資源簡介

第三章 一次方程（組）
3.5 認識二元一次方程組
一、教學目標
1. 了解二元一次方程、二元一次方程組和它的一個解的含義.
2. 能根據簡單的實際問題列二元一次方程組，會檢驗一對數是不是某個二元一次方程 (組) 的解.
3. 通過問題情境得出二元一次方程 (組)，體會方程 (組)是刻畫現實世界的一個有效模型，同時培養學生探究創新的精神，增強合作交流的意識.
4.實際生活與數學息息相關，存在緊密的聯系，增強學生學習數學的興趣.
二、教學重難點
重點：理解二元一次方程(組)及其解的有關概念．
難點：二元一次方程(組)的解.
三、教學用具
多媒體課件
教學過程設計
環節一 創設情境
教師活動：通過情景設置，讓學生對學習內容更加感興趣
《九章算術》中有一題:“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉免各幾何.”大意為:有若干只雞和兔同在一個籠子里，從上面數有35個頭，從下面數有94只腳.問籠中各有多少只雞和兔？
(1) 找出，上述趣題中的等量關系：
兔的只數＋雞的只數＝35；
兔的腳數＋雞的腳數＝94.
(2) 根據等量關系，你能列出一元一次方程嗎？
解：設兔有 x 只，則雞有 (35－x) 只.
根據題意，可列方程
4x + 2(35－x) = 94.
思考：能否設兩個未知數解決呢？
設計意圖：通過情境問題，得到列一個未知數能解決實際問題，在此基礎上引發學生思考，列兩個未知數是否可以解決，從而引出本節課將要學習的內容.
環節二 探究新知
教師活動：通過嘗試用二元一次方程解決情境問題，從而歸納得出二元一次方程的概念.
【思考】
若上述趣題，設兔有 x 只，雞有 y 只，你能根據兩個等量關系列出兩個方程嗎？
分析：兔的只數＋雞的只數＝35；兔的腳數＋雞的腳數＝94.
設兔有 x 只，雞有 y 只，根據等量關系，列出方程:
x＋y＝35，4x＋2y＝94
【觀察】
觀察方程x＋y＝35和4x＋2y＝94，它們有什么共同的特征？能否類比一元一次方程嘗試總結定義？
上述兩個方程都含有兩個未知數，并且含未知數的項的次數都是 1，這樣的方程叫作二元一次方程.
注意：(1)“一次”是指含未知數的項的次數是 1，而不是未知數的次數，如含有 xy 項的方程就不是一次方程；
(2) 兩個未知數，方程的左右兩邊都是整式.
設計意圖：對比所列出的方程的共同特征，總結歸納得出二元一次方程的概念，培養學生發現問題和解決問題的能力.
【做一做】
判斷下列方程是否為二元一次方程：
(1)4y-3z=z+6; (2)2y+1.5x;
(3)x +2y=0; (4)x=+1;
(5)2x +2x+y=2x ; (6)4-xy=0.
預設：（1）（5）是，其它的都不是.
總結：判斷要點：①是否為整式方程；②是否含兩個未知數；③未知數次數是否為 1；④化簡后未知數的系數不為 0.
設計意圖：鞏固二元一次方程的概念.
【思考】
如何解決上述“雞兔同籠”問題呢？
要解決上述問題，兩個等量關系需要同時成立，也即未知數x,y需同時滿足方程x＋y＝35和4x＋2y＝94.
預設：用大括號聯立起來.
像這樣，只含有兩個未知數，并且含未知數的項的次數都是 1 的方程組叫作二元一次方程組.
設計意圖:通過思考環節，明確二元一次方程組的概念.
【做一做】
滿足方程 x＋y＝35，且符合問題的實際意義 (雞兔的只數) 的值有哪些？把它們填入表中.
思考1 如果不考慮方程表示的實際意義，還可以取哪些值？這些值是有限的嗎？
預設：還可以取一些非整數，一般地，一個二元一次方程有無數組解.
思考2 上述表格中是否存在同時滿足方程①和方程②的值呢？
預設：存在x=12,y=23.
一般地，使二元一次方程左右兩邊的值相等的兩個未知數的值，叫作二元一次方程的解.
一般地，對于未知數為 x，y 的二元一次方程組，若 x，y 分別用數 c1，c2 代入，能使每個方程左右兩邊的值相等，則把 (c1，c2) 叫作這個方程組的一個解.
習慣上記作 ,求方程組的解的過程叫作解方程組.
設計意圖：通過做一做環節，讓學生初步體驗二元一次方程（組）的解，并由此歸納得出二元一次方程（組）的解.
環節三 應用新知
【典型例題】
教師提出問題，學生先獨立思考，解答.然后再小組交流探討，如遇到有困難的學生適當點撥，最終教師展示答題過程.
