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相似 章末小結(jié)
1.疏通本章知識,弄清知識脈絡(luò).
2.進一步熟悉相似三角形的判定及其性質(zhì)，并能運用這些判定和性質(zhì)解決一些相應(yīng)的問題.(重點、 難點)
3.知道什么是位似，能利用位似將一個圖形放大或縮小，知道位似變換的點的坐標變化規(guī)律.
一、圖形的相似
1.我們把__________的圖形叫做__________.
相似圖形
形狀相同
兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到.
(1)相似圖形的本質(zhì)特征是形狀相同，與大小，位置等因素無關(guān).
(2)全等圖形可以看成是一種特殊的相似，即不僅形狀相同，而且大小也相同.
一、圖形的相似
2.兩個邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的角分別相等，邊成比例，那么這兩個多邊形叫做相似多邊形. 相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比.
二、平行線分線段成比例定理
如圖，在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，
即三個角分別相等，三條邊成比例，我們就說△ABC與△A′B′C′相似，相似比為k.
相似用符號“∽”表示，讀作“相似于”.
△ABC與△A′B′C′相似記作“△ABC∽△A′B′C′”.
1.相似三角形：
二、平行線分線段成比例定理
一般地，我們有平行線分線段成比例的基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例.
若l3∥l4∥l5時，
則
相似三角形判定的預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.
由平行線獲得相似常見的有兩種基本圖形：
“A”字型和“X”字型.
二、平行線分線段成比例定理
利用三邊判定兩個三角形相似的定理1：
三邊成比例的兩個三角形相似.
三、相似三角形的判定
利用兩邊和夾角判定兩個三角形相似的定理2：
兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似.
三、相似三角形的判定
三、相似三角形的判定
利用兩組角判定兩個三角形相似的定理3：
兩角分別相等的兩個三角形相似.
三、相似三角形的判定
判定直角三角形相似的方法：斜邊和一直角邊成比例的兩個直角三角形相似.
四、相似三角形的性質(zhì)
1.相似三角形對應(yīng)線段之比
相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比與對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.
2.相似三角形的周長之比
相似三角形周長的比等于相似比.類似地，相似多邊形周長的比等于相似比.
3.相似三角形的面積之比
相似三角形面積的比等于相似比的平方.類似地，相似多邊形面積的比等于相似比的平方.
五、相似三角形的應(yīng)用
表達式：物1高 ：物2高 = 影1長 ：影2長
測量不能到達頂部的物體的高度，可以用“在同一時刻物高與影長成正比例”的原理解決.
1.利用相似三角形測量高度
測量如河寬等不易直接測量的物體的寬度，常構(gòu)造相似三角形求解.
2.利用相似三角形測量河寬
五、相似三角形的應(yīng)用
1.圖中，每幅圖的兩個多邊形不僅相似，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，像這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這點叫做位似中心.這時我們說這兩個圖形關(guān)于這點位似.這時的相似比又稱位似比.
六、位似
2.利用位似，可以將一個圖形放大或縮小，主要方法有兩種：
方法一：在圖形外取一點作為位似中心，按要求將圖形放大或縮小；
方法二：在圖形內(nèi)取一點作為位似中心，按要求將圖形放大或縮小.
六、位似
3.利用位似作圖形的基本過程：
(1)確定位似中心；
(2)連接圖形各頂點與位似中心；
(3)在連接圖形各頂點與位似中心的線段或其延長線(或反向延長線)上按位似比進行取點；
(4)順次連接各點，所得圖形就是所要求的圖形.
六、位似
一般地，在平面直角坐標系中，如果以原點為位似中心，畫出一個與原圖形位似的圖形，使它與原圖形的相似比為k，那么與原圖形上的點(x，y)對應(yīng)的位似圖形上的點的坐標為(___，___)或(____，____).
kx
ky
-kx
-ky
六、位似
例1.已知有三條長度分別為2cm、4cm、8cm的線段，請再添一條線段．使這四條線段成比例，求所添線段的長度．
圖形的相似及應(yīng)用
1
B
A
B
C
平行線分線段成比例
2
C
【2-1】如圖，直線l1//l2//l3， 直線AC分別與直線l1, l2, l3交于A、B、C三點，直線DF分別與直線l1，l2,l3交于D、E、F三點，AC與DF交于點O.若BC=2AO=2OB， OD=1， 則OF的長是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
C
【2-2】如圖，在平行四邊形ABCD中,E是邊BC上的一點，且BE:EC=3:2,連接AE、BD交于點F，則BF:FD=_______.
3：5
相似三角形的判定
3
【3-1】如圖，已知矩形ABCD的頂點A、D分別落在x軸、y軸上,OD=2OA=6， AD:AB=3:1， 則點C的坐標為_________.
(2，7)
【3-2】如圖，已知△ABC，P是邊AB上的一點，連接CP，以下條件中不能判定△ACP∽△ABC的是( )
A.∠ACP=∠B B.∠APC=∠ACB C. AC2=AP·AB D.AC·BC=AB·CP
D
【3-3】如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，P是BC上的點，且BP＝3PC，Q是CD的中點，求證：△ADQ∽△QCP．
相似三角形的性質(zhì)
4
例7.△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE 和△EFC的面積分別為4和9，求△ABC的面積.
