資源簡介

第三章 二元一次方程組
3.6 二元一次方程組的解法
一、教學目標
1.會用加減消元法解二元一次方程組.
2.讓學生在自主探索和合作交流中，進一步理解二元一次方程組的“消元”思想，初步體會數學研究中“化未知為已知”的化歸思想.
3.通過對具體的二元一次方程組的觀察、分析，選擇恰當的方法解二元一次方程組，培養學生的觀察、分析能力.
4.通過比較兩種解法的差別與聯系，體會透過現象抓住事物的本質這一認識方法.
二、教學重難點
重點：會用加減消元法解二元一次方程組.
難點：讓學生在自主探索和合作交流中，進一步理解二元一次方程組的“消元”思想，初
步體會數學研究中“化未知為已知”的化歸思想.
三、教學用具
多媒體課件
教學過程設計
環節一 創設情境
【回顧】
1.解二元一次方程組的基本思想是什么？
消元.
2.代入法解二元一次方程組的步驟是什么？
①轉化：把其中一個未知數用含有另一個未知數的代數式表示
②代入：把這個代數式代入另一個方程中；
③求解：求出該未知數的值；
④回帶：再把求出的未知數的值代入前面的代數式
⑤寫解；⑥檢驗.
教師帶領學生回顧上節課的知識，強調解二元一次方程組的基本思想是消元，通過消去一個未知數將二元一次方程轉化為一元一次方程進行求解.
設計意圖：幫助學生回顧舊知，便于建立新舊知識之間的聯系.
環節二 探究新知
【思考】
已知二元一次方程組
你能用代入消元法求解嗎？
解：將方程①移項，得 7x = 1－3y ，
兩邊都除以 7，得 x= y. ③
把③式代入方程②中，得 2( y)－3y = 8.
解得 y =-2.
把 y 用 -2代入③式，得 x = 1.
因此，是原二元一次方程組的解.
追問：你能消“y”求解嗎？
設計意圖：鞏固了已學的用代入法解二元一次方程組的知識，為接下來探究新的解二元一次方程組的方法——加減消元法做好準備.
【觀察】
觀察二元一次方程組中未知數 y 的系數有什么特點 這對解方程組有什么啟發
預設：觀察可知y的系數互為相反數，可以根據等式的性質將兩個方程相加，從而消去未知數y.
追問：按照這個思路，你能消去一個未知數嗎？
兩個方程相加，①左邊+②左邊=①右邊+②右邊.
(7x+3y)+(2x－3y) =1+8
7x+3y+2x－3y=9，
9x=9，
【做一做】
解方程組：
解：由 ① + ② 得 9x = 9，
兩邊都除以 9，得 x = 1.
把 x 用 1 代入方程①，得7×1 + 3y = 1，
解得 y = －2.
因此，是原二元一次方程組的解.
設計意圖：通過觀察方程組中同一個未知數的系數特點，引導學生思考新的消元方法.培養學生的觀察能力與計算能力.
環節三 應用新知
【典型例題】
教師提出問題，學生先獨立思考，解答.然后再小組交流探討，如遇到有困難的學生適當點撥，最終教師展示答題過程.
【例1】解方程組
分析： 觀察方程①②，就可發現兩個方程中未知數x的系數相同，從而可把方程①②的左右兩邊分別相減，于是得到關于y的一元一次方程.
解：由 ① - ② 得8y = -8，
兩邊都除以 8，得 y =-1.
把 y 用-1 代入方程①，得2x+ 3×(-1) =-1，
解得x=1.
所以原方程組的解是
追問：①－②可以嗎？
可以.
用代入消元法試試，哪種簡便
小結：1.同一未知數的系數互為相反數時，把兩個方程的兩邊分別相加.
2.同一未知數的系數相等時，把兩個方程的兩邊分別相減.
設計意圖：強調未知數系數相同或相反的用加減消元法解二元一次方程組，體會加減消元法的優越性．強調書寫步驟的規范性.
