資源簡介

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新人教版七年級數學上名師點撥與訓練
第6章 幾何圖形
6.2.2 專題 線段計算中體現的四種數學思想
一 方程思想
方程的思想,是對于一個問題用方程解決的應用,也是對方程概念本質的認識,是分析數學問題中變量間 的等量關系,構建方程或方程組,或利用方程的性質去分析、轉換、解決問題。要善用方程和方程組觀點來觀察處理問題。方程思想是動中求靜,研究運動中的等量關系。當一個問題可能與某個方程建立關聯時,可以構造方程并對方程的性質進行研究以解決這個問題.
【例1-1】如圖，在數軸上有A，B，C，D四個整數點（即各點均表示整數），且2AB= BC=3CD.若A，D 兩點表示的數分別為-5和6，E 為線段BD 的中點，求點 E 表示的數.
.
【例1-2】 如圖，C，D是線段AB上兩點，已知AC：CD：DB=1：2：3，M，N分別為AC，DB的中點，且AB=18 cm，求線段 MN 的長.
解題策略：
在計算線段長度問題時，已知線段的和差關系或比例關系時，可以將關鍵線段設未知數，并用所設未知數表示其他線段，建立方程模型解決問題。
【變式1-1】．
（1）【問題探究】
如圖，點C，D 均在線段AB 上且點C 在點 D 左側，若AC=BD，CD=6 cm，AB=9 cm，則線段AC 的長為　 　 cm。
（2）【方法遷移】
已知點C，D 均在線段AB 上且點C 在點D 左側，若AC=BD，CD=a( cm)，AB=b( cm)(b>a)，則線段AC 的長為　 　 cm(用含a，b 的代數式表示)。
（3）【學以致用】
已知七年級某班共有m人，在本班參加拓展課報名統計時發現，選擇圍棋課的人數是n(n【變式1-2】．如圖，在線段AB 的延長線上取一點C，使BC=2AB，在BA 的延長線上取一點 D，使DA=AB，取AB的中點E。若DE=7.5cm，則DC的長為　 　 cm。
【變式1-3】．如圖，B，C 兩點把線段MN 分成三部分，且MB ：BC：CN=2：3：4，P 是MN 的中點。若PC=2cm，則MN=　 　 cm。
【變式1-4】．如圖，線段AB被點C、D分成了3：4：5三部分，且AC的中點M和DB的中點N之間的距離是40cm，求AB的長．
【變式1-5】． 如圖，已知點C在線段AB上，M，N分別是AC，BC的中點．
（1）若線段AC=12，BC=8，求線段MN的長度．
（2）設AB=a，求線段MN的長度．
（3）解決問題：已知線段DE，延長DE到F，使EF= DE；延長ED到G，使DG=2DE，P，Q分別是EF，DG的中點．若PQ=18 cm，求DE的長．
二 分類討論思想
分類討論,就是當問題所給的對象不能進行統一研究時,就需要對研究對象按某個標準進行分類,然后對每一類分別研究得出每一類的結論,最后綜合各類結果得到整個問題的解答。
【例2-1】．如圖，數軸上 A，B兩點之間的距離. 有一根木棒MN，MN 在數軸上移動（點 M 始終在點 N 的左側），當點 N 移動到與A，B其中一個端點重合時，點M 所對應的數為9，則當點 N 移動到線段AB 的中點時，點M 所對應的數為　 　.
【例2-2】．一根繩子AB 的長為20cm，C，D 是繩子AB 上任意兩點(點C在點D 的左側)。將AC，BD分別沿C，D兩點翻折(翻折處長度不計)，A，B兩點分別落在CD 上的點E，F 處。
（1）當CD=12cm時，E，F 兩點間的距離為　 　 cm。
（2）當E，F 兩點間的距離為2cm時，CD的長為　 　 cm。
【例2-3】．如圖，數軸上A，B兩點對應的有理數分別為10和15，點P從點A出發，以每秒1個單位長度的速度沿數軸正方向運動，點Q同時從原點O出發，以每秒2個單位長度的速度沿數軸正方向運動，設運動時間為t秒．
（1）當0＜t＜5時，用含t的式子填空：
BP＝　 　，AQ＝　 　；
（2）當t＝2時，求PQ的值；
（3）當PQ＝ AB時，求t的值．
解題策略
當題目條件中沒有圖形，位置不確定時，或者有些條件的表述不明確時，通常需要分類討論，分類的標準是對不確定的幾種可能情況進行分類。
【變式2-1】．已知，點C在直線上，，點M是線段的中點，則線段　 　．
【變式2-2】已知點 A，B，C在一條直線上，AB=6，BC=2，點M是線段AC的中點，求線段AM的長度.
【變式2-3】．已知線段 AB=10，C為AB 延長線上的一點，D是線段AC 的中點，且點 D 不與點B 重合.若線段 BD=4，求線段 BC的長.
【變式2-4】．如圖所示，點C在線段上，，點M、N分別是、的中點．
（1）求的長度；
（2）求的長度；
（3）若數P在直線上，且，點Q為的中點，請直接寫出的長度，不用說明理由．
三 整體思想
整體思想就是從問題的整體性質出發,突出對問題的整體結構的分析和改造,發現問題的整體結構特征,善于用“集成”的眼光,把某些式子或圖形看成一個整體,把握它們之間的關聯,進行有目的、有意識的整體處理。
【例3-1】．如圖1，已知點 C 在線段AB 上，且
（1）若點 C 為線段AB 上任意一點，其他條件不變，且滿足 AC+BC=a，求線段 MN 的長.
（2）如圖 2，若點 C 為線段AB 延長線上任意一點，其他條件不變，且滿足AC-BC=b，求線段 MN的長.
