資源簡介

配套初中數學湘教新版
第三章 一次方程（組）
3.1 等量關系和方程
一、教學目標
1. 能通過對實際問題的分析，歸納并理解方程和一元一次方程的概念.
2. 估算使方程左右兩邊相等的未知數的值，理解方程的解的概念.
3. 會根據簡單的實際問題列出一元一次方程.
4. 經歷把實際問題抽象為數學方程的過程，認識到方程是刻畫現實世
界的一種有效的數學模型，初步體會建立數學模型的思想.
二、教學重難點
重點：理解方程和一元一次方程的概念.
難點：根據實際問題列一元一次方程.
三、教學用具
電腦、多媒體、課件、教學用具等
教學過程設計
環節一 創設情境
【復習回顧】
教師活動：教師出示練習，引導學生觀察并思考.
用式子表示下列數量關系.
(1)5箱蘋果重m kg，每箱重________ kg ；
(2)一個數比a的2倍小15，則這個數為 ；
(3)全校學生總數是x，其中女生占總數的52%，則女生人數是 ，男生人數是 ；
(4)某班有a名學生，現把一批圖書分給全班學生閱讀，如果每人分4本，還缺25本，則這批圖書共 本.
預設答案：
(1)
(2)2a-15
(3)0.52x；0.48x
(4)(4a-25)
一般情況下，可以用字母來表示數，從而列出一些數量關系，今天我們將試著用字母來解決這樣的問題！
設計意圖：通過復習用式子表示數量關系，感受可以用字母表示數的實際意義，為本節課學習方程奠定基礎.
環節二 探究新知
【思考】
1.為進一步推動全民健身，弘揚體育精神，凝聚奮進力量，某地區于今年 9 月舉辦了一次中學生籃球聯賽. 比賽規則為：勝一場得 2 分，輸一場得 1 分. 若某校初中男子籃球隊參加了 14 場比賽，共得 26 分.
(1) 其中蘊含怎樣的等量關系
預設答案：
勝的場數得分＋輸的場數得分＝總得分.
追問：還有其它的等量關系嗎？
預設答案：
勝場數＋輸的場數＝總比賽場數.
(2) 如果設該隊勝了 x場，那么你能根據等量關系列出怎樣的等式
預設答案：設該隊勝了 x場，則輸了(14-x)場.
可得等式，2x+(14-x)=26 .
2.下圖是一個長方體形狀的包裝盒示意圖，長為 1.2 m， 高為 1 m，表面積為 6.8 m2.
(1) 其中蘊含怎樣的等量關系
預設答案：
(長×寬＋寬×高＋長×高)×2=表面積
(2) 如果設包裝盒底面的寬是 y m，那么你能根據等量關系列出怎樣的等式
預設答案：
可得等式，2.4y＋2y＋2.4＝6.8.
設計意圖：讓學生通過分析題中的數量關系，并列出等式，體會用字母表示數在解決實際問題中的作用，提升學習的積極性和探索欲.
【觀察】
觀察下列兩式，這兩個式子有什么樣的特點？
2x+(14-x)=26，2.4y＋2y＋2.4＝6.8.
預設答案：
①都是用不同的代數式表示相等的量；
②這些式子都是等式.
③都只含有1個未知數.
④未知數的次數為1.
小結：
上式中的 x，y 叫作未知數，含有未知數的表示等量關系的等式叫作方程.
只含有一個未知數，并且未知數的次數是1，這樣的方程叫作一元一次方程.
設計意圖：通過觀察，歸納總結，培養學生認真思考，敢于表達的學習態度，明確方程和一元一次方程的概念.
【練一練】
判斷下列各式是不是一元一次方程：
①2x2－5＝4； ②－m＋8＝1； ③x＝1； ④x＋y＝1； ⑤x＋3>0； ⑥2x2－2(x2－x)＝1
⑦ 7=4 ; ⑧πx＝12.
提示：判斷一個方程是一元一次方程，化簡后必須滿足三個條件：
①只含有一個未知數；
②未知數的指數是 1；
③方程中的代數式都是整式.
預設答案：②③⑥⑧.
設計意圖：通過練一練，熟練一元一次方程的概念，并學會如何判斷.
