資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
新人教版七年級數(shù)學(xué)上名師點(diǎn)撥與訓(xùn)練
第6章 幾何圖形
6.2.2線段的比較與運(yùn)算
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1. 會用尺規(guī)畫一條線段等于已知線段，會比較兩條線段的長短.
2. 理解線段等分點(diǎn)的意義. 能夠運(yùn)用線段的和、差、倍、分關(guān)系求線段的長度.
3 .理解線段的性質(zhì)，會利用線段性質(zhì)解釋實(shí)際問題.
4 .理解兩點(diǎn)間的距離概念
重點(diǎn)：會比較兩條線段的長短，會利用線段的和、差、倍、分求線段的長度
難點(diǎn)：簡單的推理求線段的長度
老師告訴你
1.線段的和差畫法注意
畫線段的和、差時，均在一條射線上操作，前一條線段的終點(diǎn)是后一條線段的起點(diǎn)，若兩條線段的方向相同，則表示它們的和，若兩條線段的方向相反，則表示它們的差。
2.線段的中點(diǎn)一定在這條線段上。
知識點(diǎn)撥
知識點(diǎn)1 、線段大小比較
比較線段大小的方法：（1）目測法；（2）度量法；（3）疊合法
疊合比較法：利用直尺和圓規(guī)把線段放在同一條直線上，使其中一個端點(diǎn)重合，另一個端點(diǎn)位于重合端點(diǎn)同側(cè)，根據(jù)另一端點(diǎn)與重合端點(diǎn)的遠(yuǎn)近來比較長短．如下圖：

注意：線段的比較方法除了疊合比較法外，度量比較法也是常用的方法．
【新知導(dǎo)學(xué)】
例1-1 .如圖，AB＝CD，那么AC與BD的大小關(guān)系是（　　）
A．AC＝BD B．AC＜BD C．AC＞BD D．不能確定
例1-2． 在圖中“ ”內(nèi)標(biāo)上字母A，B，C，使 AC【對應(yīng)導(dǎo)練】
1．如圖，在三角形紙片ABC 中，以下比較線段AC和AB 長短的方法，可行的有（　　）
①憑感覺估計(jì).②用直尺度量出 AB 和AC 的長度.③用圓規(guī)將線段AB疊放到線段AC上，觀察點(diǎn) B 的位置.④沿點(diǎn) A 折疊紙片，使AB和AC 重合，觀察點(diǎn) B 的位置.
A．①② B．①③ C．②③ D．②③④
2．如圖，用圓規(guī)比較兩條線段 A'B'和AB 的長短，下列結(jié)論中，正確的是（　　）
A． B． C． D．無法確定
.
知識點(diǎn)2 、線段的和與差
1.線段的和與差
如下圖：線段AB上有一點(diǎn)C，則AC+BC=AB；AC=AB - BC; BC=AB - AC，
在這里線段AC、BC、AB表示線段的長度，如AC+BC=AB表示AC長度與BC長度之和等于AB長度。
2.尺規(guī)作圖： 僅用圓規(guī)和沒有刻度的直尺作圖的方法叫做尺規(guī)作圖
注意：
（1）只使用圓規(guī)和直尺，并且只準(zhǔn)許使用有限次，來解決不同的平面幾何作圖題．
（2）直尺必須沒有刻度，無限長，且只能使用直尺的固定一側(cè).只可以用它來將兩個點(diǎn)連在一起，不可以在上面畫刻度．
（3）圓規(guī)可以開至無限寬，但上面也不能有刻度.它只可以拉開成之前構(gòu)造過的長度．
2.作一條線段等于已知線段
“作一條線段等于已知線段”的兩種方法：
【方法一】尺規(guī)作圖：用圓規(guī)作一條線段等于已知線段．例如：下圖所示，用圓規(guī)在射線AC上截取AB＝a，則線段AB為所求；這是考試中常考點(diǎn)。
【方法二】度量作圖：用刻度尺作一條線段等于已知線段．例如：可以先量出線段a的長度，再畫一條等于這個長度的線段．
【新知導(dǎo)學(xué)】
例2-1． 尺規(guī)作圖：已知線段 a，b，c(b>c)，如圖所示.
求作：一條線段，使它等于a+b-c.
解：作法：⑴如圖，畫射線AE；
⑵在射線AE上順次截取AC，CD，使 AC=　 　，CD=　 　；
⑶在線段AD上截取線段DB，使DB =　 　.
線段　 　為所求作的線段.
例2-2． 用直尺和圓規(guī)作一條線段，使它等于已知線段（要求保留作圖痕跡）。
已知：線段a。
求作：線段AB，使AB=a。
【對應(yīng)導(dǎo)練】
1． 如圖，已知線段a，b(a>b)，畫一條線段x，使x=2a+b.
2．用“＞”“＜”或“=”填空：
（1）如果點(diǎn) C 在線段 AB 上，那么 AC　 　AB，AB　 　BC.
（2）如果點(diǎn) D 在線段AB 的延長線上，那么 AD　 　AB，BD　 　AD.
（3）如果點(diǎn) E 在線段AB 的反向延長線上，那么 BE　 　AE.
知識點(diǎn)3 、線段性質(zhì)
線段的基本性質(zhì)：兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短．簡記為：兩點(diǎn)之間，線段最短．
如圖所示，在A，B兩點(diǎn)所連的線中，線段AB的長度是最短的．
兩點(diǎn)間的距離：連接兩點(diǎn)間的線段的長度，叫做這兩點(diǎn)的距離．
注意：兩點(diǎn)的距離是指兩點(diǎn)間線段的長度，不是兩點(diǎn)間的線段。是一個具體的數(shù)值.
【新知導(dǎo)學(xué)】
例3-1．關(guān)于兩點(diǎn)之間的線段，下列說法中不正確的是（　　）
A．連結(jié)兩點(diǎn)的線段可以有無數(shù)條
B．如果線段AB=AC，那么點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離等于點(diǎn)A與點(diǎn)C的距離
C．連結(jié)兩點(diǎn)的線段的長度是兩點(diǎn)間的距離
D．連結(jié)兩點(diǎn)的線段是連結(jié)兩點(diǎn)的所有的線中，長度最小的
例3-2．下列現(xiàn)象中，可用基本事實(shí)“兩點(diǎn)之間線段最短”來解釋的是（　　）
A．用兩個釘子就可以把木條固定在墻上
B．利用圓規(guī)可以比較兩條線段的大小關(guān)系
C．把彎曲的公路改直，就能縮短路程
D．植樹時，只要定出兩棵樹的位置，就能確定同一行樹所在的直線
【對應(yīng)導(dǎo)練】
1．下列說法：（1）在所有連結(jié)兩點(diǎn)的線中，線段最短；（2）連接兩點(diǎn)的線段叫做這兩點(diǎn)的距離；（3）若線段 ，則點(diǎn) 是線段 的中點(diǎn)；（4）經(jīng)過刨平的木板上的兩個點(diǎn)，能彈出一條筆直的墨線，是因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線，其中說法正確的是 （　　）
A．（1）（2）（3） B．（1）（4）
C．（2）（3） D．（1）（2）（4）
2．下列說法中，正確的是（　　）
A．射線是直線的一半
B．線段AB是點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離
C．兩點(diǎn)之間所有連線中，線段最短
D．角的大小與角的兩邊所畫的長短有關(guān)
3．下列說法：①過兩點(diǎn)有且只有一條直線；②連接兩點(diǎn)的線段叫做兩點(diǎn)間的距離；③兩點(diǎn)之間，線段最短；④若α＝29°45′，則α的補(bǔ)角是150°55′；⑤若AB＝BC，則點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)．其中正確的有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
4．下列說法：（1）兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短；（2）角是由兩條具有公共端點(diǎn)的射線組成的；（3）經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線；（4）連接兩點(diǎn)的線段叫做這兩點(diǎn)之間的距離.其中正確的有　 　（填正確說法的序號）.
知識點(diǎn)4、 線段的中點(diǎn)
線段的中點(diǎn)：把一條線段分成兩條相等線段的點(diǎn)，叫做線段的中點(diǎn)．如圖6所示，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，則，或AB＝2AC＝2BC．
注意：若點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)C一定在線段AB上
【新知導(dǎo)學(xué)】
例4-1．如圖，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．若，則　 　；若，則　 　（用含的代數(shù)式表示）．
例4-2．如圖，D，E順次為線段AB 上的兩點(diǎn)，AB=20，C為AD 的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（　　）
A．若BE-DE=0，則AE-CD=7 B．若BE-DE=2，則AE-CD=7
C．若BE-DE=4，則AE-CD=7 D．若BE-DE=6，則AE-CD=7
【對應(yīng)導(dǎo)練】
1． 如圖，B是線段AC上一點(diǎn)，且
（1）試求出線段AC的長；
（2）如果O是線段AC的中點(diǎn)，請求出線段OB的長.