【思考】
如果二元一次方程組中兩個未知數的系數既不相等也不互為相反數，如何消去某個未知數，使其轉化為一個一元一次方程呢？
能否使兩個方程中x(或y)的系數相等(或相反)呢？
預設：①×3與②未知數x的系數相同，①×5與②×3未知數y的系數相反.
【做一做】
解方程組：
解：①×3 得6x＋9y＝－33 ③
③-②，得 (6x＋9y)－(6x－5y)＝－33－9，
去括號，得6x＋9y－6x＋5y＝－33－9，
合并同類項，得14y＝－42，
兩邊都除以14，得y＝－3，
把 y 用－3代入方程①，得 2x＋3×(－3)＝－ll，
解得 x＝－1.
因此，是原二元一次方程組的解.
說一說，如何解系數不相同或相反的二元一次方程組？
歸納總結：同一未知數的系數不相等也不互為相反數時，可利用等式的性質變形，使得某一未知數的系數相等或互為相反數，再運用加減消元法求解.
通過兩式相加（減)消去其中一個未知數，這種解二元一次方程組的方法叫作加減消元法，簡稱加減法.
加減消元法解二元一次方程組的一般步驟：
通過兩式相加（減)消去其中一個未知數，這種解二元一次方程組的方法叫做加減消元法，簡稱加減法.
設計意圖：通過做一做，總結當系數既不相等也不互為相反數時的消元方法，進一步鞏固加減消元法解二元一次方程組.
【議一議】
用自己的語言總結解二元一次方程組的基本思路，然后與同學交流.
解二元一次方程組的基本思路是:
消去一個未知數(簡稱消元)，得到一個一元一次方程，然后解這個一元一次方程求出一個未知數的值，接著再去求另一個未知數的值.
代入消元法和加減消元法是兩種求解方程組的方法，應根據具體情況靈活選擇.
設計意圖：通過議一議，加深對解二元一次方程組的基本思路的理解，同時培養學生語言概括能力.
環節四 鞏固新知
【隨堂練習】
教師給出練習，隨時觀察學生完成情況并相應指導，最后給出答案，根據學生完成情況適當分析講解.
1.用加減消元法解方程組
解：①+②，得10y=40，
y=4.
將y=4代入①，得x=－2.
所以原方程組的解是
2.用加減消元法解方程組
解：②－①，得5x=－15，
x=－3.
將x=－3代入②，得y=1.
所以原方程組的解是
用加減消元法解方程組:
解：①×2得 6x + 4y = 16. ③
③ - ②得 9y = 63，
解得 y = 7.
把 y = 7 代入①得 3x + 2×7 = 8，
解得 x = -2.
所以原方程組的解是
(2)
解：①×4得 12x + 16y = 44. ③
②×3得 12x - 15y = -111. ④
③-④得 31y = 155，
解得 y = 5.
把 y = 5 代入① 得 3x + 4×5 = 11
解得 x = -3.
所以原方程組的解是
已知關于x，y的二元一次方程組 的解為求a,b的值.
解：由題意得，
②×3 得，3a+9b = 27. ③
③-①，得， 7b=14
兩邊都除以7，得，b=2
把 b用2代入方程①，得 3a＋4＝13，
解得 a＝3.
設計意圖：進一步進行加減消元法解二元一次方程組的鞏固練習，并繼續滲透“轉化”的數學思想.
環節五 課堂小結
以思維導圖的形式呈現:
設計意圖：通過小結總結回顧本節課學習內容，幫助學生歸納、鞏固所學知識.(共21張PPT)
—— 第三章 一次方程(組)——
3.6 二元一次方程組的解法
湘教版（2024新課標）
1.會用加減消元法解二元一次方程組.
2.讓學生在自主探索和合作交流中，進一步理解二元一次方程組的“消元”思想，初步體會數學研究中“化未知為已知”的化歸思想.
