資源簡介

第二章 代數式
2.3 整式的概念
一、教學目標
1. 理解同類項的概念，掌握合并同類項的法則，能進行同類項的合并.
2. 知道什么是多項式相等，能對多項式按某一字母進行降冪或升冪排列.
3. 通過對合并同類項的探究，讓學生學習類比的數學思想方法，發展學生的探究能力，培養獨立思考和合作交流的能力.
二、教學重難點
重點：準確理解并掌握同類項的概念與特點.
難點：正確判斷同類項，準確合并同類項.
三、教學用具
電腦、多媒體、課件、教學用具等
教學過程設計
【創設情境】
教師出示練習，引導學生觀察并思考.
一輛汽車從香港口岸行駛到東人工島的平均速度為 96 km/h. 在海底隧道和主橋上行駛的平均速度分別為 72 km/h 和 92 km/h. 請根據這些效據回答下列問題：
如果汽車通過海底隧道需要 a h，從香港口岸行駛到東人工島的時間是通過海底隧道時間的 1.25 倍，你能用含 a 的代數式表示香港口岸到西人工島的全長嗎
預設：
香港口岸到西人工島＝海底隧道＋香港口岸到東人工島＝72a＋96×1.25a＝72a＋120a
對于這個算式72a＋120a，如何計算？
設計意圖：通過創設情境，讓學生初步感受同類代數式的特征，為接下來的學習奠定基礎.
【探究新知】
1.填空：
(1) 72×2 + 120×2 = ( )×2
(2) 72×(-2)+120×(-2)= ( )×(-2)
預設：（1）72 + 120；（2）72 + 120.
結構相同，用字母 a 代表數字 (2 或 -2).
鐵路全長 (單位：km) ：72a＋120a= (72 + 120) a= 192a.
2.填空：
(1) 72a - 120a = ( ) a=______;
(2) 3m2 + 2m2 = ( ) m2=______;
(3) 3xy2 - 4xy2 = ( ) xy2=______。
預設：72-120，-48a;3+2,5m2；3-4，-xy2.
觀察等號左邊的式子有什么共同特點，你能從中得出什么規律？
預設：①多項式；②每項所含的字母相同；③相同字母的指數相同。
【抽象】把所含字母相同并且相同字母的指數也相同的單項式叫做同類項.幾個常數項也是同類項．
比如 3ab2 和 4ab2 互為同類項．
想一想：非零常數也是同類項嗎？
預設：是的，如3 和 1 互為同類項．
設計意圖：通過歸納同類項的基本概念及其注意事項，加深學生對同類項的認識與理解.
【說一說】
在多項式 x4-3x2y+5x3+7x2y+4 中，項-3x2y與7x2y中含有的字母相同嗎？相同字母的指數也相同嗎？
預設：這兩項都只含有相同的字母 x，y，且x的指數都是2，y的指數都是1.-3x2y與7x2y互為同類項.
【做一做】
判斷每一組是否是同類項，不是則為前者配一個.
(1) 2x2y 與 -3x2y ，(3) -3pq 與 3qp
(2) 2abc 與 3ab，(4) -4x2y 與 5xy2
預設：（1）是；(2)是；（3）不是，3abc；（4）不是，5x2y .
同類項的判別方法：只與字母及其指數有關，與系數無關，與字母排列順序無關.
設計意圖：讓學生通過判斷兩個代數式是否是同類項，進一步鞏固對同類項概念的理解.
【探究】
化簡x4－3x2y＋5x3＋7x2y＋4，思考每一步分別用了什么運算律？
解：原式＝x4－3x2y＋7x2y＋5x3＋4 交換律
＝x4＋(－3x2y＋7x2y)＋5x3＋4 結合律
＝x4＋(－3＋7) x2y＋5x3＋4 分配律
＝x4＋4x2y＋5x3＋4.
【抽象】在多項式中，要把同類項的系數相加合并成一項，這叫作合并同類項.
合并同類項法則：
合并同類項后，所得項的系數是合并前各同類項的系數的和，且字母連同它的指數不變.
設計意圖：通過利用乘法分配律的方法合并同類項，然后總結概括合并同類項的方法，便于學生更好地掌握合并同類項的方法.
