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第六章
平面向量及其應用
6.2.1 平面向量的運算
——加法運算
教學目標
1、理解向量加法的概念以及向量加法的幾何意義；
2、掌握向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，并會用法則解決實際問題；
3、掌握向量加法的交換律和結合律，并會用運算律進行計算.
課堂引入
我們知道，數能進行運算，那么與數類比，向量能否也能像數一樣進行運算呢？
自本節課開始，我們就來研究平面向量的運算，探索其運算性質，體會向量運算的作用.
本節課我們先學習向量的加法
新知探究
問題：我們知道，位移和力是向量，它們可以合成.那我們能否從位移、力的合成中得到啟發，引進向量的加法呢？
如圖，某質點從點A經過點B到點C，這個質點的位移如何表示？
思考
A
B
C
新知探究
物理知識告訴我們，這個質點兩次位移，的結果，與從點A直接到點C的位移結果相同.
因此，位移可以看成位移與的合成的.
數的加法啟發我們，從運算的角度看，可以看作的和，即位移的合成可以看作向量的加法.
新知探究
如圖，已知非零向量，，在平面內取任意一點A，作，，則向量叫做的和，記作，即
A
B
C
向量的和
新知探究
求兩個向量和的運算，叫做向量的加法.
這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則.位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型.
向量的加法及三角形法則
規定：
新知探究
我們再來看力的合成問題.
如圖，在光滑的平面上，一個物體同時受到兩個外力與的作用，你能作出這兩個物體所受的合力嗎？
思考
O
B
A
新知探究
我們知道，合力在以OA，OB為鄰邊的平行四邊形的對角線上，并且大小等于這條對角線的長.
從運算的角度看，可以看作是的和，即力的合成可以看作向量的加法.
O
B
A
C
新知探究
如圖，以同一點O為起點的兩個已知向量，以OA，OB為鄰邊做平行四邊形OACB，則以O為起點的向量（OC是平行四邊形的對角線）就是向量的和.
我們把這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.
力的合成可以看作向量加法平行四邊形法則的物理模型.
O
B
A
C
新知探究
如圖，向量加法的三角形法則，. 過點A作BC的平行線，所作的兩條直線相較于點D，四邊形ABCD是平行四邊形. 由平行四邊形的性質得AD=BC，所以. 由向量加法得平行四邊形法則也可以得出，所以向量加法得三角形法則與平行四邊形法則是一致的！
A
D
B
C
向量加法的平行四邊形法則與三角形法則一致嗎？為什么？
思考
典型例題
例1：如圖，已知向量，求作向量.
作法一：在平面內任取一點O，作，，則.
作法二：在平面內任取一點O，作，以OA，OB為鄰邊作平行四邊形，連接OC，則.
O
A
B
O
A
B
C
探究新知
（1）如果向量共線，它們的加法與數的加法有什么關系？你能做出向量嗎？
探究
共線向量的加法
探究新知
共線向量的加法
當兩個向量共線時，
（1）如果其中有一個向量為零向量，不妨設，則，這與實數加法類似；
（2）如果兩個向量均不為零向量，則它們可以看作在數軸上的兩個向量相加，其結果是一個向量，對應數軸上的一條有向線段，而兩個數相加，其結果是一個數，對應數軸上唯一的一個點.
容易看出，當向量共線時，以的終點作為的起點做出就是連接的起點與的終點，此時也符合向量加法的三角形法則.
探究新知
（2）結合例1，探索、、之間的關系.
探究
共線向量的加法
一般地，我們有：
當且僅當方向相同時等號成立.
探究新知
數的加法滿足交換律、結合律，向量的加法是否也滿足交換律和結合律呢？
探究
向量加法的運算律
如圖，作，，以AB，AD為鄰邊作平行四邊形ABCD，容易發現，，故. 又，
所以.
A
D
B
C
探究新知
向量加法的運算律
如圖，你能否驗證 ？
A
D
B
C
典型例題
例2：船在靜水中的速度為20 m/min，水流的速度為10 m/min，如果船從岸邊出發沿垂直于水流的航線到達對岸，求船行進的方向．
解：如圖所示．船速v船與岸的方向成α角，由圖可知，結合已知條件，四邊形ABCD為平行四邊形．
在中，，
，
所以，
所以，從而船行進的方向與水流方向成的角，
所以船是沿與水流方向成的角的方向行進.
本節課到此結束！
謝謝大家！

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