3.通過對具體的二元一次方程組的觀察、分析，選擇恰當的方法解二元一次方程組，培養學生的觀察、分析能力.
4.通過比較兩種解法的差別與聯系，體會透過現象抓住事物的本質這一認識方法.
消去
一個未知數
消元
1.解二元一次方程組的基本思想是什么？
二元一次方程組
一元一次方程
2.說一說代入消元法的主要步驟.
(4) 回帶 再把求出的未知數的值代入前面的代數式
(3) 求解 求出該未知數的值
(2) 代入 把這個代數式代入另一個方程中
(1) 轉化 把其中一個未知數用含有另一個未知數的
代數式表示
(5) 寫解
(6) 檢驗
7x＋3y＝1， ①
2x－3y＝8. ②
已知二元一次方程組
你能用代入消元法求解嗎？
把 y 用 -2代入③式，得 x = 1.
解：將方程①移項，得 7x = 1－3y ，
解得 y =-2.
x = 1，
y = －2
因此， 是原二元一次方程組的解.
你能消“y”求解嗎？
兩邊都除以7，得x=－
把③式代入方程②中，得2（）-3y=8.
③
7x＋3y＝1， ①
2x－3y＝8. ②
已知二元一次方程組
7x＋3y＝1， ①
2x－3y＝8. ②
y 的系數互為相反數
①+②試試！
按照這個思路，你能消去一個未知數嗎？
觀察二元一次方程組中未知數 y 的系數有什么特點 這對解方程組有什么啟發
7x＋3y＝1， ①
2x－3y＝8. ②
已知二元一次方程組
觀察二元一次方程組中未知數 y 的系數有什么特點 這對解方程組有什么啟發
7x＋3y＝1，
2x－3y＝8.
①
②
①左邊＋ ②左邊 ＝ ①右邊＋②右邊
7x + 3y + 2x－3y ＝ 9
9x ＝ 9
(7x＋3y)
＋ (2x－3y)
＝ 1
＋ 8
解方程組：
解：由 ① + ② 得
把 x 用 1 代入方程①，得
7×1 + 3y = 1，
解得 y = －2.
9x = 9，
兩邊都除以 9，得 x = 1.
7x＋3y＝1，
2x－3y＝8.
①
②
因此， 是原二元一次方程組的解.
x = 1，
y = －2
加減
求解
回代
寫解
求解
例 解二元一次方程組：
2x + 3y＝-1，①
2x－5y＝7. ②
分析 觀察方程①②，就可發現兩個方程中未知數x的系數相同，從而可把方程①②的左右兩邊分別相減，于是得到關于y的一元一次方程.
解：由 ① - ② 得
把 y 用-1 代入方程①，得
2x+ 3×(-1) =-1，
解得 x =1.
8y = -8，
兩邊都除以 8，得 y =-1.
因此， 是原二元一次方程組的解.
x = 1，
y = -1
用代入消元法試試，哪種簡便
方法總結
1.同一未知數的系數互為相反數時，把兩個方程的兩邊分別 .
2.同一未知數的系數相等時，把兩個方程的兩邊分別 .
相加
相減
如果二元一次方程組中兩個未知數的系數既不相等也不互為相反數，如何消去某個未知數，使其轉化為一個一元一次方程呢？
2x＋3y＝－11，①
6x－5y＝9. ②
能否使兩個方程中x(或y)的系數相等(或相反)呢？
2x+3y＝-11,
6x-5y＝9.
6x+9y＝-33，
6x-5y＝9.
①
②
①×3
③
②
2x+3y＝-11,
6x-5y＝9.
10x+15y＝-55,
18x-15y＝27.
①
②
③
④
①×5
②×3
消 x
消 y
未知數x的系數相同
未知數y的系數相反
2x＋3y＝－11，①
6x－5y＝9. ②
解方程組：
解：①×3 得
(6x＋9y)－(6x－5y)＝－33－9，
解得 x＝－1.