【典型例題】
教師提出問題，學生先獨立思考，解答.然后再小組交流探討，如遇到有困難的學生適當點撥，最終教師展示答題過程.
例1 下列各題的結果是否正確？指出錯誤的地方.
(1)2x3-9x3+x2-7； (2)-3x2y2+5xy3-7x2y2-8xy3-10 .
解：(1)2x3-9x3+x2-7= (2-9) x3+x2-7= -7x3+x2-7 .
(2)-3x2y2+5xy3-7x2y2-8xy3-10==(-3-7)x2y2 +(5-8) xy3 -10=-10x2y2 -3xy3 -10 .
總結：
合并同類項”的方法:
一找，找出多項式中的同類項，不同類的同類項用
不同的標記標出;
二移，利用加法的交換律，將不同類的同類項集中到一起;
三合，將同一括號內的同類項相加即可.
【抽象】
在把多項式合并同類項后，一般要把它的各項按照一定的次序排列：
把只有一個字母的多項式的各項按照該字母的指數由大到小(或由小到大)排列，稱為降冪(或升冪)排列.
降冪排列：-x4+5x3-3x2-7x+12
升冪排列：12-7x-3x2+5x3-x4
習慣上，把只有一個字母的多項式按降冪排列.
把含有多個字母的多項式按照其中某個字母進行降冪排列.
按 x 降冪排列
3x4y -5x3y2+7x2y4 -xy3+xy+y2-13
你能試著將上述式子按照 y 降冪排列？
例2 寫出下列多項式的次數和常數項，
并指出它們是不是按x降冪排列，對于不是按x降冪排列的多項式，試著按 x 進行降冪排列:
(1) x5+x4-7x3 x+10； (2) 5x2y4-2x3y2+6xy3-7y-19 .
解： (1) x5+x4-7x3 x+10 的次數是 5，常數項是 10，且是按 x 降冪排列.
5x2y4-2x3y2+6xy3-7y-19 的次數是 6，常數項是 -19，它不是按 x 降冪排列，按x 降冪排列應為-2x3y2+5x2y4+6xy3-7y-19 .
【說一說】
分別將多項式 x3-4x2+7x2-2x-5 與多項式x3+3x2-6x+4x-5 合并同類項，你會發現什么
預設：分別將兩個多項式合并同類項后，均等于x3+3x2-2x-5 .
兩個多項式分別合并同類項后，如果它們的對應項系數都相等，那么稱這兩個多項式相等.
小結：若多項式ax2+ bxy2-cy與多項式dx2- exy2相等，其中a，b，c，d ，e均為常數，則 a=d， b=-e，-c=0.
設計意圖：通過例題講解，讓學生進一步掌握同類項的知識，讓學生進一步熟練掌握合并同類項的方法，加強學生的應用意識.
教師給出練習，隨時觀察學生完成情況并相應指導，最后給出答案，根據學生完成情況適當分析講解.
【隨堂練習】
1.找出下面的同類項：
2x3，xy2，-5x，，-7xy2，3x， 0.，-4x3
解：2x3與-4x3是同類項；xy2與-7xy2是同類項；
-5x與3x是同類項；與 0. 是同類項.
2.把下列多項式合并同類項，并指出它們分別是幾次幾項式.
(1) 6x4-5x4+7x2-3x4+8；
(2) 8x4y-5x3y-6x4y+2x3y+ 9xy-11.
解：(1) 6x4-5x4+7x2-3x4+8=-2x4+7x2+8 四次三項式
(2) 8x4y-5x3y-6x4y+2x3y+ 9xy-11=2x4y-3x3y+ 9xy-11 五次四項式
3.指出下列多項式是不是按 x 降冪排列，對于不是按 x 降冪排列的多項式，按 x 進行降冪排列：
(1) x4-3x2+5x-1；
(2) x2y3-5x3y+7xy2-6y2-23；
(3) 3xy4-4x4-7x3+6x2-5x+2y-7.
答案：
(1) 是
(2) 不是，-5x3y+x2y3+7xy2-6y2-23
(3) 不是，-4x4-7x3+6x2+3xy4-5x+2y-7
4.已知下列兩個多項式相等，求常數a，b的值.
x3–5x2+3x2–7x+2，x3+ax2+bx+2 .