【例3-2】．如圖，已知點C在線段上，且cm，cm，點M，N分別是，的中點，要求線段的長度，可進行如下的計算．
（1）請填空：解：因為M是的中點，所以___________，因為cm，所以cm．因為N是的中點，所以，因為cm，所以___________，所以___________．
（2）對于（1），如果cm，cm，其他條件不變，請求出的長度．（要求有過程）
解題策略：
在求線段長度的過程中，若發現該線段分成的幾條線段長無法直接求出，（或者直接求出非常復雜），可考慮整體思想，分析出要求的線段整體上與已知線段之間存在的數量關系。
【變式3-1】．如圖，已知點在線段的延長線上，點，分別是，的中點．
（1）若，，則線段　 　；　 　．（直接寫出結果）
（2）若，，其他條件不變，求線段的長．（用含的式子表示）
【變式3-2】．如圖所示，點是線段的中點，．
（1）若，，則　 　，　 　；
（2）若，，求線段的長用含、的式子表示．
【變式3-3】．已知點 是線段 上一點， .
（1）若 ，求 的長；
（2）若 ， 是 的中點， 是 的中點，請用含 的代數式表示 的長，并說明理由.
【變式3-4】如圖，已知C，D為線段AB上順次兩點，M，N分別是AC，BD的中點．
（1）若AB＝24，CD＝10，求MN的長．
（2）若AB＝a，CD＝b，請用含，b的式子表示出MN的長．
【變式3-5】如圖，點C，D為線段AB的三等分點，點E為線段AC的中點，若ED＝12，則線段AB的長為 　 　．
四 利用數形結合思想、方程思想、分類討論思想解決動態問題。
數形結合思想通過“以形助數,以數輔形”,使復雜問題簡單化,抽 象問題具體化,能夠變抽象思維為形象思維,有助于把握數學問題的 本質,它是數學的規律性與靈活性的有機結合。
【例4-1】．如圖，已知A，B，C 是數軸上的三點，O是原點，點C 表示的數為6，BC=4，AB=12。
（1）寫出數軸上點 A，B表示的數。
（2）動點 P，Q分別從點A，C同時出發，點P 以每秒6個單位長度的速度沿數軸向右勻速運動，點Q 以每秒3個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，M為AP 的中點，點 N 在線段CQ 上，且 設運動時間為t(s)(t>0)。
①求數軸上點 M，N表示的數(用含 t 的式子表示)。
②當t 為何值時，原點O 恰為線段PQ 的中點
【例4-2】．已知有理數在數軸上對應的點分別為，其中b是最小的正整數，滿足．
（1）填空：__________，_____________，___________；
（2）現將點A，點B和點C分別以每秒4個單位長度，1個單位長度和1個單位長度的速度在數軸上同時向右運動，設運動時間為t秒．
i）定義：已知為數軸上任意兩點，將數軸沿線段的中點Q進行折疊，點M與點N剛好重合，所以我們又稱線段的中點Q為點M和點N的折點．
試問：當t為何值時，這三個點中恰好有一點為另外兩點的折點？
ii）當點A在點C左側時（不考慮點A與點B重合），是否存在一個常數m，使得的值在一定時間范圍內不隨t的改變而改變？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．
【例4-3】． 定義：若線段上的一個點把這條線段分成的兩條線段，則稱這個點是這條線段的三等分點．
圖1 圖2
（1）如圖1，點是線段的一個三等分點，滿足，若，則　 　．
（2）如圖2，已知，點從點出發，點從點出發，兩點同時出發，都以每秒的速度沿射線方向運動秒．
①當為何值時，點是線段的三等分點．
②在點，點開始出發的同時，點也從點出發，以每秒的速度沿射線方向運動，在運動過程中，點，點分別是，的三等分點，請直接寫出的值．
解題策略：
點在線段上運動時，若涉及速度，解決問題的關鍵就是用點運動的路程表示線段的長度，利用線段的和差關系建立方程求出未知的時間即可。通常應用方程思想，分類思想，數形結合思想。
【變式4-1】．數軸是數學中的一個重要工具，利用數軸可以將數與形進行完美的結合，如：數軸上點表示的數為，點表示的數為，則兩點之間的距離為．如圖所示，點為數軸上的三個點，表示的數分別為，滿足，且為的倒數．動點，分別從點出發，分別以每秒1個單位長度和4個單位長度的速度向右運動，動點從點出發，以每秒3個單位長度的速度向左運動，三個動點同時出發，設運動的時間為秒（），請回答下列問題：
（1）直接寫出的值：　 　，　 　，　 　；
（2）當時，求的值；
（3）在運動過程中，的值是否發生變化？若發生變化，請用含的式子表示；若不發生變化，請求出的值．
【變式4-2】．已知線段，點C為線段AB的中點，點D為線段AC上的三等分點，則線段BD的長的最大值為（　　）
A．16 B．18 C．15 D．20
【變式4-3】．如圖，點O是數軸的原點，點A在數軸上位于原點左側，點B在數軸上位于原點右側，．
（1）當，時，點A表示的數為　 　，點B表示的數為　 　；
（2）若點C、D為數軸上任意兩點，點M是線段AC的中點，點N是線段BD的中點．
①當點C與點D重合時，探究AB與MN的數量關系，并說明理由．
②當時，直接寫出MN的長度（用m，n表示）．
【變式4-4】．綜合運用
【背景知識】數軸是初中數學的一個重要工具，利用數軸可以將數與形完美地結合．研究數軸我們發現了許多重要的規律：若數軸上點A，點B表示的數分別為a，b，則A，B兩點之間的距離，線段的中點表示的數為．
【問題情境】如圖，數軸上點A表示的數為，點B表示的數為8，點P從點A出發，以每秒3個單位長度的速度沿數軸向右勻速運動，同時點Q從點B出發，以每秒2個單位長度的速度向左勻速運動．設運動時間為t秒（）．
備用圖
【綜合運用】
（1）A，B兩點間的距離　 　，線段的中點表示的數為　 　；
（2）求當t為何值時，P、Q兩點相遇，并寫出相遇點所表示的數；
（3）求當t為何值時，；
（4）若點M為的中點，點N為的中點，點P在運動過程中，線段的長度是否發生變化？若變化，請說明理由；若不變，求出線段的長．
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第6章 幾何圖形
6.2.2 專題 線段計算中體現的四種數學思想
一 方程思想
方程的思想,是對于一個問題用方程解決的應用,也是對方程概念本質的認識,是分析數學問題中變量間 的等量關系,構建方程或方程組,或利用方程的性質去分析、轉換、解決問題。要善用方程和方程組觀點來觀察處理問題。方程思想是動中求靜,研究運動中的等量關系。當一個問題可能與某個方程建立關聯時,可以構造方程并對方程的性質進行研究以解決這個問題.
