資源簡介

(共22張PPT)
13.3.2 等邊三角形的性質與判定
1．探索等邊三角形的性質和判定．（重點）
2．能運用等邊三角形的性質和判定進行計算和證明．（難點）
學習目標
在一次探究活動中,張老師給同學們出了一道題目:“如果等腰三角形有一個角是60°,那么這個三角形的三邊有什么關系？
一、情景導入
小羊：假設底角為60°,得出了三個角都是60°;
小玲：假設頂角為60°,也得出了三個角都是60°
根據“等角對等邊”,最后得出結論:三邊都相等。
小羊：三條邊都相等的三角形是等邊三角形,而不是等腰三角形。
小玲：等邊三角形也是等腰三角形,只是比一般的等腰三角形特殊而已
誰說的對呢？
幾何語言表示：
∵　△ABC 是等邊三角形
∴　∠A =∠B =∠C =60°
等邊三角形的性質
A
B
C
A
B
C
問題1 等邊三角形的三個內角之間有什么關系？
等腰三角形
AB=AC
∠B=∠C
等邊三角形
AB=AC=BC
∠A=∠B=∠C=60°
內角和為180°
探索新知
∵AB=AC
∴∠A=∠B
∵AC=BC
∴∠B=∠C
∴∠A=∠B=∠C
已知：AB=AC=BC ，求證：∠A= ∠ B=∠C= 60°.
探索新知
A
B
C
證明：∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵AB=BC
∴∠A=∠C
∴∠A=∠B=∠C
∵ ∠A+∠B+∠C=180°
∴ ∠A= ∠B= ∠C=60 °
結論：等邊三角形的三個內角都相等，并且每一 個角都等于60°.
A
B
C
A
B
C
問題2 等邊三角形有“三線合一”的性質嗎 等邊三角形有幾條 對稱軸？
頂角的平分線、底邊的高、
底邊的中線
三線合一
一條對稱軸
三條對稱軸
探索新知
結論:等邊三角形每條邊上的中線,高和所對角的平分線
都“三線合一”.
想一想：等邊三角形除了用定義（即用邊）來判定以外，還 能用什么來判定？要滿足什么條件才能判定？
探索等邊三角形的判定
方法1：三邊相等的三角形是等邊三角形.
幾何語言表示：
∵　AB=AC=BC
∴　△ABC 是等邊三角形
探索等邊三角形的判定
方法2：三個角相等的三角形是等邊三角形.
在△ABC 中，∠A=∠B=∠C．
已知：
求證：
△ABC是等邊三角形
幾何語言表示：
∵　∠A =∠B =∠C
∴　△ABC 是等邊三角形
證明：∵　∠A =∠B，∠B =∠C
　 ∴　BC =AC， AC =AB
　 ∴　AB =BC =AC
∴　△ABC 是等邊三角形
我思我進步
三邊相等
三角相等
一個角是60o
探索等邊三角形的判定
方法3：有一個角是60o的等腰三角形是等邊三角形.
在△ABC 中，∠A =60°，BC =AC
已知：
求證：
△ABC是等邊三角形
幾何語言表示：
∵　∠A =60o,BC =AC
∴　△ABC 是等邊三角形
證明：∵　∠A =60o,BC =AC
　 ∴　∠A =∠B= 60o
　 ∴　∠C =180o-∠A -∠B= 60o
∴　∠A =∠B= ∠C
∴　△ABC 是等邊三角形
歸納判定等邊三角形的方法
方法1：三邊相等的三角形是等邊三角形.
方法2：三個角都相等的三角形是等邊三角形.
方法3：有一個角是60o的等腰三角形是等邊三角形.
例3 如圖,在等邊三角形ABC中，DE∥BC,
求證：△ADE是等邊三角形.
證明：
∵△ABC是等邊三角形
∴∠A= ∠B= ∠C
∵DE//BC
∴∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.
∴∠A= ∠ADE= ∠ AED.
∴△ADE是等邊三角形
想一想：本題還有其他證法嗎？
典例精析
A
B
C
D
E
變式1 等邊三角形ABC中若點D、E 在邊AB、AC 的延長線上，
且DE∥BC，△ADE是等邊三角形？
變式訓練
A
B
C
D
E
證明：∵△ABC 是等邊三角形
∴∠A =∠ABC =∠ACB =60°
∵DE∥BC
∴∠ABC =∠D,∠ACB =∠E
∴∠A =∠D =∠E
∴△ADE 是等邊三角形
變式2 若點D、E 在邊AB、AC 的反向延長線上，且DE∥BC， 求證：△ADE 是等邊三角形
變式訓練
證明：∵△ABC 是等邊三角形
∴∠BAC =∠B =∠C =60°
∵DE∥BC
∴∠B =∠D，∠C =∠E
∴∠EAD =∠D =∠E
∴△ADE 是等邊三角形
A
B
C
D
E
證明：
∵△ABC是等邊三角形
∴∠A=60°
∵AD=AE
∴△ADE是等邊三角形
變式訓練
變式3 若點D、E 在邊AB、AC 上，且AD=AE， 求證：△ADE 是等邊三角形
A
B
C
D
E
當堂練習
1.已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，則△ABC的周長為______cm.
9
2.如圖，等邊三角形ABC的三條角平分線交于點O，DE∥BC，則這個圖形中的等腰三角形共有（ ）
A. 4個 B. 5個 C. 6個 D. 7個
D
A
C
B
D
E
O
B
C
D
A
E
3.如圖，等邊三角形ABC中,BD是AC邊上的中線,BD=BE,求∠EDA的度數.
解：
∵ △ABC是等邊三角形，
∴∠CBA=60°.
∵BD是AC邊上的中線，
∴∠BDA=90°, ∠DBA=30 °.
∵ BD=BE，
∴ ∠BDE=(180 °- ∠DBA) ÷2 =(180°-30°) ÷2=75°.
∴ ∠EDA=90 °- ∠BDE=90°-75°=15°.
例1 如圖，△ABC是等邊三角形，E是AC上一點，D是BC延長線上一點，連接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度數．
解：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵∠ABE＝40°，
∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.
∵BE＝DE，
∴∠D＝∠EBC＝20°，
∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.
典例精析
4.如圖，A、O、D三點共線，△OAB和△OCD是兩個全等的等邊三角形，求∠AEB的大小.
C
B
O
D
A
E
解：
∵△OAB和△OCD是兩個全等的等邊三角形.
∴AO=BO,CO=DO, ∠AOB=∠COD=60°.
∵ A、O、D三點共線，
∴ ∠DOB=∠COA=120°，
∴ △COA ≌△DOB(SAS).
∴ ∠DBO=∠CAO.
設OB與EA相交于點F,
∵ ∠EFB=∠AFO，
∴ ∠AEB=∠AOB=60°.
F
5、如圖13－3－30所示，△ABC是等邊三角形，AD為BC邊上的中線，AD＝AE，求∠EDC的度數．
四、隨堂練習
解：
∵ △ABC是等邊三角形，
∴∠CBA=60°.
∵BD是AC邊上的中線，
∴∠BDA=90°, ∠DBA=30 °.
∵ BD=BE，
∴ ∠BDE=(180 °- ∠DBA) ÷2
=(180°-30°) ÷2=75°.

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