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第七章 相交線與平行線
7.1.2 兩條直線垂直
1．認識垂線，理解“互相垂直”和“垂足”的含義。
2．能夠過一點畫已知直線的垂線。
3．掌握垂線的性質，理解“垂線段最短”并能進行應用。
1.如圖，∠1 和∠2有一條公共邊OC，它們的另一邊互為________（ ∠1 和∠2互補），具有這種位置關系的兩個角，互為鄰補角。
2.如圖，∠1 和∠3有一個公共頂點O，并且∠1 的兩邊分別是∠3的兩邊的_____________，具有這種位置關系的兩個角，互為對頂角。
3.對頂角的性質：_____________。
反向延長線
反向延長線
對頂角相等
　　如圖，是相交線的模型，固定木條 a，轉動木條 b．當 b 的位置變化時，a，b 所成的∠α 也會發生變化．
a
b
α
b
　　如圖，是相交線的模型，固定木條 a，轉動木條 b．當 b 的位置變化時，a，b 所成的∠α 也會發生變化．
a
b
α
a
b
α
a
b
α
當兩條直線a，b相交所成的四個角中，有一個角是直角時，我們就說a與b互相垂直．記作： a⊥b。
兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫作另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足。
垂直是相交的一種特殊情形.
記作：AB ⊥CD，垂足為O，或AB ⊥CD于點Ｏ。
注 意
1．垂直是兩條直線的位置關系，如果 a 是 b 的垂線，那么 b 也是 a 的垂線。　　
2．垂線是直線，不是線段或射線，不能測量其長度。
3．線段、射線的垂直是指它們所在的直線垂直。
　　根據兩條直線垂直的定義可知，如果兩條直線相交所成的四個角中的任意一個角等于 90°，那么這兩條直線垂直．
　　下圖中，如果直線 AB，CD 相交于點 O，∠AOD＝90°，
那么 AB⊥CD．
　　這個推理過程可以寫成下面的形式：
　　因為____________________，
　　所以________(垂直的定義)．
∠AOD＝90°
AB⊥CD
A
B
C
D
O
如果 AB⊥CD ，那么∠AOD 是多少度？寫出 這個推理過程。
∠AOD＝90° AB⊥CD
判定
性質
因為 ___________
所以 ___________．
A
B
C
D
O
AB⊥CD
∠AOD =90°
垂直的定義既是判定也是性質
說一說：在日常生活中，兩條直線互相垂直的情形很常見，如圖中窗戶上互相垂直的木條、網球拍上互相垂直的網線。你能再舉出其他例子嗎？
　　探究：用三角尺或量角器畫已知直線 l 的垂線，這樣的垂線能畫出幾條？
思考：如何用三角尺畫垂線？
　　第 1 步：讓三角尺的一條直角邊落在已知直線上，使其與已知直線重合；
　　第 2 步：沿另一直角邊畫直線，這條直線就是已知直線的垂線．
l
無數條
l
　　探究：用三角尺或量角器畫已知直線 l 的垂線，這樣的垂線能畫出幾條？
（1）經過直線 l 上一點 A 畫 l 的垂線，這樣的垂線能畫出幾條？
思考：過直線上的一點如何用三角尺畫垂線？
　　第 1 步：讓三角尺的一條直角邊落在已知直線上，使其與已知直線重合；
　　第 2 步：沿直線移動三角尺，使其另一條直角邊經過已知點；
　　第 3 步：沿此直角邊畫直線，這條直線就是已知直線的垂線．
一條
A
l
（2）經過直線 l 外一點 B 畫 l 的垂線，這樣的垂線能畫出幾條？
l
B
一條
仿照過直線上一點畫已知直線的垂線，畫出垂線．
過一點畫已知直線的垂線，其本質就是利用三角尺（或量角器），使過一點的直線與已知直線所形成的夾角為 90°．
垂線的性質（1）　
經過一點（在已知直線上或直線外），能畫出已知直線的一條垂線，并且只能畫出一條垂線。
由此得到關于垂線的基本事實：
在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。