【例1-1】如圖，在數軸上有A，B，C，D四個整數點（即各點均表示整數），且2AB= BC=3CD.若A，D 兩點表示的數分別為-5和6，E 為線段BD 的中點，求點 E 表示的數.
【答案】解：設，則
∵，
∴，解得，
∴
又∵點A 表示的數是-5，
∴點B 表示的數是-5+3=-2.
∵點D 表示的數是6，
∴線段BD 的中點E 表示的數為
【知識點】線段的中點；線段的和、差、倍、分的簡單計算
【解析】【分析】設，則 ，根據A、D表示的數得到，列方程求得x，再求得B表示的數，根據E為線段BD 的中點求解即可.
【例1-2】 如圖，C，D是線段AB上兩點，已知AC：CD：DB=1：2：3，M，N分別為AC，DB的中點，且AB=18 cm，求線段 MN 的長.
【答案】
【知識點】線段的中點；線段的和、差、倍、分的簡單計算
【解析】【分析】設AC、CD、DB的長分別為xcm、2xcm、3xcm，先結合“AC＋CD＋DB＝AB”可得x＋2x＋3x＝18，求出x的值，再求出AC＝3cm，CD＝6cm，DB＝9cm，再利用線段中點的性質求出MC和DN的長，最后利用線段的和差求出MN的長即可.
解題策略：
在計算線段長度問題時，已知線段的和差關系或比例關系時，可以將關鍵線段設未知數，并用所設未知數表示其他線段，建立方程模型解決問題。
【變式1-1】．
（1）【問題探究】
如圖，點C，D 均在線段AB 上且點C 在點 D 左側，若AC=BD，CD=6 cm，AB=9 cm，則線段AC 的長為　 　 cm。
（2）【方法遷移】
已知點C，D 均在線段AB 上且點C 在點D 左側，若AC=BD，CD=a( cm)，AB=b( cm)(b>a)，則線段AC 的長為　 　 cm(用含a，b 的代數式表示)。
（3）【學以致用】
已知七年級某班共有m人，在本班參加拓展課報名統計時發現，選擇圍棋課的人數是n(n【答案】（1）1.5
（2）
（3）解：如圖，
表示七年級某班人數，
表示七年級某班男生人數，
表示七年級某班女生人數，
表示參加圍棋課的男生，
表示未參加圍棋課的男生，
表示未參加圍棋課的女生，
表示參加圍棋課的女生，
設，，則，，
∵選擇圍棋課的人數有人，
∴，即，解得：，
∵，
∴．
【知識點】線段的中點；線段的和、差、倍、分的簡單計算
【解析】【解答】（1）解：∵，，，
∴，
故答案為：；
（）解：∵，，，
∴，
故答案為：；
【分析】（）利用線段和差可得，，即可求解；
（）利用線段和差，即可求解；
（）根據題意畫出線段圖，設，，則，，根據題意，表示出m，n，即可求解；
【變式1-2】．如圖，在線段AB 的延長線上取一點C，使BC=2AB，在BA 的延長線上取一點 D，使DA=AB，取AB的中點E。若DE=7.5cm，則DC的長為　 　 cm。
【答案】20
【知識點】線段的中點；線段的和、差、倍、分的簡單計算
【解析】【解答】解：設，
為的中點，，
∴，
則
解得
∴
∴
∴，
故答案為：．
【分析】設，根據E為的中點可得，根據，求得x，再根據，求解即可.
【變式1-3】．如圖，B，C 兩點把線段MN 分成三部分，且MB ：BC：CN=2：3：4，P 是MN 的中點。若PC=2cm，則MN=　 　 cm。
【答案】36
【知識點】線段的中點；線段的和、差、倍、分的簡單計算
【解析】【解答】解：∵，
∴設，
則，
∵點P是的中點，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
故答案為：．
【分析】根據線段比例，設設，則，列出一元一次方程求解即可．本題考查兩點間的距離，弄清楚線段之間的數量關系是關鍵．
【變式1-4】．如圖，線段AB被點C、D分成了3：4：5三部分，且AC的中點M和DB的中點N之間的距離是40cm，求AB的長．
【答案】解：依題可設AC=3xcm，則CD=4xcm，DB=5xcm，∵M是AC的中點，N是DB的中點，∴CM= AC= cm，DN= DB= cm∵MN=MC+CD+DN，MN=40cm，∴ ，解得：x=5，∴AB=AC+CD+DB=12x=12×5=60（cm）.
【知識點】線段的中點；線段的和、差、倍、分的簡單計算
【解析】【分析】根據題意可設AC=3xcm，則CD=4xcm，DB=5xcm，根據中點定義可知CM= cm，DN= cm，由MN=MC+CD+DN=40cm，代入可列出方程，解之求得x值，從而求得AB長.
