資源簡介

第三章 一次方程（組）
3.8 三元一次方程組
一、教學(xué)目標
1.經(jīng)歷三元一次方程組解法的探索過程，進一步體會“化未知為已知”的化歸思想.
2.會用代入消元法和加減消元法解三元一次方程組，進一步體會“消元”的思想.
3.教會學(xué)生面對三元一次方程組時，選擇適當(dāng)?shù)慕夥ǎ蕴岣哌\算的效率.
4.感受“三元”化歸到“二元”，再由“二元”化歸到“一元”的數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生真正體驗到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.
二、教學(xué)重難點
重點：掌握三元一次方程組的解法.
難點：三元一次方程組如何化歸到二元一次方程組.
三、教學(xué)用具
電腦、多媒體、課件、教學(xué)用具等
教學(xué)過程設(shè)計
環(huán)節(jié)一 創(chuàng)設(shè)情境
【復(fù)習(xí)回顧】
教師活動：引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)二元一次方程及方程組的概念，鞏固解方程組的基本思路.
問題1：什么是二元一次方程？
預(yù)設(shè)：含有兩個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次方程.
追問：什么是二元一次方程組？
預(yù)設(shè)：共含有兩個未知數(shù)的兩個一次方程所組成的一組方程，叫做二元一次方程組.
問題2：解二元一次方程組有哪些方法？
預(yù)設(shè)：代入消元法和加減消元法.
追問：解二元一次方程組的基本思路是什么？
預(yù)設(shè)：將二元一次方程組消元轉(zhuǎn)化為一元一次方程.
提問：若含有3個未知數(shù)的方程組該如何求解呢？
設(shè)計意圖：通過問題串，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)已學(xué)知識，為新課的學(xué)習(xí)做準備，同時激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，點明本章所要解決的主要問題.
環(huán)節(jié)二 探究新知
【思考】
已知甲、乙、丙三數(shù)的和是23，甲數(shù)比乙數(shù)大1，甲數(shù)的2倍與乙數(shù)的和比丙數(shù)大20，求這三個數(shù).
分析：在上述問題中，設(shè)甲數(shù)為x，乙數(shù)為y，丙數(shù)為z，找出等量關(guān)系，列出對應(yīng)的方程.
甲數(shù)+乙數(shù)+丙數(shù)=23
x+y+z=23. ①
（2）甲數(shù)-乙數(shù)=1
x-y=1. ②
甲數(shù)的2倍+乙數(shù)-丙數(shù)=20
2x+y-z=20. ③
由題意知，三個數(shù)必須同時滿足上述三個方程，故將三個方程聯(lián)立在一起.
方程組：
提問：這個方程組和前面學(xué)過的二元一次方程組有什么區(qū)別和聯(lián)系？
歸納：在這個方程組中，x+y+z=23和2x+y-z=20都含有三個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，這樣的方程叫做三元一次方程.
像這樣，含有三個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程組叫作三元一次方程組.
三元一次方程組必備條件：
(1)是整式方程；
(2)共含三個未知數(shù)；
(3)三個都是一次方程；
注意：方程組中共有三個未知數(shù)即可，不必每個方程都是三元一次方程.
設(shè)計意圖：通過問題引入，引發(fā)學(xué)生思考與討論，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.在此基礎(chǔ)上通過類比的方法引出三元一次方程組的概念.
【做一做】
已知一個三位數(shù)的個位數(shù)字是十位數(shù)字與百位數(shù)字之和的 2 倍，百位數(shù)字是十位數(shù)字的 3 倍，三位數(shù)字之和為 12，這個三位數(shù)是什么？設(shè)個位數(shù)字x，十位數(shù)字為y，百位數(shù)字為z，請列出這個方程組.
分析：等量關(guān)系：(1) 個位數(shù)字＝2(十位數(shù)字＋百位數(shù)字)
百位數(shù)字＝3×十位數(shù)字，(3) 個位數(shù)字 + 十位數(shù)字 + 百位數(shù)字＝12.
根據(jù)題意，所求方程組為
對于未知數(shù)為 x， y，z 的三元一次方程組，若x， y，z 分別用數(shù) c1，c2，c3 代入，能使每個方程左右兩邊的值相等，則把 (c1，c2，c3 ) 叫作這個方程組的一個解.記住
【思考】
解二元一次方程組的思路是通過消元將其轉(zhuǎn)化為一元一次方程來求解，這種思路是否適合解三元一次方程組呢？
以為例來探究三元一次方程組的解法.