2．如圖，點(diǎn)C 在線段AB 上，AC=2BC，點(diǎn) D在點(diǎn)E 的左側(cè)。已知AB=18，DE=8，線段DE 在線段AB 上移動。
（1）當(dāng) E 為BC 的中點(diǎn)時，求AD 的長。
（2）若點(diǎn) F(異于點(diǎn)A，B，C)在線段AB 上，AF=3AD，CE+EF=3，求AD 的長。
二、題型訓(xùn)練
1.線段的和差作圖
1．用無刻度的直尺和圓規(guī)作一條線段，使它等于已知線段.
已知：線段a和線段AB（如圖）.
求作：延長線段AB至點(diǎn)C，使BC=2a（用直尺和圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）.
2． 如圖，已知線段a，b，c，用圓規(guī)和直尺作一條線段，使它等于a+2b-c.
3．如圖，已知平面上四個點(diǎn)，請按要求完成下列問題：
（1）畫直線，射線，連接；
（2）在射線上作點(diǎn)，使得（尺規(guī)作圖，保留作圖浪跡）；
（3）請?jiān)谥本€上確定一點(diǎn)，使最小，畫出點(diǎn)，此畫圖依據(jù)是_▲_．
2.利用線段和差計(jì)算
4．（1）如圖，已知線段a，b，作一條線段，使它等于a+2b.
（2）點(diǎn)M， N， P 在同一條直線上， MN=3cm， NP=1cm.求線段MP 的長.
5．如圖，點(diǎn)C是線段的中點(diǎn)．
（1）尺規(guī)作圖：在線段的延長線上作線段，使得；
（2）若（1）中的線段，求線段的長；并任選三條線段，求出它們的長度和．
6．如圖，已知長度為a、b（a＞b）的兩條線段及射線AH．
（1）尺規(guī)作圖：在射線AH上作線段AC＝2a﹣b，其中AB＝2a，BC＝b（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)a＝6cm、b＝4cm時，若點(diǎn)M、N分別是線段AC、BC的中點(diǎn)，求線段MN的長度．
3.利用線段中點(diǎn)推理計(jì)算
7．如圖，AB=18，C為AB 的中點(diǎn)，點(diǎn)D 在線段AC上，且AD：CB=1：3，則 DB 的長為（　　）
A．8 B．10 C．12 D．15
8．已知線段 ，在直線AB 上有一點(diǎn)C，且 D 是線段AC 的中點(diǎn)，求線段AD 的長.
9．如圖，已知A，B，C 是數(shù)軸上的三點(diǎn)，O是原點(diǎn)，點(diǎn)C 表示的數(shù)為6，BC=4，AB=12。
（1）寫出數(shù)軸上點(diǎn) A，B表示的數(shù)。
（2）動點(diǎn) P，Q分別從點(diǎn)A，C同時出發(fā)，點(diǎn)P 以每秒6個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運(yùn)動，點(diǎn)Q 以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運(yùn)動，M為AP 的中點(diǎn)，點(diǎn) N 在線段CQ 上，且 設(shè)運(yùn)動時間為t(s)(t>0)。
①求數(shù)軸上點(diǎn) M，N表示的數(shù)(用含 t 的式子表示)。
②當(dāng)t 為何值時，原點(diǎn)O 恰為線段PQ 的中點(diǎn)
三、課堂達(dá)標(biāo)
一、選擇題（每小題4分，共32分）
1． 七年級一班的同學(xué)想舉行一次拔河比賽，他們想從兩條大繩子中挑出一條最長的繩子，同學(xué)們說出了幾種方法，請你幫他們選擇一種最合適的方法 （　　）
A．把兩條繩子接在一起
B．把兩條繩子重合，觀察另一端情況
C．把兩條大繩的一端對齊，然后同一方向上拉直兩條繩子，另一端在外面的即為長繩
D．以上幾種方法都可以
2．下列說法中不正確的是（　　）
A．若點(diǎn)C在線段AB的延長線上，則AC>AB
B．若點(diǎn)C在線段AB上，則ACC．若點(diǎn)C在直線AB上，則AC>AB
D．若A，B，C三點(diǎn)不在一條直線上，可能AC=AB
3．已知點(diǎn)C在線段AB上，則下列條件中，不能確定C是線段AB中點(diǎn)的是（　　）
A．AC=BC B．AB=2BC C．AC+BC=AB D．BC=AB
4．如圖，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，如果MC比NC長2cm，AC比BC長（　　）
A．2cm B．4cm C．1cm D．6cm
5．如圖，線段 CD 在線段AB 上，且CD=2。若線段 AB 的長度值是一個正整數(shù)，則圖中以A，B，C，D這四點(diǎn)中任意兩點(diǎn)為端點(diǎn)的所有線段的長度之和可能是(　　)
A．28 B．29 C．30 D．31
6．若點(diǎn)A、B、C在同一條直線上，線段AB＝5厘米，線段BC＝2厘米，則線段AC的長為（　　）
A．7厘米 B．3厘米
C．7厘米或3厘米 D．不確定
7．如圖，C是線段AB 的中點(diǎn)，D 是線段AC上的一點(diǎn)，且 若BC=4，則 DC 的長為 （　　）
A．1 B． C． D．2
8．如圖，線段，動點(diǎn)P從A出發(fā)，以的速度沿運(yùn)動，M為的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)．以下說法正確的是（　　）
①運(yùn)動后，； ②的值隨著運(yùn)動時間的改變而改變；③的值不變；
④當(dāng)時，運(yùn)動時間為．
A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．已知線段AB的中點(diǎn)為點(diǎn)C，則線段AC與AB的數(shù)量關(guān)系為AC=　 　AB．
10． 如圖，C，D是AB 的三等分點(diǎn)，E 是線段CD的中點(diǎn).若CE=2，則AD 的長為　 　.
11．如圖，點(diǎn)C在線段AB上，已知，點(diǎn)D是線段AB的中點(diǎn)，則線段CD的長是　 　．
12．如圖，C為線段上一點(diǎn)，B為的中點(diǎn)，，．則的長是　 　．
13．如圖，B，C 兩點(diǎn)把線段MN 分成三部分，且MB ：BC：CN=2：3：4，P 是MN 的中點(diǎn)。若PC=2cm，則MN=　 　 cm。
三、解答題（每小題8分，共48分）
14．如圖，已知A，B，C，D四點(diǎn)在同一直線上，點(diǎn)D在線段上．點(diǎn)C是線段的中點(diǎn)．
（1）若線段，，求線段的長度；
（2）若，且，求線段的長度．
15．如圖，已知、、、四點(diǎn)，請按要求作圖，并解答．
（1）畫直線；
（2）畫射線；
（3）連接與射線交于點(diǎn)；
（4）若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，，求線段MP的長．
16．如圖，已知點(diǎn)在線段上．
（1）尺規(guī)作圖：在線段的延長線上確定一點(diǎn)，使得；（保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）在（1）的條件下，若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，且，，求的長．
17．如圖，已知不在同一直線上的三點(diǎn)A，B，C．
（1）按下面的要求用尺規(guī)作圖：連接AB，AC，作射線BC；在射線BC上取一點(diǎn)D，使CD＝AB．
（2）用刻度尺在（1）的圖中畫出BC的中點(diǎn)M．若BC＝6，AB＝8，求MD的長．
18． 閱讀下面材料：
在數(shù)軸上2與-1所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離為|2-(-1)|=3；
在數(shù)軸上-2與3所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離為|-2-3|=5；
在數(shù)軸上-3與-1所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離為|(-1)-(-3)|=2.
歸納：在數(shù)軸上點(diǎn)A，B分別表示數(shù)a，b，則A，B兩點(diǎn)之間的距離AB=|a-b|或|b-a|.
回答下列問題：
（1）數(shù)軸上表示數(shù)x和1的兩點(diǎn)之間的距離表示為　 　；數(shù)軸上表示數(shù)x和　 　的兩點(diǎn)之間的距離表示為|x+2|；
（2）試說明當(dāng)表示數(shù)x的點(diǎn)在-2與3的對應(yīng)點(diǎn)之間移動時，|x-3| +|x+2|的值總是一個固定的值，并求出這個固定值.
