資源簡介

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新人教版七年級數學上名師點撥與訓練
第6章 幾何圖形
6.3.1角的比較與運算
學習目標：
1.掌握角的大小的比較方法.
2.理解角平分線和角的和、差、倍、分的意義及數量關系，能夠用幾何語言進行相關表述，并能解答相關問題.
3.會進行涉及度、分、秒的角度的計算.
重點：比較角的大小，認識角的大小關系，分析角的和差關系，認識角平分線及畫角平分線.
難點：能從圖形中觀察角的和差關系.
老師告訴你
1.角的大小比較時，如果已知角是銳角、直角、鈍角，就可以直接由它們之間的關系比較大小，如果不知道是那種類型的角，可以利用量角器度量角度來比較大小。
2.角平分線的性質是進行角度計算的重要依據，解這類問題要根據角平分線找角的數量關系，并利用圖形中相等的角的位置關系，結合角的和差關系轉化求解.
一、知識點撥
知識點1 、角的比較：
角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種．
（1）疊合法，使兩個角的頂點及一邊重合，另一邊在重合邊的同旁進行比較；
（2）度量法，分別用量角器測量兩個角的大小，再進行比較。
如比較∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下圖，由圖（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由圖(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由圖(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．
【新知導學】
例1-1．如圖，用三角尺比較與的大小，其中正確的是( )
A. B. C. D.無法確定
例1-2．如圖所示，正方形網格中有和，如果每個小正方形的邊長都為1，則與的大小關系為( )
A. B. C. D.無法估測
【對應導練】
1．如圖所示，由正方形組成的網格中，點A，B，C，D，O是網格線交點，那么與的大小關系是__________.（填“>”“﹤”或“=”）
2．已知直角，平角，則_________.（填“>”“<”或“=”）
3.己知與都小于平角，在平面內把這兩個角的一條邊重合，若的另一條邊恰好落在的內部，則（ ）．
A． B． C． D．不能比較與的大小
知識點2、 角的和、差關系
如圖所示，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1＝∠AOB-∠2．
注意：(1)用量角器量角和畫角的一般步驟：①對中(角的頂點與量角器的中心對齊)；②重合(一邊與刻度尺上的零度線重合)；③讀數(讀出另一邊所在線的度數)．
(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根據角的和、差關系，還可以畫出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．
【新知導學】
例2-1．在同一平面內，若∠AOB=50°，∠AOC=40°，∠BOD=30°，則∠DOC的度數是______．
例2-2．如圖，，，則的大小為( )
A. B. C. D.
【對應導練】
1．如圖，.比較與的大小，并說明理由.
2．尺規作圖：已知，，作，使得.（不寫作法，保留作圖痕跡）
3．在同一平面內，若，，則______.
知識點3、 角平分線
從一個角的頂點出發，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線．如圖所示，OC是∠AOB的角平分線，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，
∠AOC＝∠BOC =∠AOB．
注意；由角平分線的概念產生的合情推理其思維框架與線段中點的思維框架一樣．
【新知導學】
例3-1．如圖，，以為邊作，使，則下列結論成立的是( )
A. B.
C.或 D.或
例3-2．在的內部引一條射線，則圖中共有三個角，分別是、、.若其中有一個角的度數是另一個角的度數的兩倍，則稱射線是的“好好線”.若，且射線是的“好好線”，則的度數有下列情況：①②③④.其中正確的是( )
A.①② B.③④ C.①②③ D.②③④
【對應導練】
1．已知點A，O，B依次在同一直線上，射線平分，，平分，則的度數是( )
A. B. C. D.或
2．如圖，已知，是內的一條射線，且.
（1）求和的度數；
（2）作射線平分，在內作射線，使得，求的度數.
3．如圖,,,ON是的平分線,OM是的平分線.
(1)求的大小；
(2)當時,等于多少度？
4．如圖，已知，是內的一條射線，且.
(1)求的度數；
(2)過點O作射線，若，求的度數.
二、題型訓練
1.角的大小比較
1．如圖所示的網格是正方形網格，則______________.（填“>”“<”或“=”）
2．如圖所示的網格是正方形網格，______________.（填“>”“=”或“<”）
2.角的和差計算
3．已知，以OA為邊畫.求的度數.
4．如圖，，直線CD經過點O，.
（1）求的度數；
（2）若，試畫出，并求出的度數.
3.角平分線的有關計算
5．如圖，已知，是內的一條射線，且.
（1）求和的度數；
（2）作射線平分，在內作射線，使得，求的度數.
6．如圖,,,ON是的平分線,OM是的平分線.
(1)求的大小；
(2)當時,等于多少度？
三、課堂達標
一、單選題（每小題4分，共32分）
1．如圖，O為直線AE上一點，OC平分，平分.若，則的度數是( )
A. B. C. D.
2．如圖，射線平分，射線平分，則下列等式中成立的有( )
①；
②；
③；
④.
