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8.3 實(shí)數(shù)及其簡(jiǎn)單運(yùn)算
第1課時(shí) 實(shí)數(shù)的概念
1.了解實(shí)數(shù)的意義，并能將實(shí)數(shù)按要求進(jìn)行準(zhǔn)確的分類；
2.熟練掌握實(shí)數(shù)大小的比較方法；（重點(diǎn)）
3.了解實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，能用數(shù)軸上的點(diǎn)
表示無理數(shù).（難點(diǎn)）
求下列各式的值：
(1) ； (2) .
解：(1) 2 ；
(2) .
其結(jié)果都是無限
不循環(huán)小數(shù)，
它們是有理數(shù)嗎？
探究 把下列分?jǐn)?shù)寫成小數(shù)的形式，你發(fā)現(xiàn)了什么？
4
它們都可以寫成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)的形式.
4＝4.0， ＝ 2.5， ＝ 0.6 ，
＝ 6.75， ＝ 1.， ＝ 0..
整數(shù)可以寫成小數(shù)點(diǎn)后為0的小數(shù).
事實(shí)上，如果把整數(shù)看成小數(shù)點(diǎn)后是0的小數(shù)，那么任何一個(gè)有理數(shù)都可以寫成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)的形式.反過來，任何有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)也都是有理數(shù).
討論 所有的數(shù)都可以寫成有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)的形式嗎？
π＝3.141 592 65…
不是. 如：
1.414 213 56…
－2.236 067 977…
1.259 921 05…
1.442 249 57…
都是無限不循環(huán)小數(shù)
無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).
注意
1.無理數(shù)都是無限小數(shù)，但無限小數(shù)不一定是無理數(shù),只有無限不循環(huán)小數(shù)才是無理數(shù).
2.某些數(shù)的平方根或立方根是無理數(shù)，但帶根號(hào)的數(shù)不一定都是無理數(shù).
常見的無理數(shù)的形式：
(1)開方開不盡的數(shù)的方根，如：等；
(2)π及化簡(jiǎn)后含π的數(shù)，如：π+1等；
(3)具有特殊結(jié)構(gòu)的數(shù)，如：0.3030030003…(相鄰兩個(gè)3之間依次多一個(gè) 0 ).
像有理數(shù)一樣，無理數(shù)也有正負(fù)之分.
例如，是正無理數(shù)，是負(fù)無理數(shù).
(1)按定義分：
實(shí)數(shù)
有理數(shù)
無理數(shù)
正有理數(shù)
0
負(fù)有理數(shù)
正無理數(shù)
負(fù)無理數(shù)
有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)
無限不循環(huán)小數(shù)
有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù).
思考 你能給實(shí)數(shù)分類嗎？
(2)按性質(zhì)分：
實(shí)數(shù)
正實(shí)數(shù)
負(fù)實(shí)數(shù)
正有理數(shù)
正無理數(shù)
負(fù)有理數(shù)
負(fù)無理數(shù)
0
注意 實(shí)數(shù)的分類有不同的方法，但不論用哪一種分類方法，都要做到不重不漏.
無理數(shù):｛ ｝
有理數(shù):｛ ｝
正實(shí)數(shù):｛ ｝
負(fù)實(shí)數(shù):｛ ｝
例1 將下列各數(shù)分別填入下列相應(yīng)的括號(hào)內(nèi)：
，，，π，－，－，－，，0，，
0.3 232 232 223…
，，π，－，0.3232232223…
，－，－，，0，
－，－，－
，，，π，，，0.3232232223…
對(duì)每個(gè)數(shù)都要進(jìn)行判斷，分類標(biāo)準(zhǔn)不同結(jié)果不同.
思考1 以單位長(zhǎng)度為直徑畫一個(gè)圓，它的周長(zhǎng)等于 π.如圖,從原點(diǎn)開始，將這個(gè)圓沿?cái)?shù)軸向右滾動(dòng)一周，圓上的一點(diǎn)由原點(diǎn) O到達(dá)點(diǎn) O′,點(diǎn) O′對(duì)應(yīng)的數(shù)是多少
0
-2
-1
1
3
2
4
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
O′
從圖中可以看出，OO′的長(zhǎng)是這個(gè)圓的周長(zhǎng) π，所以點(diǎn) O′對(duì)應(yīng)的數(shù)是 π.
思考2 你能在數(shù)軸上表示出和嗎？
把兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形通過剪、拼，得到一個(gè)大正方形，大正方形的邊長(zhǎng)為，從而說明邊長(zhǎng)為1的小正方形的對(duì)角線為 .
1
1
1
以單位長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)畫一個(gè)正方形，以原點(diǎn)為圓心，正方形的對(duì)角線為半徑畫弧.
0
1
2
3
-1
-2
-3
弧與正半軸的交點(diǎn)就表示，
弧與負(fù)半軸的交點(diǎn)就表示.
事實(shí)上，每一個(gè)無理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)表示出來.
當(dāng)數(shù)的范圍從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)后，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的.
實(shí)數(shù)
數(shù)軸上的點(diǎn)
一一對(duì)應(yīng)
例2 如圖所示，數(shù)軸上 A，B 兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為
和5.1，則 A，B 兩點(diǎn)之間表示整數(shù)的點(diǎn)共有(　　)
A．6個(gè) B．5個(gè) C．4個(gè) D．3個(gè)
解析：∵≈1.414，∴和5.1之間的整數(shù)有2，3，4，5，
∴A，B 兩點(diǎn)之間表示整數(shù)的點(diǎn)共有4個(gè)．
C
歸納 數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)，結(jié)合數(shù)軸分析，可輕松得出結(jié)論．
－ 2
－2 －1 0 1 2 3 4
－3
2
與有理數(shù)一樣，實(shí)數(shù)也可以比較大小：
數(shù)軸上右邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)比左邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)大.
思考 實(shí)數(shù)可以比較大小嗎？
歸納 與有理數(shù)一樣，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)：
正實(shí)數(shù)大于零，負(fù)實(shí)數(shù)小于零，正實(shí)數(shù)大于負(fù)實(shí)數(shù).
1.下列說法正確的是（ ）
A.a一定是正實(shí)數(shù) B. 是有理數(shù)
C.是有理數(shù) D.數(shù)軸上任一點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)有理數(shù)
B
2.有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如下，當(dāng)輸 x＝81 時(shí)，輸出的 y 是（ ）
C
輸入x
取算術(shù)平方根
是無理數(shù)
輸出y
是有理數(shù)
A.9 B.3 C. D.±3
3.判斷.
（1）實(shí)數(shù)不是有理數(shù)就是無理數(shù). （ ）
（2）無理數(shù)都是無限不循環(huán)小數(shù). （ ）
（4）無理數(shù)都是無限小數(shù). （ ）
（3）帶根號(hào)的數(shù)都是無理數(shù). （ ）
（5）無理數(shù)一定都帶根號(hào). （ ）
×
×
4．將下列各數(shù)近似地表示在數(shù)軸上，并把它們按從小到大的順序排列，用“＜”連接．
－，(－2)2，，－
－ － (－2)2
·· · ·
由數(shù)軸，得－ ＜－ ＜ ＜(－2)2
解：
無理數(shù)的概念
實(shí)數(shù)
實(shí)數(shù)的分類
實(shí)數(shù)的大小比較
實(shí)數(shù)的數(shù)軸表示

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