【變式1-4】 如圖，已知點C在線段AB上，M，N分別是AC，BC的中點．
（1）若線段AC=12，BC=8，求線段MN的長度．
（2）設AB=a，求線段MN的長度．
（3）解決問題：已知線段DE，延長DE到F，使EF= DE；延長ED到G，使DG=2DE，P，Q分別是EF，DG的中點．若PQ=18 cm，求DE的長．
【答案】（1）∵AC=12，BC=8，M，N 分別是AC，BC的中點，
∴MC= AC，NC= BC，
∴MN= AC+ BC= ×12+ ×8=10．
（2）由(1)可知MN= AC+ BC= (AC+BC)= AB，
∵AB=a，
∴MN= a．
（3）設DE=x cm，則EF= DE= x cm，
EP= EF= x cm，DG=2x cm，DQ= DG=xcm．
∵PQ=18 cm，可得x+x+x=18，
解得x=8，
則DE=8 cm．
【知識點】線段的中點；線段的和、差、倍、分的簡單計算
【解析】【分析】（1）由線段的中點可得MC= AC，NC= BC，由MN= AC+ BC即可求解；
（2）由(1)可知MN= AC+ BC= (AC+BC)= AB，繼而得解；
（3）設DE=x cm，則EF= DE= x cm，EP= EF= x cm，DG=2x cm，DQ= DG=xcm．根據PQ=18 cm建立方程并解之即可.
二 分類討論思想
分類討論,就是當問題所給的對象不能進行統一研究時,就需要對研究對象按某個標準進行分類,然后對每一類分別研究得出每一類的結論,最后綜合各類結果得到整個問題的解答。
【例2-1】．如圖，數軸上 A，B兩點之間的距離. 有一根木棒MN，MN 在數軸上移動（點 M 始終在點 N 的左側），當點 N 移動到與A，B其中一個端點重合時，點M 所對應的數為9，則當點 N 移動到線段AB 的中點時，點M 所對應的數為　 　.
【答案】21或-3
【知識點】線段的中點；線段的和、差、倍、分的簡單計算
【解析】【解答】解：設 MN 的長度為m.分兩種情況討論：
①當點N 與點A 重合時，由點M 所對應的數為9，得點 N 所對應的數為m+9，
當點 N 移動到線段AB 的中點時，點 N 所對應的數為m+9+12=m+21，
故點M 所對應的數為m+21-m=21.
②當點N 與點B 重合時，由點M 所對應的數為9，得點 N 所對應的數為m+9，
當點N 移動到線段AB的中點時，點N 所對應的數為m+9-12=m-3，
故點M所對應的數為m-3-m=-3.
綜上所述，點M 所對應的數為21或-3.
故答案為：21或-3.
【分析】設 MN 的長度為m，分兩種情況，當點N 與點A 重合時和當點N 與點B 重合時，根據題意，表示出點N對應的數，即可求解.
【例2-2】．一根繩子AB 的長為20cm，C，D 是繩子AB 上任意兩點(點C在點D 的左側)。將AC，BD分別沿C，D兩點翻折(翻折處長度不計)，A，B兩點分別落在CD 上的點E，F 處。
（1）當CD=12cm時，E，F 兩點間的距離為　 　 cm。
（2）當E，F 兩點間的距離為2cm時，CD的長為　 　 cm。
【答案】（1）4
（2）11或9
【知識點】兩點之間線段最短；線段的和、差、倍、分的簡單計算
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
由于翻折，如圖，則，
∴，
∴，兩點間的距離為；
故答案為：；
（2）當時，如圖，
由于翻折，則，
由圖知，，即，
∴，
∴；
當時，如圖，
則，即，
∴，
∴；
綜上，的長為或．
故答案為：或．
【分析】（1）由已知，翻折后，則，兩點間的距離為，由此即可求解；
（2）分兩種情況：及，畫出圖形，即可求解．
【例2-3】．如圖，數軸上A，B兩點對應的有理數分別為10和15，點P從點A出發，以每秒1個單位長度的速度沿數軸正方向運動，點Q同時從原點O出發，以每秒2個單位長度的速度沿數軸正方向運動，設運動時間為t秒．
（1）當0＜t＜5時，用含t的式子填空：
BP＝　 　，AQ＝　 　；
（2）當t＝2時，求PQ的值；
（3）當PQ＝ AB時，求t的值．
【答案】（1）5－t；10－2t
（2）解：當t=2時，P點對應的有理數為10+2=12，Q點對應的有理數為2×2=4，所以PQ=12﹣4=8；
（3）解：∵t秒時，P點對應的有理數為10+t，Q點對應的有理數為2t，∴PQ=|2t﹣（10+t）|=|t﹣10|，∵PQ= AB，∴|t﹣10|=2.5，解得t=12.5或7.5．
【知識點】線段上的兩點間的距離；一元一次方程的實際應用-行程問題
【解析】【解答】解：（1）∵當0＜t＜5時，P點對應的有理數為10+t＜15，Q點對應的有理數為2t＜10，∴BP=15﹣（10+t）=5﹣t，AQ=10﹣2t．
故答案為：5﹣t，10﹣2t；
【分析】（1）先求出當0＜t＜5時，P點對應的有理數為10+t＜15，Q點對應的有理數為2t＜10，再根據兩點間的距離公式即可求出BP，AQ的長；（2）先求出當t=2時，P點對應的有理數為10+2=12，Q點對應的有理數為2×2=4，再根據兩點間的距離公式即可求出PQ的長；（3）由于t秒時，P點對應的有理數為10+t，Q點對應的有理數為2t，根據兩點間的距離公式得出PQ=|2t﹣（10+t）|=|t﹣10|，根據PQ= AB列出方程，解方程即可．
解題策略
當題目條件中沒有圖形，位置不確定時，或者有些條件的表述不明確時，通常需要分類討論，分類的標準是對不確定的幾種可能情況進行分類。
【變式2-1】．已知，點C在直線上，，點M是線段的中點，則線段　 　．
【答案】或3
【知識點】線段的中點；線段的和、差、倍、分的簡單計算
【解析】【解答】解：當點C在線段上時，如圖1，
∵，
∴，
∵點M是線段的中點，
∴，
∴；
當點C在線段的延長線上時，
∵，
∴，
∵點M是線段的中點，
∴，
∴，
即或3．
故答案為：或3
【分析】本題主要考查了線段的中點的相關計算，根據題意，分點C在線段上和點C在線段的延長線上，兩種情況討論，利用線段中點的性質和線段的和差，進行計算，即可求解.
