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人教版數學九年級下冊
第二十七章 相 似
27.2 相似三角形
27.2.2 相似三角形的性質
1.理解相似三角形對應高、對應中線、對應角的平分線的比也等于相似比。
2.理解相似三角形周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方。
3.能應用相似三角形的有關性質解決相關問題。
復習引入
相似三角形的——————————, 各對應邊——————。
對應角相等
成比例
1.三角形相似的判定方法有那些？
兩個角對應相等的兩個三角形相似。
兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似。
三邊對應成比例的兩個三角形相似。
2. 相似三角形有哪些性質
預備定理平行線構成的三角形與原三角形相似。
定義：三個對應角相等，三條對應邊的比相等。（不常用）
常用
直角三角形：兩直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例。
探究新知
相似三角形還有哪些性質
思考：三角形除了三個角，三條邊外，還有哪些要素
如果兩個三角形相似，那么，對應的這些要素
有什么關系呢？
高
中線
角平分線
周長
面積
探究新知
如圖，△ABC △A′B′C′,,相似比為k，它們對應高、對應中線、對應角平分線的比各是多少？
A
B
D
C
A′
B′
D′
C′
解：如圖，分別作△ABC和△A′B′C′的對應高AD和A′D′。
∵△ABC △A′B′C′
∴ ∠B=∠B′
又△ABC和△A′B′C′都是直角三角形
∴△ABD △A′B′D′
結論1：相似三角形對應高的比等于相似比。
∵ △ ABC∽ △ A1B1C1
∴ ∠B = ∠B1，∠BAC = ∠B1A1C1
∵ AD，A1D1分別是∠BAC和∠B1A1C1的角平分線
∴ ∠BAD = ∠B1A1D1
∴ △ ADB∽△ A1D1B1（角角）
A1
B1
C1
A
B
C
D
D1
證明：
∴
角平分線
探究新知
探究新知
A1
B1
C1
A
B
C
D
D1
中線
結論2：相似三角形對應角平分線的比等于相似比。
結論3：相似三角形對應中線的比等于相似比。
歸納總結
類似地，可以證明相似三角形對應中線、角平分線的比也等于相似比.
由此我們可以得到：
相似三角形對應高的比等于相似比.
一般地，我們有：
相似三角形對應線段的比等于相似比.
解：∵ △ABC ∽△DEF， 　
D
E
F
H
例1 已知 △ABC∽△DEF，BG、EH 分別是 △ABC和 △DEF 的角平分線，BC = 6 cm，EF = 4cm，BG = 4.8 cm. 求 EH 的長.
∴ (相似三角形對應
角平分線的比等于相似比)，
∴ ，解得 EH = 3.2.
A
G
B
C
∴ 故 EH 的長為 3.2 cm.
例題解析
練一練
1. 如果兩個相似三角形的對應高的比為 2 : 3，那么對
應角平分線的比是 ，對應邊上的中線的比是
______ .
2. △ABC 與 △A'B'C' 的相似比為3 : 4，若 BC 邊上的
高 AD＝12 cm，則 B'C' 邊上的高 A'D' ＝_______ .
2 : 3
2 : 3
16 cm
探究新知
如圖，△ABC ∽△A′B′C′，相似比為 k，它們的周長比是多少？
A
B
C
A'
B'
C'
如果 △ABC ∽△A'B'C'，相似比為 k，那么
因此
AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'，
從而
相似三角形周長的比等于相似比
探究新知
如圖，△ABC ∽△A′B′C′，相似比為 k，它們的面積比是多少？
A
B
C
A'
B'
C'
D
D'
由前面的結論，我們有
相似三角形面積的比等于相似比的平方
歸納總結
相似三角形面積的比等于相似比的平方．
相似三角形周長的比等于相似比．
結論：
推廣：
相似多邊形對應線段的比等于相似比。
相似多邊形周長的比等于相似比．
相似多邊形面積的比等于相似比的平方．
例題解析
解：在 △ABC 和 △DEF 中，
∵ AB=2DE，AC=2DF，
又 ∵∠D=∠A，
∴ △DEF ∽ △ABC ，相似比為 1 : 2.