A.①② B.①③ C.②③ D.②④
3．把一副三角板按如圖所示拼在一起，則等于( )
A. B. C. D.
4．如圖，點O在直線AB上，射線OC平分，若，則等于( )
A. B. C. D.
5．已知，，平分，平分，則的度數是( )
A.或 B.或 C.或 D.或
6．下列度數的角，只借助一副三角尺不能拼出的是( )
A. B. C. D.
7．如圖，，，小明想過點O引一條射線OD，使與都小于平角），那么的度數是( )
A. B.或 C. D.或
8．如圖，，直線CD經過點O，，則的度數為( )
A. B. C. D.
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．若把45.58°化成以度、分、秒的形式，則結果為_______.
10．如圖,已知O是直線上一點,,平分,則________度.
11．如圖，，射線OC在外，且，若OM平分，平分，則_________.
13．如圖,已知,,OM平分,ON平分,則的度數是______.
三、解答題（每小題8分，共48分）
14．補全解題過程：
如圖，，，為的平分線，求的度數.
，，
________°，
________°，
為的平分線，
________=________°(依據：________)
________=________°.
15．已知，射線OC在的內部，射線OM是內靠近OA的三等分線，射線ON是內靠近OB的三等分線.
（1）如圖，若，OC平分，
①補全圖形；
②填空：的度數為________.
（2）探求和的等量關系.
16．如圖，已知，，若，求的度數.
17．如圖，O是直線AB上一點，OD平分，，，求和的度數.
18．如圖，已知OP為外部的一條射線，OM平分，平分，則.
19．回答下列問題：
（1）如圖（1），射線OC在的內部，OM平分,ON平分，若，求的度數；
（2）如圖（2），射線OC,OD在的內部，OM平分,ON平分，若，，求的度數；
（3）在（2）中，，，其他條件不變，請用含m,n的代數式表示的度數（不用說理）.
新人教版七年級數學上名師點撥與訓練
第6章 幾何圖形
6.3.1角的比較與運算
學習目標：
1.掌握角的大小的比較方法.
2.理解角平分線和角的和、差、倍、分的意義及數量關系，能夠用幾何語言進行相關表述，并能解答相關問題.
3.會進行涉及度、分、秒的角度的計算.
重點：比較角的大小，認識角的大小關系，分析角的和差關系，認識角平分線及畫角平分線.
難點：能從圖形中觀察角的和差關系.
老師告訴你
1.角的大小比較時，如果已知角是銳角、直角、鈍角，就可以直接由它們之間的關系比較大小，如果不知道是那種類型的角，可以利用量角器度量角度來比較大小。
2.角平分線的性質是進行角度計算的重要依據，解這類問題要根據角平分線找角的數量關系，并利用圖形中相等的角的位置關系，結合角的和差關系轉化求解.
一、知識點撥
知識點1 、角的比較：
角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種．
（1）疊合法，使兩個角的頂點及一邊重合，另一邊在重合邊的同旁進行比較；
（2）度量法，分別用量角器測量兩個角的大小，再進行比較。
如比較∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下圖，由圖（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由圖(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由圖(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．
【新知導學】
例1-1．如圖，用三角尺比較與的大小，其中正確的是( )
A. B. C. D.無法確定
答案：B
解析：由題圖可知，，所以.
例1-2．如圖所示，正方形網格中有和，如果每個小正方形的邊長都為1，則與的大小關系為( )
A. B. C. D.無法估測
答案：A
解析：如圖，作，所以，即.故選A.
【對應導練】
1．如圖所示，由正方形組成的網格中，點A，B，C，D，O是網格線交點，那么與的大小關系是__________.（填“>”“﹤”或“=”）
答案：>
解析：如圖，連接OE.
由圖得，，所以.
2．已知直角，平角，則_________.（填“>”“<”或“=”）
答案：<
解析：因為，，所以.
