答案為：①②③④．
【分析】根據(jù)角平分線的定義知：∠DOE＝∠COD+∠COE＝（∠AOC+∠BOC），由∠AOC+∠BOC＝180°，求得∠DOE＝90°，故①結(jié)論正確；根據(jù)補(bǔ)角的定義得
∠AOE+∠COE＝180°，即∠AOE與∠COE互補(bǔ)，故②結(jié)論正確；∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝60°+90°＝150°，故③結(jié)論正確；根據(jù)余角的定義知∠BOE的余角為∠COD，∠COD＝∠AOC，∠AOC＝∠AOE﹣∠COE，∴∠COD＝（∠AOE﹣∠COE），即∠BOE的余角可表示為：（∠AOE﹣∠COE），故④結(jié)論正確，綜上所述，正確的有①②③④．
三、解答題（每小題8分，共48分）
14．如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，，，則∠1=∠2．請(qǐng)說(shuō)明理由（補(bǔ)全解答過(guò)程）．
解：∵，
∴∠AOE= ▲ （　　）．
∴．
∵ ▲ （　　），
∴，
∴ ▲ （　　）．
【答案】解：∵，
∴∠AOE=90°（垂直的意義）
∴．
∵（已知）
∴，
∴∠2（同角的余角相等）
【知識(shí)點(diǎn)】角的運(yùn)算；余角、補(bǔ)角及其性質(zhì)；垂線的概念
【解析】【分析】利用垂直的定義得到直角，再利用同角的余角相等得到答案.
15．若一個(gè)角的補(bǔ)角等于這個(gè)角的余角的6倍，求這個(gè)角的度數(shù)以及它的余角和補(bǔ)角的度數(shù)．
【答案】解：設(shè)這個(gè)角的度數(shù)為，則這個(gè)角的余角為，這個(gè)角的補(bǔ)角為．
由題意，得．
解得．
∴，．
答：這個(gè)角的度數(shù)為，它的余角為，補(bǔ)角為．
【知識(shí)點(diǎn)】余角、補(bǔ)角及其性質(zhì)
【解析】【分析】 設(shè)這個(gè)角的度數(shù)為，則這個(gè)角的余角為，這個(gè)角的補(bǔ)角為，根據(jù)“ 這個(gè)角的補(bǔ)角等于這個(gè)角的余角的6倍 ”列出方程并解之即可.
16．如圖，以直線AB上的點(diǎn)O為端點(diǎn)作射線OC、OD，滿(mǎn)足∠AOC＝54°，∠BOD＝ ∠BOC，求∠BOD的度數(shù)．
【答案】解：∵∠AOC＝54°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝126°，
又∵∠BOD＝ ∠BOC，
∴∠BOD＝ ×126°＝42°
【知識(shí)點(diǎn)】角的運(yùn)算；余角、補(bǔ)角及其性質(zhì)
【解析】【分析】依據(jù)鄰補(bǔ)角的定義，即可得到∠BOC的度數(shù)，再根據(jù)∠BOD＝ ∠BOC，即可得到∠BOD的度數(shù)．
17． 如圖，∠BOC=70°，∠AOC=50°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.
（1）求出∠AOB及其補(bǔ)角的度數(shù)；
（2）求出∠DOC和∠AOE的度數(shù)，并判斷∠DOE與∠AOB是否互補(bǔ)；
（3）若，則∠DOE與∠AOB是否互補(bǔ) 請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】（1）解：（1）∠AOB＝∠BOC＋∠AOC＝70°＋50°＝120°，
其補(bǔ)角為180° ∠AOB＝180° 120°＝60°.