例： 如圖所示，過點P畫出射線AB或線段AB的垂線．
解：如圖所示。
畫一條射線或線段的垂線，就是畫它們所在直線的垂線。
　　思考：如圖所示，在灌溉時，要把河中的水引到農田 P 處，如何挖渠能使渠道最短？
　　要解決這個問題，我們需要找到河渠中到點 P 的距離最近的點。如何確定這個點呢？
探究：如圖，P是直線 l 外一點， PO⊥l，垂足為O，我們稱 PO 為點 P 到直線 l 的_______。A是直線l上除點O外一點，連接PA。測量并比較線段PO與PA的長度，你能得到什么結論？改變點A的位置呢？（你也可以利用信息技術工具，在直線l上拖動點A，改變點A的位置，探究PO與PA的長度關系．）
P
O
A1
A2
A3
A4
…
可以發現：垂線段 PO 最短．
垂線段
垂線的性質（2）　
連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短．
簡單說成：垂線段最短．
直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離．
O
說一說：現在你知道如何挖渠能使渠道最短了嗎？
最短（或最近）問題的兩依據
（1）兩點之間，線段最短；（2）垂線段最短．
【知識技能類作業】必做題：
1．小明某次立定跳遠的示意圖如圖所示，根據立定跳遠規則可知小明本次立定跳遠成績為（ ）
A．線段的長度
B．線段的長度
C．線段的長度
D．線段的長度
C
【知識技能類作業】必做題：
2．如圖，，于D，則下列結論中，正確的個數為（ ）
①：
②與互相垂直；
③點C到的垂線段是線段；
④點A到的距離是線段的長度；
⑤線段的長度是點C到的距離：
⑥線段的長度是點D到的距離．
A．3個 B．4個 C．5個 D．6個
A
【知識技能類作業】必做題：
3．如圖，，，垂足為，經過點．求、的度數．
解：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
【知識技能類作業】選做題：
4.如圖，直線與相交于點，于點，，則度數為___________．
112.5°
【綜合拓展類作業】
5.如圖，已知平面內有一個和三點，，，按要求畫圖，并回答問題：
(1)畫線段，射線，直線；
(2)過點畫，垂足為點；
(3)對于內部的任意一點，點
到的兩邊的距離中的較短距離記為，按照上述記法，請你通過測量得出______（填“”“”或“”）．
垂直的定義
垂線的性質1
垂線的性質2
點到直線的距離
　　在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直
兩條直線垂直
垂線段最短
【知識技能類作業】必做題：
1．如圖，已知，，平分，平分，則的度數是（ ）
A．
B．
C．
D．
C
【知識技能類作業】必做題：
2．下列判斷正確的是（ ）
A．從直線外一點到已知直線的垂線段叫做點到已知直線的距離
B．過直線外一點作已知直線的垂線，垂線的長度就是這點到已知直線的距離
C．作出已知直線外一點到已知直線的距離
D．連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短
D
【知識技能類作業】必做題：
3．如圖，直線、相交于點，，．如果，求的度數
解：，，，
，
．
【知識技能類作業】選做題：
4.如圖，，，平分，若，求的度數．
解：，，
．
平分，
．
，
，
．
【綜合拓展類作業】
5.如圖，某廠房需要在河岸上建一個水泵站引水到C處，若考慮使鋪設的水管長度最短，請你畫出水泵站位置，并說明其數學道理．
解：如圖所示：A點即為所求；
數學道理：垂線段最短．中小學教育資源及組卷應用平臺
同步探究學案
課題 7.1.2 兩條直線垂直 單元 第七章 學科 數學 年級 七年級
學習 目標 1．認識垂線，理解“互相垂直”和“垂足”的含義。 2．能夠過一點畫已知直線的垂線。 3．掌握垂線的性質，理解“垂線段最短”并能進行應用。