【做一做】
《孫子算經》是我國古代重要的數學著作，成書于公元 400 年前后，傳本共有上、中、下三卷.下卷有許多著名數學題，如第 31 題就是有趣的“雞兔同籠”問題：有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數有 35 個頭，從下面數有 94 只腳. 問籠中各有多少只雞和兔
(1) 找出，上述趣題中的等量關系；
預設答案：兔的只數＋雞的只數＝35；
兔的腳數＋雞的腳數＝94.
(2) 適當設未知數，列出一元一次方程.
解：設兔有x只，則雞有 (35－x) 只.
由于每只兔有 4 只腳，每只雞有 2 只腳，并且籠子里總共有 94 只腳，
因此，可得如下一元一次方程：
4x + 2(35 - x) = 94
將方程左邊的多項式整理得
4x + 2(35 - x) = 4x + (70 - 2x) = 2x + 70
從而原方程變為：2x + 70 = 94
追問：怎么求出x的值？
【議一議】
如何找到一個數，使方程2x + 70 = 94左、右兩邊的值相等
預設答案：
由上可知，只有一個數12 符合條件.
想一想：為什么x取正整數估算
預設答案：x是兔子的只數，需符合實際意義.
定義：對于含有一個未知數 x 的方程，若 x 用一個數 c 代入能使方程左、右兩邊的值相等，這個數 c 就是這個方程的一個解.習慣上記作 x = c.
由上可知，12是方程2x + 70 = 94的唯一解.于是上述趣題中兔有12只，雞有23只.
對于一些較簡單的方程，可以先確定未知數的一個較小的取值范圍，然后在此范圍內估算出方程的解，這種方法是解決問題的一種重要策略.
設計意圖：通過做一做環節，體會根據實際問題列出方程，并通過估算的方式探究方程的解，從而引出方程的解的概念.
環節三 應用新知
【典型例題】
例 分別檢驗x的下列值是否是方程 2.5x + 318 = 1068 的解.
x= 300； (2) x = 330.
提示：檢驗x的值是否是方程的解，只需代入x的值，可左右兩邊是否相等.
解：(1) 把 x 用 300 代入原方程得，
左邊 = 2.5×300＋318= 1 068，
左邊 = 右邊，
所以 x = 300 是方程 2.5x＋318 = 1068 的解.
(2) 把 x 用 330 代入原方程得，
左邊 = 2.5×330 + 318 = 1 143，
左邊 ≠ 右邊，
所以 x= 330 不是方程 2.5x＋318 = 1 068 的解.
設計意圖：通過例題，讓學生進一步掌握方程的解，培養學生應用所學知識解決問題的能力.
環節四 鞏固新知
教師給出練習，隨時觀察學生完成情況并相應指導，最后給出答案，根據學生完成情況適當分析講解.
【隨堂練習】
1.下列等式中，是方程的是( )
①6－1＝5； ②x2＋x＝6；③ ＋2＝10； ④5x＋8y＝40； ⑤9＋8x.
①②③④⑤ B.②③④ C. ①②③④ D.②③④⑤
答案：B
2. 下列方程中，解為 x＝－2 的是(　　)
A. 3x－2＝2x B. 4x－1＝2x＋3
C. 3x＋1＝2x－1 D. 5x－3＝6x－2
答案：C.
3. 若 x＝4 是關于x的方程ax＝8的解，則a的值為______.
答案：2.
4. 在一次植樹活動中，甲班植樹的株數比乙班多 20%，乙班植樹的株數比甲班的一半多 10 株. 設乙班植樹 x 株.
(1) 列兩個不同的含x的代數式，分別表示甲班植樹的株數.
(2) 根據題意列出含未知數x的方程.
(3) 檢驗乙班、甲班植樹的株數是不是分別為25株和35株.
解：(1) 根據甲班植樹的株數比乙班多 20%，得甲班植樹的株數為 (1 + 20%)x；根據乙班植樹的株數比甲班的一半多 10 株，得甲班植樹的株數為 2(x - 10).
(2)(1 + 20%)x = 2(x - 10).
(3)把x = 25分別代入方程的左邊和右邊，得
左邊 = (1 + 20%)×25 = 30，右邊 = 2×(25 - 10)=30.
