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第3節 折疊所成特殊圖形
前言：折疊問題不僅在于如何折疊，也關注折疊之后的圖形，如形成了像直角三角形等特殊圖形，利用特殊圖形的性質，是解決問題的關鍵，以及，注意考慮是否存在多種情況.
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知 識 導 航
成直角三角形
考慮兩點：
(1) 折疊后形成的直角結論如何與勾股定理、相似、三角函數結合運用；
(2) 當未確定哪個角為直角時考慮是否需要分類討論.
引例:如圖,在Rt△ABC的紙片中,∠C=90°,AC=5, AB=13. 點D在邊BC上, 以AD為折痕將△ADB折疊得到△ADB', AB'與邊 BC交于點 E. 若△DEB'為直角三角形，則BD的長是 .
解析：分類討論.
情況1: 當. 時，此時點E與C重合，根據角平分線定理可得： 代入數據可得： (或用勾股定理可求)
情況2：當 時，
過點B'作B'H ⊥AC交AC的延長線于H點, 設CD=x,則B'H=x, CH=DB'=DB=12-x,
Rt△AHB'滿足:
代入得： 解得x=5或12(舍),∴BD=7.
綜上所述，BD 的長是 或7.
真 題 演 練
1. 如圖, 在Rt△ABC中, ∠C=90°, 點E在AC邊上. 將∠A 沿直線BE 翻折, 點A 落在點 A'處,連接A'B, 交AC于點 F. 若A'E⊥AE, cosA= 則 = .
2.如圖,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,對角線AC，BD相交于點 O，點P為邊AD上一動點，連接OP, 以OP為折痕,將△AOP折疊, 點A的對應點為點 E,線段PE與OD相交于點 F.若△PDF為直角三角形，則DP的長為 .
3. 如圖,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC, 點 M、N分別是邊 BC、AB上的動點, 沿MN所在的直線折疊∠B，使點B的對應點B'始終落在邊AC上，若△MB'C為直角三角形, 則BM 的長為 .
4. 如圖, 已知Rt△ABC中, ∠B=90°, 點 M、N分別在線段AC、AB 上,將△ANM沿直線 MN折疊，使點A 的對應點 D 恰好落在線段 BC 上, 當△DCM 為直角三角形時, 折痕 MN 的長為
5. 如圖, 在菱形ABCD中, 點E、F分別在邊AD、BC上, 將四邊形AEFB沿EF翻折, 使AB 的對應線段 MN經過頂點 C, 當 MN⊥BC時, 的值是 .
第3節 折疊成特殊圖形
1.
解析: 設AC=4m, 則AB=5m, BC=3m, ∵A'E⊥AC, BC⊥AC, ∴A'E∥BC, ∴∠A'=∠FBC , ∴cos∠FBC=
又
2.1或
解析: 若∠DPF=90°, 則∠APO=45°, AP=4+3=7, DP=1;若∠PFD=90°過點O作OH⊥AD交AD于點H,則OF=OH=3, 綜上，DP 的長為1或
或1.
解析：若 則M為BC中點,∴ 若∠MB'C=90°, 則MB=MB'=1.
綜上，BM的長為 或1.
4. 或
解析：分類討論.
情況一: 當∠CDM=90°時, 如下左圖,
又AB⊥BC, ∴MD∥AB, ∴∠DNB=∠MDN=60°,∴∠ANM=∠DNM=60°, ∴△AMN是等邊三角形,
情況二: 如上右圖, 當∠DMC=90°時, 作NH⊥AB交AC于H點, 可解得:
綜上所述，MN的值為 或
5.
解析： 設BC=9a, 則BF=FN=5a, CF=4a, CN=3a.延長NM交AD于點 H, 則∠NHA=90°,

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