重點 垂線的畫法及性質。
難點 理解垂線段最短，并能進行應用。
探究過程
導入新課 【引入思考】 1.如圖，∠1和∠2有一條公共邊OC，它們的另一邊互為________（∠1和∠2互補），具有這種位置關系的兩個角，互為鄰補角。 2.如圖，∠1和∠3有一個公共頂點O，并且∠1的兩邊分別是∠3的兩邊的_____________，具有這種位置關系的兩個角，互為對頂角。 3.對頂角的性質：_____________。 4.觀察：如圖，是相交線的模型，固定木條a，轉動木條b．當b的位置變化時，a，b所成的∠α也會發生變化．
新知探究 本節課來研究： 本節我們借助相交線模型，研究兩條直線垂直及其性質。 一、垂直及其相關概念 （一）當兩條直線a，b相交所成的四個角中，有一個角是_______時，我們就說a與b互相垂直．記作：________。__________是相交的一種特殊情形. 兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫作另一條直線的_____，它們的交點叫做_____。 如上右圖，記作：_________，垂足為_______，或AB⊥CD于點Ｏ。 注意： 1．垂直是兩條直線的位置關系，如果a是b的垂線，那么b也是a的________。 2．垂線是_______，不是線段或射線，不能測量其_______。 3．線段、射線的垂直是指它們所在的直線________。 （二）根據兩條直線垂直的定義可知，如果兩條直線相交所成的四個角中的任意一個角等于90°，那么這兩條直線________． 右圖中，如果直線AB，CD相交于點O， ∠AOD＝90°，那么________． 這個推理過程可以寫成下面的形式： 因為_______________， 所以________________(垂直的定義)． 想一想：如果AB⊥CD，那么∠AOD是多少度？寫出這個推理過程。 解：∠AOD＝________ 因為_______________ 所以_______________． 注意：垂直的定義既是判定也是性質 即：∠AOD＝90°AB⊥CD 說一說：在日常生活中，兩條直線互相垂直的情形很常見，如圖中窗戶上互相垂直的木條、網球拍上互相垂直的網線。你能再舉出其他例子嗎？ 二、垂線的性質1 探究：用三角尺或量角器畫已知直線l的垂線，這樣的垂線能畫出幾條？ （1）經過直線l上一點A畫l的垂線，這樣的垂線能畫出幾條？ （2）經過直線l外一點B畫l的垂線，這樣的垂線能畫出幾條？ 注意：過一點畫已知直線的垂線，其本質就是利用三角尺（或量角器），使過一點的直線與已知直線所形成的夾角為________． 歸納：垂線的性質（1） 經過一點（在已知直線上或直線外），能畫出已知直線的______垂線，并且只能畫出______垂線。 關于垂線的基本事實：在同一平面內，過一點__________一條直線與已知直線垂直。 例：如圖所示，過點P畫出射線AB或線段AB的垂線． 分析：畫一條射線或線段的垂線，就是畫它們所在直線的________。 解：____________。 三、垂線的性質2 思考：如圖所示，在灌溉時，要把河中的水引到農田P處，如何挖渠能使渠道最短？ 提示：要解決這個問題，我們需要找到河渠中到點P的距離_________的點。 探究：如圖，P是直線l外一點，PO⊥l，垂足為O，我們稱PO為點P到直線l的_________。A是直線l上除點O外一點，連接PA。測量并比較線段PO與PA的長度，你能得到什么結論？改變點A的位置呢？（你也可以利用信息技術工具，在直線l上拖動點A，改變點A的位置，探究PO與PA的長度關系．） 可以發現：垂線段_________． 歸納：垂線的性質（2） 連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，____________最短． 簡單說成：垂線段________． 直線外一點到這條直線的垂線段的__________，叫做點到直線的距離． 說一說：現在你知道如何挖渠能使渠道最短了嗎？ 指出：最短（或最近）問題的兩依據 （1）兩點之間，________最短；（2）_________最短．