因為左邊 = 右邊，
所以 25 是方程 (1 + 20%)x = 2(x - 10)的解.
這就是說乙班植樹的株數是 25 株，從上面檢驗過程可得甲班植樹的株數是 30 株，而不是 35 株.
設計意圖：通過課堂練習及時鞏固本節課所學內容，并考查學生的知識應用能力，培養學生獨立完成練習的習慣.
環節五 課堂小結
思維導圖的形式呈現本節課的主要內容：
設計意圖：通過小結總結回顧本節課學習內容，幫助學生歸納、鞏固所學知識.(共20張PPT)
—— 第三章 一次方程(組)——
等量關系和方程
3.1 等量關系和方程
配套湘教版（新課標）
1. 能通過對實際問題的分析，歸納并理解方程和一元一次方程的概念.
2. 估算使方程左右兩邊相等的未知數的值，理解方程的解的概念.
3. 會根據簡單的實際問題列出一元一次方程.
4. 經歷把實際問題抽象為數學方程的過程，認識到方程是刻畫現實世
界的一種有效的數學模型，初步體會建立數學模型的思想.
用式子表示下列數量關系.
(1)5箱蘋果重m kg，每箱重 kg ；
(2)一個數比a的2倍小15，則這個數為 ；
(3)全校學生總數是x，其中女生占總數的52%，則女生人數是 ，男生人數是 ；
(4)某班有a名學生，現把一批圖書分給全班學生閱讀，如果每人分4本，還缺25本，則這批圖書共 本.
2a-15
0.52x
0.48x
(4a-25)
一般情況下，可以用字母來表示數，從而列出一些數量關系，今天我們將試著用字母來解決這樣的問題！
問：(1) 其中蘊含怎樣的等量關系
為進一步推動全民健身，弘揚體育精神，凝聚奮進力量，某地區于今年 9 月舉辦了一次中學生籃球聯賽. 比賽規則為：勝一場得 2 分，輸一場得 1 分. 若某校初中男子籃球隊參加了 14 場比賽，共得 26 分.
勝的場數得分＋輸的場數得分＝總得分.
還有其它的等量關系嗎？
勝場數＋輸的場數＝總比賽場數.
為進一步推動全民健身，弘揚體育精神，凝聚奮進力量，某地區于今年 9 月舉辦了一次中學生籃球聯賽. 比賽規則為：勝一場得 2 分，輸一場得 1 分. 若某校初中男子籃球隊參加了 14 場比賽，共得 26 分.
(2) 如果設該隊勝了 x場，那么你能根據等量關系列出怎樣的等式
設該隊勝了 x場，則輸了(14-x)場.
勝的場數得分＋輸的場數得分＝總得分.
2x
1×(14-x)
+ =
26
即：2x+(14-x)=26
下圖是一個長方體形狀的包裝盒示意圖，長為 1.2 m， 高為 1 m，表面積為 6.8 m2.
(1) 其中蘊含怎樣的等量關系
(長×寬＋寬×高＋長×高)×2=表面積
(2) 如果設包裝盒底面的寬是 y m，那么你能根據等量關系列出怎樣的等式
(長×寬＋寬×高＋長×高)×2=表面積
1.2×y
( + + )×2=
y×1
1.2×1
6.8
即：2.4y＋2y＋2.4＝6.8
2x + (14 - x) = 26
2.4y＋2y＋2.4＝6.8
1. 上式中的 x，y 叫作未知數，含有未知數的表示等量關系的等式叫作方程.
2. 只含有一個未知數，并且未知數的次數是1，這樣的方程叫作一元一次方程.
觀察下列兩式，這兩個式子有什么樣的特點？
①只含有一個未知數；
②未知數的指數是 1；
③方程中的代數式都是整式.
判斷一個方程是一元一次方程，化簡后必須滿足三個條件：
判斷下列各式是不是一元一次方程：
所以第②③⑥⑧是一元一次方程
《孫子算經》是我國古代重要的數學著作，成書于公元 400 年前后，傳本共有上、中、下三卷.下卷有許多著名數學題，如第 31 題就是有趣的“雞兔同籠”問題：有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數有 35 個頭，從下面數有 94 只腳. 問籠中各有多少只雞和兔
(1) 找出，上述趣題中的等量關系；
兔的只數＋雞的只數＝35；
兔的腳數＋雞的腳數＝94.