6x＋9y＝－33 ③
③-②，得
因此， 是原二元一次方程組的解.
x＝－1，
y＝－3
去括號，得
6x＋9y－6x＋5y＝－33－9，
合并同類項，得
14y＝－42，
兩邊都除以14，得
y＝－3，
把 y 用－3代入方程①，得 2x＋3×(－3)＝－ll，
如果先消去y,應怎么做
通過兩式相加（減)消去其中一個未知數，這種解二元一次方程組的方法叫作加減消元法，簡稱加減法.
同一未知數的系數不相等也不互為相反數時，可利用等式的性質變形，使得某一未知數的系數相等或互為相反數，再運用加減消元法求解.
歸納總結
加減法
加減消元法解二元一次方程組的一般步驟：
歸納總結
將同一個未知數的系數化為相同或互為相反數.
變形
將兩個方程相加或相減，消去一個未知數，得到一個元一次方程.
加減
依次求出兩個未知數的值.
求解
寫出方程組的解.
寫解
同減異加
用自己的語言總結解二元一次方程組的基本思路，然后與同學交流.
解二元一次方程組的基本思路是:
代入消元法和加減消元法是兩種求解方程組的方法，應根據具體情況靈活選擇.
消去一個未知數(簡稱消元)，得到一個一元一次方程，然后解這個一元一次方程求出一個未知數的值，接著再去求另一個未知數的值.
我國元代數學家朱世杰(13-14世紀)在《四元玉鑒》中就用到了消元法.
2x + 7y = 22， ①
–2x +3y = 18. ②
1.用加減法解方程組：
解：
由 ① + ② 得
將 y用4 代入①得
2x + 28 = 22，
解得 x = －3.
所以原方程組的解是
x = －3，
y =4.
10y = 40，
兩邊都除以 10，得 y= 4.
–2x + 5y = 11， ①
3x +5y = －4. ②
2.用加減法解方程組：
解：
由 ② – ① 得
將 x用－3 代入①得
－9 + 5y= －4，
解得 y = 1.
所以原方程組的解是
x = －3，
y =1.
5x =－15，
兩邊都除以 5，得 x= －3.
解：①×2得 6x + 4y = 16. ③
③ - ②得 9y = 63，
解得 y = 7.
把 y = 7 代入①得 3x + 2×7 = 8，
解得 x = -2.
3. 用加減消元法解下列方程組：
(1)
3x + 2y =8， ①
6x－5y = －47. ②
所以原方程組的解是
x = －2，
y =7.
3. 用加減消元法解下列方程組：
(2)
3x + 4y =11， ①
4x－5y = －37. ②
解：①×4得 12x + 16y = 44. ③
②×3得 12x - 15y = -111. ④
③-④得 31y = 155，
解得 y = 5.
把 y = 5 代入① 得
3x + 4×5 = 11，
解得 x = -3.
所以原方程組的解是
x = －3，
y =5.
4.已知關于x，y的二元一次方程組 的
解為 求a,b的值.
ax + by =13,
(a+b)x－ay = 9.
x = 3,
y =2,
解：由題意得，
3a + 2b =13,①
a+3b = 9. ②
②×3 得，3a+9b = 27. ③
解得 a＝3.
③-①，得， 7b=14
兩邊都除以7，得，b=2
把 b用2代入方程①，得 3a＋4＝13，
解二元一次方程組
消元思想：
未知數的個數由多化少、逐一解決的思想.
加減消元法：
通過兩式相加（減）消去其中一個未知數，這種解二元一次方程組的方法叫做加減消元法，簡稱加減法.
加減消元法的步驟：
1.變形：將同一個未知數的系數化為相同或互為相反數.
2.加減：將兩個方程相加或相減，消去一個未知數，
得到 一個一元一次方程.（同減異加）
3.求解：依次求出兩個未知數的值.
4.寫解：寫出方程組的解.

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