課堂練習 【知識技能類作業】 必做題： 1．小明某次立定跳遠的示意圖如圖所示，根據立定跳遠規則可知小明本次立定跳遠成績為（ ） A．線段的長度 B．線段的長度 C．線段的長度 D．線段的長度 2．如圖，，于D，則下列結論中，正確的個數為（ ） ①：②與互相垂直；③點C到的垂線段是線段；④點A到的距離是線段的長度；⑤線段的長度是點C到的距離：⑥線段的長度是點D到的距離． A．3個 B．4個 C．5個 D．6個 第2題圖 第3題圖 第4題圖 3．如圖，，，垂足為，經過點．求、的度數． 選做題： 4.如圖，直線與相交于點，于點，，則度數為___________． 【綜合拓展類作業】 5.如圖，已知平面內有一個和三點，，，按要求畫圖，并回答問題： (1)畫線段，射線，直線； (2)過點畫，垂足為點； (3)對于內部的任意一點，點到的兩邊的距離中的較短距離記為，按照上述記法，請你通過測量得出______（填“”“”或“”）．
課堂小結 說一說：今天這節課，你都有哪些收獲？
作業設計 【知識技能類作業】 必做題： 1．如圖，已知，，平分，平分，則的度數是（ ） A． B． C． D． 2．下列判斷正確的是（ ） A．從直線外一點到已知直線的垂線段叫做點到已知直線的距離 B．過直線外一點作已知直線的垂線，垂線的長度就是這點到已知直線的距離 C．作出已知直線外一點到已知直線的距離 D．連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短 3．如圖，直線、相交于點，，．如果，求的度數． 選做題： 4.如圖，，，平分，若，求的度數． 【綜合拓展類作業】 5.如圖，某廠房需要在河岸上建一個水泵站引水到C處，若考慮使鋪設的水管長度最短，請你畫出水泵站位置，并說明其數學道理．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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分課時教學設計
第二課時《7.1.2兩條直線垂直》教學設計
課型 新授課 復習課口試卷講評課口其他課口
教學內容分析 兩直線垂直是平面幾何所要研究的基本內容之一。垂線的概念、畫法和性質是重要的基礎知識，是進一步學習平面直角坐標系、三角形的高、切線的性質和判定、以及空間里的垂直關系等知識的基礎，與其他數學知識一樣，它在現實生活中有著廣泛的應用。垂線的概念和性質，蘊含著“從一般到特殊”的認識規律，是培養學生思維能力的重要內容之一。
學習者分析 本課學習是學生學習了兩直線相交、對頂角等知識的基礎上進行的，學生已掌握相交線模型，可以進一步研究兩條直線相交的特殊情況——垂直，學習垂線的概念和性質，點到直線的距離等知識，同時，七年級的孩子思維活躍，模仿能力強.同時他們也具備了一定的學習能力，在老師的指導下，能針對某一問題展開討論并歸納總結，但是受年齡特征的影響，他們對知識遷移能力不強，推理能力還需進一步培養。
教學目標 1．認識垂線，理解“互相垂直”和“垂足”的含義。 2．能夠過一點畫已知直線的垂線。 3．掌握垂線的性質，理解“垂線段最短”并能進行應用。
教學重點 垂線的畫法及性質。
教學難點 理解垂線段最短，并能進行應用。
學習活動設計