19．
（1）【問題探究】
如圖，點(diǎn)C，D 均在線段AB 上且點(diǎn)C 在點(diǎn) D 左側(cè)，若AC=BD，CD=6 cm，AB=9 cm，則線段AC 的長為　 　 cm。
（2）【方法遷移】
已知點(diǎn)C，D 均在線段AB 上且點(diǎn)C 在點(diǎn)D 左側(cè)，若AC=BD，CD=a( cm)，AB=b( cm)(b>a)，則線段AC 的長為　 　 cm(用含a，b 的代數(shù)式表示)。
（3）【學(xué)以致用】
已知七年級某班共有m人，在本班參加拓展課報名統(tǒng)計(jì)時發(fā)現(xiàn)，選擇圍棋課的人數(shù)是n(n新人教版七年級數(shù)學(xué)上名師點(diǎn)撥與訓(xùn)練
第6章 幾何圖形
6.2.2線段的比較與運(yùn)算
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1. 會用尺規(guī)畫一條線段等于已知線段，會比較兩條線段的長短.
2. 理解線段等分點(diǎn)的意義. 能夠運(yùn)用線段的和、差、倍、分關(guān)系求線段的長度.
3 .理解線段的性質(zhì)，會利用線段性質(zhì)解釋實(shí)際問題.
4 .理解兩點(diǎn)間的距離概念
重點(diǎn)：會比較兩條線段的長短，會利用線段的和、差、倍、分求線段的長度
難點(diǎn)：簡單的推理求線段的長度
老師告訴你
1.線段的和差畫法注意
畫線段的和、差時，均在一條射線上操作，前一條線段的終點(diǎn)是后一條線段的起點(diǎn)，若兩條線段的方向相同，則表示它們的和，若兩條線段的方向相反，則表示它們的差。
2.線段的中點(diǎn)一定在這條線段上。
知識點(diǎn)撥
知識點(diǎn)1 、線段大小比較
比較線段大小的方法：（1）目測法；（2）度量法；（3）疊合法
疊合比較法：利用直尺和圓規(guī)把線段放在同一條直線上，使其中一個端點(diǎn)重合，另一個端點(diǎn)位于重合端點(diǎn)同側(cè)，根據(jù)另一端點(diǎn)與重合端點(diǎn)的遠(yuǎn)近來比較長短．如下圖：

注意：線段的比較方法除了疊合比較法外，度量比較法也是常用的方法．
【新知導(dǎo)學(xué)】
例1-1 .如圖，AB＝CD，那么AC與BD的大小關(guān)系是（　　）
A．AC＝BD B．AC＜BD C．AC＞BD D．不能確定
【分析】由題意已知AB＝CD，根據(jù)等式的基本性質(zhì)，兩邊都減去BC，等式仍然成立．
【解析】根據(jù)題意和圖示可知AB＝CD，而CB為AB和CD共有線段，故AC＝BD．
故選：A．
例1-2． 在圖中“ ”內(nèi)標(biāo)上字母A，B，C，使 AC【答案】解：如圖所示，AC【知識點(diǎn)】線段的長短比較
【解析】【分析】用觀察法、疊合法或度量法比較三條線段的長短，并標(biāo)記，因?yàn)锳C 最短，BC最長，所以長線段、短線段的公共端點(diǎn)就是點(diǎn)C，然后確定點(diǎn)A，點(diǎn)B的位置.
【對應(yīng)導(dǎo)練】
1．如圖，在三角形紙片ABC 中，以下比較線段AC和AB 長短的方法，可行的有（　　）
①憑感覺估計(jì).②用直尺度量出 AB 和AC 的長度.③用圓規(guī)將線段AB疊放到線段AC上，觀察點(diǎn) B 的位置.④沿點(diǎn) A 折疊紙片，使AB和AC 重合，觀察點(diǎn) B 的位置.
A．①② B．①③ C．②③ D．②③④
【答案】D
【知識點(diǎn)】線段的長短比較
【解析】【解答】解：① 憑感覺估計(jì) ，不可行，不符合題意；
②用直尺度量出 AB 和AC 的長度 ，通過測量比較，可行，符合題意；
③用圓規(guī)將線段AB疊放到線段AC上，觀察點(diǎn) B 的位置，根據(jù)點(diǎn)B在AC上還是AC外可比較，可行，符合題意 ；
④沿點(diǎn) A 折疊紙片，使AB和AC 重合，觀察點(diǎn) B 的位置根據(jù)點(diǎn)B在AC上還是AC外可比較，可行，符合題意 .
故答案為：D.
【分析】根據(jù)測量法和疊合法比較線段的大小即可判斷.
2．如圖，用圓規(guī)比較兩條線段 A'B'和AB 的長短，下列結(jié)論中，正確的是（　　）
A． B． C． D．無法確定
【答案】A
【知識點(diǎn)】線段的長短比較
【解析】【解答】解：
故答案為：A.
【分析】根據(jù) A'B' 中，點(diǎn)A與A'重合，端點(diǎn) B'在AB的延長線上可得 A'B' ＞AB.
知識點(diǎn)2 、線段的和與差
1.線段的和與差
如下圖：線段AB上有一點(diǎn)C，則AC+BC=AB；AC=AB - BC; BC=AB - AC，
在這里線段AC、BC、AB表示線段的長度，如AC+BC=AB表示AC長度與BC長度之和等于AB長度。
2.尺規(guī)作圖： 僅用圓規(guī)和沒有刻度的直尺作圖的方法叫做尺規(guī)作圖
注意：
（1）只使用圓規(guī)和直尺，并且只準(zhǔn)許使用有限次，來解決不同的平面幾何作圖題．
（2）直尺必須沒有刻度，無限長，且只能使用直尺的固定一側(cè).只可以用它來將兩個點(diǎn)連在一起，不可以在上面畫刻度．
（3）圓規(guī)可以開至無限寬，但上面也不能有刻度.它只可以拉開成之前構(gòu)造過的長度．
2.作一條線段等于已知線段
“作一條線段等于已知線段”的兩種方法：
【方法一】尺規(guī)作圖：用圓規(guī)作一條線段等于已知線段．例如：下圖所示，用圓規(guī)在射線AC上截取AB＝a，則線段AB為所求；這是考試中常考點(diǎn)。
【方法二】度量作圖：用刻度尺作一條線段等于已知線段．例如：可以先量出線段a的長度，再畫一條等于這個長度的線段．
【新知導(dǎo)學(xué)】
例2-1． 尺規(guī)作圖：已知線段 a，b，c(b>c)，如圖所示.
求作：一條線段，使它等于a+b-c.
解：作法：⑴如圖，畫射線AE；
⑵在射線AE上順次截取AC，CD，使 AC=　 　，CD=　 　；
⑶在線段AD上截取線段DB，使DB =　 　.
線段　 　為所求作的線段.
【答案】a；b；c；AB
【知識點(diǎn)】尺規(guī)作圖-線段的和差
【解析】【解答】解：作法：⑴如圖，畫射線AE；
⑵在射線AE上順次截取AC，CD，使 AC=a，CD=b，
⑶在線段AD上截取線段DB，使DB =c，
線段AB為所求作的線段.
故答案為：a，b，c，AB.
【分析】利用線段定義及作圖方法作出圖形即可.
例2-2． 用直尺和圓規(guī)作一條線段，使它等于已知線段（要求保留作圖痕跡）。
已知：線段a。
求作：線段AB，使AB=a。
【答案】解：如圖所示。
【知識點(diǎn)】尺規(guī)作圖-線段的和差
【解析】【分析】首先畫射線，然后再用圓規(guī)在射線上截取AB=a即可.
【對應(yīng)導(dǎo)練】
1． 如圖，已知線段a，b(a>b)，畫一條線段x，使x=2a+b.
【答案】解：如圖所示：
（1）作射線OP，
（2）在射線OP上截取OA=a，AB=a，BC=b，線段OC就是所要畫的線段.
【知識點(diǎn)】尺規(guī)作圖-線段的和差
【解析】【分析】先作出射線，再在這條射線上截取2段長度等于a的線段和一段長度等于b的線段即可.
2．用“＞”“＜”或“=”填空：
（1）如果點(diǎn) C 在線段 AB 上，那么 AC　 　AB，AB　 　BC.
（2）如果點(diǎn) D 在線段AB 的延長線上，那么 AD　 　AB，BD　 　AD.