例 小玲在文具店買了 3 本練習本，2 支圓珠筆，共花去 17 元，其中購買練習本比圓珠筆多花 1 元.
(1) 設練習本的單價是 x 元，圓珠筆的單價是 y 元，試列出相應的二元一次方程組.
(2) ,是列出的二元一次方程組的一個解嗎？
分析：本題中等量關系如下：
購買練習本所花的錢＋購買圓珠筆所花的錢＝17 元，
購買練習本所花的錢－購買圓珠筆所花的錢＝1 元.
解：(1)根據等量關系，得方程組
（2）(2)把 x 用 3，y 用 4 分別代入方程 ①② 可得：
方程 ① 左邊的值是 3×3＋2×4＝17，
方程①右邊的值也是 17；
方程 ② 左邊的值為 3×3－2×4＝1，
方程②右邊的值也是 1.
因此，是列出的二元一次方程組的一個解.
設計意圖：鞏固列二元一次方程組解決實際問題及二元一次方程的解，培養學生的歸納總結能力.
環節四 鞏固新知
【隨堂練習】
教師給出練習，隨時觀察學生完成情況并相應指導，最后給出答案，根據學生完成情況適當分析講解.
1.一艘輪船順流航行的速度為24 km/h，逆流航行的速度為18 km/h.它在靜水中的速度為xkm/h，水的流速為vkm/h，請列出相應的二元一次方程組.
分析：本題中等量關系如下：順流速度＝靜水速度+水流速度，逆流速度＝靜水速度-水流速度，
解：根據題意，可得，
2.下列不是二元一次方程組的是( 　 )
答案：B
若一個二元一次方程組的解為，則這個方程組可以是_____________(只要求寫一個).
答案：
4. 是二元一次方程組 的解嗎？
解：把 x 用 2，y 用 1 分別代入方程 ①② 可得：
方程 ① 左邊的值是 3×2-4×1＝2，
方程①右邊的值也是 17；
方程 ② 左邊的值為 4×2－3×1＝5，
方程②右邊的值是 6.左邊≠右邊.
因此，不是二元一次方程組的解.
設計意圖：通過課堂練習及時鞏固本節課所學內容，并考查學生的知識應用能力，培養獨立完成練習的習慣.
環節五 課堂小結
思維導圖的形式呈現本節課的主要內容：
設計意圖：回顧知識點形成知識體系，養成回顧梳理知識的習慣(共19張PPT)
—— 第三章 一次方程(組)——
認識二元一次方程組
3.5 認識二元一次方程組
湘教版（新課標）
1. 了解二元一次方程、二元一次方程組和它的一個解的含義.
2. 能根據簡單的實際問題列二元一次方程組，會檢驗一對數是不是某個二元一次方程 (組) 的解.
3. 通過問題情境得出二元一次方程 (組)，體會方程 (組)是刻畫現實世界的一個有效模型，同時培養學生探究創新的精神，增強合作交流的意識.
4.實際生活與數學息息相關，存在緊密的聯系，增強學生學習數學的興趣.
《九章算術》中有一題:“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉免各幾何.”大意為:有若干只雞和兔同在一個籠子里，從上面數有35個頭，從下面數有94只腳.問籠中各有多少只雞和兔？
(1) 找出，上述趣題中的等量關系：
兔的只數＋雞的只數＝35；
兔的腳數＋雞的腳數＝94.
《九章算術》中有一題:“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉免各幾何.”大意為:有若干只雞和兔同在一個籠子里，從上面數有35個頭，從下面數有94只腳.問籠中各有多少只雞和兔？
解：設兔有 x 只，則雞有 (35－x) 只.
根據題意，可列方程
4x + 2(35－x) = 94.
能否設兩個未知數解決呢？
(2) 根據等量關系，你能列出一元一次方程嗎？
若上述趣題，設兔有 x 只，雞有 y 只，你能根據兩個等量關系列出兩個方程嗎？
分析：兔的只數＋雞的只數＝35；兔的腳數＋雞的腳數＝94.
設兔有 x 只，雞有 y 只，
腳數
35
只數
合計
雞
兔
x
y
4x
2y
94
4x＋2y＝94
x＋y＝35
觀察方程x＋y＝35和4x＋2y＝94，它們有什么共同的特征？能否類比一元一次方程嘗試總結定義？
上述兩個方程都含有兩個未知數，并且含未知數的項的次數都是 1，這樣的方程叫作二元一次方程.
注意：(1)“一次”是指含未知數的項的次數是 1，而不是未知數的次數，如含有 xy 項的方程就不是一次方程；
(2) 兩個未知數，方程的左右兩邊都是整式.