教師活動學生活動環節一：學習目標教師活動1： 師出示學習目標： 1．認識垂線，理解“互相垂直”和“垂足”的含義。 2．能夠過一點畫已知直線的垂線。 3．掌握垂線的性質，理解“垂線段最短”并能進行應用。學生活動1： 學生齊聲讀本課的學習目標活動意圖說明： 明確本節課的學習目標，使教師的教和學生的學有效結合在一起，激發學生的學習動力，提高學生課堂參與的興趣與積極性。環節二：新知導入教師活動2： 1.如圖，∠1和∠2有一條公共邊OC，它們的另一邊互為________（∠1和∠2互補），具有這種位置關系的兩個角，互為鄰補角。 答案：反向延長線 2.如圖，∠1和∠3有一個公共頂點O，并且∠1的兩邊分別是∠3的兩邊的_____________，具有這種位置關系的兩個角，互為對頂角。 答案：反向延長線 3.對頂角的性質：_____________。 答案：對頂角相等 觀察：如圖，是相交線的模型，固定木條a，轉動木條b．當b的位置變化時，a，b所成的∠α也會發生變化． 學生活動2： 學生積極回答問題，并觀察相交線模型活動意圖說明： 通過回顧上節課內容及演示兩直線相交，并出示特殊位置，讓學生明確本節課的學習內容環節三：新知講解教師活動3： 講解：當兩條直線a，b相交所成的四個角中，有一個角是直角時，我們就說a與b互相垂直．記作：a⊥b。 垂直是相交的一種特殊情形. 兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫作另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足。 記作：AB⊥CD，垂足為O，或AB⊥CD于點Ｏ。 注意：1．垂直是兩條直線的位置關系，如果a是b的垂線，那么b也是a的垂線。 2．垂線是直線，不是線段或射線，不能測量其長度。 3．線段、射線的垂直是指它們所在的直線垂直。 講解：根據兩條直線垂直的定義可知，如果兩條直線相交所成的四個角中的任意一個角等于90°，那么這兩條直線垂直． 下圖中，如果直線AB，CD相交于點O，∠AOD＝90°，那么AB⊥CD． 這個推理過程可以寫成下面的形式： 因為___∠AOD＝90°___， 所以__AB⊥CD___(垂直的定義)． 想一想：如果AB⊥CD，那么∠AOD是多少度？寫出這個推理過程。 因為__AB⊥CD___ 所以__∠AOD＝90°__． 指出：垂直的定義既是判定也是性質 ∠AOD＝90°AB⊥CD 說一說：在日常生活中，兩條直線互相垂直的情形很常見，如圖中窗戶上互相垂直的木條、網球拍上互相垂直的網線。你能再舉出其他例子嗎？ 探究：用三角尺或量角器畫已知直線l的垂線，這樣的垂線能畫出幾條？ 思考：如何用三角尺畫垂線？ 預設1：第1步：讓三角尺的一條直角邊落在已知直線上，使其與已知直線重合； 第2步：沿另一直角邊畫直線，這條直線就是已知直線的垂線． 預設2：無數條 （1）經過直線l上一點A畫l的垂線，這樣的垂線能畫出幾條？ 思考：過直線上的一點如何用三角尺畫垂線？ 預設1：第1步：讓三角尺的一條直角邊落在已知直線上，使其與已知直線重合； 第2步：沿直線移動三角尺，使其另一條直角邊經過已知點； 第3步：沿此直角邊畫直線，這條直線就是已知直線的垂線． 預設2：一條 （2）經過直線l外一點B畫l的垂線，這樣的垂線能畫出幾條？ 提示：仿照過直線上一點畫已知直線的垂線，畫出垂線． 預設：1條 指出：過一點畫已知直線的垂線，其本質就是利用三角尺（或量角器），使過一點的直線與已知直線所形成的夾角為90°． 歸納：垂線的性質（1） 經過一點（在已知直線上或直線外），能畫出已知直線的一條垂線，并且只能畫出一條垂線。 由此得到關于垂線的基本事實： 在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。 例：如圖所示，過點P畫出射線AB或線段AB的垂線． 分析：畫一條射線或線段的垂線，就是畫它們所在直線的垂線。 解：如圖所示。 思考：如圖所示，在灌溉時，要把河中的水引到農田P處，如何挖渠能使渠道最短？ 引問：要解決這個問題，我們需要找到河渠中到點P的距離最近的點。如何確定這個點呢？ 探究：如圖，P是直線l外一點，PO⊥l，垂足為O，我們稱PO為點P到直線l的__垂線段 __。A是直線l上除點O外一點，連接PA。測量并比較線段PO與PA的長度，你能得到什么結論？改變點A的位置呢？（你也可以利用信息技術工具，在直線l上拖動點A，改變點A的位置，探究PO與PA的長度關系．） 操作演示： 可以發現：垂線段PO最短． 