【變式2-2】已知點 A，B，C在一條直線上，AB=6，BC=2，點M是線段AC的中點，求線段AM的長度.
【答案】解：①當C在線段AB 上時，如圖1，
AC=AB－BC=6－2=4.
∵M是AC 的中點，
∴
②當C在線段AB 的延長線上時，如圖2，
AC=AB+BC=6+2=8，
∵M是AC的中點，
∴
綜上所述，AM的長為2 或4.
【知識點】線段的中點；數學思想；線段的和、差、倍、分的簡單計算
【解析】【分析】分C在線段AB 上和C在線段AB 的延長線上兩種情況，分別計算出AC的長，再利用線段中點的定義即可求出AM的長.
【變式2-3】．已知線段 AB=10，C為AB 延長線上的一點，D是線段AC 的中點，且點 D 不與點B 重合.若線段 BD=4，求線段 BC的長.
【答案】解：當點 D在點B 的右側時，如圖1，
∵BD=4，
∴AD=AB+BD=10+4=14，
∵D是線段AC的中點，
∴AD=CD=14，
∴BC=BD+CD=4+14=18；
當點D在點B的左側時，如圖2，
AD=AB－BD=10－4=6，
∵D是線段AC中點，
∴AD=CD=6，
∴BC=CD－BD=6－4=2.
綜上所述，線段 BC的長為18或2.
【知識點】線段的中點；線段的和、差、倍、分的簡單計算
【解析】【分析】分點D在點B的右側和點D在點B的左側兩種情況，分別計算出AD的長，最后利用線段中點的定義即可求出BC的長.
【變式2-4】．如圖所示，點C在線段上，，點M、N分別是、的中點．
（1）求的長度；
（2）求的長度；
（3）若數P在直線上，且，點Q為的中點，請直接寫出的長度，不用說明理由．
【答案】（1）解：，點N分別是的中點，
，
即的長度為；
（2）解：，點M分別是的中點，
，
由（1）可知，，
，
即的長度為；
（3）的長度為或．
【知識點】線段的中點；線段的和、差、倍、分的簡單計算
【解析】【解答】（3）解：的長度為或，理由如下：
，點Q為的中點，
，
如圖，若點在線段上，則；
若點在的延長線上，則；
綜上可知，的長度為或．
【分析】（1）利用線段中點的性質分析求解即可；
（2）先利用線段中點的性質求出BM的長，再利用線段的和差求出MN的長即可；
（3）先利用線段中點的性質求出BQ的長，再分類討論：①若點在線段上，②若點在的延長線上，再分別畫出圖形并利用線段的和差求出QN的長即可.
三 整體思想
整體思想就是從問題的整體性質出發,突出對問題的整體結構的分析和改造,發現問題的整體結構特征,善于用“集成”的眼光,把某些式子或圖形看成一個整體,把握它們之間的關聯,進行有目的、有意識的整體處理。
【例3-1】．如圖1，已知點 C 在線段AB 上，且
（1）若點 C 為線段AB 上任意一點，其他條件不變，且滿足 AC+BC=a，求線段 MN 的長.
（2）如圖 2，若點 C 為線段AB 延長線上任意一點，其他條件不變，且滿足AC-BC=b，求線段 MN的長.
【答案】（1）解：∵，
∴ .
（2）解：∵，
∴
.
【知識點】線段的和、差、倍、分的簡單計算
【解析】【分析】（1）利用線段的加減，即可求出MN的長；
（2）先表示出MC和NC的長，用MC－NC，即可得到MN的長.
【例3-2】．如圖，已知點C在線段上，且cm，cm，點M，N分別是，的中點，要求線段的長度，可進行如下的計算．
（1）請填空：解：因為M是的中點，所以___________，因為cm，所以cm．因為N是的中點，所以，因為cm，所以___________，所以___________．
（2）對于（1），如果cm，cm，其他條件不變，請求出的長度．（要求有過程）
【答案】（1）；3cm；7cm
（2）解：點M，N分別是，的中點，cm，cm，∴cm，cm，
又∵，
∴cm．
【知識點】線段的中點；線段的和、差、倍、分的簡單計算
【解析】【解答】解：（1）∵點M，N分別是，的中點，cm，cm，
∴cm，cm，
又∵，
∴cm．
故答案為：；3cm；7cm.
【分析】
（1）根據題意，由點M，N分別是，的中點，結合，，求得的長，再由，得到的值，即可求出的長度；
（2）將cm，cm， 代入分別求得，結合，用a，b表示MN的長度，得到答案．
解題策略：
在求線段長度的過程中，若發現該線段分成的幾條線段長無法直接求出，（或者直接求出非常復雜），可考慮整體思想，分析出要求的線段整體上與已知線段之間存在的數量關系。
【變式3-1】．如圖，已知點在線段的延長線上，點，分別是，的中點．
（1）若，，則線段　 　；　 　．（直接寫出結果）
（2）若，，其他條件不變，求線段的長．（用含的式子表示）
【答案】（1）20；15
（2）解：∵點，分別是，的中點，
∴，
∵
∴，
∴
則.
【知識點】線段的中點；線段的和、差、倍、分的簡單計算
【解析】【解答】（1）∵點，分別是，的中點，
∴MC=AC，NC=BC，
∵，，
∴AC=40，NC=5，
∴MC=20，MN=15，
故答案為：20；15.
【分析】（1）利用線段中點的性質求出MC=AC，NC=BC，再將數據代入求出MC=20，MN=15即可；
（2）利用線段中點的性質求出MC=AC，NC=BC，再求出，利用線段的和差求出最后求出即可.