例2 如圖，在 △ABC 和 △DEF 中，AB = 2 DE ，AC = 2 DF，∠A = ∠D. 若 △ABC 的邊 BC 上的高為 6，面積為 ，求 △DEF 的邊 EF 上的高和面積.
A
B
C
D
E
F
面積為
∴△DEF 的邊 EF 上的高為 ×6 = 3，
∵△ABC 的邊 BC 上的高為 6，面積為 ，
練一練
1. 把一個三角形變成和它相似的三角形，
(1) 如果邊長擴大為原來的 5 倍，那么面積擴大為
原來的______倍；
(2) 如果面積擴大為原來的 100 倍，那么邊長擴大
為原來的______倍.
25
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2. 兩個相似三角形的一對對應邊分別是 35 cm、14 cm，
(1) 它們的周長差 60 cm，這兩個三角形的周長分別
是________________；
(2) 它們的面積之和是 58 cm2，這兩個三角形的面
積分別是______________.
100 cm、40 cm
50 cm2、8 cm2
A
E
B
D
C
∴ △ADE ∽△ABC.
∵ 它們的相似比為 3 : 5，
∴ 面積比為 9 : 25.
解：∵ ∠BAC = ∠DAE，且
例3 如圖，D，E 分別是 AC，AB 上的點，已知△ABC 的面積為100 cm2，且 ，求四邊形 BCDE 的面積.
例題解析
又∵ △ABC 的面積為 100 cm2，
∴ △ADE 的面積為 36 cm2 .
∴ 四邊形 BCDE 的面積為100－36 = 64 (cm2).
課堂練習
1. 判斷：
(1) 一個三角形的各邊長擴大為原來的 5 倍，這個
三角形的周長也擴大為原來的 5 倍 ( )
(2) 一個四邊形的各邊長擴大為原來的 9 倍，這個
四邊形的面積也擴大為原來的 9 倍 ( )
√
×
2. 在 △ABC 和 △DEF 中，AB＝2 DE，AC＝2 DF，
∠A＝∠D，AP，DQ 是中線，若 AP＝2，則 DQ
的值為 ( )
A．2 B．4 C．1 D.
C
課堂練習
3. 連接三角形兩邊中點的線段把三角形截成的一個小三角形與原三角形的周長比等于______，面積 比等于_____.
1 : 2
1 : 4
4. 兩個相似三角形對應的中線長分別是 6 cm 和 18 cm，
若較大三角形的周長是 42 cm，面積是 12 cm2，則
較小三角形的周長____cm，面積為____cm2.
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5. △ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，已知 △ADE 和
△EFC 的面積分別為 4 和 9，求 △ABC 的面積.
A
B
C
D
F
E
解：∵ DE∥BC，EF∥AB，
∴ △ADE ∽△ABC，
∠ADE =∠EFC，∠A =∠CEF，
∴△ADE ∽△EFC.
又∵S△ADE : S△EFC = 4 : 9，
∴ AE : EC=2:3，
則 AE : AC =2 : 5，
∴ S△ADE : S△ABC = 4 : 25，∴ S△ABC = 25.
課堂練習
課堂練習
6. 如圖，△ABC 中，DE∥BC，DE 分別交 AB、AC 于
點 D、E，S△ADE＝2 S△DCE，求 S△ADE ∶S△ABC.
解：過點 D 作 AC 的垂線，交點為 F，則
又∵ DE∥BC，
∴ △ADE ∽△ABC.
A
B
C
D
E
F
∴
即 S△ADE : S△ABC ＝4 : 9.
課堂小結
相似三角形的性質
對應角相等
對應邊成比例
對應高的比，對應中線的比、對應角平分線的比都等于相似比.
相似比等于對應邊的比
周長的比等于相似比
面積的比等于相似比的平方

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