（3）如果點(diǎn) E 在線段AB 的反向延長線上，那么 BE　 　AE.
【答案】（1）<；>
（2）>；<
（3）>
【知識點(diǎn)】線段的長短比較
【解析】【解答】解：（1）如圖.
ACBC；
故答案為：<，>．
(2)如圖.
AD>AB，BD故答案為：>，<．
（3）如圖.
BE>AE.
故答案為：>.
【分析】（1）畫出圖形，再比較AC與AB的大小，比較AB與BC的大小；
（2）畫出圖形，再比較AD與AB的大小，BD與AD的大小；
（3）畫出圖形，再比較BE與AE的大小.
知識點(diǎn)3 、線段性質(zhì)
線段的基本性質(zhì)：兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短．簡記為：兩點(diǎn)之間，線段最短．
如圖所示，在A，B兩點(diǎn)所連的線中，線段AB的長度是最短的．
兩點(diǎn)間的距離：連接兩點(diǎn)間的線段的長度，叫做這兩點(diǎn)的距離．
注意：兩點(diǎn)的距離是指兩點(diǎn)間線段的長度，不是兩點(diǎn)間的線段。是一個具體的數(shù)值.
【新知導(dǎo)學(xué)】
例3-1．關(guān)于兩點(diǎn)之間的線段，下列說法中不正確的是（　　）
A．連結(jié)兩點(diǎn)的線段可以有無數(shù)條
B．如果線段AB=AC，那么點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離等于點(diǎn)A與點(diǎn)C的距離
C．連結(jié)兩點(diǎn)的線段的長度是兩點(diǎn)間的距離
D．連結(jié)兩點(diǎn)的線段是連結(jié)兩點(diǎn)的所有的線中，長度最小的
【答案】A
【知識點(diǎn)】線段上的兩點(diǎn)間的距離
【解析】【解答】 A、連接兩點(diǎn)的線段只有1條，故A錯誤；
B、線段AB=AC，那么點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離等于點(diǎn)A與點(diǎn)C的距離，故B正確；
C、連接兩點(diǎn)的線段的長度，是兩點(diǎn)間的距離，故C正確；
D、兩點(diǎn)之間的距離是連接兩點(diǎn)的所有線的長度中，長度最短的，故D正確；
故答案為：A．
【分析】根據(jù)兩點(diǎn)之間距離、線段的基本事實(shí)求解.
例3-2．下列現(xiàn)象中，可用基本事實(shí)“兩點(diǎn)之間線段最短”來解釋的是（　　）
A．用兩個釘子就可以把木條固定在墻上
B．利用圓規(guī)可以比較兩條線段的大小關(guān)系
C．把彎曲的公路改直，就能縮短路程
D．植樹時，只要定出兩棵樹的位置，就能確定同一行樹所在的直線
【答案】C
【知識點(diǎn)】兩點(diǎn)確定一條直線；兩點(diǎn)之間線段最短；線段的長短比較
【解析】【解答】解：A、用兩個釘子就可以把木條固定在墻上，是兩點(diǎn)確定一條直線，A錯誤；
B、利用圓規(guī)可以比較兩條線段的大小關(guān)系，是線段長度比較，B錯誤；
C、把彎曲的公路改直，就能縮短路程，可用基本事實(shí)“兩點(diǎn)之間，線段最短”來解釋，C正確；
D、植樹時，只要定出兩棵樹的位置，就能確定同一行樹所在的直線，是兩點(diǎn)確定一條直線，D錯誤；
故答案為：C．
【分析】根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線可判斷A和D選項(xiàng)說法不符合題意；根據(jù)用圓規(guī)來比較線段的大小可判斷B選項(xiàng)不符合題意；根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短可判斷C選項(xiàng)說法符合題意；即可得出答案.
【對應(yīng)導(dǎo)練】
1．下列說法：（1）在所有連結(jié)兩點(diǎn)的線中，線段最短；（2）連接兩點(diǎn)的線段叫做這兩點(diǎn)的距離；（3）若線段 ，則點(diǎn) 是線段 的中點(diǎn)；（4）經(jīng)過刨平的木板上的兩個點(diǎn)，能彈出一條筆直的墨線，是因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線，其中說法正確的是 （　　）
A．（1）（2）（3） B．（1）（4）
C．（2）（3） D．（1）（2）（4）
【答案】B
【知識點(diǎn)】兩點(diǎn)確定一條直線；兩點(diǎn)之間線段最短；線段上的兩點(diǎn)間的距離；線段的中點(diǎn)
【解析】【解答】解：（1）在所有連結(jié)兩點(diǎn)的線中，線段最短，故原說法正確；
（2）連接兩點(diǎn)的線段的長度叫做這兩點(diǎn)的距離，故原說法錯誤；
（3）若線段AC=BC，且當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時，點(diǎn)C才是線段AB的中點(diǎn)，故原說法錯誤；
（4）經(jīng)過刨平的木板上的兩個點(diǎn)，能彈出一條筆直的墨線，是因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線，故原說法正確；
綜上所述，說法正確有（1）（4）.
故答案為：B.
【分析】根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)判斷 （1）；根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離的定義判斷（2）；根據(jù)線段的中點(diǎn)的定義判斷（3）；根據(jù)直線的性質(zhì)判斷（4）.
2．下列說法中，正確的是（　　）
A．射線是直線的一半
B．線段AB是點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離
C．兩點(diǎn)之間所有連線中，線段最短
D．角的大小與角的兩邊所畫的長短有關(guān)
【答案】C
【知識點(diǎn)】直線、射線、線段；兩點(diǎn)之間線段最短；線段上的兩點(diǎn)間的距離；角的概念及表示
【解析】【解答】解：A、射線的長度無法度量，故不是直線的一半，故本選項(xiàng)錯誤；
B、線段AB的長度是點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離，故本選項(xiàng)錯誤；
C、兩點(diǎn)之間所有連線中，線段最短，故本選項(xiàng)正確；
D、角的大小與角的兩邊所畫的長短無關(guān)，故本選項(xiàng)錯誤.
故答案為：C.
【分析】根據(jù)射線、直線、線段及角的概念、兩點(diǎn)間的距離、線段的性質(zhì)逐一分析并判斷即可.
3．下列說法：①過兩點(diǎn)有且只有一條直線；②連接兩點(diǎn)的線段叫做兩點(diǎn)間的距離；③兩點(diǎn)之間，線段最短；④若α＝29°45′，則α的補(bǔ)角是150°55′；⑤若AB＝BC，則點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)．其中正確的有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【知識點(diǎn)】兩點(diǎn)確定一條直線；兩點(diǎn)之間線段最短；線段上的兩點(diǎn)間的距離；余角、補(bǔ)角及其性質(zhì)；線段的中點(diǎn)
【解析】【解答】解：①是直線的公理，故本選項(xiàng)正確；
②連接兩點(diǎn)的線段的長度叫兩點(diǎn)的距離，故本選項(xiàng)錯誤；
③是線段的性質(zhì)，故本選項(xiàng)正確；
④若α＝29°45′，則α的補(bǔ)角是150°15′，故本選項(xiàng)錯誤；
⑤A、B、C可能不共線，故本選項(xiàng)錯誤．
故答案為：B.
【分析】根據(jù)直線公理可判斷①；距離是長度，線段是圖形，故連接兩點(diǎn)的線段的長度才叫兩點(diǎn)的距離，據(jù)此判斷②；根據(jù)線段公理判斷③；和為180°的兩個角互為補(bǔ)角，據(jù)此判斷④；A、B、C可能不在同一直線上，也可能在同一條直線上，只有當(dāng)三點(diǎn)在同一直線上的時候，點(diǎn)B才是線段AC的中點(diǎn)，據(jù)此可判斷⑤.
4．下列說法：（1）兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短；（2）角是由兩條具有公共端點(diǎn)的射線組成的；（3）經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線；（4）連接兩點(diǎn)的線段叫做這兩點(diǎn)之間的距離.其中正確的有　 　（填正確說法的序號）.
【答案】（1）（2）（3）
【知識點(diǎn)】兩點(diǎn)確定一條直線；兩點(diǎn)之間線段最短；線段上的兩點(diǎn)間的距離；角的概念及表示
【解析】【解答】解：（1）兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短，正確；
（2）角是由兩條具有公共端點(diǎn)的射線組成的，正確；
（3）經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線，正確；
（4）連接兩點(diǎn)的線段的長度叫做這兩點(diǎn)之間的距離，故原說法錯誤.