歸納：垂線的性質（2） 連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短． 簡單說成：垂線段最短． 直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離． 說一說：現在你知道如何挖渠能使渠道最短了嗎？ 預設： 指出：最短（或最近）問題的兩依據 （1）兩點之間，線段最短； （2）垂線段最短． 學生活動3： 學生認真并聽老師的講解，然后按要求進行小組合作探究，并派代表匯報交流，最后聽老師的點評和講解活動意圖說明： 通過講解和探究讓學生體會垂線的相關概念，并在畫圖的過程中探究并歸納垂線的兩條性質，并理解點到直線的距離環節四：課堂小結教師活動4： 問題：本節課你都學習到了哪些知識？ 教師通過學生的回答，進行歸納 學生活動4： 學生積極回顧本節課學習到的知識活動意圖說明： 通過學生自己回顧、總結、梳理所學的知識，將所學的知識與以前學過的知識進行緊密聯系，完善認知結構和知識體系。
板書設計 課題：7.1.2兩條直線垂直一、兩條直線垂直 二、垂線的性質1 三、垂線的性質2教師板演區學生展示區
課堂練習 【知識技能類作業】 必做題： 1．小明某次立定跳遠的示意圖如圖所示，根據立定跳遠規則可知小明本次立定跳遠成績為（ ） A．線段的長度 B．線段的長度 C．線段的長度 D．線段的長度 答案：C 2．如圖，，于D，則下列結論中，正確的個數為（ ） ①：②與互相垂直；③點C到的垂線段是線段；④點A到的距離是線段的長度；⑤線段的長度是點C到的距離：⑥線段的長度是點D到的距離． A．3個 B．4個 C．5個 D．6個 答案：A 3．如圖，，，垂足為，經過點．求、的度數． 解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 選做題： 4.如圖，直線與相交于點，于點，，則度數為___________． 答案：112.5° 【綜合拓展類作業】 5.如圖，已知平面內有一個和三點，，，按要求畫圖，并回答問題： (1)畫線段，射線，直線； (2)過點畫，垂足為點； (3)對于內部的任意一點，點到的兩邊的距離中的較短距離記為，按照上述記法，請你通過測量得出______（填“”“”或“”）． 解：（1）如下圖，線段，射線，直線即為所求； （2）如下圖，即為所求； （3）如下圖，過點作，，垂足為，；過點作，，垂足為，， 根據題意可知，，，比較可得，， 所以 ． 故答案為：．
作業設計 【知識技能類作業】 必做題： 1．如圖，已知，，平分，平分，則的度數是（ ） A． B． C． D． 答案：C 2．下列判斷正確的是（ ） A．從直線外一點到已知直線的垂線段叫做點到已知直線的距離 B．過直線外一點作已知直線的垂線，垂線的長度就是這點到已知直線的距離 C．作出已知直線外一點到已知直線的距離 D．連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短 答案：D 3．如圖，直線、相交于點，，．如果，求的度數． 解：，，， ， ． 選做題： 4.如圖，，，平分，若，求的度數． 解：，， ． 平分， ． ， ， ． 【綜合拓展類作業】 5.如圖，某廠房需要在河岸上建一個水泵站引水到C處，若考慮使鋪設的水管長度最短，請你畫出水泵站位置，并說明其數學道理． 解：如下圖：A點即為所求； 數學道理：垂線段最短．
教學反思 這節課主要內容是包括兩直線垂直及相關概念、垂線的兩條性質，在探究過程中通過指導學生過一點畫已知直線的垂線，并通過畫垂線發現直線外一點到這條直線的垂直線段最短。在教學中，課堂氣氛活躍，教學活動讓學生動手畫一畫、動腦想一想，培養學生動手操作能力。
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

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