解：設兔有 x 只，則雞有 (35－x) 只.
由于每只兔有 4 只腳，每只雞有 2 只腳，并且籠子里總共有 94 只腳，
因此，可得如下一元一次方程：
4x + 2(35 - x) = 94
將方程左邊的多項式整理得
4x + 2(35 - x) = 4x + (70 - 2x) = 2x + 70
(2) 適當設未知數，列出一元一次方程.
從而原方程變為：2x + 70 = 94
怎么求出 x 的值？
如何找到一個數，使方程2x + 70 = 94左、右兩邊的值相等
估計x的值 方程左邊的值 與方程右邊的值94比較
第1次估算 10
第2次估算 15
第3次估算 13
第4次估算 12
第5次估算 11
90
小了
100
大了
96
大了
94
相等
92
小了
由上可知，只有一個數12 符合條件.
為什么x取正整數估算
對于含有一個未知數 x 的方程，若 x 用一個數 c 代入能使方程左、右兩邊的值相等，這個數 c 就是這個方程的一個解.習慣上記作 x = c.
由上可知，12是方程2x + 70 = 94的唯一解.于是上述趣題中兔有 12只，雞有23只.
對于一些較簡單的方程，可以先確定未知數的一個較小的取值范圍，然后在此范圍內估算出方程的解，這種方法是解決問題的一種重要策略.
例 分別檢驗 x 的下列值是否是方程 2.5x + 318 = 1068 的解.
(1) x = 300； (2) x = 330.
解：(1) 把 x 用 300 代入原方程得，
左邊 = 2.5×300＋318= 1 068，
左邊 = 右邊，
所以 x = 300 是方程 2.5x＋318 = 1068 的解.
檢驗x的值是否是方程的解，只需代入x的值，可左右兩邊是否相等.
例 分別檢驗 x 的下列值是否是方程 2.5x + 318 = 1068 的解.
(1) x = 300； (2) x = 330.
解：(2) 把 x 用 330 代入原方程得，
左邊 = 2.5×330 + 318 = 1 143，
左邊 ≠ 右邊，
所以 x = 330 不是方程 2.5x＋318 = 1 068 的解.
B
解：①不含未知數；⑤不是等式；
而②③④是含有未知數的等式，符合方程的定義.
1.下列等式中，是方程的是（ ）
2. 下列方程中，解為 x＝－2 的是(　　)
A. 3x－2＝2x B. 4x－1＝2x＋3
C. 3x＋1＝2x－1 D. 5x－3＝6x－2
C
3. 若 x＝4 是關于 x 的方程 ax＝8 的解，則 a 的值為______.
2
4. 在一次植樹活動中，甲班植樹的株數比乙班多 20%，乙班植樹的株數比甲班的一半多 10 株. 設乙班植樹 x 株.
(1) 列兩個不同的含 x 的代數式，分別表示甲班植樹的株數.
(2) 根據題意列出含未知數 x 的方程.
解：(1) 根據甲班植樹的株數比乙班多 20%，得甲班植樹的株數為 (1 + 20%)x；根據乙班植樹的株數比甲班的一半多 10 株，得甲班植樹的株數為 2(x - 10).
(2) (1 + 20%)x = 2(x - 10).
4. 在一次植樹活動中，甲班植樹的株數比乙班多 20%，乙班植樹的株數比甲班的一半多 10 株. 設乙班植樹 x 株.
(3) 檢驗乙班、甲班植樹的株數是不是分別為25株和35株.
解：把 x = 25 分別代入方程的左邊和右邊，得
左邊 = (1 + 20%)×25 = 30，右邊 = 2×(25 - 10)=30.
因為左邊 = 右邊，
所以 25 是方程 (1 + 20%)x = 2(x - 10)的解.
這就是說乙班植樹的株數是 25 株，從上面檢驗過程可得甲班植樹的株數是 30 株，而不是 35 株.
方程：
方程的解：
認識方程
含有未知數的表示等量關系的等式叫作方程.
一元一次方程：
只含有一個未知數，并且未知數的次數是1，這樣的方程叫作一元一次方程.
使方程左、右兩邊的值相等的未知數的值叫作方程的解.

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