故答案為：（1）（2）（3）.
【分析】根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短的性質(zhì)可判斷（1）；根據(jù)角的概念可判斷（2）；根據(jù)直線的概念可判斷（3）；根據(jù)兩點(diǎn)間距離的概念可判斷（4）.
知識點(diǎn)4、 線段的中點(diǎn)
線段的中點(diǎn)：把一條線段分成兩條相等線段的點(diǎn)，叫做線段的中點(diǎn)．如圖6所示，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，則，或AB＝2AC＝2BC．
注意：若點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)C一定在線段AB上
【新知導(dǎo)學(xué)】
例4-1．如圖，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．若，則　 　；若，則　 　（用含的代數(shù)式表示）．
【答案】0.5；
【知識點(diǎn)】線段的中點(diǎn)；線段的和、差、倍、分的簡單計(jì)算
【解析】【解答】解：∵AB＝8，點(diǎn)O是線段AB的中點(diǎn)，
∴OA＝OB＝AB＝4，
∵點(diǎn)D是線段AO的中點(diǎn)，
∴AD＝AO＝2，BD＝8 2＝6，
∵點(diǎn)E是線段BD的中點(diǎn)，
∴BE＝DE＝3，AE＝8 3＝5，
∵點(diǎn)F是線段AE的中點(diǎn)，
∴AF＝AE＝2.5，
∴DF＝AF AD＝2.5 2＝0.5；
設(shè)OA＝OB＝x，則AB＝2x，BE＝x a，
∵點(diǎn)E是線段BD的中點(diǎn)，
∴BD＝2BE＝2x 2a，
∵點(diǎn)D是線段AO的中點(diǎn)，
∴AD＝AO＝x，
∴AB＝AD＋BD＝x＋2x 2a＝x 2a，
∴OB＝AB＝x a，即x a＝x，
解得x＝4a，
即AE＝AO＋OE＝x＋a＝5a，
∵點(diǎn)F是線段AE的中點(diǎn)，
∴EF＝AE＝a，
∴OF＝EF OE＝a a＝a.
故答案為：0.5；a.
【分析】根據(jù)中點(diǎn)的概念可得OA＝OB＝AB＝4，AD＝AO＝2，則BD＝AB-AD=6，同理可得BE＝DE＝3，AE=5，AF＝AE＝2.5，DF＝AF-AD＝0.5，設(shè)OA＝OB＝x，則AB＝2x，BE＝x-a，由中點(diǎn)的概念可得BD＝2BE＝2x-2a，AD＝AO＝x，則AB＝AD＋BD＝x 2a，OB＝AB＝x a，結(jié)合OB=4可得x＝4a，則AE＝AO＋OE＝5a，EF＝AE＝a，然后根據(jù)OF＝EF-OE進(jìn)行計(jì)算.
例4-2．如圖，D，E順次為線段AB 上的兩點(diǎn)，AB=20，C為AD 的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（　　）
A．若BE-DE=0，則AE-CD=7 B．若BE-DE=2，則AE-CD=7
C．若BE-DE=4，則AE-CD=7 D．若BE-DE=6，則AE-CD=7
【答案】D
【知識點(diǎn)】線段的中點(diǎn)；線段的和、差、倍、分的簡單計(jì)算
【解析】【解答】解：由 BE-DE=0，可設(shè)DE=x，則BE=x，
∴AD=20-x-x=20-2x，
∵C為AD 的中點(diǎn)，
∴AC=CD=10-x，AE=20-2x+x=20-x，
∴AE-CD=(20-x)-(10-x)=10，故A錯誤；
由 BE-DE=2，可設(shè)DE=x，則 BE=x+2，
∴AD=20-x-(x+2)=18-2x，
∵C為AD 的中點(diǎn)，
∴AC=CD=9-x，AE=18-2x+x=18-x，
∴AE-CD=(18-x)-(9-x)=9，故B錯誤；
由BE-DE=4，可設(shè)DE=x，則 BE=x+4，
∴AD=20-x-(x+4)=16-2x，
∵C為AD的中點(diǎn)，
∴AC=CD=8-x，AE=16-2x+x=16-x，
∴AE-CD=(16-x)-(8-x)=8，故C錯誤；
由BE-DE=6，可設(shè)DE=x，則BE=x+6，
∴AD=20-x-(x+6)=14-2x，
∵C為AD的中點(diǎn)，
∴AC=CD=7-x，AE=14-2x+x=14-x，
∴AE-CD=(14-x)-(7-x)=7，故D正確。
故答案為：D.
【分析】根據(jù)線段中點(diǎn)的定義與線段的和差逐項(xiàng)分析可得答案.
【對應(yīng)導(dǎo)練】
1． 如圖，B是線段AC上一點(diǎn)，且
（1）試求出線段AC的長；
（2）如果O是線段AC的中點(diǎn)，請求出線段OB的長.
【答案】（1）解：∵AB＝21cm，BC=AB，
∴BC=×21＝7（cm），
∴AC＝AB＋BC＝21＋7＝28（cm）.
（2）解：∵O是線段AC的中點(diǎn)，
∴OC=AC＝14cm，
∴OB＝OC BC＝14 7＝7（cm）.
【知識點(diǎn)】線段的中點(diǎn)；線段的和、差、倍、分的簡單計(jì)算
【解析】【分析】（1）根據(jù)“BC=AB”求出BC的長，再利用線段的和差求出AC的長即可；
（2）先利用線段中點(diǎn)的性質(zhì)求出OC的長，再利用線段的和差求出OB的長即可.
2．如圖，點(diǎn)C 在線段AB 上，AC=2BC，點(diǎn) D在點(diǎn)E 的左側(cè)。已知AB=18，DE=8，線段DE 在線段AB 上移動。
（1）當(dāng) E 為BC 的中點(diǎn)時，求AD 的長。
（2）若點(diǎn) F(異于點(diǎn)A，B，C)在線段AB 上，AF=3AD，CE+EF=3，求AD 的長。
【答案】（1）解：∵，，，
∴，，
如圖，
∵E為BC中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由題意，得AF=3AD，AE=AD+DE=AD+8，
分類討論：
①如圖，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè)時，
∵，，
∴，，
∵，，
∴點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴；
②如圖，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)F的右側(cè)，
∵，，
∴，
∴，
∴．
綜上所述：AD的長為3或5；
【知識點(diǎn)】線段的中點(diǎn)；線段的和、差、倍、分的簡單計(jì)算
【解析】【分析】（1）由，，可求出，．再根據(jù)E為BC中點(diǎn)，即得出，從而可求出CD的長，進(jìn)而可求出AD的長；
（2）分類討論：當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè)時和當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)F的右側(cè)時，畫出圖形，根據(jù)線段的倍數(shù)關(guān)系和和差關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合的思想即可解題．
二、題型訓(xùn)練
1.線段的和差作圖
1．用無刻度的直尺和圓規(guī)作一條線段，使它等于已知線段.
已知：線段a和線段AB（如圖）.
求作：延長線段AB至點(diǎn)C，使BC=2a（用直尺和圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）.
【答案】解：如圖：
【知識點(diǎn)】尺規(guī)作圖-線段的和差
【解析】【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖步驟：延長AB，以點(diǎn)B為圓心，a為半徑做弧，交延長線于點(diǎn)D，再以點(diǎn)D為圓心，a為半徑做弧，交延長線于點(diǎn)C，即為所求.
2． 如圖，已知線段a，b，c，用圓規(guī)和直尺作一條線段，使它等于a+2b-c.
【答案】解：如圖：AE=a+2b－c即為所求：
作圖步驟如下：
①作射線AM；
②在射線AM上依次截取AB=a，BC=CD=b；
③在線段AD上截取DE=c；
④則線段AE=AB+BC+CD－DE=a+2b－c；
線段AE即可為所求.
【知識點(diǎn)】尺規(guī)作圖-線段的和差
【解析】【分析】①作射線AM；②在射線AM上依次截取AB=a，BC=CD=b；③在線段AD上截取DE=c；④則線段AE=AB+BC+CD－DE=a+2b－c；線段AE即可為所求.
