資源簡介

(共17張PPT)
13.4 課題學習 最短路徑問題
復習引入
1.軸對稱的性質：
3.垂直平分線的性質：
對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線。
2.垂直平分線：
經過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線。
經過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線。
4.如圖，連接A、B兩點的所有連線中，哪條最短？為什么？
A
B
①
②
③
②最短，因為兩點之間，線段最短。
P
l
A
B
C
D
5.如圖，點P是直線l外一點，點P與該直線l上各點連接的所有線段中，哪條最短？為什么？
PC最短，因為垂線段最短。
6.在我們前面的學習中，還有哪些涉及比較線段大小的基本事實？
三角形三邊關系：兩邊之和大于第三邊；
斜邊大于直角邊。
7.如圖，如何做點A關于直線l的對稱點？
A
l
A ′
A
B
①
②
③
P
l
A
B
C
D
“兩點的所有連線中，線段最短”“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱之為最短路徑問題。
現實生活中經常涉及到選擇最短路徑問題，今天我們一起利用數學知識探究數學史的著名的“牧馬人飲馬問題”、“造橋選址問題”，解決一些實際問題。
抽象成
C
A
B
l
數學問題
數學問題：在直線l上求作一點C,使AC+BC最短問題。
實際問題
探究點1.相傳，古希臘有一位久負盛名的學者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：從圖中的A地出發，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地．到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？我們能幫助這位將軍解決這個問題嗎？
首先，我們怎么把這個問題變成數學問題？
講授新課
A
l
B
C
問題1 現在假設點A,B分別是直線l異側的兩個點，如何在l上找到一個點，使得這個點到點A，點B的距離的和最短？
連接AB,與直線l相交于一點C.
根據是“兩點之間，線段最短”，可知這個交點即為所求。
A
B
l
問題2 如果點A,B分別是直線l同側的兩個點，又應該如何解決？
想一想：對于問題2，如何將點B“移”到l 的另一側B′處，滿足直線l 上的任意一點C，都保持CB 與CB′的長度相等，這樣就變成了問題1的形式？
利用軸對稱，作出點B關于直線l的對稱點B′。
B
A
B
l
B ′
C
（2）連接AB′，與直線l 相交于點C。
則點C 即為所求．
作法：
（1）作點B 關于直線l 的對稱點B′；
A
B
l
B ′
C
C ′
問題3　你能用所學的知識證明AC +BC最短嗎？
證明：如圖，在直線l上任取一點C′(與點C不重合)，連接AC′，BC′，B′C′。
由軸對稱的性質知：
BC =B′C，BC′=B′C′。
∴AC +BC= AC +B′C = AB′，
∴AC′+BC′= AC′+B′C′。
在△AB′C′中，
AB′＜AC′+B′C′，
∴　AC +BC＜AC′+BC′，即AC+BC最短。
探究點2：造橋選址問題
如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現要在河上造一座橋MN.橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）？
抽象成數學問題
數學問題：如圖，假定任選位置造橋MN，連接AM和BN，從A到B的路徑是AM+MN+BN，那么怎樣確定什么情況下最短呢？
這個問題和探究點1有聯系嗎？能不能變為探究點1呢？
由于河寬不變，因此我們可以把河岸a以上一起向下平移就可化為探究點1的情形。
a
b
A
B
A/
N
M
B
A
A1
M
N
理由:另任作橋M1N１，連接AM１，BN１，A１N１.
Ｎ１
Ｍ１
由平移性質可知，AM＝A１N，AA１＝MN＝M１N１，AM１＝A１N１.
AM+MN+BN轉化為ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１轉化為ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.
在△A１N１B中，因為A1N1+BN1＞A1B.
因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN.
如圖，平移A到A1，使AA1等于河寬，連接A1B交河岸于N作橋MN，此時路徑AM+MN+BN最短。
方法歸納
在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱、平移等變換把未知問題轉化為已解決的問題，從而作出最短路徑的選擇。
強化練習 鞏固提高
1.如圖，已知點D、點E分別是等邊三角形ABC中BC、AB邊的中點，AD=5，點F是AD邊上的動點，則BF+EF的最小值為（　　）
A.7.5 B．5 C．4 D．不能確定
2.如圖，直線l是一條河，P、Q是兩個村莊.欲在l上的某處修建一個水泵站，向P、Q兩地供水，現有如下四種鋪設方案，圖中實線表示鋪設的管道，則所需要管道最短的是（ ）
B
D
A B C D
（第1題 ） （第2題）
3.如圖，直線m同側有A、B兩點，A、A′關于直線m對稱，A、B關于直線n對稱，直線A′B與m和n分別交于P、Q，下面的說法正確的是（　）
A．P是m上到A、B距離之和最短的點，Q是m上到A、B距離相等的點
B．Q是m上到A、B距離之和最短的點，P是m上到A、B距離相等的點
C．P、Q都是m上到A、B距離之和最短的點
D．P、Q都是m上到A、B距離相等的點
A
A
D
D ′
C
C′
E
E′
B
4.如圖，拉薩河在CC/處直角轉彎，河寬相同，從A處到B處，須經兩座橋：DD/,EE/（橋寬不計），設護城河以及兩座橋都是東西、南北方向的，怎樣架橋可使ADD/E/EB的路程最短？
解：作AF⊥CD,且AF=河寬，作BG ⊥CE，且BG=河寬，連接GF,與河岸相交于E/,D/.作DD/,EE/即為橋。
A
D ′
C
C′
E
E′
B
F
G
D
理由：由作圖法可知，AF//DD/，AF=DD/，
則四邊形AFD/D為平行四邊形，
于是AD=FD/,
同理，BE=GE/，
由兩點之間線段最短可知，GF最小.
課堂小結

展開更多......

收起↑