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第五章 一元函數的導數及其應用
5.2 導數的運算
5.2.2 導數的四運算法則
教學目標
學習目標 數學素養
1.理解并掌握函數的和、差、積、商的求導法則． 1.數學運算素養.
2.理解求導法則的證明過程，能夠綜合運用導數公式和導數法則求 函數的導數 ． 2.數學運算素養和邏輯思維素養.
溫故知新
1.基本初等函數的導數公式
①若f (x)＝c（c為常數）,
則f '(x)＝0；
②若f (x)＝(α∈Q，且α≠0),
則f '(x)＝；
③若f (x)＝,
則f '(x)＝；
④若f (x)＝,
則f '(x)＝；
⑤若f (x)＝(a>0，且a≠1),
則f '(x)＝；
特別地，若f (x)＝,
則f '(x)＝；
⑥若f (x)＝(a>0，且a≠1),
則f '(x)＝；
特別地，若f (x)＝,
則f '(x)＝.
溫故知新
⑴求函數y=f(x)的導數；求函數y=f(x)的導數；
2.求過曲線y=f(x)上一點P(x0，y0)的切線方程的基本步驟：
⑵代入P點的橫坐標x0，得切線的斜率k;
⑶利用點斜式求得切線方程.
同學們，上節課我們學習了基本初等函數的導數，實際上，它是我們整個導數的基礎，而且我們也只會冪函數、指數函數、對數函數、三角函數這四類函數的求導法則，我們知道，可以對基本初等函數進行加、減形式的組合，組合后的函數，又如何求導，這將是我們本節課要學習的內容．
新知探究
設y=f(x)+g(x)=x2+x,
∵
在例2中，當p0=5時，p(t)=5×1.05t. 這時，求p關于t的導數可以看成求函數f(t)=5與g(t)=1.05t乘積的導數. 一般地，如何求兩個函數的和、差、積、商的導數呢
設f(x)=x2, g(x)=x, 計算[f(x)+g(x)]′與[f(x)-g(x)]′, 它們與f'(x)和g'(x)有什么關系 再取幾組函數試試, 上述關系仍然成立嗎 由此你能想到什么
.
.
∴[f(x)+g(x)]′.
新知探究
設y=f(x)+g(x)=x2+x,
而f'(x)=,g'(x)=(x)'=1,
在例2中，當p0=5時，p(t)=5×1.05t. 這時，求p關于t的導數可以看成求函數f(t)=5與g(t)=1.05t乘積的導數. 一般地，如何求兩個函數的和、差、積、商的導數呢
設f(x)=x2, g(x)=x, 計算[f(x)+g(x)]′與[f(x)-g(x)]′, 它們與f'(x)和g'(x)有什么關系 再取幾組函數試試, 上述關系仍然成立嗎 由此你能想到什么
∴[f(x)+g(x)]′=f'(x)+g'(x).
同樣地，對于上述函數，[f(x)-g(x)]′=f'(x)-g'(x).
知新探究
導數的運算法則1
一般地，對于兩個函數和(或差)的導數，我們有如下法則：
[f(x)±g(x)]′=f'(x)±g'(x).
和與差的運算法則可推廣：
即:兩個函數的和(差)的導數,等于這兩個函數的導數的和(差).
[f 1(x)±f 2(x)±…±fn (x)]′＝f 1′(x)±f2 ′(x)±…±f n′(x).
知新探究
【例1】求下列函數的導數：
⑴y＝x3－x＋3; ⑵ .
解：
⑴y′＝(x3－x＋3)′
＝(x3)′－(x)′＋(3)′＝3x2－1;
⑵y′＝(2x＋cos x)′＝(2x)′＋(cos x)′
＝2x ln 2－sin x．
初試身手
⑴y′＝(3x＋)′
=(3x)′＋()′＝3x ln 3＋;
1.求下列函數的導數:
⑴y＝3x＋ ⑵y＝lg x＋x-2－3.
解：
⑵y'=(lg x＋x-2－3)′
=(lg x)′＋(x-2)′－(3)′＝-2x-3．
知新探究
同樣地，′與也不相等.
通過計算可知 [f(x) g(x)]′=(x3)′=3x2,
f′(x)g′(x)=2x 1=2x,
設f(x)=x2, g(x)=x, 計算[f(x) g(x)]′與f′(x)g′(x), 它們是否相等 f (x)與g(x)商的導數是否等于它們導數的商
因此 [f(x) g(x)]′≠ f′(x)g′(x).