3．如圖，已知平面上四個點(diǎn)，請按要求完成下列問題：
（1）畫直線，射線，連接；
（2）在射線上作點(diǎn)，使得（尺規(guī)作圖，保留作圖浪跡）；
（3）請?jiān)谥本€上確定一點(diǎn)，使最小，畫出點(diǎn)，此畫圖依據(jù)是_▲_．
【答案】（1）如下圖所示：
直線，射線，線段為求作的；
（2）以A為圓心，的長為半徑畫弧，交射線于點(diǎn)P，如下圖所示，
線段為求作圖形；
（3）連接，交于點(diǎn)Q，如下圖所示：
點(diǎn)Q為求作的點(diǎn)，
依據(jù)：兩點(diǎn)之間，線段最短．
【知識點(diǎn)】兩點(diǎn)之間線段最短；尺規(guī)作圖-直線、射線、線段；尺規(guī)作圖-線段的和差
【解析】【分析】（1）根據(jù)直線，射線，線段的定義畫出圖形即可；
（2）以A為圓心，DC為半徑作弧，交AB于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求；
（3）連接PD交AC于點(diǎn)Q，點(diǎn)Q即為所求．
2.利用線段和差計(jì)算
4．（1）如圖，已知線段a，b，作一條線段，使它等于a+2b.
（2）點(diǎn)M， N， P 在同一條直線上， MN=3cm， NP=1cm.求線段MP 的長.
【答案】解：（1）作射線AM；
在射線AM上依次截取AB=a，BC=CD=b，
則線段AD=a+2b即為所求；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段MN上，如圖（1）
∵ MN=3cm， NP=1cm ，
∴MN=MN－MP=3－1=2cm.
當(dāng)點(diǎn)P在線段MN的延長線上，如圖（2）
∵ MN=3cm， NP=1cm ，
∴MN=MN+MP=3+1=4cm.
故線段MP的長為2cm或4cm.
【知識點(diǎn)】尺規(guī)作圖-線段的和差
【解析】【分析】（1）作射線AM；在射線AM上依次截取AB=a，BC=CD=b；則線段AD=a+2b即為所求；
（2）分點(diǎn)P在線段MN上和點(diǎn)P在線段MN的延長線上兩種情況作線段的和差運(yùn)算即可.
5．如圖，點(diǎn)C是線段的中點(diǎn)．
（1）尺規(guī)作圖：在線段的延長線上作線段，使得；
（2）若（1）中的線段，求線段的長；并任選三條線段，求出它們的長度和．
【答案】（1）解：如圖，延長線段，以B為圓心為半徑畫圓弧交延長線于一點(diǎn)即為D點(diǎn)，
（2）解：由（1）得B為的中點(diǎn)，
∵，
∴
∵C為的中點(diǎn)，
∴
∴（答案不唯一）．
【知識點(diǎn)】線段的中點(diǎn)；線段的和、差、倍、分的簡單計(jì)算；尺規(guī)作圖-線段的和差
【解析】【分析】（1）延長線段，以B為圓心為半徑畫圓弧交延長線于一點(diǎn)即為D點(diǎn)；
（2）利用線段中點(diǎn)的性質(zhì)及線段的和差分析求解即可.
6．如圖，已知長度為a、b（a＞b）的兩條線段及射線AH．
（1）尺規(guī)作圖：在射線AH上作線段AC＝2a﹣b，其中AB＝2a，BC＝b（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)a＝6cm、b＝4cm時，若點(diǎn)M、N分別是線段AC、BC的中點(diǎn)，求線段MN的長度．
【答案】（1）解：如圖所示，
（2）解：當(dāng)、時，，
、分別是線段、的中點(diǎn)
，．
．
【知識點(diǎn)】線段的中點(diǎn)；線段的和、差、倍、分的簡單計(jì)算；尺規(guī)作圖-線段的和差
【解析】【分析】（1）以點(diǎn)為圓心，線段的長為半徑畫弧，交射線于點(diǎn)，再以點(diǎn)為圓心，線段的長為半徑畫弧，交射線于點(diǎn)，再以點(diǎn)為圓心，線段的長為半徑畫弧，交線段于點(diǎn)，則線段即為所作圖．
（2）由題意可得，，根據(jù)中點(diǎn)的定義可求出，，再利用線段運(yùn)算可得：，代入數(shù)據(jù)可求出答案．
3.利用線段中點(diǎn)推理計(jì)算
7．如圖，AB=18，C為AB 的中點(diǎn)，點(diǎn)D 在線段AC上，且AD：CB=1：3，則 DB 的長為（　　）
A．8 B．10 C．12 D．15
【答案】D
【知識點(diǎn)】線段的中點(diǎn)；線段的和、差、倍、分的簡單計(jì)算
【解析】【解答】解：∵，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案為：D
【分析】根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得，再求出，然后根據(jù)，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解．
8．已知線段 ，在直線AB 上有一點(diǎn)C，且 D 是線段AC 的中點(diǎn)，求線段AD 的長.
【答案】解：分兩種情況討論：
①如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A與B之間時，
∵線段，，
∴，
∵D是線段的中點(diǎn)，
∴；
②當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)時，如圖2所示：
∵線段，，
∴，
∵D是線段的中點(diǎn)，
∴；
綜上所述，線段的長為或．
【知識點(diǎn)】線段的中點(diǎn)；線段的和、差、倍、分的簡單計(jì)算；分類討論
【解析】【分析】應(yīng)考慮到A、B、C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系的多種可能，即點(diǎn)C在點(diǎn)A與B之間或點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)兩種情況進(jìn)行分類討論．
9．如圖，已知A，B，C 是數(shù)軸上的三點(diǎn)，O是原點(diǎn)，點(diǎn)C 表示的數(shù)為6，BC=4，AB=12。
（1）寫出數(shù)軸上點(diǎn) A，B表示的數(shù)。
（2）動點(diǎn) P，Q分別從點(diǎn)A，C同時出發(fā)，點(diǎn)P 以每秒6個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運(yùn)動，點(diǎn)Q 以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運(yùn)動，M為AP 的中點(diǎn)，點(diǎn) N 在線段CQ 上，且 設(shè)運(yùn)動時間為t(s)(t>0)。
①求數(shù)軸上點(diǎn) M，N表示的數(shù)(用含 t 的式子表示)。
②當(dāng)t 為何值時，原點(diǎn)O 恰為線段PQ 的中點(diǎn)
【答案】（1）解：∵點(diǎn)C 表示的數(shù)為6，BC=4，
∴OB=6-4=2，
∴點(diǎn) B 表示的數(shù)為2。
∵AB=12，
∴AO=12-2=10，
∴點(diǎn)A 表示的數(shù)為-10
（2）解：①由題意可知：AP=6t，CQ=3t。
∵M(jìn) 為AP 的中點(diǎn)，
∴在數(shù)軸上點(diǎn) M 表示的數(shù)是-10+3t。
∵點(diǎn) N 在CQ上，
∴在數(shù)軸上點(diǎn) N 表示的數(shù)是6-t。
②分兩種情況討論：
i.如解圖①，當(dāng)點(diǎn) P 在點(diǎn)O 的左側(cè)，點(diǎn)Q 在點(diǎn)O的右側(cè)時，。
∵O為PQ 的中點(diǎn)，∴OP=OQ，
∴10-6t=6-3t，解得
ii.如解圖②，當(dāng)點(diǎn) P 在點(diǎn)O 的右側(cè)，點(diǎn) Q 在點(diǎn)O 的左側(cè)時，。
∵O為PQ 的中點(diǎn)，∴，
∴，解得 (此時AP=8<10，不合題意，舍去)。
綜上所述，當(dāng) 時，原點(diǎn)O恰為線段PQ 的中點(diǎn)
【知識點(diǎn)】一元一次方程的其他應(yīng)用；線段的中點(diǎn)；線段的和、差、倍、分的簡單計(jì)算
【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離即可求出A、B表示的數(shù)；
（2）①根據(jù)距離=速度×?xí)r間可得AP=6t，CQ=3t，根據(jù)中點(diǎn)性質(zhì)可得AM=3t，根據(jù) 可得CN=t，根據(jù)線段的和差關(guān)系即可得答案；②根據(jù)中點(diǎn)定義可得，分兩種情況，當(dāng)點(diǎn) P 在點(diǎn)O 的左側(cè)，點(diǎn)Q 在點(diǎn)O的右側(cè)時或者當(dāng)點(diǎn) P 在點(diǎn)O 的右側(cè)，點(diǎn) Q 在點(diǎn)O 的左側(cè)時，再根據(jù)數(shù)軸的性質(zhì)解答即可.