如何解這個方程組呢？
解：將方程①兩邊都乘2，得2x+2y+4z=6 . ④
④+②，得 y+5z=3 . ⑤
①-③，得 -y+6z=8 . ⑥
解由方程⑤和⑥組成的二元一次方程組，得y=-2，z=1.
把y=-2，z=1代入方程①，得x=3.
因此，是原三元一次方程組的解.
思考：解三元一次方程組的基本思路是什么？
通過“代入”或“加減”進行消元，把“三元”轉(zhuǎn)化為“二元”，使解三元一次方程組轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組，進而再轉(zhuǎn)化為解一元一次方程.
設(shè)計意圖：類比二元一次方程組的求解思路，提示解三元一次方程組的思路，讓學(xué)生進一步體會化未知為已知的化歸思想：通過“消元”，將“三元”化成“二元”，把新問題化歸成已經(jīng)會解決的問題.
環(huán)節(jié)三 應(yīng)用新知
【典型例題】
教師活動：提出問題，學(xué)生先獨立思考，然后再小組交流探討.教師板書一道例題書寫過程，其余題目可由學(xué)生代表板書完成，最終教師展示答題過程.
例1 解三元一次方程組：
解：③×5－①，得y＋z＝－10. ④
③×3－②，得 2y＋7z＝－7. ⑤
④×2－⑤，得 z＝－13.
把 z 用－13 代入方程④，得y＝42.
把 y 用42，z 用－13 代入方程③，得 x＝－31.
因此，是原三元一次方程組的解.
注意：消元的方法仍是代入消元法或加減消元法.檢驗可以口算或在草稿紙上演算，可不必寫出！
例2 解三元一次方程組：
解：②×3－①，得x＋7z＝－12. ④
②＋③，得 5x－2z＝－23. ⑤
④×5－⑤，得 37z＝－37.
兩邊都除以 37，得z＝－1.
把 z 用－1 代入方程④，得x＝－5.
把 x 用 －5，z 用－1 代人方程②，得 y＝－4.
因此，是原三元一次方程組的解.
【做一做】
自己動手求出本節(jié)開篇“做一做”欄目中的三位數(shù).
解：③-①，得y+z=4 . ④
④-②，得4y=4 .
兩邊都除以4，得y=1 .
把y用1代入方程②，得z=3 .
把z用3，y用1代入方程③，得x=8 .
因此，這個三位數(shù)是318.
設(shè)計意圖：通過例題與做一做環(huán)節(jié)，鞏固解三元一次方程組的解法及基本思路.
環(huán)節(jié)四 鞏固新知
教師給出練習(xí)，隨時觀察學(xué)生完成情況并相應(yīng)指導(dǎo)，最后給出答案，根據(jù)學(xué)生完成情況適當(dāng)分析講解.
1.解下列三元一次方程組：
(1) (2)
解：(1) ②+③，得 x+2y=13. ④
④-①，得y=6.
把y用6代入方程①，得x=1.
把x用1代入方程③，得z=-6.
因此，是原三元一次方程組的解.
(2) ③×2-①，得y+7z=-19. ④
③×3-②，得11y+7z=-69. ⑤
⑤-④，得10y=-50，
兩邊同時除以10，得y=-5.
把y用-5代入方程④，得z=-2.
把z用-2，y用-5代入方程③，得x=8.
因此，是原三元一次方程組的解.
2. 有甲、乙、丙三人，若甲、乙的年齡之和為15歲，乙、丙的年齡之和為16歲，丙、甲的年齡之和為17歲，則甲、乙、丙三人的年齡分別為多少歲？
解：設(shè)甲、乙、丙三人的年齡分別為 x 歲，y 歲，z 歲，
則
解得
答：甲、乙、丙三人的年齡分別為8歲，7歲，9歲.
設(shè)計意圖：通過練習(xí)，加深對三元一次方程組解法的理解和掌握，提高了學(xué)生解答問題的能力，進一步加強了學(xué)生對本章內(nèi)容的掌握程度，拓展了學(xué)生的思維.