【變式3-2】．如圖所示，點是線段的中點，．
（1）若，，則　 　，　 　；
（2）若，，求線段的長用含、的式子表示．
【答案】（1）6；11
（2）解：，，
，，
，
，
點是線段的中點，
，
，
【知識點】線段的中點；線段的和、差、倍、分的簡單計算
【解析】【解答】（1）∵CN=4，CN=2BN，
∴BN=2，BC=6，
∵AB=16，
∴AC=AB+BC=22，
∵點M是線段AC的中點，
∴AM=CM=11，
故答案為：6，11.
【分析】（1）利用線段的和差求出AC的長，再利用線段中點的性質求出AM的長即可；
（2）先求出AC的長，再利用線段中點的性質求出，最后利用線段的和差求出即可.
【變式3-3】．已知點 是線段 上一點， .
（1）若 ，求 的長；
（2）若 ， 是 的中點， 是 的中點，請用含 的代數式表示 的長，并說明理由.
【答案】（1）解：∵ ， ，
∴
∴
（2）解：如圖，∵ 是 的中點， 是 的中點，
∴ ， ，
∴
【知識點】線段的和、差、倍、分的簡單計算
【解析】【分析】(1)先由 ，代入得到AC=20，再根據線段的和差關系得到.
(2)先根據線段中點性質得到， ， ，再根據線段的和差關系得到 DE=DC+CE=.
【變式3-4】如圖，已知C，D為線段AB上順次兩點，M，N分別是AC，BD的中點．
（1）若AB＝24，CD＝10，求MN的長．
（2）若AB＝a，CD＝b，請用含，b的式子表示出MN的長．
分析（1）利用M，N分別是AC，BD的中點，可以得出MC，DN，再利用線段的和差關系表示即可求出答案；
（2）和方法（1）一樣，利用線段的和差關系表示出關系式即可．
解：（1）∵M，N分別是AC，BD的中點，
∴MC，DN，
∴MN＝MC+CD+DN17，
故MN的長是17．
答：MN的長是17．
（2）由（1）可知，
MN，
∵AB＝a，CD＝b，
∴MN，
答：MN的長是．
總結提升：本題主要考查兩點間的距離，熟練掌握中點的定義和線段的和差關系是解題的關鍵
【變式3-5】如圖，點C，D為線段AB的三等分點，點E為線段AC的中點，若ED＝12，則線段AB的長為 　 　．
分析：設EC＝x，根據點E為線段AC的中點，得AC＝2EC＝2x，再根據點C，D為線段AB的三等分點，得AB＝3AC，結合ED＝12，求出x，進而得出線段AB的長．
解：設EC＝x，
∵點E為線段AC的中點，
∴AC＝2EC＝2x，
∵點C，D為線段AB的三等分點，
∴AC＝CD＝BD＝2x，
∵ED＝EC+CD，ED＝12，
∴x+2x＝12，
解得x＝4，
∴AB＝3AC＝24，
故答案為：24．
總結提升：本題主要考查了兩點間的距離，掌握線段三等分點的定義，線段之間的數量轉化是解題關鍵．
四 利用數形結合思想、方程思想、分類討論思想解決動態問題。
數形結合思想通過“以形助數,以數輔形”,使復雜問題簡單化,抽 象問題具體化,能夠變抽象思維為形象思維,有助于把握數學問題的 本質,它是數學的規律性與靈活性的有機結合。
【例4-1】．如圖，已知A，B，C 是數軸上的三點，O是原點，點C 表示的數為6，BC=4，AB=12。
（1）寫出數軸上點 A，B表示的數。
（2）動點 P，Q分別從點A，C同時出發，點P 以每秒6個單位長度的速度沿數軸向右勻速運動，點Q 以每秒3個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，M為AP 的中點，點 N 在線段CQ 上，且 設運動時間為t(s)(t>0)。
①求數軸上點 M，N表示的數(用含 t 的式子表示)。
②當t 為何值時，原點O 恰為線段PQ 的中點
【答案】（1）解：∵點C 表示的數為6，BC=4，
∴OB=6-4=2，
∴點 B 表示的數為2。
∵AB=12，
∴AO=12-2=10，
∴點A 表示的數為-10
（2）解：①由題意可知：AP=6t，CQ=3t。
∵M 為AP 的中點，
∴在數軸上點 M 表示的數是-10+3t。
∵點 N 在CQ上，
∴在數軸上點 N 表示的數是6-t。
②分兩種情況討論：
i.如解圖①，當點 P 在點O 的左側，點Q 在點O的右側時，。
∵O為PQ 的中點，∴OP=OQ，
∴10-6t=6-3t，解得
ii.如解圖②，當點 P 在點O 的右側，點 Q 在點O 的左側時，。
∵O為PQ 的中點，∴，
∴，解得 (此時AP=8<10，不合題意，舍去)。
綜上所述，當 時，原點O恰為線段PQ 的中點
【知識點】一元一次方程的其他應用；線段的中點；線段的和、差、倍、分的簡單計算
【解析】【分析】（1）根據數軸上兩點間的距離即可求出A、B表示的數；
（2）①根據距離=速度×時間可得AP=6t，CQ=3t，根據中點性質可得AM=3t，根據 可得CN=t，根據線段的和差關系即可得答案；②根據中點定義可得，分兩種情況，當點 P 在點O 的左側，點Q 在點O的右側時或者當點 P 在點O 的右側，點 Q 在點O 的左側時，再根據數軸的性質解答即可.