三、課堂達(dá)標(biāo)
一、選擇題（每小題4分，共32分）
1． 七年級一班的同學(xué)想舉行一次拔河比賽，他們想從兩條大繩子中挑出一條最長的繩子，同學(xué)們說出了幾種方法，請你幫他們選擇一種最合適的方法 （　　）
A．把兩條繩子接在一起
B．把兩條繩子重合，觀察另一端情況
C．把兩條大繩的一端對齊，然后同一方向上拉直兩條繩子，另一端在外面的即為長繩
D．以上幾種方法都可以
【答案】C
【知識點(diǎn)】線段的長短比較
【解析】【解答】解：利用疊合法，即把兩條大繩的一端對齊，然后同一方向上拉直兩條繩子，另一端在外面的即為長繩.
故答案為：C.
【分析】利用疊合法判斷，判斷哪個選項(xiàng)中疊合的步驟正確即可.
2．下列說法中不正確的是（　　）
A．若點(diǎn)C在線段AB的延長線上，則AC>AB
B．若點(diǎn)C在線段AB上，則ACC．若點(diǎn)C在直線AB上，則AC>AB
D．若A，B，C三點(diǎn)不在一條直線上，可能AC=AB
【答案】C
【知識點(diǎn)】線段的長短比較
【解析】【解答】A.如圖， 點(diǎn)C在線段AB的延長線上， AC=AB+BC>AB，即AC>AB，故正確；
B.如圖， 若點(diǎn)C在線段AB上， AC=AB-BCC. 點(diǎn)C在直線AB上， 則點(diǎn)C可以在線段AB的延長線上，此時由A知AC>AB，也可以線段AB上，此時由B知ACAB，也可以是ACD.如圖， A，B，C三點(diǎn)不在一條直線上，可能AC=AB ，故正確.
故答案為：C.
【分析】分別根據(jù)各選項(xiàng)畫出圖形，再寫出式子比較大小，然后判斷正確與否，再選出錯誤的.
3．已知點(diǎn)C在線段AB上，則下列條件中，不能確定C是線段AB中點(diǎn)的是（　　）
A．AC=BC B．AB=2BC C．AC+BC=AB D．BC=AB
【答案】C
【知識點(diǎn)】線段的中點(diǎn)
【解析】【解答】解：若點(diǎn)C為線段AB中點(diǎn)，
∴
而無論點(diǎn)C在線段AB的任意一位置，
都有：
故答案為：C.
【分析】根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷即可.
4．如圖，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，如果MC比NC長2cm，AC比BC長（　　）
A．2cm B．4cm C．1cm D．6cm
【答案】B
【知識點(diǎn)】線段上的兩點(diǎn)間的距離
【解析】【解答】解：∵點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，
∴AC=2MC，BC=2NC，
∴AC﹣BC=（MC﹣NC）×2=2×2=4（cm），
即AC比BC長4cm．
故選：B．
【分析】根據(jù)點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，可得AC=2MC，BC=2NC，所以AC﹣BC=（MC﹣NC）×2，據(jù)此解答即可．
5．如圖，線段 CD 在線段AB 上，且CD=2。若線段 AB 的長度值是一個正整數(shù)，則圖中以A，B，C，D這四點(diǎn)中任意兩點(diǎn)為端點(diǎn)的所有線段的長度之和可能是(　　)
A．28 B．29 C．30 D．31
【答案】B
【知識點(diǎn)】線段的中點(diǎn)；線段的和、差、倍、分的簡單計(jì)算
【解析】【解答】以這四點(diǎn)中任意兩點(diǎn)為端點(diǎn)的所有線段為：
設(shè)，則b為正整數(shù)
由圖可知，
又
則能夠整除3
觀察四個選項(xiàng)可知，只有B選項(xiàng)符合要求
故答案為：B．
【分析】先寫出以這四點(diǎn)中任意兩點(diǎn)為端點(diǎn)的所有線段，從而可得出所求的所有線段之和，再根據(jù)線段的和差、整數(shù)性判斷即可．
6．若點(diǎn)A、B、C在同一條直線上，線段AB＝5厘米，線段BC＝2厘米，則線段AC的長為（　　）
A．7厘米 B．3厘米
C．7厘米或3厘米 D．不確定
【答案】C
【知識點(diǎn)】線段的和、差、倍、分的簡單計(jì)算
【解析】【解答】解：解：當(dāng)C在線段AB上時：AC=AB-BC=5-2=3(厘米)；
當(dāng)C在AB的延長線上時：AC=AB+BC=5+2=7(厘米)；
綜上，線段AC的長為7厘米或3厘米.
故答案為：C.
【分析】分兩種情況討論：即C在線段AB上，C在AB的延長線上，分別列式計(jì)算即可.
7．如圖，C是線段AB 的中點(diǎn)，D 是線段AC上的一點(diǎn)，且 若BC=4，則 DC 的長為 （　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【知識點(diǎn)】線段的中點(diǎn)；線段的和、差、倍、分的簡單計(jì)算
【解析】【解答】解：∵C是AB的中點(diǎn)，BC＝4，
∴AC＝BC＝4，
∵DC＝AC，
∴DC＝1；
故答案為：A.
【分析】根據(jù)線段的中點(diǎn)，可得出AC的長度，再根據(jù)DC＝AC，即可得出DC的長度.
8．如圖，線段，動點(diǎn)P從A出發(fā)，以的速度沿運(yùn)動，M為的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)．以下說法正確的是（　　）
①運(yùn)動后，； ②的值隨著運(yùn)動時間的改變而改變；③的值不變；
④當(dāng)時，運(yùn)動時間為．
A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
【答案】D
【知識點(diǎn)】線段的中點(diǎn)；一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用-行程問題；線段的和、差、倍、分的簡單計(jì)算
【解析】【解答】解：①運(yùn)動4s后，AP=2×4=8cm，PB=AB-AP=16cm，
∵M(jìn)為的中點(diǎn) ，
∴AM=MP=4cm，
∴PB=4AM，故①錯誤；
設(shè)運(yùn)動ts時，AP=2t，PB=24-2t，
∵M(jìn)為的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)，
∴AM=PM=t，PN=BN=12-t，
∴PM+MN=PM+PM+PN=t+t+12-t=12+t，
∴的值隨著運(yùn)動時間的改變而改變 ，故②正確；
∵M(jìn)B=AB-AM=24-t，PB=AB-AP=24-2t，
∴=2（24-t）-（24-2t）=24cm，故③正確；
由AN=AP+PN=2t+（12-t）=12+t，PM=t，
∵ ，
∴12+t=6t，解得t=2.4s，故④正確.
故答案為：D.
【分析】根據(jù)題意分別求出AP、PB的長，再利用線段的中點(diǎn)得出AM、PM、PN、BN的長，利用線段的和差關(guān)系逐一求解即可判斷.
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．已知線段AB的中點(diǎn)為點(diǎn)C，則線段AC與AB的數(shù)量關(guān)系為AC=　 　AB．
【答案】
【知識點(diǎn)】線段的中點(diǎn)
【解析】【解答】解： ∵線段AB的中點(diǎn)為點(diǎn)C ，
∴AC=BC=AB.
故答案為：.
【分析】根據(jù)線段的中點(diǎn)定義進(jìn)行解答即可.
10． 如圖，C，D是AB 的三等分點(diǎn)，E 是線段CD的中點(diǎn).若CE=2，則AD 的長為　 　.
【答案】8
【知識點(diǎn)】線段的中點(diǎn)；線段的和、差、倍、分的簡單計(jì)算
【解析】【解答】解：如∵ C，D是AB 的三等分點(diǎn)
∴AC=CD=AB
∵E 是線段CD的中點(diǎn).
∴AE=AB
又∵AE-AC=EC
∴AB-AB=2
∴AB=12
∴AC=CD=AB=×12=4
∴AD=AC+CD
=4+4
=8
∴故答案為：8.
【分析】由線段三等分點(diǎn)、中點(diǎn)的定義可知：C=CD=AB，AE=AB，再線段的差關(guān)系得到：AB-AB=2，從而求出AB，再用線段的倍數(shù)關(guān)系可求出：AC=CD=AB，再由線段的和關(guān)系：AD=AC+CD即可求解.
11．如圖，點(diǎn)C在線段AB上，已知，點(diǎn)D是線段AB的中點(diǎn)，則線段CD的長是　 　．
【答案】1
【知識點(diǎn)】線段的中點(diǎn)；線段的和、差、倍、分的簡單計(jì)算
【解析】【解答】解：∵AB＝10，D是線段AB的中點(diǎn)，
∴BD＝AB＝4，
∵CB＝3，
∴CD＝DB BC＝1，
故答案為：1．
【分析】先利用線段中點(diǎn)的性質(zhì)求出BD＝AB＝4，再利用線段的和差求出CD的長即可.