環(huán)節(jié)五 課堂小結(jié)
以思維導(dǎo)圖的形式呈現(xiàn)：
設(shè)計意圖：通過小結(jié)總結(jié)回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容，幫助學(xué)生歸納、鞏固所學(xué)知識.(共22張PPT)
—— 第三章 一次方程(組)——
三元一次方程組
3.8 三元一次方程組
湘教版（新課標2024）
1.經(jīng)歷三元一次方程組解法的探索過程，進一步體會“化未知為已知”的化歸思想.
2.會用代入消元法和加減消元法解三元一次方程組，進一步體會“消元”的思想.
3.教會學(xué)生面對三元一次方程組時，選擇適當(dāng)?shù)慕夥ǎ蕴岣哌\算的效率.
4.感受“三元”化歸到“二元”，再由“二元”化歸到“一元”的數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生真正體驗到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.
復(fù)習(xí)回顧
什么是二元一次方程？
含有兩個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次方程.
共含有兩個未知數(shù)的兩個一次方程所組成的一組方程，叫做二元一次方程組.
什么是二元一次方程組？
解二元一次方程組有哪些方法？
代入消元法和加減消元法.
解二元一次方程組的基本思路是什么？
若含有3個未知數(shù)的方程組該如何求解呢？
消元法
二元一次方程組
代入
加減
消元
一元一次方程
二元
化歸轉(zhuǎn)化思想
一元
復(fù)習(xí)回顧
已知甲、乙、丙三數(shù)的和是23，甲數(shù)比乙數(shù)大1，甲數(shù)的2倍與乙數(shù)的和比丙數(shù)大20，求這三個數(shù).
等量關(guān)系：
(1)甲數(shù)+乙數(shù)+丙數(shù)=23
(2)甲數(shù)-乙數(shù)=1
(3)甲數(shù)的2倍+乙數(shù)-丙數(shù)=20
設(shè)甲數(shù)為x，乙數(shù)為y，丙數(shù)為z，
用方程表示等量關(guān)系.
x+y+z=23.

x-y=1.

2x+y-z=20.

已知甲、乙、丙三數(shù)的和是23，甲數(shù)比乙數(shù)大1，甲數(shù)的2倍與乙數(shù)的和比丙數(shù)大20，求這三個數(shù).
由題意知，三個數(shù)必須同時滿足上述三個方程，故將三個方程聯(lián)立在一起.
這個方程組和前面學(xué)過的二元一次方程組有什么區(qū)別和聯(lián)系？
x+y+z=23.
x - y= 1,
2x +y - z = 20
在這個方程組中，x+y+z=23和2x+y-z=20都含有三個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，這樣的方程叫作三元一次方程.
像這樣，含有三個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程組叫作三元一次方程組.
①
②
③
歸納
x+y+z=23.
x - y= 1,
2x +y - z = 20
三元一次方程組必備條件：
(1)三個方程都是整式方程；
(2)共含三個未知數(shù)；
(3)三個都是一次方程；
方程組中共有三個未知數(shù)即可，不必每個方程都是三元一次方程.
歸納
已知一個三位數(shù)的個位數(shù)字是十位數(shù)字與百位數(shù)字之和的 2 倍，百位數(shù)字是十位數(shù)字的 3 倍，三位數(shù)字之和為 12，這個三位數(shù)是什么？設(shè)個位數(shù)字x，十位數(shù)字為y，百位數(shù)字為z，請列出這個方程組.
分析：等量關(guān)系：
(1) 個位數(shù)字＝2(十位數(shù)字＋百位數(shù)字)
(2) 百位數(shù)字＝3×十位數(shù)字
(3) 個位數(shù)字 + 十位數(shù)字 + 百位數(shù)字＝12
根據(jù)題意，所求方程組為
x＋y＋z＝12.
x＝2(y＋z)，
z＝3y，
對于未知數(shù)為 x， y，z 的三元一次方程組，若 x， y，z 分別用數(shù) c1，c2，c3 代入，能使每個方程左右兩邊的值相等，則把 (c1，c2，c3 ) 叫作這個方程組的一個解.
z＝c3 .
x＝c1，
y＝c2，
記作
解二元一次方程組的思路是通過消元將其轉(zhuǎn)化為一元一次方程來求解，這種思路是否適合解三元一次方程組呢？
x+y+2z = 3, ①
-2x -y +z =-3, ②
x + 2y - 4z =-5③
如何解這個方程組呢？
將方程①兩邊都乘2，得
2x+2y+4z=6 .
④
④+②，得
①-③，得
y+5z=3 .