解： x3–5x2+3x2–7x+2
= x3–2x2 –7x+2
= x3+ ax2+ bx+2
所以 a= – 2，b= – 7
設計意圖：通過課堂練習及時鞏固本節課所學內容，并考查學生的知識應用能力，培養學生獨立完成練習的習慣.
【課堂小結】
思維導圖的形式呈現本節課的主要內容：
設計意圖：通過小結總結回顧本節課學習內容，幫助學生歸納、鞏固所學知識.(共24張PPT)
—— 第二章 代數式 ——
2.3 整式的概念
配套湘教版（新課標）
1. 理解同類項的概念，掌握合并同類項的法則，能進行同類項的合并.
2. 知道什么是多項式相等，能對多項式按某一字母進行降冪或升冪排列.
3. 通過對合并同類項的探究，讓學生學習類比的數學思想方法，發展學生的探究能力，培養獨立思考和合作交流的能力.
一輛汽車從香港口岸行駛到東人工島的平均速度為 96 km/h. 在海底隧道和主橋上行駛的平均速度分別為 72 km/h 和 92 km/h. 請根據這些效據回答下列問題：
如果汽車通過海底隧道需要 a h，從香港口岸行駛到東人工島的時間是通過海底隧道時間的 1.25 倍，你能用含 a 的代數式表示香港口岸到西人工島的全長嗎
路程＝速度×時間
香港口岸到西人工島＝海底隧道＋香港口岸到東人工島
＝72a＋96×1.25a
＝72a＋120a
如何計算？
填空：
(1) 72×2 + 120×2 = ( )×2
(2) 72×(-2)+120×(-2)= ( )×(-2)
72 + 120
72 + 120
結構相同，用字母 a 代表數字 (2 或 -2).
鐵路全長 (單位：km) ：72a＋120a
= (72 + 120) a
= 192a
= 192×2
= 192×(-2)
填空：
(1) 72a - 120a = ( ) a
(2) 3m2 + 2m2 = ( ) m2
(3) 3xy2 - 4xy2 = ( ) xy2
72 - 120
3 + 2
3 - 4
觀察等號左邊的式子有什么共同特點，你能從中得出什么規律？
1. 多項式
2. 每項所含的字母相同
3. 相同字母的指數相同
= -48a
= 5m2
= -xy2
把所含 相同并且相同字母的
也相同的單項式叫做同類項.
字母
指數
非零常數也是同類項嗎？
幾個常數項也是同類項．
3 和 1 互為同類項．
比如 3ab2 和 4ab2 互為同類項．
在多項式 x4-3x2y+5x3+7x2y+4 中，項-3x2y與7x2y中含有的字母相同嗎？
相同字母的指數也相同嗎？
這兩項都只含有相同的字母 x，y，
且x的指數都是2，y的指數都是1.
-3x2y與7x2y互為同類項.
(3) -3pq 與 3qp
(1) 2x2y 與 -3x2y
(2) 2abc 與 3ab
(4) -4x2y 與 5xy2
判斷每一組是否是同類項，不是則為前者配一個.
√
×
3abc
√
×
5x2y
總結
同類項的判別方法：
只與字母及其指數有關，與系數無關，
與字母排列順序無關.
計算：x4－3x2y＋5x3＋7x2y＋4.
解：原式＝x4－3x2y＋7x2y＋5x3＋4
＝x4＋(－3x2y＋7x2y)＋5x3＋4
＝x4＋(－3＋7) x2y＋5x3＋4
＝x4＋4x2y＋5x3＋4.
思考：每一步分別用了什么運算律？
交換律
結合律
分配律
合并同類項
合并同類項：
在多項式中，要把同類項的系數相加合并成 ，這叫作合并同類項.
一項
合并同類項法則：
合并同類項后，所得項的系數是合并前各同類項的系數的 ，且字母連同它的 不變．
和
指數
例1 把下列多項式合并同類項：
2x3-9x3+x2-7；
-3x2y2+5xy3-7x2y2-8xy3-10 .
解： (1) 2x3-9x3+x2-7
= (2-9) x3+x2-7
= -7x3+x2-7 .
