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寧波高一數學★★函數單調性、奇偶性、對稱性講義★★
函數的單調性
1.增減函數的定義：設函數定義域為I，如果對于定義域內的區間D上的任意兩個自變量，
增函數：當時，都有，就說函數在區間D上是增函數
減函數：當時，都有，就說函數在區間D上是減函數
注意：（1）對選取要有任意性
（2）函數單調性是針對單調區間來說的
（3）單調性是嚴格的大于或小于，不可以
（4）對于區間端點開閉區間都可以，對于無意義點必須是開區間
（5）單調區間不能取并集，可以寫和或者，
（6）①自變量的大小關系，②函數值的大小關系，③單調性，任意“給二推一”
2.單調性的五種等價形式
（1）若,都有，則為增函數；
若都有，則為減函數；
（2）若都有，則為增函數；
若都有，則為減函數；
（3）若都有，則為增函數；
若都有，則為減函數；
（4）若為奇函數，，都有，則為增函數；
若為奇函數，，都有，則為減函數；
（5）且，則有,我們稱在上是單調的.
3.判斷函數單調性（單調區間）的方法：
（1） 圖像法：對于熟悉的函數、一次、二次、反比例和能畫出圖像的函數，可利用圖像判斷單調性
（2）定義法： ①取值，設是該區間任意兩個值，且，
②作差，即作，
③定號，確定的符號，當符號不確定需要討論
作差時常用的變形技巧：
①因式分解：當原函數是多項式函數時,通常作差后進行因式分解.
②通分：當原函數是分式函數時,作差后往往先進行通分,然后對分子進行因式分解.
③配方：當原含數是二次函數時,作差后可以考慮配方.
④分子有理化：當原函數是根式函數時,作差后往往考慮分子有理化。
（3）運算性質法
①若為常數，則與的單調性相同；
若，則與的單調性相同； 若，則與的單調性相反；
特別的： 與的單調性相反；
②增+增=增；減+減=減；-增=減；-減=增；增-減=增；減-增=減；
③若恒正或恒負時，與單調性相反；
④若恒成立，則，與單調性相同；
4.分段函數的單調性: 已知分段函數，定義域為R
若果函數為增函數，則有，
若果函數為減函數，則有
5.含參的恒成立問題/存在性問題:轉化為最值問題
題型1：求參數范圍：
①分離參數：把參數分離到不等號一側（容易分離，且符號不變）
②分類討論：不能分離，直接對原函數討論最值
題型2：雙變量問題
值域有交集
6.復合函數的單調性
形如，令，則有，為外層函數，為內層函數.
（1）求復合函數值域的步驟
①復合函數的定義域即為內層函數的定義域；
②由內層函數的定義域求出內層函數的值域；
③內層函數的值域即為外層函數的定義域；
④由外層函數的定義域求出外層函數的值域；
⑤外層函數的值域即為復合函數的值域.
（2）復合函數的單調性的判斷方法
同增異減：內外兩層函數單調性相同，復合函數單調遞增內外兩層函數單調性相反，復合函數單調遞減.
二、函數的奇偶性
1.函數奇偶性的概念
偶函數：函數f(x)的定義域為D，如果 x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函數f(x)叫做偶函數．
奇函數：函數f(x)的定義域為D，如果 x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函數f(x)叫做奇函數．
2.判斷函數奇偶性的方法
(1)定義法： (2)圖象法：
1.函數奇偶性常用結論：
3.奇偶函數的性質
①（定義域關于原點對稱）
②
③
④
⑤
⑥
4.奇偶函數的常見模型
（1）奇函數模型
函數模型 具體舉例
（1）特殊復合型
（2）分數指數型
（3）對數分數型
（4）對數根式型
（5）雙絕對值型
（2）偶函數模型
函數模型 具體舉例
（1）特殊復合型
（2）特殊二次函數型
（3）對數二倍型
（4）雙絕對值型
三、函數的對稱性
（一）函數圖象本身的對稱性（自身對稱）
1.軸對稱：
①=函數圖象關于軸對稱；
②函數圖象關于對稱
；
③ 的圖象關于直線對稱。
2.中心對稱：
①=－函數圖象關于原點對稱；
②函數圖象關于對稱
；
③函數圖象關于成中心對稱
④的圖象關于點對稱。
（二）兩個函數的圖象對稱性（相互對稱）
1.若函數定義域為，則兩函數與的圖象關于直線 對稱。
推論1：函數與函數的圖象關于直線對稱；
推論2：函數與函數的圖象關于直線對稱；
推論3：函數與圖象關于直線對稱。
2.若定義域為，則兩函數與的圖象關于點對稱。
推論：函數與函數圖象關于點對稱。
3.特殊地：
①函數與圖象關于軸對稱。
②函數與圖象關于軸對稱。
③函數與圖象關于原點對稱
④函數的圖象與其反函數的圖象關于直線對稱。
⑤簡單分式函數, 由變量分離法得對稱中心.
高考真題訓練：
1．（2021·全國·高考真題）設是定義域為R的奇函數，且.若，則（ ） A． B． C． D．
2．（2021·全國·高考真題）設函數，則下列函數中為奇函數的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·北京·高考真題）已知是定義在上的函數，那么“函數在上單調遞增”是“函數在上的最大值為”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
4．（2020·山東·高考真題）若定義在的奇函數f(x)在單調遞減，且f(2)=0，則滿足的x的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·全國·高考真題）設函數的定義域為R，為奇函數，為偶函數，當時，．若，則（ ） A． B． C． D．
6．（2022·全國·高考真題）已知的定義域均為R，且．若的圖像關于直線對稱，，則（ ）
A． B． C． D．

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