【例4-2】．已知有理數在數軸上對應的點分別為，其中b是最小的正整數，滿足．
（1）填空：__________，_____________，___________；
（2）現將點A，點B和點C分別以每秒4個單位長度，1個單位長度和1個單位長度的速度在數軸上同時向右運動，設運動時間為t秒．
i）定義：已知為數軸上任意兩點，將數軸沿線段的中點Q進行折疊，點M與點N剛好重合，所以我們又稱線段的中點Q為點M和點N的折點．
試問：當t為何值時，這三個點中恰好有一點為另外兩點的折點？
ii）當點A在點C左側時（不考慮點A與點B重合），是否存在一個常數m，使得的值在一定時間范圍內不隨t的改變而改變？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．
【答案】解：（1）-2，1，5；
（2）
i）t秒后點A、B、C表示的數分別是：4t-2，1+t，5+t，
當點A是中點時，1+t+5+t=2（4t-2），得t=，
當點B是中點時，4t-2+5+t=2（1+t），得t=（舍去），
當點C是中點時，4t-2+1+t=2（5+t），得t=，
綜上，當t=或t=時，這三個點中恰好有一點為另外兩點的折點；
ii）存在，
∵t秒后點A、B、C表示的數分別是：4t-2，1+t，5+t，
∴AC=5+t-4t+2=7-3t，
當點A在點B的右側時即AB =4t-2-1-t =3t-3時，
=，
∴常數m=2，此時=2AC+2AB=8，即AC+AB=4，
∵AC+AB=7-3t+3t-3=4，
∴當常數m=2時，的值在一定時間范圍內不隨t的改變而改變；
當點B在點A右側即AB=1+t-4t+2=3-3t時，
=，
∴常數m=-2，此時=2AC-2AB=8，即AC-AB=4，
∵7-3t-(3-3t)=4，
∴m=-2舍去，
綜上，當常數m=2時，的值在一定時間范圍內不隨t的改變而改變.
【知識點】線段的中點；偶次方的非負性；絕對值的非負性；一元一次方程的實際應用-幾何問題；數軸上兩點之間的距離
【解析】【解答】解：（1）∵b是最小的正整數，∴b=1，
∵，
∴a+2=0，c-5=0，
∴a=-2，c=5，
故答案為：-2，1，5；
【分析】（1）根據b是最小的正整數，得到b=1，再由 ，結合平方式與絕對值的非負性，求得，進而求得a和c的值，得到答案；
（2）i）先得到運動t秒后三個點對應的數為4t-2，1+t，5+t，分點A是中點，點B是中點和點C是中點，三種情況，結合兩點的中點公式，列出代數式，分別計算t的值，即可得到答案；
ii）由t秒后點A、B、C表示的數分別是：4t-2，1+t，5+t，分別用t表示出AC、AB，根據，將AC、AB的式子代入，即可求出常數m的值.
【例4-3】． 定義：若線段上的一個點把這條線段分成的兩條線段，則稱這個點是這條線段的三等分點．
圖1 圖2
（1）如圖1，點是線段的一個三等分點，滿足，若，則　 　．
（2）如圖2，已知，點從點出發，點從點出發，兩點同時出發，都以每秒的速度沿射線方向運動秒．
①當為何值時，點是線段的三等分點．
②在點，點開始出發的同時，點也從點出發，以每秒的速度沿射線方向運動，在運動過程中，點，點分別是，的三等分點，請直接寫出的值．
【答案】（1）3
（2）解：由題意可得：，
∴，
∵點是線段的三等分點，分兩種情況：
當時，，解得：；
當時，，解得：；
綜上所述：當為或時，點是線段的三等分點；
由題意得：，則，，
∵點，點分別是，的三等分點，
∴可以分四種情況討論：
當時，則，，
分別解得：，
∴
解得：；
當時，則，，
分別解得：，
∴
解得：；
當時，則，，
分別解得：，
∴
解得：；
當時，則，，
分別解得：，
∴
解得：（舍去）；
點，點分別是，的三等分點，的值為或或．
【知識點】線段的中點；一元一次方程的實際應用-幾何問題
【解析】【解答】解：（1）∵點是線段的一個三等分點，滿足，，
∴AM+BM=AB，即AM+2AM=9，
解得：AM=3cm.
故答案為：3；
【分析】（1）根據線段的構成AM+BM=AB并結合已知可得關于AM的方程，解方程即可求解；
（2）①根據路程等于速度乘以時間得，則，由題意可分兩種情況：Ⅰ、當AC=時，Ⅱ、當AC=時，可得關于t的方程，解方程即可求解；
②由題意可分四種情況討論：Ⅰ、當AC=，DE=時，Ⅱ、當AC=，DE=時，Ⅲ、當AC=，DE=時，Ⅳ、當AC=，DE=時，分別可得關于x的方程，解方程即可求解.
解題策略：
點在線段上運動時，若涉及速度，解決問題的關鍵就是用點運動的路程表示線段的長度，利用線段的和差關系建立方程求出未知的時間即可。通常應用方程思想，分類思想，數形結合思想。
【變式4-1】．數軸是數學中的一個重要工具，利用數軸可以將數與形進行完美的結合，如：數軸上點表示的數為，點表示的數為，則兩點之間的距離為．如圖所示，點為數軸上的三個點，表示的數分別為，滿足，且為的倒數．動點，分別從點出發，分別以每秒1個單位長度和4個單位長度的速度向右運動，動點從點出發，以每秒3個單位長度的速度向左運動，三個動點同時出發，設運動的時間為秒（），請回答下列問題：
（1）直接寫出的值：　 　，　 　，　 　；
（2）當時，求的值；
（3）在運動過程中，的值是否發生變化？若發生變化，請用含的式子表示；若不發生變化，請求出的值．
【答案】（1）-12；-3；3
（2）解：方法一：
運動秒后，點表示的數是，點表示的數是
分兩種情況：
①在點與點相遇之前時，，解得
②在點與點相遇之后時，，解得
所以，當或時，．
方法二：
運動秒后，點表示的數是，點表示的數是
因為，所以
所以或，所以或
（3）解：不會發生變化，
秒后，點表示的數是
所以，，
所以
故的值不會發生變化，．
【知識點】有理數的倒數；偶次方的非負性；絕對值的非負性；線段的和、差、倍、分的簡單計算；數軸上兩點之間的距離
【解析】【解答】（1）∵為的倒數 ，
∴b=-3，
∵，
∴a+12=0，-3+c=0，
解得：a=-12，c=3，
故答案為：-12；-3；3.