3.己知與都小于平角，在平面內把這兩個角的一條邊重合，若的另一條邊恰好落在的內部，則（ ）．
A． B． C． D．不能比較與的大小
【答案】A
【分析】如圖所示，，，∠AOC＞∠BOC，．
解：如圖所示，，，
∵∠AOC＞∠BOC，
∴，
故選A．
【點撥】本題主要考查了角的大小比較，解題的關鍵在于能夠畫出圖形進行求解．
知識點2、 角的和、差關系
如圖所示，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1＝∠AOB-∠2．
注意：(1)用量角器量角和畫角的一般步驟：①對中(角的頂點與量角器的中心對齊)；②重合(一邊與刻度尺上的零度線重合)；③讀數(讀出另一邊所在線的度數)．
(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根據角的和、差關系，還可以畫出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．
【新知導學】
例2-1．在同一平面內，若∠AOB=50°，∠AOC=40°，∠BOD=30°，則∠DOC的度數是______．
【答案】20°或40°或60°或120°
【分析】先畫出圖形，再根據角的和差關系即可求解．
【詳解】解：如圖所示：
如圖1，∠DOC=∠AOB-∠AOC+∠BOD=40°，
如圖2，∠DOC=∠BOD-（∠AOB-∠AOC）=20°，
如圖3，∠DOC=∠AOB+∠AOC+∠BOD=120°，
如圖4，∠DOC=∠AOB+∠AOC-∠BOD=60°．
故∠DOC的度數是40°或20°或120°或60°．
故答案為：40°或20°或120°或60°．
【點睛】本題查了角的計算，關鍵是熟練掌握角的和差關系，難點是正確畫出圖形，做到不重復不遺漏．
例2-2．如圖，，，則的大小為( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：因為，，
所以，
又因為，
所以.
【對應導練】
1．如圖，.比較與的大小，并說明理由.
答案：.理由見解析
解析：.理由如下：
因為，
所以，
即.
2．尺規作圖：已知，，作，使得.（不寫作法，保留作圖痕跡）
答案：見解析
解析：如圖，即為所作.
3．在同一平面內，若，，則______.
答案：或
解析：∵，，
∴①如圖，當在的外部時，
；
②如圖，當在的內部時，
故答案為：或.
知識點3、 角平分線
從一個角的頂點出發，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線．如圖所示，OC是∠AOB的角平分線，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，
∠AOC＝∠BOC =∠AOB．
注意；由角平分線的概念產生的合情推理其思維框架與線段中點的思維框架一樣．
【新知導學】
例3-1．如圖，，以為邊作，使，則下列結論成立的是( )
A. B.
C.或 D.或
答案：D
解析：分兩種情況：
當在的外部，如圖，
，
，
當在的內部，如圖，
，
，
故選：D.
例3-2．在的內部引一條射線，則圖中共有三個角，分別是、、.若其中有一個角的度數是另一個角的度數的兩倍，則稱射線是的“好好線”.若，且射線是的“好好線”，則的度數有下列情況：①②③④.其中正確的是( )
A.①② B.③④ C.①②③ D.②③④
答案：C
解析：①，，
射線是的“好好線”；
②，
，
射線是的“好好線”；
③，
，
射線是的“好好線”；
④，
不存在一個角的度數是另一個角的度數的兩倍，
射線不是的“好好線”；
故選：C.
【對應導練】
1．已知點A，O，B依次在同一直線上，射線平分，，平分，則的度數是( )
A. B. C. D.或
答案：D
解析：點A，O，B依次在同一直線上，
射線平分，
當在內部時，如圖1，
平分，
當在外部時，如圖2，
平分，
的度數是或
故選：D.
2．如圖，已知，是內的一條射線，且.
（1）求和的度數；
（2）作射線平分，在內作射線，使得，求的度數.
答案：（1），
（2）40°
解析：（1）因為，，
所以，.
（2）因為平分，
所以.
因為∠，
所以，
所以.
3．如圖,,,ON是的平分線,OM是的平分線.
(1)求的大小；
(2)當時,等于多少度？
答案：(1)45°
(2)45°
解析：(1)∵是直角,,
∴,
∵ON是的平分線,OM是的平分線,
∴,
,
∴
；
(2)當時,,
∵ON是的平分線,OM是的平分線,
∴,
,
∴.
4．如圖，已知，是內的一條射線，且.
(1)求的度數；
(2)過點O作射線，若，求的度數.
答案：(1)
(2)或
解析：(1)，
，
又，
；
(2)當在內部時，，
，
當在外部時，，
，
或.
二、題型訓練
1.角的大小比較
1．如圖所示的網格是正方形網格，則______________.（填“>”“<”或“=”）
答案：>
解析：如圖所示，，
，
故答案為：>.
2．如圖所示的網格是正方形網格，______________.（填“>”“=”或“<”）
答案：>
解析：根據網格特點可知，，，
.
故答案為：>.
2.角的和差計算
3．已知，以OA為邊畫.求的度數.
答案：或
解析：根據題意，分以下兩種情況討論.
①如圖，當射線OC在外部時，.
②如圖，當射線OC在內部時，.
綜上所述，的度數為或.
4．如圖，，直線CD經過點O，.
（1）求的度數；
（2）若，試畫出，并求出的度數.
答案：（1）
（2）圖見解析，或
解析：（1）因為，
所以.
因為，
所以.
（2）由（1）得，.
所以.
的位置有兩種情況，如圖：
當在內部時，；
當在外部時，.