知新探究
導數的運算法則2
[f(x) g(x)]′=f′(x) g(x)+f (x) g′(x)；
(g(x)≠0).
兩個函數的商的導數,等于第一個函數的導數乘第二個函數,減去第一個函數乘第二個函數的導數 ,再除以第二個函數的平方.
事實上，對于兩個函數f(x)和 g(x)的積(或商)的導數，我們有如下法則：
兩個函數的積的導數,等于第一個函數的導數乘第二個函數,加上第一個函數乘第二個函數的導數.
導數的運算法則3
知新探究
由函數的乘積的導數法則可以得出：
(f(x)≠0).
[cf(x)]′=cf′(x) .
由函數的商的導數法則可以得出：
[cf(x)]′=c′f(x)+cf′(x)= cf′(x) ；
也就是說，常數與函數的積的導數，等于常數與函數的導數的積，即
即
.
知新探究
【例2】求下列函數的導數:
⑴; ⑵
解：
⑴y'=(x3ex)'
=3x2ex+x3ex.
=(x3)′ex+x3(ex)'
⑵y'=()'=
.
初試身手
⑴函數y＝是函數f (x)＝x2與g(x)＝ln x的商，
2.求下列函數的導數:
⑴y＝; ⑵y＝x2(ln x＋sin x)．
解：
根據導數公式表分別得出f ′(x)＝2x，g′(x)＝．
y'＝.
根據求導的除法法則，可得
初試身手
⑵函數y＝x2(ln x＋sin x)是函數f (x)＝x2與g(x)＝ln x＋sin x的積．
2.求下列函數的導數:
⑴y＝; ⑵y＝x2(ln x＋sin x)．
解：
根據導數公式表及求導的加法法則分別得出
y'＝[x2(ln x＋sin x)]′＝2x(ln x＋sin x)＋x2·
f ′(x)＝2x，g′(x)＝+cos x．
根據求導的乘法法則，可得
＝x＋2x ln x＋2x sin x＋x2cos x．
知新探究
【例3】日常生活中的飲用水通常是經過凈化的．隨著水的純凈度的提高，所需凈化費用不斷增加．已知將1 t水凈化到純凈度為x%時所需費用(單位：元)為c(x)＝(80＜x＜100)．
求凈化到下列純凈度時，所需凈化費用的瞬時變化率：
⑴90%； ⑵98%．
解：
凈化費用的瞬時變化率就是凈化費用函數的導數．
c′(x)＝
＝
＝
＝．
知新探究
【例3】日常生活中的飲用水通常是經過凈化的．隨著水的純凈度的提高，所需凈化費用不斷增加．已知將1 t水凈化到純凈度為x%時所需費用(單位：元)為c(x)＝(80＜x＜100)．
求凈化到下列純凈度時，所需凈化費用的瞬時變化率：
⑴90%； ⑵98%．
解：
⑴∵c′(90)＝=52.84，
∴凈化到純凈度為90%時，凈化費用的瞬時變化率是52.84元/噸.
⑵∵c′(98)＝=1321，
∴凈化到純凈度為98%時，凈化費用的瞬時變化率是1321元/噸．
函數f (x)在某點處導數的大小表示函數在此點附近變化的快慢．由上述計算可知，c′(98)＝25c′(90)．它表示凈化到純凈度為98%左右時凈化費用的變化率，大約是凈化到純凈度為90%左右時凈化費用變化率的25倍．這說明，水的純凈度越高，需要的凈化費用就越多，而且凈化費用增加的速度也越快．
初試身手
f ′(x)＝+(2x)′ln x＋2x(ln x)′
3.求曲線f (x)＝＋2x ln x在點(1，0)處的切線的方程．
解：
＝＋(2x ln 2)ln x＋=－＋2x ln 2ln x＋．
∴曲線f (x)＝＋2x ln x在點(1，0)處的切線的方程為y＝(x－1)，
即y＝x－．
根據導數公式表及導數的四則運算法則，可得
將x＝1代入f ′(x)，得所求切線的斜率為f ′(1)＝．
課堂小結
導數的四則運算法則
導數的運算法則1
[f(x)±g(x)]′=f'(x)±g'(x).
導數的運算法則2
[f(x) g(x)]′=f′(x) g(x)+f (x) g′(x)；
(g(x)≠0).
導數的運算法則3
[cf(x)]′=cf′(x) .
.
作業布置
作業： P81 習題5.2 第1⑶⑷⑸⑹,3，4，5題
盡情享受學習數學的快樂吧！
我們下節課再見！
謝謝
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