【分析】（1）利用倒數的定義求出b的值，再利用非負數之和為0的性質求出a、c的值即可；
（2）先求出點M、N表示的數，再分類討論： ①在點與點相遇之前時，②在點與點相遇之后時， 再分別列出方程求解即可；
（3）先求出點P表示的數，再利用兩點之間的距離公式求出PM和CN的長，最后利用線段的和差求出即可.
【變式4-2】．已知線段，點C為線段AB的中點，點D為線段AC上的三等分點，則線段BD的長的最大值為（　　）
A．16 B．18 C．15 D．20
【答案】D
【知識點】線段的中點；線段的和、差、倍、分的簡單計算
【解析】【解答】∵點C為線段AB的中點，AB=24，
∴AC=BC=AB=12，
∵點D是線段AC上的三等分點，
∴CD=AC=4或CD=AC=8，
①當CD=AC=4時，如圖所示：
∴BD=BC+CD=12+4=16；
②當CD=AC=8時，如圖所示：
∴BD=BC+CD=12+8=20，
綜上，線段BD的長的最大值為20，
故答案為：D.
【分析】先利用線段中點的性質及線段的和差求出CD=AC=4或CD=AC=8，再分類畫出圖形并利用線段的和差求出BD的長即可.
【變式4-3】．如圖，點O是數軸的原點，點A在數軸上位于原點左側，點B在數軸上位于原點右側，．
（1）當，時，點A表示的數為　 　，點B表示的數為　 　；
（2）若點C、D為數軸上任意兩點，點M是線段AC的中點，點N是線段BD的中點．
①當點C與點D重合時，探究AB與MN的數量關系，并說明理由．
②當時，直接寫出MN的長度（用m，n表示）．
【答案】（1）-6；2
（2）解：①∵點M是AC的中點，點N是CB的中點，
，，
如圖，當點C在線段AB上時：
，
如圖，當點C在線段BA的延長線上時：
，
如圖，當點C在線段AB的延長線上時：
，
綜上所述，；
②或．
【知識點】線段的中點；線段的和、差、倍、分的簡單計算
【解析】【解答】解：（1）∵，，，
∴，即，
∵點B在數軸上位于原點右側，
∴點B表示的數為：，
∴，
∵點A在數軸上位于原點左側，
∴點A表示的數為∶，
故答案為：；
（2）②∵點C、D為數軸上任意兩點，點M是線段的中點，點N是線段的中點，
∴分情況討論：
當在上時，點D在上時，
∵，，
∴，
∴，
∴；
當在上時，點D在延長線上時，
設：，則，
∵，
∴，
∴，
∴；
當在上時，點D在延長線上時，
設，則，，
∴，
∴，
∴，
∴；
當在延長線上時，點D在延長線上時，
同理得：；
當在延長線上時，點D在上時，
同理得：；
當在延長線上時，點D在延長線上時，
同理得：；
當在延長線上時，點D在延長線上時，
同理得：；
當在延長線上時，點D在上時，
同理得：；
當在延長線上時，點D在延長線上時，
同理得：；
綜上所述：或．
【分析】（1）先根據線段和差關系計算OA和OB的長，再利用數軸求解即可；
（2）①分兩情況討論：點C在線段AB上或點C在線段BA的延長線上，分別列式即可證明出；
②分9種情況討論：點C在線段AB上，依據點D在的位置有3種；點C在線段AB的延長線上，依據點D的位置有3種；點C在線段BA的延長線上，依據點D的位置有3種；并列式分別計算即可得到本題答案．
【變式4-4】．綜合運用
【背景知識】數軸是初中數學的一個重要工具，利用數軸可以將數與形完美地結合．研究數軸我們發現了許多重要的規律：若數軸上點A，點B表示的數分別為a，b，則A，B兩點之間的距離，線段的中點表示的數為．
【問題情境】如圖，數軸上點A表示的數為，點B表示的數為8，點P從點A出發，以每秒3個單位長度的速度沿數軸向右勻速運動，同時點Q從點B出發，以每秒2個單位長度的速度向左勻速運動．設運動時間為t秒（）．
備用圖
【綜合運用】
（1）A，B兩點間的距離　 　，線段的中點表示的數為　 　；
（2）求當t為何值時，P、Q兩點相遇，并寫出相遇點所表示的數；
（3）求當t為何值時，；
（4）若點M為的中點，點N為的中點，點P在運動過程中，線段的長度是否發生變化？若變化，請說明理由；若不變，求出線段的長．
【答案】（1）10；3
（2）解：根據題意可知：t秒后，點P表示的數為，點Q表示的數為，
∵當P、Q兩點相遇時，P、Q表示的數相同，
∴，
解得：，
∴，
∴當秒時，P、Q兩點相遇，相遇點表示的數為4；
（3）解：根據題意可知：
∵，
∴，
∴或
解得：或，
∴當秒或3秒時，；
（4）解：不變．
根據題意可知：
中點M表示的數為，
中點N表示的數為，
∴
∴線段的長度不變．
【知識點】線段的中點；一元一次方程的實際應用-幾何問題；線段的和、差、倍、分的簡單計算；數軸上兩點之間的距離；數軸的點常規運動模型
【解析】【解答】解：（1）根據數軸可得：點A表示的數為-2，點B表示的數為8，
∴A、B兩點之間的距離AB=8-（-2）=10，線段AB中點表示的數為=3，
故答案為：10；3.
【分析】（1）參照題干中的定義，利用兩點之間的距離公式及中點表示方法列出算式求解即可；
（2）先分別求出點P表示的數為，點Q表示的數為，再結合“當P、Q兩點相遇時，P、Q表示的數相同”列出方程，再求解即可；
（3）先求出，再結合PQ=5，列出方程，求解即可；
（4）先利用中點表示方法分別求出點M、N表示的數，再求出即可.
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