⑤
-y+6z=8 .
⑥
解由方程⑤和⑥組成的二元一次方程組，得
y=-2，z=1.
把y=-2，z=1代入方程①，得
x=3.
加減消元法
代入消元法
三元
二元
一元
因此， 是原三元一次方程組的解.
x+y+2z = 3, ①
-2x -y +z =-3, ②
x + 2y - 4z =-5③
三元一次方程組
二元一次方程組
先消去一個未知數(shù)
一元一次方程
再消去一個未知數(shù)
得出一個未知數(shù)的值
得出第二個未知數(shù)的值
得出第三個未知數(shù)的值
代入所得二元一次方程組中的一個方程
已知的兩個數(shù)代入所得三元一次方程組中的一個方程
解三元一次方程組的基本思路是什么？
通過“代入”或“加減”進行消元，把“三元”轉(zhuǎn)化為“二元”，使解三元一次方程組轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組，進而再轉(zhuǎn)化為解一元一次方程.
三元一次方程組
二元一次方程組
一元一次方程
消元
消元
x＋y＋z＝－2
5x＋4y＋z＝0，
3x＋y－4z＝1，
①
②
③
例1 解三元一次方程組：
解：③×5－①，得
y＋z＝－10. ④
③×3－②，得 2y＋7z＝－7. ⑤
④×2－⑤，得 z＝－13.
把 z 用－13 代入方程④，得
y＝42.
把 y 用42，z 用－13 代入方程③，得 x＝－31.
因此， 是原三元一次方程組的解.
z＝－13
x＝－31，
y＝42，
消元的方法仍是代入消元法或加減消元法.
3x＋y－5z＝－14.
5x－3y＋2z＝－15，
2x－y＋3z＝－9，
①
②
③
例2 解三元一次方程組：
解： ②×3－①，得
x＋7z＝－12. ④
②＋③，得 5x－2z＝－23. ⑤
④×5－⑤，得 37z＝－37.
把 z 用－1 代入方程④，得
z＝－1.
把 x 用 －5，z 用－1 代人方程②，得 y＝－4.
因此， 是原三元一次方程組的解.
z＝－1
x＝－5，
y＝－4，
兩邊都除以 37，得
x＝－5.
自己動手求出本節(jié)開篇“做一做”欄目中的三位數(shù).
x＋y＋z＝12. ③
x＝2(y＋z)， ①
z＝3y， ②
解：③-①，得
④
y+z=4 .
④-②，得
4y=4 .
兩邊都除以4，得
y=1 .
把y用1代入方程②，得
z=3 .
把z用3，y用1代入方程③，得
x=8 .
因此，這個三位數(shù)是318.
1.解下列三元一次方程組：
解：(1) ②+③，得
④-①，得
把y用6代入方程①，得
把x用1代入方程③，得
x+2y=13.
④
y=6.
x=1.
z=-6.
因此， x=-5,
y=-4,
z=-1 是原三元一次方程組的解.
1.解下列三元一次方程組：
解：(2) ③×2-①，得
③×3-②，得
⑤-④，得
把y用-5代入方程④，得
y+7z=-19.
④
11y+7z=-69.
x=8.
z=-2.
⑤
10y=-50，
兩邊同時除以10，得
y=-5.
把z用-2，y用-5代入方程③，得
因此， 是原三元一次方程組的解.
x=8,
y=-5,
z=-2
2. 有甲、乙、丙三人，若甲、乙的年齡之和為15歲，乙、丙的年齡之和為16歲，丙、甲的年齡之和為17歲，則甲、乙、丙三人的年齡分別為多少歲？
解得
解：設(shè)甲、乙、丙三人的年齡分別為 x 歲，y 歲，z 歲，
則
答：甲、乙、丙三人的年齡分別為8歲，7歲，9歲.
x +y = 15,
y+z= 16,
x+z= 17.
x =8,
y= 7,
Z=9.
三元一次方程組
解三元一次方程組的解法基本思路：
概念：
含有三個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程組叫作三元一次方程組.
對于未知數(shù)為 x， y，z 的三元一次方程組，若 x， y，z 分別用數(shù) c1，c2，c3 代入，能使每個方程左右兩邊的值相等，則把 (c1，c2，c3 ) 叫作這個方程組的一個解.
把“三元”化為“二元”， 再化為“一元”.
解三元一次方程組的解法：
代入消元法和加減消元法.

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