（2）解：∠DOE與∠AOB互補(bǔ)，理由如下：
∵∠DOC=∠BOC=×70°＝35°，∠COE=∠AOC=×50°＝25°．
∴∠DOE＝∠DOC＋∠COE＝35°＋25°＝60°．
∴∠DOE＋∠AOB＝60°＋70°＋50°＝180°，
∴∠DOE與∠AOB互補(bǔ)．
（3）解：∠DOE與∠AOB不一定互補(bǔ)，理由如下：
∵∠DOC=∠BOC=α，∠COE=∠AOC=β，
∴∠DOE＝∠DOC＋∠COE=α＋β=（α＋β），
∴∠DOE＋∠AOB=（α＋β）＋（α＋β）=（α＋β），
∵α＋β的度數(shù)不確定
∴∠DOE與∠AOB不一定互補(bǔ)．
【知識(shí)點(diǎn)】角的運(yùn)算；角平分線的概念；補(bǔ)角
【解析】【分析】（1）利用角的運(yùn)算求出∠AOB的度數(shù)，再利用補(bǔ)角的定義及角的運(yùn)算求出補(bǔ)角即可；
（2）先利用角平分線的定義求出∠DOC=∠BOC=×70°＝35°，∠COE=∠AOC=×50°＝25°，再利用角的運(yùn)算求出∠DOE的度數(shù)，最后利用補(bǔ)角的定義分析求解即可；
（3）先利用角平分線的定義及角的運(yùn)算和等量代換求出∠DOE＋∠AOB=（α＋β）＋（α＋β）=（α＋β），再結(jié)合α＋β的度數(shù)不確定，從而可得∠DOE與∠AOB不一定互補(bǔ)．
18．如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，∠BOM=∠DON=90°.
（1）如圖1，若∠COM=35°，則∠BON的度數(shù)為　 　°.
（2）如圖1，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖中所有互余的角.
（3）如圖2，若射線 OE 在∠MOB 的內(nèi)部，且 請(qǐng)比較∠MOE 與∠DOE的大小，并說(shuō)明理由.
【答案】（1）145
（2）解：∵∠AOC+∠COM =90°，
∴∠AOC與∠COM互余，
∵∠AOC+∠AON =90°，
∴∠AOC與∠AON互余，
∵∠BOD =∠AOC，
∴∠BOD與∠COM互余， ∠BOD與∠AON互余
（3）解：∠MOE=∠DOE，
∵∠BOM =∠DON =90°，
設(shè) 則
【知識(shí)點(diǎn)】角的運(yùn)算；余角
【解析】【解答】(1)∵BOM =90°，
∴∠AOM=90°，
∵∠COM=35°，
∴∠AOC=55°，
∴∠BOD=55°，
∵∠DON=90°，
∴∠BON =∠BOD+∠DON =55°+90°=145°；
故答案為：145；
【分析】(1)根據(jù)題意，得∠AOC=55°，再求出∠BOD，即可得.
(2)根據(jù)互余的定義，利用角之間的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可得.
(3)設(shè)∠MOC=x，根據(jù) 得 進(jìn)而可得結(jié)論.
19．【數(shù)學(xué)之美】三角尺中的數(shù)學(xué)．
（1）如圖1．將兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)疊放在一起，．若，則　 　；若，則　 　；請(qǐng)直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系　 　．
（2）如圖2．若兩個(gè)同樣的直角三角尺頂點(diǎn)重合如圖放置，，則請(qǐng)猜想與的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．
（3）如圖3，已知點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，在直線上方，，三角尺（其中）繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，寫(xiě)出與可能存在的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【答案】（1）；；
（2）解：猜想：
理由：
（3）解：①如圖所示：
設(shè)的延長(zhǎng)線為，則，
；
②當(dāng)三角尺一邊不在內(nèi)部時(shí)，如圖所示：
，，
綜上所述或
【知識(shí)點(diǎn)】角的運(yùn)算；余角、補(bǔ)角及其性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)
【解析】【解答】（1），，
，，
，
，
，
，
，
【分析】(1)根據(jù)直角三角板的特點(diǎn)以及余角、補(bǔ)角的性質(zhì)，利用角的和差關(guān)系即可求解；
（2）猜想： ，根與圖象可得，由角的和差關(guān)系以及直角三角板的特點(diǎn)即可求解；
（3）分兩種情況進(jìn)行討論：①設(shè)的延長(zhǎng)線為，則，根據(jù)求得的度數(shù)，由角的和差關(guān)系即可求解；②當(dāng)三角尺一邊不在內(nèi)部時(shí)， 由，，利用角的和差關(guān)系即可求解.，綜合從而求解.
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