總結
判斷要點：
①是否為整式方程；②是否含兩個未知數；③未知數次數是否為 1；④化簡后未知數的系數不為 0.
判斷下列方程是否為二元一次方程：
是
不是
是
不是
不是
不是
如何解決上述“雞兔同籠”問題呢？
要解決上述問題，兩個等量關系需要同時成立，也即未知數x,y需同時滿足方程x＋y＝35和4x＋2y＝94.
4x＋2y＝94
x＋y＝35
用大括號聯立起來
像這樣，只含有兩個未知數，并且含未知數的項的次數都是 1 的方程組叫作二元一次方程組.
滿足方程 x＋y＝35，且符合問題的實際意義 (雞兔的只數) 的值有哪些？把它們填入表中.
思考1 如果不考慮方程表示的實際意義，還可以取哪些值？這些值是有限的嗎？
x 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ...
y 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 ...
x
y
方程的解
還可以取一些非整數，一般地，一個二元一次方程有無數組解.
x＋y＝35，①
4x＋2y＝94. ②
思考2 上述表格中是否存在同時滿足方程①和方程②的值呢？
x = 12，y = 23.
公共解
定義
一般地，使二元一次方程左右兩邊的值相等的兩個未知數的值，叫作二元一次方程的解.
(12，23)
x 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ...
y 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 ...
一般地，對于未知數為 x，y 的二元一次方程組，若 x，y 分別用數 c1，c2 代入，能使每個方程左右兩邊的值相等，則把 (c1，c2) 叫作這個方程組的一個解.
x＝c1，
y＝c2，
習慣上記作
求方程組的解的過程叫作解方程組.
x＝12，
y＝23.
x＋y＝35，①
4x＋2y＝94. ②
例 小玲在文具店買了 3 本練習本，2 支圓珠筆，共花去 17 元，其中購買練習本比圓珠筆多花 1 元.
(1) 設練習本的單價是 x 元，圓珠筆的單價是 y 元，試列出相應的二元一次方程組.
x＝3，
y＝4
(2) 是列出的二元一次方程組的一個解嗎？
分析：本題中等量關系如下：
購買練習本所花的錢＋購買圓珠筆所花的錢＝17 元，
購買練習本所花的錢－購買圓珠筆所花的錢＝1 元.
例 小玲在文具店買了 3 本練習本，2 支圓珠筆，共花去 17 元，其中購買練習本比圓珠筆多花 1 元.
(1) 設練習本的單價是 x 元，圓珠筆的單價是 y 元，試列出相應的二元一次方程組.
解：(1)根據等量關系，得方程組
3x＋2y＝17，①
3x－2y＝1. ②
例 小玲在文具店買了 3 本練習本，2 支圓珠筆，共花去 17 元，其中購買練習本比圓珠筆多花 1 元.
x＝3，
y＝4
(2) 是列出的二元一次方程組的一個解嗎？
解：(2)把 x 用 3，y 用 4 分別代入方程 ①② 可得：
方程 ① 左邊的值是 3×3＋2×4＝17，
方程①右邊的值也是 17；
方程 ② 左邊的值為 3×3－2×4＝1，
方程②右邊的值也是 1.
x＝3，
y＝4
因此， 是列出的二元一次方程組的一個解.
1.一艘輪船順流航行的速度為24 km/h，逆流航行的速度為18 km/h.它在靜水中的速度為xkm/h，水的流速為vkm/h，請列出相應的二元一次方程組.
分析：本題中等量關系如下：
順流速度＝靜水速度+水流速度，
逆流速度＝靜水速度-水流速度，
解：根據題意，可得，
x＋v＝24，
x－v＝18.
2. 下列不是二元一次方程組的是 ( 　 )
B
3. 若一個二元一次方程組的解為 則這個方程組
可以是_____________(只要求寫一個).
x = 2，
y = -1，
x + y = 1，
x - y = 3
x＝2，
y＝1
4. 是二元一次方程組 的解嗎？
解：把 x 用 2，y 用 1 分別代入方程 ①② 可得：
方程 ① 左邊的值是 3×2-4×1＝2，
方程①右邊的值也是 17；
方程 ② 左邊的值為 4×2－3×1＝5，
方程②右邊的值是 6.左邊≠右邊.
因此， 不是二元一次方程組的解.
3x - 4y = 2，①
4x - 3y = 6 ②
x＝2，
y＝1
認識二元一次方程組
①每個方程含有2個未知數；
②含有未知數的項的次數是1.
二元一次方程：
二元一次方程組：
①含有2個未知數；②含有未知數的項的次數是1；③一共有2個方程.
二元一次方程組的兩個方程的公共解.
二元一次方程組的解：
使二元一次方程左右兩邊的值相等的兩個未
知數的值.
二元一次方程的解：

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