(2) -3x2y2+5xy3-7x2y2-8xy3-10
=(-3-7)x2y2 +(5-8) xy3 -10
=-10x2y2 -3xy3 -10 .
三次三項式
四次三項式
歸納
“合并同類項”的方法:
一找，找出多項式中的同類項，不同類的同類項用
不同的標記標出;
二移，利用加法的交換律，將不同類的同類項集
中到一起;
三合，將同一括號內的同類項相加即可.
系數相加，字母和字母的指數不變.
在把多項式合并同類項后，一般要把它的各項按照一定的次序排列：
把只有一個字母的多項式的各項按照該字母的指數由大到小(或由小到大)排列，稱為降冪(或升冪)排列.
習慣上，把只有一個字母的多項式按降冪排列.
-x4+5x3-3x2-7x+12
12-7x-3x2+5x3-x4
降冪排列
升冪排列
習慣上，把含有多個字母的多項式按照其中某個字母進行降冪排列.
按 x 降冪排列
3x4y -5x3y2+7x2y4 -xy3+xy+y2-13
你能試著將上述式子按照 y 降冪排列？
7x2y4-xy3-5x3y2+y2+3x4y+xy-13
例2：寫出下列多項式的次數和常數項，并指出它們是不是按x降冪排列，對于不是按x降冪排列的多項式，試著按x進行降冪排列：
解： 的次數是5，常數項是
10，且是按x的降冪排列
例2 寫出下列多項式的次數和常數項，
并指出它們是不是按x降冪排列，對于不是按x降冪排列的多項式，試著按 x 進行降冪排列:
(2) 5x2y4-2x3y2+6xy3-7y-19 .
解：(2) 5x2y4-2x3y2+6xy3-7y-19 的次數是 6，
常數項是 -19，它不是按 x 降冪排列，按x 降冪排列應為-2x3y2+5x2y4+6xy3-7y-19 .
分別將多項式 x3-4x2+7x2-2x-5 與多項式x3+3x2-6x+4x-5 合并同類項，你會發現什么
分別將兩個多項式合并同類項后，均等于x3+3x2-2x-5 .
兩個多項式分別合并同類項后，如果它們的對應項系數都相等，那么稱這兩個多項式相等.
若多項式ax2+ bxy2-cy與多項式dx2- exy2相等，其中a，b，c，d ，e均為常數，則 a=d， b=-e，-c=0.
1.找出下面的同類項：
解：2x3與-4x3是同類項；
xy2與-7xy2是同類項；
-5x與3x是同類項；
2.把下列多項式合并同類項，并指出它們分別是幾次幾項式.
(1) 6x4-5x4+7x2-3x4+8；
(2) 8x4y-5x3y-6x4y+2x3y+ 9xy-11.
解：(1) 6x4-5x4+7x2-3x4+8
=-2x4+7x2+8
四次三項式
(2) 8x4y-5x3y-6x4y+2x3y+ 9xy-11.
=2x4y-3x3y+ 9xy-11
五次四項式
3.指出下列多項式是不是按 x 降冪排列，對于不是按 x 降冪排列的多項式，按 x 進行降冪排列：
(1) x4-3x2+5x-1；
(2) x2y3-5x3y+7xy2-6y2-23；
(3) 3xy4-4x4-7x3+6x2-5x+2y-7.
是
不是
不是
-5x3y+x2y3+7xy2-6y2-23
-4x4-7x3+6x2+3xy4-5x+2y-7
4.已知下列兩個多項式相等，求常數a，b的值.
x3 – 5x2+3x2 – 7x+2，x3+ax2+bx+2 .
x3 – 5x2+3x2 – 7x+2
= x3 – 2x2 – 7x+2
= x3+ ax2+ bx+2
解：
所以 a= – 2，b= – 7
所含 相同，并且相同字母的 也相同的項叫做同類項；幾個 也是同類項
合并同類項
概念
法則
合并同類項后，所得項的系數是合并前各同類項的 的和，且字母連同它的 不變
用整式表示數量關系并合并同類項
字母
指數
應用
把同類項的系數相加合并成 ,叫作合并同類項
在多項式求值時，可以先將多項式中的同類項合并，然后再代入求值，這樣可以簡化計算
常數項
一項
系數
指數

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