12．如圖，C為線段上一點(diǎn)，B為的中點(diǎn)，，．則的長是　 　．
【答案】
【知識點(diǎn)】線段的中點(diǎn)
【解析】【解答】解：∵B為的中點(diǎn)，
∴，
∴，
故答案為：
【分析】本題考查了與線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算，由B為的中點(diǎn)，得到，結(jié)合，進(jìn)行計(jì)算，即可求解．
13．如圖，B，C 兩點(diǎn)把線段MN 分成三部分，且MB ：BC：CN=2：3：4，P 是MN 的中點(diǎn)。若PC=2cm，則MN=　 　 cm。
【答案】36
【知識點(diǎn)】線段的中點(diǎn)；線段的和、差、倍、分的簡單計(jì)算
【解析】【解答】解：∵，
∴設(shè)，
則，
∵點(diǎn)P是的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
故答案為：．
【分析】根據(jù)線段比例，設(shè)設(shè)，則，列出一元一次方程求解即可．本題考查兩點(diǎn)間的距離，弄清楚線段之間的數(shù)量關(guān)系是關(guān)鍵．
三、解答題（每小題8分，共48分）
14．如圖，已知A，B，C，D四點(diǎn)在同一直線上，點(diǎn)D在線段上．點(diǎn)C是線段的中點(diǎn)．
（1）若線段，，求線段的長度；
（2）若，且，求線段的長度．
【答案】（1）解：∵，點(diǎn)C是線段的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴
（2）解：∵點(diǎn)C是線段的中點(diǎn)，
∴設(shè)，
∵，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴
【知識點(diǎn)】線段的中點(diǎn)；一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用-幾何問題；線段的和、差、倍、分的簡單計(jì)算
【解析】【分析】（1）先由“ 點(diǎn)C是線段的中點(diǎn) ”，求出BC的長，在根據(jù)“”，可知CD為BC的，即可求出CD長；
（2）通過設(shè)未知數(shù)x，分別表示出AD和BD的長，在根據(jù)條件“ ”，即可列出等式，繼而可求出x的值，得到AB的長.
15．如圖，已知、、、四點(diǎn)，請按要求作圖，并解答．
（1）畫直線；
（2）畫射線；
（3）連接與射線交于點(diǎn)；
（4）若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，，求線段MP的長．
【答案】（1）圖見解析，直線即為所求；
（2）圖見解析，射線即為所求；
（3）圖見解析，線段、點(diǎn)即為所求；
（4）∵，
∴DB = DP+BP = 10
∵M(jìn)是BD中點(diǎn)
∴BM =DB = 5
∴MP = BM-BP = 5-3 = 2
【知識點(diǎn)】線段的中點(diǎn)；尺規(guī)作圖-直線、射線、線段；線段的和、差、倍、分的簡單計(jì)算
【解析】【解答】解：（1）如圖，直線即為所求；
（2）如圖，射線即為所求；
（3）如圖，點(diǎn)P即為所求；
【分析】（1）根據(jù)直線的定義畫圖即可；
（2）根據(jù)射線的定義畫圖即可；
（3）根據(jù)線段的定義畫圖即可；
（4）由DB = DP+BP 求出DB的長，再由線段的中的的定義求出BM的長，利用MP = BM-BP即可求解.
16．如圖，已知點(diǎn)在線段上．
（1）尺規(guī)作圖：在線段的延長線上確定一點(diǎn)，使得；（保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）在（1）的條件下，若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，且，，求的長．
【答案】（1）解：∵，
∴點(diǎn)即為所求，
（2）解：∵點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知識點(diǎn)】線段的中點(diǎn)；線段的和、差、倍、分的簡單計(jì)算
【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，以D為圓心，AB長為半徑作弧交的延長線于點(diǎn) ，點(diǎn)即為所求；
（2）根據(jù)中點(diǎn)的定義可知， 由，， 計(jì)算求解即可得到答案．
17．如圖，已知不在同一直線上的三點(diǎn)A，B，C．
（1）按下面的要求用尺規(guī)作圖：連接AB，AC，作射線BC；在射線BC上取一點(diǎn)D，使CD＝AB．
（2）用刻度尺在（1）的圖中畫出BC的中點(diǎn)M．若BC＝6，AB＝8，求MD的長．
【答案】（1）解：如圖，點(diǎn)D即為所求；
；
（2）解：∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)．∴CM=BC=3，
∵CD=AB=8，
∴MD=CM+CD=3+8=11．
【知識點(diǎn)】線段的中點(diǎn)；尺規(guī)作圖-直線、射線、線段；線段的和、差、倍、分的簡單計(jì)算
【解析】【分析】（1）根據(jù)線段、射線定義，兩點(diǎn)確定一條直線，且由線段的一端無限延長所形成的直的線，有且僅有一個端點(diǎn)，無法測量長度，即可完成作圖；
（2）根據(jù)線段中點(diǎn)定義，結(jié)合CM=BC，求得CM=3，再由MD=CM+CD，進(jìn)而可得MD的長．
18． 閱讀下面材料：
在數(shù)軸上2與-1所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離為|2-(-1)|=3；
在數(shù)軸上-2與3所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離為|-2-3|=5；
在數(shù)軸上-3與-1所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離為|(-1)-(-3)|=2.
歸納：在數(shù)軸上點(diǎn)A，B分別表示數(shù)a，b，則A，B兩點(diǎn)之間的距離AB=|a-b|或|b-a|.
回答下列問題：
（1）數(shù)軸上表示數(shù)x和1的兩點(diǎn)之間的距離表示為　 　；數(shù)軸上表示數(shù)x和　 　的兩點(diǎn)之間的距離表示為|x+2|；
（2）試說明當(dāng)表示數(shù)x的點(diǎn)在-2與3的對應(yīng)點(diǎn)之間移動時，|x-3| +|x+2|的值總是一個固定的值，并求出這個固定值.
【答案】（1）；-2
（2）解：因?yàn)?2所以|x-3|+|x+2|
=3-x+x+2
=5.
即當(dāng)表示數(shù)x的點(diǎn)在-2與3的對應(yīng)點(diǎn)之間移動時，|x-3|+|x+2|的值總是一個固定的值，這個固定值為5.
【知識點(diǎn)】數(shù)軸及有理數(shù)在數(shù)軸上的表示；絕對值及有理數(shù)的絕對值；線段上的兩點(diǎn)間的距離
【解析】【解答】解：（1） 數(shù)軸上表示數(shù)x和1的兩點(diǎn)之間的距離表示為 ；數(shù)軸上表示數(shù)x和-2的兩點(diǎn)之間的距離表示為|x+2|；
故答案為： ，|x+2|，
【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式解答即可；
（2）由題意得-219．
（1）【問題探究】
如圖，點(diǎn)C，D 均在線段AB 上且點(diǎn)C 在點(diǎn) D 左側(cè)，若AC=BD，CD=6 cm，AB=9 cm，則線段AC 的長為　 　 cm。
（2）【方法遷移】
已知點(diǎn)C，D 均在線段AB 上且點(diǎn)C 在點(diǎn)D 左側(cè)，若AC=BD，CD=a( cm)，AB=b( cm)(b>a)，則線段AC 的長為　 　 cm(用含a，b 的代數(shù)式表示)。
（3）【學(xué)以致用】
已知七年級某班共有m人，在本班參加拓展課報名統(tǒng)計(jì)時發(fā)現(xiàn)，選擇圍棋課的人數(shù)是n(n【答案】（1）1.5
（2）
（3）解：如圖，
表示七年級某班人數(shù)，
表示七年級某班男生人數(shù)，
表示七年級某班女生人數(shù)，
表示參加圍棋課的男生，
表示未參加圍棋課的男生，
表示未參加圍棋課的女生，
表示參加圍棋課的女生，
設(shè)，，則，，
∵選擇圍棋課的人數(shù)有人，
∴，即，解得：，
∵，
∴．
【知識點(diǎn)】線段的中點(diǎn)；線段的和、差、倍、分的簡單計(jì)算
【解析】【解答】（1）解：∵，，，
∴，
故答案為：；
（）解：∵，，，
∴，
故答案為：；
【分析】（）利用線段和差可得，，即可求解；
（）利用線段和差，即可求解；
（）根據(jù)題意畫出線段圖，設(shè)，，則，，根據(jù)題意，表示出m，n，即可求解；
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