A
B
C
D
F
E
解：∵ DE∥BC，EF∥AB
∴△ADE∽△ABC,∠AED=∠C，∠A=∠CEF
∴△ADE∽△EFC
又∵S△ADE:S△EFC =4:9
∴AE:EC=2:3
則AE:AC=2:5
∴ S△ADE:S△ABC =4:25
∴ S△ABC =25
A
C
B
相似三角形的實際應(yīng)用
5
例8.如圖，某一時刻一根2m長的竹竿EF的影長GE為1.2m，此時，小紅測得一棵被風吹斜的柏樹與地面成30°角，樹頂端B在地面上的影子點D與B到垂直地面的落點C的距離是3.6m，求樹AB的長．
2m
1.2m
3.6m
解：如圖，CD＝3.6m，
∵△BDC∽△FGE，
∴ BC＝6m.
在Rt△ABC中，
∵ ∠A＝30°，
∴ AB＝2BC＝12m，即樹長AB是12m.
即
∴
例9.教學樓旁邊有一棵樹，課外數(shù)學興趣小組在陽光下，測得一根長為1m的竹竿的影長為0.9m,但他們馬上測樹的影長時，發(fā)現(xiàn)樹的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教學樓的墻壁上，如圖所示.經(jīng)過一番爭論，該小組的同學認為繼續(xù)測量也可以求出樹高，他們測得落在地面.上的影長為2.7m，落在墻璧上影長為1.2m，請你和他們一起計算一下， 樹高為多少
解:根據(jù)題意，畫出示意圖，延長AD、BE相交于C,則CE是無墻壁遮擋時樹影長的一部分.
∴ , 即
∴CE=1.08(m)
∴BC=BE+CE=2.7+1.08=3.78(m)
又∵△PQR∽△ABC
∴ ,即
∴AB=4.2(m),即樹高為4.2m.
【5-1】如圖，小明在打網(wǎng)球時，要使球恰好能打過網(wǎng)，而且落在離網(wǎng)5米的位置上，則拍擊球的高度應(yīng)h為( )
A.2.7米 B.1.8米 C.0.9米 D.0.6米
A
【5-2】如圖，小明同學跳起來把一個排球打在離地2m遠的地上，然后反彈碰到墻上，如果她跳起擊球時的高度是1.8m，排球落地點離墻的距離是6m，假設(shè)球一直沿直線運動，球能碰到墻面離地多高的地方？
A
B
O
C
D
2m
6m
1.8m
解：∵∠ABO=∠CDO=90°，
∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△COD.
∴
∴
解得 CD=5.4m.
故球能碰到墻面離地5.4m高的地方．
【5-3】九年級(1)班課外活動小組利用標桿測量學校旗桿的高度,如圖，已知標桿高度CD=3m，標桿與旗桿的水平距離BD=15m,人的眼睛到地面的高度EF=1.6m，人與標桿CD的水平距離DF=2m，求旗桿AB的高度.
解:過點E作EH∥FB，分別交CD、AB于點G、H.根據(jù)題意可得，EG=FD=2m，GH=BD=15m，DG= =BH=EF=1.6m.
∴CG=CD-DG=3-1.6=1.4m
EH=EG+GH=2+15=17m
∵CD∥AB
∴△ECG∽△EAH
∴ 即
解得，AH=11.9(m) 因此，旗桿AB的高度為: 11.9+1.6=13.5(m)
例10.如圖，在△ABC中，AB=80，高CD=60,矩形EFGH中E、F在AB邊上，G在BC邊上，H在三角形內(nèi)，且EF:GF=2:1.
(1)在△ABC內(nèi)畫出矩形GFEH的位似圖形，使其頂點在△ABC的邊上(保留作圖痕跡);
(2)求所作的矩形的面積.
解: (1)如圖，矩形IJLK即為所作;
位似及其應(yīng)用
6
例10.如圖，在△ABC中，AB=80，高CD=60,矩形EFGH中E、F在AB邊上，G在BC邊上，H在三角形內(nèi)，且EF:GF=2:1.
(2)求所作的矩形的面積.
例11.如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD與正方形BEFG是以原點O為位似中心的位似圖形，且相似比為1:3，點A，B，E在x軸上.
(1)若點F的坐標為(4.5, 3),直接寫出點A和點C的坐標;
(2)若正方形BEFG的邊長為6，求點C的坐標.
例11.如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD與正方形BEFG是以原點O為位似中心的位似圖形，且相似比為1:3，點A，B，E在x軸上.
(1)若點F的坐標為(4.5, 3),直接寫出點A和點C的坐標;
(2)若正方形BEFG的邊長為6，求點C的坐標.
解:(2)∵正方形ABCD與正方形BEFG是以原點O為位似中心的位似圖形，相似比是1:3，正方形BEFG的邊長為6
∴正方形ABCD的邊長為2，OB:0E=1:3
∴0B:(0B+6)=1:3,解得0B=3
∴點C的坐標為(3，2)
B
【6-2】在平面直角坐標系中，△ABC和△A1B1C1的相似比等于0.5，并且它們是關(guān)于原點O的位似圖形，若點A的坐標為(2，4)，則其對應(yīng)點A1的坐標是
________________.
【6-3】如圖，是△AOB和把它放大后得到的△COD，則△AOB與△COD的相似比為______.
(4，8)或(-4，-8)
D

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