綜上所述，或.
3.角平分線的有關計算
5．如圖，已知，是內的一條射線，且.
（1）求和的度數；
（2）作射線平分，在內作射線，使得，求的度數.
答案：（1），
（2）40°
解析：（1）因為，，
所以，.
（2）因為平分，
所以.
因為∠，
所以，
所以.
6．如圖,,,ON是的平分線,OM是的平分線.
(1)求的大小；
(2)當時,等于多少度？
答案：(1)45°
(2)45°
解析：(1)∵是直角,,
∴,
∵ON是的平分線,OM是的平分線,
∴,
,
∴
；
(2)當時,,
∵ON是的平分線,OM是的平分線,
∴,
,
∴.
三、課堂達標
一、單選題（每小題4分，共32分）
1．如圖，O為直線AE上一點，OC平分，平分.若，則的度數是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：
2．如圖，射線平分，射線平分，則下列等式中成立的有( )
①；
②；
③；
④.
A.①② B.①③ C.②③ D.②④
答案：B
解析：平分，平分，
，
，
故①正確；
故②錯誤；
故③正確；
，
故④錯誤；
故選：B.
3．把一副三角板按如圖所示拼在一起，則等于( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：.故選D.
4．如圖，點O在直線AB上，射線OC平分，若，則等于( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：
5．已知，，平分，平分，則的度數是( )
A.或 B.或 C.或 D.或
答案：C
解析：分兩種情況：如圖1，當在內部時，因為，，所以，因為OD平分，平分，所以，，所以；如圖2，當在外部時，.
6．下列度數的角，只借助一副三角尺不能拼出的是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：一副三角尺有，，，角，，，，只借助一副三角尺不能拼出的角.
7．如圖，，，小明想過點O引一條射線OD，使與都小于平角），那么的度數是( )
A. B.或 C. D.或
答案：D
解析：當OD在的內部時，由，得，所以；當OD在的外部時，由，得，所以，所以.綜上，的度數是或.
8．如圖，，直線CD經過點O，，則的度數為( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：因為是平角，，所以.因為，所以.
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．若把45.58°化成以度、分、秒的形式，則結果為_______.
答案：
解析：，
故答案為：.
10．如圖,已知O是直線上一點,,平分,則________度.
答案：70
解析：∵,
∴,
∵平分,
∴,
故答案為：70.
11．如圖，，射線OC在外，且，若OM平分，平分，則_________.
答案：
解析：因為，所以.因為OM平分，平分，所以，，所以
，故答案為.
12．已知，在其頂點O處引一條射線OC，且，則_________.
答案：或
解析：分為兩種情況：
①如圖（1），當OC在內部時，；
②如圖（2），當OC在外部時，.
故答案為或.
13．如圖,已知,,OM平分,ON平分,則的度數是______.
答案：
解析：因為,,
所以.
因為OM平分,
所以.
因為ON平分,
所以,
所以.
三、解答題（每小題8分，共48分）
14．補全解題過程：
如圖，，，為的平分線，求的度數.
，，
________°，
________°，
為的平分線，
________=________°(依據：________)
________=________°.
答案：；；；；角平分線的定義；；
解析：，，
，
，
為的平分線，
(依據：角平分線的定義)
.
故答案為：；；；；角平分線的定義；；.
15．已知，射線OC在的內部，射線OM是內靠近OA的三等分線，射線ON是內靠近OB的三等分線.
（1）如圖，若，OC平分，
①補全圖形；
②填空：的度數為________.
（2）探求和的等量關系.
答案：（1）①見解析；②
（2）
解析：（1）①補全圖形如圖所示.
②
因為OC平分，，所以，由題意知，，所以.
（2）.
因為射線OM是內靠近OA的三等分線，射線ON是內靠近OB的三等分線，
所以，，
所以.
16．如圖，已知，，若，求的度數.
答案：
解析：設.
因為，
所以，
所以.
因為，
所以.
因為，且，
所以，解得.
所以.
17．如圖，O是直線AB上一點，OD平分，，，求和的度數.
答案：，
解析：設.
，，.
，.
平分，.
，解得，
，.
18．如圖，已知OP為外部的一條射線，OM平分，平分，則.
答案：證明見解析
解析：證明：平分，平分，
，，
.
19．回答下列問題：
（1）如圖（1），射線OC在的內部，OM平分,ON平分，若，求的度數；
（2）如圖（2），射線OC,OD在的內部，OM平分,ON平分，若，，求的度數；
（3）在（2）中，，，其他條件不變，請用含m,n的代數式表示的度數（不用說理）.
答案：（1）因為OM平分，所以，同理.
因為，所以.
（2）因為OM平分，所以，同理可得，
所以
.
因為，，所以.
（3）由（2）得.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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